בעיות מילוליות עם יחס

בדף זה בעיות מילוליות עם יחס.
על יסודות היחס ניתן ללמוד בקישור.

הבעיות מתאימות לתלמידי כיתה ח-ט.

תרגיל 1
היחס בין שני מספרים הוא 3 : 1.
המספר הגדול גדול ב 8 מהמספר הקטן.
מצאו את שני המספרים.

פתרון
שלב א: נגדיר את המספרים באמצעות x
x  המספר הקטן.
על פי היחס אנו יכולים להגיד כי:
3x המספר הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
המספר הגדול גדול ב 8 מהמספר הקטן.
3x = x + 8  / -x
2x = 8  / :2
x = 4

המספר הקטן הוא 4.
המספר הגדול גדול ממנו פי 3 ולכן הוא 12.

תרגיל 2
היחס בין 3 זוויות במשולש הוא 6 : 2 : 1.
מצאו את הגודל של שלושת הזוויות.

פתרון
פתרון התרגיל מבוסס על כך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
שלב א: נגדיר את הזויות באמצעות x
נגדיר את הזוויות הקטנה כ x.
הזוויות האמצעית היא גדולה פי 2 ולכן תהיה 2x.
הזווית הגדולה 6x.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום שלושת הזוויות הוא 180 מעלות.
לכן המשוואה היא:
x + 2x + 6x = 180
9x = 180  / : 9
x = 20

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
x = 20    זו הזווית הקטנה.
2x = 40   זו הזווית הבינונית.
6x = 120   זו הזווית הגדולה.

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

תרגיל 3
במרובע יש זווית אחד שגודלה 60 מעלות.
היחס בין שאר זוויות המרובע הן 5 : 4 : 3.
מצאו את שלושת זוויות המרובע החסרות.

פתרון
שלב א: נגדיר את הזוויות באמצעות x
בשתי השאלות שפתרנו היחסים שקיבלנו היו:
3 : 1.
6 : 2 : 1.

בשני המקרים המספר 1 יצג את האיבר הקטן.
עכשיו היחס שלנו הוא:
5 : 4 : 3
אם נגדיר את הזוויות הקטנה כ x. מה יהיה גודלה של הזווית האמצעית?
1.333x (כי היא גדולה מהקטנה בשליש)
אבל מי רוצה לעבוד עם שברים! ?

לכן הבחירה הקלה והטובה היא להגדיר את זווית הקטנה כ 3x.
ואז:
4x   הזוויות האמצעית.
5x  הזווית הגדולה.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום זוויות במרובע הוא 360.
ידועה לנו זווית אחת שגודלה 60.
לכן סכום שלושת הזוויות שאנו מחפשים הוא:
300 = 60 – 360

המשוואה שלנו היא:
3x + 4x + 5x = 300
12x = 300  / : 12
x = 25

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
3x = 75  הזווית הקטנה.
4x = 100 הזווית הבינונית.
5x = 125  הזווית הגדולה.

ניתן ורצוי לבדוק שארבעת הזוויות שלנו גודלן באמת 360 מעלות:
360 = 60 + 125 + 100 + 75

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

תרגיל 4 (דורש היכרות עם משפט פיתגורס)
במשולש ישר זווית אורך היתר הוא 10.
היחס בין הניצבים הוא 8 : 6.
מצאו את אורכי הניצבים.

פתרון
שלב א: הגדרת הניצבים באמצעות x
6x  אורך הניצב הקטן.
8x אורך הניצב הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
על פי משפט פיתגורס:
6x)² + (8x)² = 10²)
36x² + 64x² = 100
100x² = 100 / : 100
x² = 1
x = 1  או x = -1

מכוון ש 6x הוא אורך צלע וצריך להיות חיובי אז התשובה x = -1 נפסלת.
התשובה x = 1.

שלב ג: מציאת אורכי הניצבים
6x = 6  אורך הניצב הקטן.
8x = 8 אורך הניצב הגדול.

ניתן ורצוי לבדוק את גודלי הצלעות שקיבלנו באמצעות משפט פיתגורס.
10² = 8² + 6²
100 = 64 + 36
100 = 100

עוד באתר:

דמיון משולשים: משפטים ותרגילי הוכחה

אם אתם לומדים דמיון משולשים דף זה כולל את החומר הראשוני אותו אתם צריכים ללמוד.
בדף זה נלמד:

  1. שלושת משפטי דמיון משולשים.
  2. כיצד לרשום בצורה נכונה דמיון משולשים.
  3. 12 תרגילי הוכחה פשוטים של דמיון משולשים.

