לימוד לוח הכפל בעזרת ההיגיון (חוק הפילוג)

בדף זה סרטוני וידאו המלמדים את לוח הכפל בעזרת הישענות על התרגיל הקודם ושימוש בחוק הפילוג.

הרעיון מאחורי הסרטונים מוצג בסרטון זה.

הסרטונים שלפניכם מלמדים את הכפולות הגדולות של כל אחד מהמספרים.
כך עבור המספר 2 נלמדים הכפולות:
9 * 2,   8 * 2,   7 * 2,   6 * 2.
הכפולות הקטנות יותר נלמדות בדף לוח הכפל.

2 כללים שעל פיהם נבנו הסרטונים:

  1. 10 שניות לתת תשובה.
  2. כל תרגיל מופיע 3 פעמים בסרטון פעם ראשונה על פי הסדר בלוח הכפל ופעמיים ללא סדר.

שורש ריבועי כיתה ח

בכיתה ח יש מספר שעות קטן שבו לומדים שורש ריבועי.

שורש ריבועי כיתה ז לימד כיצד פותרים תרגילים שיש בתוכם שורש ריבועי ובכיתה ח עליכם בעיקר לפתח יכולת לתת סדר גודל לשורש ריבועי.

למשל האם 3√ גדול או קטן מ 2?

תשובה
אנו יודעים 2 = 4√ ולכן השורש של מספר קטן יותר (3√) צריך להיות קטן יותר, קטן יותר מ 2.

תרגילים

  1.    1 > 2√
  2.   3 < 12√
  3.   9 < 98√

פתרונות

  1.    1 > 2√ לא נכון. אנו יודעים כי 1= 1√ ולכן 2√ > 1
  2.   3 < 12√  נכון.  3= 9√ ולכן  12√ > 3
  3.   9 < 98√  נכון אנו יודעים כי 9 = 81√ ולכן 9 < 98√
    ניתן להגיע לתשובה הנכונה גם עם פי כך 10 = 100√ ולכן 98√ הוא מספר הקרוב לכך.

לרוב שורש ריבועי נלמד צמוד למשפט פיתגורס.

מתמטיקה לכיתה ח כולל נושאים נוספים.

השוואת מקדמים לעומת שיטת ההצבה. באיזו שיטה כדאי לבחור?

בשורה התחתונה לכל אחד יש את השיטה שנוחה לו ואיתה כדאי שימשיך לעבוד.
למשל את צמד המשוואות:

3y + 2x = 4
2y + 4x = 4

ניתן לפתור במאמץ דומה בכל אחת מהשיטות.
(y =1, x = 0.5)

אבל, יש מספר מצבים שכדאי לשקול לעבוד דווקא בשיטה האחרת.
ויש מספר סוגי שגיאות שאם אתם נוהגים לעשות אותם לא כדאי לכם לעבוד בשיטה מסוימת.

כאן אנסה לתת דגשים ליתרונות וחסרונות של כל שיטה. ההסברים ניתנים בוידאו ובטקסט, התוכן זהה בשתי הצורות.

שיטת ההצבה

  1. השיטה חוזרת על אותן פעולות של פתרון משוואה עם נעלם אחד, ומי שרוצה לחזור על מה שהוא כבר יודע השיטה בשבילו.
  2. השיטה נוחה כאשר בידוד משתנה לא יוצר שברים. לא נוחה במצב ההפוך.
  3. אם אתם נוהגים לבצע שגיאות בפתיחת סוגריים השיטה לא בשבילכם.

הסבר: בשיטת ההצבה אנו מבודדים משתנה, לרוב על ידי פעולת חילוק.
כאשר פעולת החילוק לא יוצרת שברים השימוש בשיטת ההצבה נוח.
כאשר פעולת החילוק יוצרת שברים, ובמיוחד שברים שלא נוח לחשב או לרשום אותם כמו 1/6 או 2/7 אז ותכן וכדאי לעבוד עם השוואת מקדמים.

דוגמה למערכת משוואות שלא נוח לפתור בשיטת ההצבה כי כל משתנה שנרצה לבודד יצור שני שברים שנצטרף להציב.

3x + 4y = 7
5x – 3y =8

בנוסף, לאחר שבודדנו את המשתנה עלינו להציב אותו במשוואה האחרת.
לרוב ההצבה תדרוש פתיחת סוגריים, אם אתם עושים שגיאות בפתיחת סוגריים השיטה לא בשבילכם.

השוואת מקדמים

  1. הרבה פעמים הפתרון בשיטת השוואת מקדמים קצר יותר.
  2. אם אתם נוהגים "לשכוח" להתייחס למינוסים השיטה לא בשבילכם.
  3. אם כאשר אתם מכפילים משוואה אתם לא זוכרים להכפיל את כל חלקי המשוואה השיטה לא בשבילכם.

