פתרון משוואות עם שורש, משוואות אי רציונליות

משוואות עם שורשים שונות ממשואות רגילות בשתי דרכים:

  1. פותרים אותן על ידי העלאה בריבוע.
  2. לאחר שפותרים אותם צריך להציב את הפתרון

בחלק הראשון של הדף נסביר מדוע עושים את הדברים הללו.
בחלק השני יש 5 תרגילים ברמות שונות.

מדוע יש לבודד את השורש בצד אחד של המשוואה?
מדוע יש להציב את התשובה הסופית במשוואה המקורית?

מדוע יש לבודד את השורש בצד אחד של המשוואה לפני שמעלים את המשוואה בריבוע?

כי כאשר אנו מבודדים את השורש אנו גורמים לכך שלאחר העלאה בריבוע השורש יתבטל.
לעומת זאת, כאשר מעלים את השורש עם איבר נוסף באותו אגף השורש לא יתבטל.

לדוגמה. נסתכל של שני התרגילים הזהים:
x – 9 =0√
x = 9√

כאשר נעלה את התרגיל הראשון בריבוע אנו צריכים להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר עבור האגף השמאלי.
a – b)² = a² – 2ab + b²)

באגף שמאל נקבל
x – 9)² = x  – 2*9*√x + 81√)
אנו רואים כי במקרה הזה השורש נשאר באיבר האמצעי, ולא ביטלנו את השורש שזו הייתה המטרה של העלאה בריבוע.

לעומת זאת כאשר נעלי בריבוע את המשוואה הזו:
x = 9√
נקבל באגף שמאל:
x)² = x√)
ובסך הכל נקבל
x = 81.
אנו רואים שבדרך זו השורש מתבטל.

לכן נבודד את השורש בצד אחד של המשוואה לפני העלאה בריבוע.

מדוע לאחר שאנו פותרים את התרגיל אנו צריכים להציב את הפתרון במשוואה המקורית על מנת לראות שהוא נכון?

כי כאשר מעלים משוואה בריבוע יכולים להתווסף פתרונות שלא היו במשוואה המקורית.

דוגמה.
x = -2
כאשר נעלי בריבוע נקבל:
x² = 4
הפתרונות של המשוואה השנייה הם:
x = 2, x = -2.
כלומר העלאה בריבוע גרמה לכך שבמשוואה השנייה יש פתרון שלא היה במשוואה הראשונה.
לכן צריך לבדוק.

דוגמה נוספת לפתרון שנוסף בכלל העלאה הריבוע תוכלו למצוא בתרגיל 3.

תרגילים

סוגים של תרגילים

ניתן לחלק את המשוואות האי רציונליות לשני סוגים.

  1. משוואות שבהם השורש "נעלם" אחרי פעם אחת שמעלים בריבוע.
  2. משוואות שבהם נדרש להעלות בריבוע פעמיים על מנת "להעלים" את השורש.

כמו כן בחלק מהפעמים נקבל אחרי העלאה בריבוע משוואה ממעלה ראשונה ובמקרים אחרים נקבל משוואה ריבועית.

תרגילים 1-3 הם תרגילים עם שורש אחד.
תרגילים 4-5 הם תרגילים עם שני שורשים.
כאשר בתרגיל 5 צריך להעלות פעמיים בריבוע את המשוואה.

שלבי הפתרון של משוואות שורשים שבהם יש שורש אחד:

  1. מציאת תחום ההצבה.
  2. הבאת המשוואה למצב שבו השורש נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה וכל שאר האיברים בצד השני של המשוואה.
  3. העלאה בריבוע של שני צדדי המשוואה.
  4. פתרון המשוואה שקיבלנו.
  5. הצבה של הפתרונות שקיבלנו במשוואה שלפני העלאה בריבוע על מנת לבדוק עם הפתרונות נכונים.