משפטי דמיון משולשים

משפט דמיון ראשון

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שני

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור ז.ז הערה – ברור שאם שתי זוויות שוות במשולשים אז גם הזווית השלישית שווה.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.צ.צ.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

כיצד לרשום דמיון משולשים בצורה נכונה

רישום נכון של דמיון משולשים הוא קריטי, הכרחי.
רישום לא נכון יגרום לכך שכל מה שקשור לדמיון המשולשים יהיה שגיאה.

רישום נכון של דמיון משולשים מתבצע בדיוק כמו רישום נכון של חפיפת משולשים. אם הסתדרתם שם תסדרו גם כאן. ואם לא הסתדרתם שם אתם חייבים ללמוד את זה.

כפי שתראו 90% ויותר מההוכחות של דמיון המשולשים מתבצעות בעזרת המשפט השני ז.ז.
אני אראה כאן כיצד לרשום נכון כאשר אלו הנתונים.

תרגיל
ידוע כי
B = ∠P  (האדומות)
C = ∠D   (הירוקות)
הוכיחו כי המשולשים דומים ורשמו את הדמיון בצורה נכונה.

פתרון
המשולשים דומים על פי משפט ז.ז.
כאשר אנו רושמים את הדמיון המיקום של שתי הזוויות הירוקות צריך להיות אותו מיקום.
כך גם המיקום של הזוויות האדומות צריך להיות אותו מיקום.

לכן נרשום: ירוקה, אדומה, ולאחר מיכן הזוויות הנותרת.
CBA ∼ KPR

אפשר גם בסדר של: אדומה, ירוקה, הזווית הנותרת
BCA ∼ PKR.

תרגילים

כל התרגילים שבדף הם תרגילי הוכחת דמיון משולשים.

תרגילים 1-7 הם בנושא משפט הדמיון השני (החשוב באופן משמעותי יותר מהשניים האחרים).
תרגילים 8-12 הם בנושא משפטי הדמיון 1,3.

אם המשולשים דומים רשמו את דמיון המשולשים על פי סדר האותיות הנכון.
על מנת שהתשובות שלכם יהיו מתאימות לשלי התחילו את רישום הדמיון תמיד באות A.
אם לא תעשו זאת יתכן ותגיעו לתשובה נכונה אך היא לא תהיה זהה למה שאני רשמתי.

תרגיל 1
האם המשולשים דומים?

פתרון
A = ∠R,   ∠C = ∠P
המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.
ACB ∼ RPK

תרגיל 2
האם המשולשים דומים?

פתרון
במשולש PRK ניתן למצוא את הזווית K.
K = 180 – 80 – 30 = 70
אם כך:
K = ∠C
וגם:
A = ∠P

המשולשים דומים על פי משפט ז.ז
ACB ∼ PKR

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשים לב שיש לנו גם שתי זוויות קודקודיות שוות.
KOP = ∠ BOA
לכן יש לנו שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.
AOB ∼ KOP

תרגיל 4
נתונים שני משולשים שווי שוקיים.
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת לענות אם יש כאן שתי זוויות שוות עלינו להשלים את שאר הזוויות במשולש.
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

במשולש ABC:
B = ∠C = 50
A = 180 – 50 – 50 = 80

במשולש PRK
שתי זוויות הבסיס שוות ביחד 100.
כי:
100 = 80 – 180
זוויות הבסיס גם שוות זו לזו. ולכן כל אחת מיהן גודלה:
50 = 2 : 100

מצאנו כי שלושת הזוויות במשולשים שוות לכן המשולשים דומים על פי ז.ז
ACB ∼ PRK
מכוון שהמשולש שווה שוקיים היה נכון לכתוב גם:
ACB ∼ PKR

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך:

תרגיל 5
ידוע כי AB || KP.
האם המשולשים מקבילים?

פתרון
כאשר יש ישרים מקבילים נחפש זוויות מתאימות או זוויות מתחלפות.
A = ∠P,  ∠B = ∠K   אלו הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז
AOB ∼ POK

הערה: הייתם יכולים להשתמש גם בזוויות קודקודיות על מנת להוכיח את אחת הזוויות השוות.

לאחר השלמת הזוויות השרטוט נראה כך:

תרגיל 6
נתון כי:
AB ⊥ EC
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשלים את הזוויות החסרות במשולשים.
במשולש ABC
A = 180 – 40 – 90 = 50.

לכן:
A = ∠D = 50
ABC = ∠DBE = 90
לכן יש בין המשולשים שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך.

