שתי משוואות עם שני נעלמים

שתי משוואות עם שני נעלמים הוא נושא טכני הדורש סדר ותרגול.

בדף זה נלמד את הנושא על פי החלוקה הבאה:

1. דרך הפתרון בשיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים.
2. שיטת ההצבה.
3. שיטת השוואת המקדמים.
4. כיצד ניתן לבדוק שהגענו לתשובה הנכונה.
5. שיטת ההצבה לעומת שיטת השוואת מקדמים.
6. 4 מצבים נפוצים שצריך להכיר.
7. שתי משוואות הכוללות מכנה.

דפים נוספים שאינם כלולים בדף זה:

1. שתי משוואות עם שני נעלמים ואינסוף פתרונות או אף פתרון.
2. שתי משוואות עם שני נעלמים: משוואות לא מסודרות.
3. שתי משוואות עם שני נעלמים: פתרון גרפי (חשוב פחות).
4. שתי משוואות עם שני נעלמים עם משוואה ריבועית.
5. מערכת משוואות עם מכפלה של xy.

סיכום וידאו

לסיכום בסרטון זה יש 3 חלקים:

1. הסבר לשיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים.
2. 4 מצבים שרוב התרגילים כלולים באים.
3. משוואות עם אינסוף פתרונות, אף פתרון ופתרון גרפי.

1.דרך הפתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים

בנושא שתי משוואות עם שני נעלמים יש שני דברים עיקריים שצריך לדעת:

1. פתרון בשיטת ההצבה.
2. פתרון בשיטת השוואת המקדמים.

הרעיון של הפתרון בשתי השיטות הוא אותו רעיון: לקחת את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ולהפוך אותם למשוואה עם נעלם אחד.

בשיטת ההצבה

בשיטת ההצבה הופכים את שתי המשוואות למשוואה אחת על ידי הצבה.

למשל:

x = 2y + 3
3y  – 4x = 18

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:

3y – 4(2y + 3) = 18

זו משוואה עם נעלם אחד שאנו יכולים לפתור ולמצוא את y.

לאחר שנמצא את y צריך להציב באחת משתי המשוואות הראשונות שקיבלנו ולמצוא את x.

שיטת השוואת מקדמים

בשיטת השוואת המקדמים מקבלים משוואה עם נעלם אחד על ידי חיבור או חיסור המשוואות.

לדוגמה

2x – 2y = 10
x + 2y = 2

במקרה זה יש לנו סימנים הפוכים במקדמים של y.
נחבר את צד שמאל לצד שמאל ואת צד ימים לצד ימין ונקבל:

2x – 2y + x + 2y = 10 + 2
3x = 12
x = 4

דוגמה נוספת

4x – y = 10
4x + 5y = 4

במקרה זה לנו מקדמים זהים ל x ולכן נחסר משוואות ונקבל

4x – y – 4x – 5y = 10 – 4
-6y = 6
y = -1

2.שיטת ההצבה

סדר פעולות:

1. מבודדים את אחד המשתנים ומציבים אותו במשוואה השנייה, כך שנוצרת משוואה עם נעלם אחד.
   איזה משתנה מבודדים? את המשתנה שהכי קל לבודד.
2. לאחר שמצאנו ערך של משתנה אחד מציבים אותו במשוואה שבודדנו (לאחר שביצענו את הבידוד) או בכל משוואה אחרת כדי למצוא את המשתנה השני.

תרגילים בשיטת ההצבה

3.פתרון בשיטת השוואת המקדמים

בחלק זה נתמקד בשיטת השוואת המקדמים.

המטרה של השיטה היא להשוות את המקדמים של x או y ואז "להעלים" את אחד המשתנים על ידי חיבור או חיסור של המשוואות.
לאחר מיכן מה שנותר הוא משוואה אחת עם נעלם אחד.

שלבי השיטה:

1. אם צריך, הכפלת משוואה או שתי משוואות על מנת שנקבל מקדמים שווים או הפוכים בסימנם לאחד המשתנים.
2. חיבור / חיסור המשוואות כך שנשאר עם משוואה עם נעלם אחד.
3. פתרון המשוואה עם הנעלם האחד.
4. הצבת הפתרון באחת משתי המשוואות המקוריות על מנת למצוא את המשתנה השני.

אדגים את השלבים על מערכת המשוואות:
3y – 2x=3   (משוואה 1)
4y+3x=5   (משוואה 2)
1. מכפילים את אחת המשוואות או את שתיהן על מנת שמקדמי אחד המשתנים יהיו שווים בערכם המוחלט.