הסבר:
בשיטת השוואת מקדמים צריך להכפיל את אחת המשוואות או שתיהן.
יש כאלו שנוהגים לשכוח להכפיל את כל איברי המשוואה, ואז נגרמת טעות.

כמו כן בגלל שמחברים או מחסרים משוואות יש יותר התעסקות עם סימני מינוס וצריך תשומת לב על מנת לא לעשות טעות.2,1

הבדל נוסף הוא ששיטת השוואת המקדמים קצרה יותר לרוב.
למשל במשוואות הבאות שיטת ההצבה מצאה את המשתנה הראשון ב 8 שורות ארוכות יחסית לעומת 6 שורות קצרות של שיטת השוואת מקדמים.
ואם היינו בוחרים משוואות שצריך להכפיל רק אחת מיהן הפער היה גדול יותר.
דרך קצרה זה אומר חיסכון בזמן וגם אומר פחות פעולות ואולי סיכוי קטן יותר לטעות.

2x – 3y =1
5x +2y = 12

שיטת ההצבה:

  1.    2x – 3y =1  / +3y
  2.    2x = 1 + 3y  /:2
  3.    0.5 + x= 1.5y
    הצבה:
  4. 1.5y + 0.5) 5 + 2y = 12)
  5. 7.5y + 2.5 + 2y = 12
  6. 9.5y + 2.5 = 12 / -2.5
  7. 9.5y = 9.5  / : 9.5
  8. y =1

השוואת מקדמים:

  1.    2x – 3y =1  / *2
  2.    5x +2y = 12  / * 3
  3.    4x – 6y = 2
  4.    15x + 6y = 36
    נחבר משוואות
  5. 19x = 38  / :19
  6. x = 2
זה לצד זה: פתרון בשיטת השוואת מקדמים לרוב קצר יותר

זה לצד זה: פתרון בשיטת השוואת מקדמים לרוב קצר יותר

לסיכום: פעלו בשיטה הכי נוחה לכם, אך אם אתם רואים שאתם עושים שגיאות אופייניות לשיטה מסוימת בדקו האם השיטה האחרת מתאימה לכם יותר.

בהצלחה.

עוד באתר:

  1. שתי משוואות עם שני נעלמים הדף המרכזי.
  2. מתמטיקה לכיתה ח, נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
  3. מתמטיקה לכיתה ט, נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

בעיות תנועה: כיצד לבנות טבלה?

טבלה היא כלי עזר בפתרון בעיות תנועה. הטבלה נועדה לעזור לנו לארגן את הנתונים ולבנות משוואה.
אם אתם מסוגלים לפתור בעיות תנועה ללא טבלה, אתם מוזמנים לעשות את זה.

טבלה נבנית על פי שני הכללים הבאים:

  1. לכל גוף שנע צריכה להיות לפחות שורה אחת.
  2. כל פעם שגוף משנה מהירות צריכים לתת לו שורה נוספת המתארת את שינוי המהירות הזה. (הערה: כאשר גוף נח / עוצר זה שינוי מהירות למהירות 0).

עוד לפני שאנו בונים טבלה צריך להגדיר משתנה.

תרגיל 1

מכונית נסעה ליעד רחוק במהירות 80 קמ"ש. בדרך חזרה היא נסעה במהירות 100 קמ"ש ולכן זמן הנסיעה חזור היה קצר ב 2.5 שעות מזמן הנסיעה הלוך.
חשבו את זמן הנסיעה הלוך.

פתרון

t  זמן הנסיעה הלוך בשעות.
t – 2.5 זמן הנסיעה חזור בשעות.

סך הכל יש לנו שתי מהירויות (מהירות הלוך, מהירות חזור) לכן לטבלה שלנו יהיו 2 שורות.
נציב את הנתונים בטבלה, כולל הזמנים שהגדרנו בעזרת המשתנה.

מהירות זמן דרך
הלוך 80 t
חזור 100 t – 2.5

עכשיו ניתן בעזרת הנוסחה דרך = מהירות * זמן להשלים את הטור של ה"דרך".

מהירות זמן דרך
הלוך 80 t  80t
חזור 100 t – 2.5  100t -250

הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה תהיה:
100t – 250 = 80t  / -80t + 250
20t = 250  /:20
t = 12.5

תשובה: זמן הנסיעה הלוך היה 12.5 שעות.

תרגיל 2

מכונית נסעה מאילת צפונה. לאחר שעה של נסיעה המכונית הגבירה את מהירותה ב 20 קמ"ש ולאחר 2 שעות של נסיעה במהירות זו היא הורידה את מהירותה ב 30 קמ"ש וכך נסעה עוד שעתיים.
המכונית עברה 470 ק"מ. חשבו את המהירות ההתחלתית של המכונית.