תרגיל 7 (תרגיל קשה מהקודמים)
משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90∠).
מעבירים את הגובה BD.
הוכיחו כי:
ADB ∼ ABC
וגם:
ADB ∼ BDC
רמז: הגדירו את זווית A כ x. והגדירו בעזרתה את שאר הזוויות במשולשים.

פתרון
סעיף א: הוכחת ADB ∼ ABC
נשים לב כי:
זווית A היא זוויות משותפת לשני המשולשים.
B = ∠ADB = 90
לכן יש לנו שתי זוויות שוות בין שני המשולשים והמשולשים דומים.

סעיף ב: הוכחת ADB ∼ BDC
במשולש ABC על פי סכום זוויות במשולש מתקיים:
C = 180 – 90 – x = 90 -x

במשולש ADB על פי סכום זוויות במשולש.
ABD = 180 – 90 – x = 90 – x

נובע מכך כי:
BDC = ∠BDA = 90
C = ∠  ABD = 90 – x
יש לנו שתי זוויות דומות בין המשולשים ולכן אלו משולשים דומים על פי ז.ז.

תרגילים בנושא המשפט הראשון והשלישי

נסו להוכיח בעזרת המשפט הראשון או השלישי כי המשולשים הבאים.
בחלק זה משולבים גם זוגות משולשים שאינם דומים. עליכם לזהות אותם.

משפט דמיון ראשון: צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי: צ.ז.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

תרגיל 1
האם המשולשים שבשרטוט דומים?

פתרון
הנתונים שלנו הם על 3 צלעות ולכן עלינו לבדוק את משפט הדמיון השלישי.
עלינו לבדוק האם המנה של צלעות מתאימות שווה עבור שלושת הצלעות.
צלעות מתאימות הן:
הצלע הגדולה במשולש אחד עם הצלע הגדולה במשולש השני.
הצלע האמצעית בשני המשולשים.
הצלע הקטנה בשני המשולשים.

מנת הצלעות הגדולות היא:

מנת הצלעות הבינוניות:

המנה שונה. לכן משפט הדמיון השלישי לא מתקיים ואין צורך לבדוק את הזוג השלישי.

תרגיל 2
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתון לנו שתי צלעות וזווית.
לכן נבדוק את משפט הדמיון הראשון.

הזווית השווה.
נותר לנו לבדוק את הצלעות.
נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה ואת הצלע הקטנה בצלע הקטנה.
אם נקבל את אותו המספר בשני המקרים המשולשים דומים.

חלוקה של הצלעות הגדולות:

חלוקה של הצלעות הקטנות:

בשני המקרים קיבלנו את אותה המנה.
הזווית שבין הצלעות שווה בשני המשולשים.
לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת להוכיח דמיון משולשים עלינו לדעת את הזווית הנמצאת בין הצלעות.
ואנו לא יודעים אותה.
לכן לא ניתן להוכיח דמיון משולשים.
*שימו לב שיתכן שהמשולשים דומים, לא פסלנו את האפשרות הזאת, אבל על סמך הנתונים הללו לא ניתן להוכיח.

תרגיל 4
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
במשולש PKR לא נתונה לנו הזווית שבין שתי הצלעות לכן לא ניתן לקבוע באופן מיידי אם הם דומים.
אבל מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לחשב את הזווית שבין הצלעות.
נחשב:
R = ∠K = 50
P = 180 = 50 – 50 = 80

מצאנו כי:
A = ∠P = 80
כלומר הזווית שבין שתי הצלעות שווה.

עכשיו נבדוק אם היחס שבין הצלעות שווה.
עבור שתי הצלעות היחס הוא:
2 = 4 : 8
והיחס הוא שווה לכן המשולשים הללו דומים על פי צ.ז.צ
ABC ∼ PKR
מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לכתוב גם:
ABC ∼ PRK

תרגיל 5
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתונות לנו 3 צלעות ולא נתונות זוויות.
לכן נחפש התאמה אל משפט דמיון שלישי. צ.צ.צ.

נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה:

את הצלע הבינונית בצלע הבינונית:

את הצלע הקטנה בצלע הקטנה:

בשלושת המקרים היחס בין הצלעות שווה.
לכן המשולשים דומים על פי צ.צ.צ.

סיימנו.

עוד באתר:

יחס דמיון

דף זה נועד לאלו:

  1. שכבר יודעים את משפטי דמיון המשולשים.
  2. יודעים את החשיבות של סדר האותיות ברישום הדמיון ויודעים לרשום נכון דמיון משולשים.