לתרגילים 1,3,4 יש פתרון וידאו. פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

פתרון
שלב א: נמצא את תחום ההצבה
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2

שלב ב: נפתור את המשוואה על ידי העלאה בריבוע

x – 2 = 36
x – 2 = 36  / +2
x = 38

שלב ג : בדיקה שהפתרון בתוך תחום ההצבה והצבה של הפתרון במשוואה המקורית

תחום ההצבה הוא x ≥ -2 לכן הפתרון שיך לתחום ההצבה.

בנוסף עלינו להציב את הפתרון במשוואה המקורית על מנת לראות שהפתרון נכון.

תשובה: ההצבה מראה לנו שהפתרון נכון ולכן התשובה x = 38.

תרגיל 2

פתרון
שלב א: נמצא את תחום ההצבה
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0.
x – 5 ≥ 0
x ≥ 5

שלב ב: נפתור את משוואת השורש

x – 5 = 3² = 9
x – 5 = 9   / +5
x = 14

שלב ג: בדיקה שהפתרון בתוך תחום ההצבה
והצבה של הפתרון במשוואה המקורית

x = 14 נמצא בתחום ההצבה.

3 = 9√ = (5 – 14)√
ההצבה במשוואה המקורית מראה לנו שהפתרון נכון.
לכן x = 14 זו התשובה.

תרגיל 3

פתרון
שלב א: נמצא את תחום ההצבה
2x + 14 ≥ 0-
2x ≥ -14   / : -2-
x ≤ 7   (שימו לב שהסימן התהפך)

שלב ב: בידוד השורש בצד אחד של המשוואה
אם נעלה את המשוואה כמו שהיא עדיין יישאר לנו שורש לאחר העלאה בריבוע.
לכן נבודד את השורש בצד אחד של המשוואה.

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר.
a-b)²= a²-2ab+b²)
2x + 14 = (x – 3)²-
2x + 14 = x² -6x + 9    / +2x -14-
x² – 4x – 5 = 0

קיבלנו משוואה ריבועית.
פתרון משוואה ריבועית ניתן לעשות בעזרת פירוק הטרינום או בעזרת נוסחת השורשים.
נשתמש בפירוק הטרינום:
x² – 4x – 5 = (x – 5) (x + 1) = 0
x = 5,   x = -1

שלב ג: בדיקה שהפתרון בתוך תחום ההצבה
והצבה של הפתרון במשוואה המקורית

שני הפתרונות נמצאים התחום ההצבה של x ≤ 7.

נציב את הפתרונות x = 5,   x = -1 במשוואה המקורית.
עבור ההצבה x = 5 נקבל:

עבור ההצבה x= 5 קיבלנו שהביטוי נכון

עבור ההצבה x= 5 קיבלנו שהביטוי נכון

עבור ההצבה x = -1 נקבל:

קיבלנו ששורש ריבועי שווה למספר שלילי וזה לא אפשרי.
לכן התשובה x = – 1 נפסלת.

תשובה: x= 5.

תרגילים 4-5 כוללים שני שורשים במשוואה

שלבי פתרון של משוואות שיש בהם שני שורשים

  1. מוצאים את קבוצת ההצבה עבור כל שורש בנפרד. מקבלים שתי אי שוויונות שצריך לפתור כמערכת "וגם".
  2. מציבים שורש אחד בצד ימין של המשוואה ושורש אחד בצד שמאל של המשוואה.
  3. מעלים בריבוע.
  4. אם אין יותר שורש במשוואה שקיבלנו פותרים את המשוואה שקיבלנו (למשל תרגיל 4).
  5. אם יש עוד שורש במשוואה מבודדים את השורש בצד אחד של המשוואה, מעלים בריבוע ואז פותרים (למשל תרגיל 5)

תרגיל 4

פתרון
שלב א: בדיקת קבוצת ההצבה
מוצאים את קבוצת ההצבה עבור כל שורש בנפרד ואז מקבלים מערכת "וגם" של שתי אי שוויונות.
2x + 1 ≥ 0
2x ≥ -1
x ≥ -0.5

עבור השורש השני:
3x – 3 ≥ 0
3x ≥ 3  / :3
x ≥ 1

על ציר המספרים שתי האי שוויונות נראים כך:

מציאת התחום המשותף של שתי האי שוויונות

מציאת התחום המשותף של שתי האי שוויונות

x ≥ 1 הוא התחום המשותף לשתי האי שוויונות.
והוא קבוצת ההצבה של התרגיל כולו.