פתרון

בשאלה זו למכונית יש 3 מהירויות ולכן בטבלה צריכות להיות 3 שורות.

v   מהירות המכונית בקמ"ש בקטע הראשון.
v + 20   מהירות המכונית בקמ"ש בקטע השני.
v – 10   מהירות המכונית בקמ"ש בקטע השלישי.
נציב בטבלה:

מהירות זמן דרך
קטע א v 1
קטע ב v + 20 2
קטע ג v – 10 2

נשלים את הערכים של הדרך בכל אחת מהקטעים:

מהירות זמן דרך
קטע א v 1  v
קטע ב v + 20 2  2v + 40
קטע ג v – 10 2  2v – 20

סך כל הדרכים שווה ל 470 ק"מ לכן המשוואה היא:
v + 2v + 40 + 2v – 20 = 470
5v + 20 = 470  / -20
5v = 450  / :5
v = 90

תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית היא 90 קמ"ש.

תרגיל 3

מדובר בתרגיל קשה יחסית  ואם אתם מצליחים לבנות טבלה בתרגיל זה אז לא רק שאתם "יודעים" לבנות טבלה אלא אתם יודעים לעשות את זה טוב.

שתי מכונית יצאו מאילת לכיוון צפון. המכונית הראשונה נסעה 1 שעה במהירות 90 קמ"ש, לאחר מיכן עצרה לחצי שעה בתחנת דלק ואז המשיכה בדרכה במהירות 80 קמ"ש למשך זמן של t שעות.
המכונית השנייה נסעה כל הדרך במהירות 70 קמ"ש עד שפגשה את המכונית הראשונה לאחר תחנת הדלק.
מצאו כעבור כמה זמן מתחילת הנסיעה המכוניות יפגשו.

פתרון

למכונית הראשונה 3 מהירויות ולכן היא צריכה 3 שורות.
למכונית השנייה שורה אחת ולכן היא צריכה שורה אחת.

נמלא בטבלה את הזמן והמהירות של שתי המכוניות בכול אחד מהשלבים

מהירות זמן דרך
מכונית א התחלה 90 1
מכונית א תחנת דלק 0 0.5
מכונית א סיום 80 t
מכונית ב 70

הזמן של מכונית ב חסר לנו.
אבל כאשר המכוניות נפגשות זמן הנסיעה שלהם שווה. לכן מכונית ב נסעה
t+ 1+ 0.5 שעות.

נוסיף את זה לטבלה וגם נחשב את הדרך שעברו המכוניות בכול שורה

מהירות זמן דרך
מכונית א התחלה 90 1  90
מכונית א תחנת דלק 0 0.5  0
מכונית א סיום 80 t  80t
מכונית ב 70 t + 1.5  70t + 105

בנקודת הפגישה הדרכים שוות ולכן המשוואה היא:

80t + 90 = 70t + 105  / -70t  – 90
10t =15  / :10
t = 1.5

תשובה: המכוניות יפגשו כעבור 1.5 + 1.5 = 3 שעות.

עוד באתר:

בנוסף יש מספר סרטוני וידאו שיעזרו לכם לבנות את המשוואה הדרושה לפתרון בעיות תנועה.

בעיות תנועה הפרש דרכים
בעיות תנועה הפרש דרכים

 

כיצד לפתוח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר

יש 3 נוסחאות כפל מקוצר שנלמדות בכיתה ט:

  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b – נוסחת הכפל המקוצר.
  2. a+b)²= a²+2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע.
  3. a-b)²= a²-2ab+b²) – הנוסחה לדו איבר בריבוע, הפרש איברים.

אלו הן נוסחאות בסיסיות שנעשה בהן שימוש רב.
בחלק מהתרגילים משתמשים בהם על מנת לפתוח סוגריים במהירות.

בדף זה נעבור על הנוסחאות ונפתור תרגילים הקשורים אליהן.

השלב הבא הוא פתרון משוואות בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר ואת זה תוכלו למצוא בקישור.

(a²-b²)= (a-b)*(a+b)

דוגמאות לשימוש בנוסחה:

  1. (x²-9 =(x-3) (x+3
  2. (4x² -25 = (2x+5) (2x-5
  3. x²-36=0
    x+6) (x-6)= 0)
    x= – 6 או  x=6

במקרים מסוימים נשתמש בנוסחה על מנת להפוך מכפלה שקשה לחשב לקלה יותר, לדוגמה:

96 = 2² – 10² = (2 – 10) (2 + 10) = 8* 12

שימו לב ביטוי כמו x²+9 לא מתאים לנוסחה ולא ניתן לפרק לגורמים (בגלל שיש בין האיברים פעולת חיבור ולא פעולת חיסור).

