חקירת שתי משוואות ממעלה ראשונה

אלו מצבים יכולים להיות בין שני ישרים במישור

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, נחתכים, או מוכלים (כלומר ישר נמצא על ישר).

המצבים האפשריים בין שני ישרים

כאשר אנו מסתכלים על משואות כיצד נוכל להבדיל בין המצבים השונים?
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

ישרים מוכלים
ישרים מוכלים הם המצב שבו למערכת המשוואות אינסוף פתרונות.

מצב זה מתקבל כאשר ניתן להכפיל משוואה אחת במספר ולהגיע אל המשוואה השנייה.
למשל:
3x + y + 2 = 0
12x + 4y + 8 = 0

את המשוואה הראשונה ניתן להכפיל פי 4 ולהגיע אל המשוואה השנייה.
לכן למערכת הזו אינסוף פתרונות.
לכן המערכת הזו מייצגת שני ישרים מוכלים.

ישרים מקבילים
ישרים מקבילים הם מצב שבו למערכת המשוואות אין פתרון.

מצב זה מתקבל כאשר יש מספר שבו ניתן להכפיל משוואה אחת ולהשוות את ערכי ה x,y.
אך הכפלה במספר זה לא תשווה את ערכי המספר החופשי.
למשל:
3x + y + 2 = 0
12x + 4y + 7 = 0

הכפלה פי 4 של המשוואה הראשונה תביא להשוואת המקדמים של ,x,y אבל המספר החופשי יהיה שונה.
לכן למערכת זו לא יהיה פתרון.

ישרים נחתכים
בכול מקרה אחר.

סיכום הדרך למצוא את מספר הפתרונות

כאשר נתונות לנו המשוואות
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

אז אם מתקיים:

אז למערכת אינסוף פתרונות ואלו ישרים מוכלים.
(המשוואה מייצגת את הרעיון שניתן להכפיל את המשוואה הראשונה במספר ולהגיע אל המשוואה השנייה).

אם מתקיים:

אז למערכת אין אף פתרון ואלו ישרים מקבילים.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו מתי למערכת המשוואות
4x + ay -12 = 0
x + 2y -3 = 0
יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון
למערכת יש אינסוף או אף פתרון כאשר:

a = 8.

שלב ב: נציב את ערכי ה a שמצאנו במשוואה ונראה אם יש עבורם אינסוף או אף פתרון
נציב a =8 ונבדוק האם יש במצב זה אינסוף פתרונות או אף פתרון

שלב ג: רישום התשובה
מצאנו כי למערכת יש אינסוף פתרונות כאשר a = 8.
וזה אומר שבמצב זה הישרים מקבילים.

עבור a≠8 למערכת יש פתרון יחיד, וזה אומר שהישרים נחתכים.

תרגיל 2
a² +5)x + 7y  + 3.5a = 0)
3x + y  +2 = 0
מצאו מתי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון

a² + 5 = 21  / -5
a² = 16
a = 4,  a = -4

שלב ב: נציב את ערכי ה a שמצאנו במשוואה ונראה אם יש עבורם אינסוף או אף פתרון
עבור a = 4
המשוואות נראות כך:
21x + 7y  + 14 = 0
3x + y  +2 = 0

לכן עבור a = 4 יש אינסוף פתרונות והישרים מוכלים אחד בשני.

נבדוק עבור a = -4
המשוואות נראות כך:
21x + 7y  – 14 = 0
3x + y  +2 = 0

לכן עבור a = -4 למערכת אין אף פתרון ואלו ישרים מקבילים.

פתרון יחיד
עבור a≠4,  a≠ -4 למערכת יש פתרון יחיד.

תרגיל 3
2ax + (a² + 2a – 6)y  + 8 = 0
12x + 6y  – 4 = 0
מצאו מתי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון

12a² +24a -72 = 12a / -12a
12a² +12a – 72 = 0  / : 12
a² + a – 6 = 0

קיבלנו משווואה ריבועית.
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נפתור כאן בעזרת טרינום.
a² – 2a + 3a – 6 = 0
a (a – 2) +3( a-2) = 0
a + 3) (a – 2) = 0)

הפתרונות הם a = -3 או a =2.
עבור שני הערכים הללו יכולים להתקבל אינסוף או אף פתרון.
נבדוק כל ערך בנפרד.
2ax + (a² + 2a – 6)y  + 8 = 0
12x + 6y  – 4 = 0

עבור a=2 המשוואות שנקבל הן:
4x + 2y + 8 = 0
12x + 6y – 4 = 0

ניתן לראות שניתן להכפיל פי 3 את המקדמים של x,y במשוואה הראשונה על מנת להגיע אל המקדמים של x,y במשוואה השנייה.
אבל כאשר נכפיל פי 3 את המספר החופשי 8 לא נקבל 4-.

לכן עבור a =2 אין למשוואות פתרון ואלו שני ישרים מקבילים.

עבור a = -3 המשוואות שנקבל הן:
6x – 3y + 8 = 0-
12x + 6y – 4 = 0

אם נכפיל את כל אחד מהאיברים במשוואה הראשונה פי 2- נקבל מקדמים שווים של x,y אבל המספר החופשי לא יהיה שווה.
לכן עבור a =-3 למשוואה אין פתרונות ואלו ישרים מקבילים.

פתרון יחיד
כאשר a ≠ 2,  a ≠ -3 למשוואה יש פתרון יחיד.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “חקירת שתי משוואות ממעלה ראשונה

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    בס"ד
    קודם כל, תודה רבה! האתר עוזר לי מאוד!
    (שמתי לב שבטעות כתבת ישרים מקבילים במקום ישרים מוכלים בהסבר שלך על ישרים מקבילים, אז כדאי לתקן….)
    ולסיכום, אני אכתוב שוב תודה רבה רבה! כי האתר הזה באמת מאוד יעיל ושימושי עבורי!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.