שלב ב: נבודד כל אחד מהשורשים בצד אחר של המשוואה.

אם נעלה את המשוואה הזו כמו שהיא בריבוע עדיין נשאר עם שורש.
לכן נעביר את אחד השורשים לצד השני של המשוואה.

שלב ג: נעלה את המשוואה בריבוע ונקבל:
2x + 1 = 3x – 3   / -2x  +3
x = 4

שלב ד: בדיקה שהפתרון בתוך תחום ההצבה
והצבה של הפתרון במשוואה המקורית

הפתרון נמצא בתחום ההצבה שהוא  x ≥ 1

נציב x = 4 במשוואה המקורית ונבדוק אם הפתרון נכון:

הפתרון נכון עבור x = 4.

תשובה: x = 4 הוא הפתרון

תרגיל 5

פתרון
שלב א: נמצא את תחום ההצבה
3x – 5  ≥ 0
3x  ≥ 5
x ≥ 1.666

עבור השורש השני
x – 6 ≥ 0
x ≥ 6

x ≥ 1.666 וגם  x ≥ 6
התחום המשותף הוא x ≥ 6

שלב ב: נעלי את את שני חלקי המשוואה בריבוע
עבור החלק הימני של המשוואה נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר.
a-b)²= a²-2ab+b²)

3x – 5 = 25 -10√(x-6) + x  – 6

נבודד את השורש שנשאר בצד אחד של המשוואה.
3x – 5 = 25 -10√(x-6) + x  – 6  / -x + 6
(3x – x – 5 – 25 + 6 = -10√(x – 6
2x – 24 = -10√(x – 6)   /:2
(x – 12 = -5 √(x – 6

נעלי את המשוואה פעם נוספת בריבוע
עבור האגף מצד ימין נשתמש בחוקי חזקות האומרים:
a*b)² = a²b²)

(x – 12 = -5 √(x – 6
x – 12)² = (-5√(x – 6))²)
x² -24x + 144 = (-5)² * (√(x – 6))²
(x² -24x + 144 = 25(x – 6
x² -24x + 144 = 25x – 150  / -25x + 150
x² – 49x +294 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = 7, x = 42

שלב ג: בדיקה שהפתרון בתוך תחום ההצבה
והצבה של הפתרון במשוואה המקורית
תחום ההצבה הוא  x ≥ 6 ושני הפתרונות נמצאים בתוכו.

נציב את הפתרונות הללו במשוואה המקורית לראות האם הפתרונות נכונים:
עבור x = 7

הפתרון x= 7 הוא פתרון נכון

הפתרון x= 7 הוא פתרון נכון

עבור x = 42.

הפתרון x= 42 נפסל

הפתרון x= 42 נפסל

תשובה: x = 7 הוא פתרון המשוואה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “פתרון משוואות עם שורש, משוואות אי רציונליות

  1. שלומית

    היי אני כיתה י' 4 יחידות
    האם אני צריכה לדעת נושא מסוים שבעזרתו אוכל לפתור תתרגילים האלה?
    כי אני לא מבינה כלום

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      הכלל הראשון שצריך לדעת הוא שעל מנת למצוא את x צריך לבודד אותו.
      ובמקרה שלנו על מנת לבודד את x צריך להסיר את השורש מעל ה x ועושים זאת על ידי העלאה בריבוע.
      את גם צריכה לדעת את נוסחאות הכפל המקוצר:
      a+b)²= a²+2ab+b²)
      a-b)²= a²-2ab+b²)
      כמו כן כאשר את קוראת את הדף התמקדי בפתרון התרגילים ולא בהקדמה.
      הפכתי את התרגילים למפורטים יותר.
      אם יש שאלות לגבי שלב ספציפי אשמח לענות על כל שלב שאת לא מבינה מדוע עושים אותו.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.