תרגילים:

  1. (x-4) (x+4)
  2. (x-6) (x+6)
  3. x²-4
  4. 25x² – y²
  5.  = 47 * 53
  6.  = 16 * 24

פתרונות

  1. x-4) (x+4) = x²-16)
  2. x-6) (x+6) = x²-36)
  3. (x²-4 = (x+2) (x-2
  4. (25x² – y² = (5x+y) (5x-y
  5. 2491 = 9 – 2500 = 3² – 50² = (3 – 50) ( 3+ 50) = 47 * 53
  6. 384 = 16 – 400 = 4² – 20² = (4 – 20)  (4 + 20) = 16 * 24

a+b)²= a²+2ab+b²)

דוגמאות לשימוש בנוסחה:

  1. ²(x² + 6x +9 = (x+3
  2. x+1)²= x² +2x+1)
  3. 2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)
  4. 324 = 64 + 160 + 100 = 8² + 10*8*2 + 10² = ²(8 +10) = 18²

תרגילים

  1. x² + 10x +25
  2. x² +20x +100
  3. 9x² + 12x + 4
  4. x+6)²)
  5. 2x +4)²)
  6. 4x+1)²)
  7. = 26²

פתרונות

  1. ²(x² + 10x +25 = (x+5
  2. x² +20x +100 = (x+10)²
  3. ²(9x² + 12x + 4 = (3x+2
  4. x+6)²= x² +12x+36)
  5. 2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)
  6. 4x+1)² = 16x² +8x +1)
  7. 676 = 36 + 240 + 400 = 6² + 6*20*2 + 20² = ²(6 + 20) = 26²

a-b)²= a²-2ab+b²)

דוגמאות:

  1. ²(x² – 6x +9 = (x-3
  2. ²(25x² – 10x +1 = (5x-1
  3. x-6)² = x² -12x +36)

תרגילים

  1. x² – 14x +49
  2. x² – 2x +1
  3. x-6)²)
  4. 3x-2)²)

פתרונות

  1. ²(x² – 14x +49 = (x-7
  2. x² – 2x +1 = (x-1)²
  3. x-6)² = x² -12x +36)
  4. 3x-2)² = 9x² – 12x + 4)

 

קצב שינוי פונקציה קווית

בפונקציה קווית קצב השינוי קבוע.

זה אומר שאם עבור עליה של 1 בערכי ה- X ה- Y עולה ב- 3 כך זה יהיה עבור כל ערך של X.
אם X יעלה מ 4 ל 5 ה Y יעלה ב 3.
אם X ירד מ 10 ל 9 ה Y ירד ב 3.
אם X יעלה מ 5 ל 9 ה Y יעלה ב 4*3=12.

y =mx + n  זו הצורה הכללית של משוואת ישר.
m,n הם מספרים.
m הוא המספר המייצג את את קצב השינוי.
כלומר אם קצב השינוי הוא 3 אז משוואת הישר תראה כך:
y = 3x + n
n יכול להיות כל מספר והוא לא משפיע על קצב השינוי.

זו משוואת הישר y= 2x+1. ניתן לראות שבכול נקודה שנבחר על הישר כאשר נעלה 1 על ציר ה x נעלה 2 על ציר ה y.

זו משוואת הישר y= 2x+1.
ניתן לראות שבכול נקודה שנבחר על הישר כאשר נעלה 1 על ציר ה x נעלה 2 על ציר ה y.

תרגיל 1 

7 3 2 X
10 5 Y

ידוע כי טבלת הערכים מייצגת משוואת ישר. מה הוא המספר החסר?

פתרון
כאשר X עולה ב 1. Y עולה ב 5.
לכן כאשר X עולה ב 4 Y יעלה ב 4*5 = 20.
המספר הוא 20.

תרגיל 2

7 5 X
23- 11- 3- Y

 

ידוע כי הטבלה מייצגת פונקציה קווית. השלימו את המספר החסר.

פתרון

כאשר ערך ה X עולה  2 ערך ה Y יורד ב 8-.
כלומר כאשר ערך X עולה ב 1 ערך ה Y יורד ב 4-.
לכן כאשר ערך ה Y יורד ב 12 ערך ה X צריך לעלות ב 3. (כי 3 * 4- = 12-).

תרגיל 3

6- 5- 4- X
15 10 6 Y

 

האם הטבלה הזו מייצגת פונקציה קווית?

פתרון

כאשר X יורד מ 4- ל 5- ערך ה Y עולה ב 4.
כאשר X יורד מ 5- ל 6- ערך ה Y עולה ב 5.
כלומר השינוי אינו קבוע ולכן הטבלה אינה מייצגת פונקציית ישר.

תרגיל 4

עבור כל אחת ממשוואות הישר הבאות ציינו מה הוא קצב השינוי.

  1. y=3x-4
  2. y= -2x+1
  3. y=0.5x

פתרון

  1. y=3x-4  – על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 3.
  2. y= -2x+1 –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y יורדים ב- 2.
  3. y=0.5x   –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 0.5.
גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

גרף הממחיש שקצב העליה של פונקציה קווית שווה בכול מקום

עוד באתר:

  1. פונקציה קווית.
  2. פונקציה קווית כיתה ח.
  3. מתמטיקה כיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

קריאת גרפים כיתה ז

בכיתה ז אתם מתחילים ללמוד את הנושא (הגדול) של פונקציות.