במקרה שלנו צריך להכפיל את שתי המשוואות.
את משוואה (1) ב 3 ואת משוואה (2) ב 2.

3y – 2x = 3  / *3   ⇒    9y – 6x=9
4y + 3x = 5  / *2  ⇒  8y + 6x=10

הגענו למצב שבמשוואה אחת יש 6x ובשנייה 6x-.
כאשר נחבר את המשוואות ה x "יעלם" ונשאר עם משוואה הכולל y.

שלב 2: מחסרים או מחברים את המשוואות כך שנקבל משוואה עם נעלם אחד.
נחבר את המשוואות
9y-6x=9
8y+6x=10
ונקבל:
9y – 6x + 8y + 6x = 9 + 10
17y=19

שלב 3: נפתור משוואה עם נעלם אחד
עכשיו נשארנו עם משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה.
17y =19  / : 17
y = 1.117

שלב 4: נציב את התשובה שקיבלנו עבור משתנה אחד באחת משתי משוואות המקור על מנת למצוא את ערך המשתנה השני.
מצאנו y = 1.117.
עכשיו עלינו למצוא את x.

אלו המשוואות המקוריות שקיבלנו:
3y – 2x=3
4y + 3x=5
נציב את y = 1.117 במשוואה הראשונה ונמצא את x.

2x + 3 * 1.117 = 3-
2x + 3.351 = 3  / -3.351-
2x = -0.351   / : -2-
x = 0.1755

תשובה: y= 1.117,   x =  0.1755.

תרגילים

תרגיל 1: צריך לכפול רק משוואה אחת
6x – 2y = 24
x + 5y = 4

תרגיל 2: יש להכפיל את שתי המשוואות
4x + 3y = -11
3x – 2y = -4

תרגיל 3: יש לסדר את המשוואות
(הערה: "סידור משוואות" היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים "לסדר משוואות" על מנת למנוע בלבול)
3x = 5y + 5
2y = 4x – 16

4.כיצד ניתן לבדוק שהגענו לתשובה הנכונה

עבור המשוואות האחרונות:
5y + 3x = 15
2y – 4x = -34-

מצאנו כי הפתרון הוא:
x = 10, y = -3.

איך נבדוק שפתרון זה נכון?
על ידי הצבה של הפתרון בשתי המשוואות.
לאחר ההצבה נוכל לראות אם הפתרון נכון עבור המשוואה או לא.

נציב  x = 10, y = -3 במשוואה:
5y + 3x = 15
15 = 10 * 3 + (3-) * 5
15 = 30 + 15-
15 = 15
הפתרון נכון עבור המשוואה הראשונה.

נציב  x = 10, y = -3 במשוואה:
2y – 4x = -34-
34- = 10 * 4 – (3-) * 2-
34 – = 40 – 6
34- = 34-
הפתרון נכון עבור המשוואה השנייה.

הפתרון x = 10, y = -3 נכון עבור שתי המשוואות ולכן הוא הפתרון של המשוואות.

עוד באתר:

• בעיות מילוליות עם שני נעלמים.
• משוואה עם נעלם אחד – מדריך הכולל את כל השלבים.
• מתמטיקה כיתה ח – מידע ותרגילים על רוב הנושאים הנדרשים בכיתה זו.
• מתמטיקה כיתה ט – מידע ותרגילים על רוב הנושאים הנדרשים בכיתה זו.

5.שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

בקצרה אומר שאין שיטה אחת שיותר טובה בכול המקרים.
והדבר החשוב הוא שתבחרו בשיטה שאיתה אתם לא עושים טעויות.

לפעמים שיטת ההצבה מובילה אל הפתרון במהירות רבה יותר ולפעמים שיטת השוואת המקדמים.
אבל עבור מערכת משוואות רגילה שיטת השוואת המקדמים לרוב מהירה יותר.

• שיטת ההצבה ושיטת השוואת מקדמים איזו שיטה עדיפה?

6. ארבעת המצבים הנפוצים שתפגשו

7.לסיום: תרגילים עם מכנה בשתי השיטות

בחלק זה נפתור את התרגילים הבאים:

תרגיל 1

תרגיל 2

עוד באתר:

• מבחן בנושא משמעות גרפית של 2 משוואות ב-2 נעלמים.
• שתי משוואות עם שני נעלמים משוואות לא מסודרות תרגילים נוספים.