פונקציה יכולה להיות מתוארת במספר דרכים:

  1. בביטוי אלגברי.
  2. במילים.
  3. בטבלה.
  4. וגם בגרף.

אתם צריכים לדעת לקרוא גרף, להבין את המשמעות של הנקודות שעליו ולדעת לשרטט גרף.

בדף זה נלמד את כל הדברים הללו, נעשה זאת על ידי פתרון תרגילים.

דף זה הוא החלק השני מתוך 4 בנושא פונקציות לכיתה ז. הדף הקודם מערכת צירים, הדף הבא פונקציות כיתה ז.

קריאת גרפים תרגיל עם מגוון סוגי שאלות

תרגיל 1

ביום ראשון מכונית נסעה מתל אביב לחיפה, מרחק של 90 ק"מ, במהירות קבועה.
כאשר המכונית הגיעה לחיפה היא עצרה.
מצורף גרף המתאר את המרחק של המכונית מתל אביב כפונקציה של הזמן

  1. באיזו נקודה המכונית הגיעה לחיפה?
  2. מה המרחק מתל אביב ומחיפה בנקודה A? כמה זמן עבר מתחילת הנסיעה בנקודה A (בערך)?
  3. הסבירו את החלק בגרף שבין נקודות B ו C.
  4. * ביום שני המכונית עברה בדיוק את אותה דרך ובאותה מהירות. אבל את המרחק של המכונית מתל אביב התחילה למדוד 30 דקות לאחר תחילת הנסיעה.
    ציינו שינוי בולט אחד בגרף המבטא את מרחק המכונית מתל כפונקציה של הזמן ביום השני.

שרטוט הגרף

פתרון

1.המכונית עברה 90 ק"מ בנקודה B לכן בנקודה B המכונית הגיעה לחיפה.

2.בנקודה A זה נראה שהמרחק מתל אביב הוא 45 ק"מ בערך. המרחק מחיפה הוא 45 = 45 – 90.
בנקודה A עברה 1 שעה של נסיעה.

שרטוט הנתונים של נקודה A

3. בנקודה B המכונית הגיעה לחיפה ובהמשך הגרף עד הנקודה C המכונית עצרה.

4. כאשר מדידת הזמן מתחילה לאחר שהמכונית נמצאת כבר בדרך השינוי הבולט ביותר הוא שנקודת ההתחלה (A) לא נמצאת בראשית הצירים, אלא גבוה יותר על ציר ה y.

שרטוט הגרף כאשר מדידת הזמן מתחילה 30 דקות לאחר תחילת הנסיעה

שרטוט הגרף כאשר מדידת הזמן מתחילה 30 דקות לאחר תחילת הנסיעה

תרגיל 2

ברז ממלא בריכה ומשאבה מרוקנת את אותה בריכה בו זמנית.
קצב המילוי והריקון משתנים.
אדם מודד את גובה המים ככול שעובר הזמן.
הסתכלו בגרף השחור וענו על השאלות הבאות:

  1. מה היה גובה המים בבריכה בתחילת המדידה?
  2. מתי גובה המים היה 1.5 מטרים?
  3. מה הם הזמנים בהם גובה המים היה הנמוך ביותר?
    מה היה גובה המים בזמן זה?
  4. ידוע כי בנקודת זמן מסוימת חייזר מעופף זרק מיכל עם הרבה מים לתוך הבריכה. מתי זה קרה? מה השינוי בגובה המים שהחייזר גרם?
  5. מודד אחר מודד את הגובה בבריכה שנייה (בגרף האדום) מתי בבריכה השנייה המים היו גבוהים ב 1.5 מטר מהבריכה הראשונה?
  6. מתי גובה המים בשתי הבריכות היה שווה?

שרטוט הגרף

  1. 1 מטר – גובה המים בתחילת המדידה.
  2. בין השעה הרביעית לחמישית גובה המים בבריכה היה הנמוך ביותר.
    גובה המים היה 1/2מטר (בערך).
  3. בין השעה הראשונה לשלישית וגם כעבור 5 שעות בדיוק גובה המים היה 1.5 מטרים.
  4. כעבור 5 שעות יש עליה פתאומית בגובה המים.
    זו נקודת זריקת המים על ידי החייזר.
    גובה המים עלה מ 0.5 מטר ל 1.5 מטרים. לכן השינוי הוא 1 מטר.
  5. כעבור 3 שעות גובה בבריכה השנייה הוא 3 מטר ואילו בבריכה הראשונה 1.5 מטרים.
    לכן כעבור 3 שעות הפרש הגבהים בין הבריכות הוא 1.5 מטרים.
  6. גובה המים שווה כאשר שני הגרפים נפגשים.
    זה קורה כעבור 1.5 שעות וכעבור קצת פחות מ 4 שעות.

תרגיל 3

x היא אורכה של צלע ריבוע.

  1. בנו ביטוי אלגברי המתאר את היקפו של הריבוע.
  2. בנו טבלה המתארת את את היקף הריבוע כאשר אורך הצלעות הוא 1, 2, 2.5 ס"מ.
  3. שרטטו גרף המתאר את היקף הריבוע על פי שלושת הנקודות שמצאתם בסעיף הקודם.

פתרון

4x הוא הביטוי האלגברי המתאר את היקף הריבוע.

x אורך הצלע 1 2 2.5
היקף הריבוע 4 8 10
שרטוט הגרף על פי 3 נקודות

שרטוט הגרף על פי 3 נקודות

עוד באתר:

  1. מתמטיקה לכיתה ז – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

ישרים מאונכים (ניצבים) וישרים מקבילים לבית הספר היסודי

סיכום החומר בנושא ישרים מקבילים וישרים מאונכים לבית הספר היסודי

ישרים ניצבים

ישרים ניצבים

ישרים ניצבים

ישרים ניצבים הם ישרים שהזווית בניהם היא של 90 מעלות.

אתם צריכים לדעת לשרטט ישרים ניצבים וגם לדעת לזהות אותם כאשר אתם רואים אותם.

באלו מהשרטוטים הבאים מוצגים ישרים ניצבים?

תרגיל זיהוי ישרים ניצבים

פתרון

פתרון התרגיל

פתרון התרגיל

מרחק נקודה מישר

מרחק נקודה מישר הוא האנך מהנקודה אל הישר.
נמחיש זאת בשרטוט:

מרחק נקודה מישר שווה לאורך האנך מהנקודה אל הישר

מרחק נקודה מישר

תכונה אחת שאתם צריכים לדעת היא שהישר המאונ    ך מהנקודה אל הישר הוא הישר הכי קצר שניתן להעביר מהנקודה A אל הישר.

הישר המאונך (AB) קצר יותר מכל ישר שניתן להעביר מהנקודה A אל הישר.

הישר המאונך (AB) קצר יותר מכל ישר שניתן להעביר מהנקודה A אל הישר.

ישרים מקבילים

ישרים מקבילים

שני ישרים נקראים מקבילים אם הם אינם חותכים אחד את השני.

עליכם לפתח יכולת זיהוי בעין של ישרים מקבילים.

ובנוסף עליכם לדעת שאם מעבירים אנך לאחד הישרים המקבילים אז המשכו של האנך יהיה מאונך לישר המקביל השני.

אנך לישר מקביל אחד מאונך לישר המקביל השני

אנך לישר מקביל אחד מאונך לישר המקביל השני

תרגיל: אלו מבין זוגות או שלשות הישרים הללו מקבילים

זהו מי מבין הישרים הללו מקביל

פתרון

פתרונות: מי מבין הישרים מקבילים

עוד באתר:

משולש קהה זווית

משולש שבו יש זווית הגדולה מ 90 מעלות הוא משולש קהה זווית

משולש שבו יש זווית הגדולה מ 90 מעלות הוא משולש קהה זווית

משולש קהה זווית הוא משולש שאחד הזוויות שלו גדולה מ 90.

מספר שאלות ותשובות:

1.כמה זוויות קהות יכולות להיות במשולש?

במשולש יכולה להיות רק זווית קהה אחת כי עם יהיו שתי זוויות גדולות מ 90 מעלות אז סכום הזוויות במשולש יהיה גדול מ 90 מעלות.
משולש קהה זווית מורכב תמיד מזווית קהה אחת ושתי זוויות חדות.

2. האם משולש קהה זווית יכול להיות שווה שוקיים?

כן משולש קהה זווית יכול להיות שווה שוקיים.

אבל הזווית הקהה חייבת להיות זווית הראש.
הזווית הקהה לא יכולה להיות זווית הבסיס כי שתי זוויות הבסיס שוות זו לזו וכפי שכבר אמרנו לא יכולות להיות שתי זוויות קהות במשולש.

3. האם משולש קהה זווית יכול להיות משולש שווה צלעות?

לא.
במשולש שווה צלעות כל הזוויות תמיד שוות 60 מעלות ואין זווית הגדולה מ 90 מעלות. לכן משולש שווה צלעות הוא תמיד חד זווית.

3. היכן עוברים הגבהים במשולש קהה זווית?

הגובה שיוצא מהזווית הקהה מגיע אל הצלע שמול הזווית.
הגבהים שיוצאים מהזוויות החדות מגיעים אל המשך הצלע במשולש.

גבהים במשולש קהה זווית

גבהים במשולש קהה זווית

שטח משולש קהה זווית

שטח משולש קהה זווית מחושב על פי אותה נוסחה של כל משולש:

נוסחת שטח משולש

נוסחת שטח משולש

צלע X הגובה אליה = שטח משולש.

הבעיה במשולש קהה זווית היא שרטוט נכון של הגובה.

כמו כן לפעמים תלמידים לא יודעים מה להציב בנוסחה, את אורך הצלע יחד עם ההמשך שלה או רק את הצלע.
והתשובה: את אורך הצלע בלבד, אורך המשך הצלע לא משנה לגבי שטח משולש.

לדוגמה:

משולש ABC הוא משולש קהה זווית.
הגובה BD מגיע אל הנקודה D בהמשך הצלע BC.
BD = 6 ס"מ.
AD = 7 ס"מ.
CD = 3 ס"מ.
חשבו את שטח משולש ABC.

פתרון

הגובה BD הוא גובה לצלע AC.
ומה אורכה של AC?
AC = AD – DC
AC = 7-3=4
AC = 4 ס"מ.

שטח המשולש הוא:

הנוסחה לחישוב שטח המשולש

שטח המשולש 12 סמר

עוד באתר:

משפטים בגיאומטריה

בדף זה סרטוני וידאו המסבירים את 104 המשפטים בגיאומטריה המאושרים לשימוש ללא הוכחה.

המשפטים נבדקו לאחרונה בינואר 2018.

לאחר הסרטונים מופיעים טיפים לזכירת המשפטים.
ממליץ מאוד על הטיפים, אבל שימו לב שהם מיועדים למי שכבר שינן את המשפטים אבל עדיין לא מצליח לזכור את כולם.

לאחר סרטוני הוידאו תמצאו שרטוטים של המשפטים.

חילקתי את 104 המשפטים ל:

  1. 25 משפטים שאתם אמורים לזכור משנים קודמות – הכוונה למשפטים שנלמדו בכיתה ח ונעשה בהם שימוש רב. למשל משפטי חפיפת משולשים ודמיון משולשים.
  2. 20 משפטים בנושא משולש (מתוכם 8 משולש ישר זווית)
  3. 20 משפטים בנושא מרובעים
  4. 35 משפטים בנושא מעגל.
  5. בנוסף יש 3 משפטים הקשורים לתאלס ומשפט הקשור למצולע קמור.

הסרטונים מוצגים בגלריות. על מנת לעבור בין סרטונים השתמשו בחצים הנמצאים בתחתית הסרטון.

משפטים מוכרים ומשפטי משולש

בחלק זה 3 סרטוני וידאו:

  1. משולש ישר זווית: 8 משפטים.
  2. משולש: 12 משפטים.
  3. 25 משפטים שאתם אמורים להכיר משנים קודמות.
« 1 של 3 »

משפטי מרובעים

בחלק זה 5 סרטוני וידאו:

  1. מקבילית: 7+2 משפטים.
  2. טרפז: 7 משפטים.
  3. מעוין: 4 + 2 משפטים.
  4. מלבן: 3 משפטים.
  5. דלתון: 1 משפט.
« 1 של 5 »

משפטי מעגל

בחלק זה 6 סרטוני וידאו:

  1. זווית: 11 משפטים.
  2. מיתרים: 6 משפטים.
  3. משיק למעגל: 8 משפטים.
  4. מעגל חוסם וחסום: 8 משפטים.
  5. שני מעגלים: 2 משפטים.
  6. דמיון ופרופורציה במעגל: 3 משפטים (לתלמידי 5 יחידות בלבד).
« 1 של 6 »

טיפים לזכירה קלה של המשפטים

הטיפים מיועדים לאלו שעשו לימוד ראשוני של המשפטים.

שרטוטים של המשפטים

ניתן לצפות בשרטוטי המשפטים עבור כל צורה בנפרד בקישורים המצורפים.
או לצפות בשרטוטים עבור משפטים שנראו לי קשים יותר כאן בהמשך הדף.

  1. משולש.
  2. משולש ישר זווית.
  3. מעגל.
  4. טרפז.
  5. מקבילית.
  6. מעוין.
  7. מלבן.

משפטים בגיאומטריה שניתן להשתמש בציון שמם בלבד

משפט פיתגורס, משפט תאלס, המשפט ההפוך למשפט תאלס, משפט תאלס המורחב, משפט חוצה הזווית, ארבעה משפטי חפיפת משולשים: צ.ז.צ., ז.צ.ז., צ. צ. צ., צלע, צלע והזווית מול הצלע הגדולה (ורק משפטים אלה), משפטי דמיון משולשים, צ.ז.צ., ז.ז., צ. צ. צ., זווית בין משיק ומיתר.

משפטים בגיאומטריה שצריך לצטט (ולא להוכיח) על מנת להשתמש בהם

משפטים בסיסיים ומשולש

1. זוויות צמודות משלימות זו את זו ל- 180.
2. זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
3. סכום הזוויות של משולש הוא 180.
4. זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

משולש שווה שוקיים:

(שרטוטים ומידע על משולש שווה שוקיים)

5. במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.
6. במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות (המשפט ההפוך ל- 3).
7. במשולש שווה שוקיים , חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
8. אם במשולש חוצה זווית הוא גובה , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
9. אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
10. אם במשולש גובה הוא תיכון , אז המשולש הוא שווה שוקיים.

משפטי משולש נוספים

11. סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
12. במשולש (שאינו שווה צלעות), מול הצלע הגדולה יותר מונחת זווית גדולה יותר.
13. במשולש (שאינו שווה זוויות), מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר.

קטע אמצעים במשולש

14. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

קטע אמצעים במשולש

15. ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שנייה, חוצה את הצלע השלישית.

קטע אמצעים במשולש

16. קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.

קטע אמצעים במשולש

 

17. משפט חפיפה צ.ז.צ.
18. משפט חפיפה ז.צ.ז.
19. משפט חפיפה צ.צ.צ.
20. משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים.
(שרטוט של משפטי חפיפת משולשים בקישור)
21. האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו.

תכונות הדלתון

קווים מקבילים

22. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות ,אז שני הישרים מקבילים.
23. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.
24. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180 אז שני הישרים מקבילים.
25. אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז:
א. כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
ב. כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו.
ג. סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180.

(תרגילים בנושא זוויות בין קווים מקבילים)

שני קווים מקבילים וישר שלישי (A) שחותך אותם

שני קווים מקבילים וישר שלישי (A) שחותך אותם

מקבילית

26. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
27. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
28. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
29. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
30. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
31. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
32. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
33 (הגדרת המקבילית) מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.
(שרטוט המשפטים ומידע נוסף על מקבילית)

סיכום תכונות המקבילית

מעוין

33. במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
34. מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
35. במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
36. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
(שרטוט המשפטים ומידע נוסף על מעוין).

סיכום תכונות המעוין

מלבן

37. אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
38. מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.
(שרטוט המשפטים ומידע נוסף על מלבן).

טרפז

39. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
40. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
41. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
42. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים
43. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
44. בטרפז , ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.
(שרטוט המשפטים ומידע נוסף על טרפז ו- טרפז שווה שוקיים).

קטע אמצעים בטרפז

קטע אמצעים בטרפז

תוספות
45. שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
46. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1.
(החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2 מהחלק האחר).
47. כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.
48. אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית , אז היא נמצאת על חוצה הזווית.

כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו ולהיפך

49. שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.

שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.

50. כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע , נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
51. כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע.

כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע , נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

מעגל חוסם מעגל חסום

52. כל משולש ניתן לחסום במעגל.
53. במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת , שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
54. שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
55. ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות.

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180.

56.מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

57. כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
58. בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
59. דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.

מעגל

60. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
61. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי המיתרים הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו

62. במעגל , מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.
63. מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
64. מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.

65. במעגל , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

66. במעגל , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

66. האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
67. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
(מילים אחרות למשפט 67: אם ישר יוצא ממרכז מעגל וחוצה מיתר הוא גם מאונך למיתר).

68. במעגל , זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
69. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
70. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
71. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
(שרטוטים של משפטי זווית מרכזית והיקפית במעגל)
72. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90 מעלות).
73. זווית היקפית בת 90 נשענת על קוטר.
74. במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.
75. במעגל , זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

משיק למעגל

76. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
77. ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ולהפך

78. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

79. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
80. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. 81. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

ריכוז של משפטים ותרגילים בנושא משיק למעגל.

קטע מרכזים במעגל

81. קטע מרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.

קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים , חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.

82. נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

קודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

83. משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית , סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
84. משפט פיתגורס ההפוך : משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.

דמיון משולשים ופרופורציה

85. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
86. משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית.

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר ולהפך

87. אם במשולש ישר זווית זווית חדה של 30 , אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר.
88. אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית שגודלה 30 מעלות.
(ריכוז משפטים ושרטוטם בנושא משולש ישר זווית)
89. משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית , מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.

משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית, מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.

90. משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים.
91. משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים.

המשפט ההפוך למשפט תאלס

המשפט ההפוך למשפט תאלס

92. חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.
93. ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית,ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר .
94. ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית כיחס הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה הוא עובר.

חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.
95. משפט דמיון צ.ז.צ.
96. משפט דמיון ז.ז.
97. משפט דמיון צ.צ.צ.
98. במשולשים דומים:
א. יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
ב. יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון.
ג. יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
ד. יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
ה. יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון.
ו. יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון.
ז. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.
(דמיון משולשים – שרטוט המשפטים ותרגילים בנושא).
99. אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

100. אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
101. אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

101. אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. 102. אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

102. במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

103. הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

104. סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור (בעל n צלעות) הוא 180* (n-2)

נוסחאות לחישוב שטחים

ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים:
א. שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו.
ב. שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו.
ג. שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
ד. שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים.
ה. שטח עיגול שרדיוסו r שווה ל- לפאי כפול הרדיוס בריבוע.