את הדברים הללו ניתן ללמוד בדף דמיון משולשים משפטים והוכחה.

בדף זה נענה על שתי השאלות הבאות:

  1. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?
  2. האם יש חשיבות לסדר של רישום הדמיון וכיצד קובעים את הסדר?
  3. כיצד מוצאים יחס דמיון בעזרת יחס של שטחי המשולשים.

1. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?

  1. מוצאים במשולשים הדומים שתי צלעות מתאימות שיודעים את גודלן.
  2. מחלקים גודל של צלע אחת בגודל של הצלע השנייה. המספר שקיבלנו הוא יחס הדמיון.

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו להכיר את המושג "צלעות מתאימות".
צלעות מתאימות אלו הן צלעות שמיקום האותיות שלהן ברישום שני המשולשים הוא זהה.
נניח ונתון לנו כי:
ABC ∼KLH
במקרה זה:
הצלע AB – האותיות נמצאות במקומות 1,2 לכן הצלע המתאימה לה היא KL שגם האותיות שלה נמצאות במקום 1-2.
הצלע AC – האותיות נמצאות במקומות 1,3. לכן הצלע המתאימה לה היא KH.
הצלע BC – האותיות נמצאות במקומות 2,3 לכן הצלע המתאימה היא LH.

כאשר אנו רושמים צלעות אין חשיבות לסדר האותיות ברישום הצלע.
הצלע AB והצלע BA זו אותה הצלע ושתיהן מתאימות לצלע KL.

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון, מה עושים?

אם מצאנו כי יחס הדמיון בין המשולשים הוא 4 זה אומר שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.
לכן אם אנו יודעים גודל של צלע במשולש הקטן ניתן להכפיל פי 4 ולמצוא את הצלע המתאימה לה במשולש הגדול.
ואם אנו יודעים צלע במשולש הגדול ניתן לחלק ב 4 ולמצוא את גודל הצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

תרגיל 1
המשולשים ABC ∼ KHT הם משולשים דומים.
AB = 6,  AC = 8,  KT = 24 סנטימטר.

  1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. גודל של איזו צלע נוספת ניתן למצוא? מצאו את גודלה.

פתרון
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

עבור הצלע AB
האותיות בצלע AB נמצאות במקום 1-2 ברישום המשולש ABC.
לכן KH זו הצלע המתאימה לה.
אך אנחנו לא יודעים את גודל KH ולכן לא ניתן להשתמש בצלעות AB, KH לצורך חישוב יחס הדמיון.

עבור הצלע AC
האותיות AC נמצאות במיקום 1-3 ברישום המשולש ABC.
לכן KT זו הצלע המתאימה.
אנו יודעים את את הגודל של שתי הצלעות.
AC = 8,  KT = 24
לכן יחס הדמיון בין המשולשים יהיה:
3 = 8 : 24.

יחס דמיון זה אומר לנו שכל צלע במשולש KHT גדולה פי 3 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

סעיף ב: מציאת גודל של צלע נוספת
ABC ∼ KHT
בסעיף א ראינו שאנו לא יודעים את הגודל של הצלע המתאימה ל AB.
עכשיו נוכל לחשב את הצלע המתאימה בעזרת יחס הדמיון.
הצלע המתאימה היא KH והיא גדולה פי 3 מהצלע AB.
18 = 3* 6.

תרגיל 2
נתון דמיון המשולשים ADF ∼ LKC.
נתונים גדלי הצלעות:
KC = 12,  CL = 15, AF = 2.5

  1. מצאו את יחס הדמיון.
  2. מצאו גודל של צלע נוספת.

פתרון
עבור הצלע KC
KC במקומות 2-3. לכן הצלע המתאימה היא DF.
את גודל הצלע DF אנו לא יודעים לכן לא ניתן לחשב כך את יחס הדמיון.

עבור הצלע CL
CL במקומות 1-3. לכן הצלע המתאימה היא AF.
אנו יודעים CL = 15, AF = 2.5.
לכן ניתן לחשב בעזרת החלוקה שלהם את יחס הדמיון.
6 = 2.5 : 15

כלומר כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 6 מהצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

סעיף ב: מציאת צלע נוספת
ADF ∼ LKC.
ראינו בסעיף א שאת הצלע KC אנו יודעים אך לא את הצלע המתאימה לה DF.
יחס הדמיון אומר ש KC גדולה פי 6  מ DF.
2 = 6 : 12
DF = 2.

תרגיל 3 
ידוע שהמשולשים דומים ADF ∼ LKC.
על סמך הנתונים שבשרטוט השלימו את שתי הצלעות שגודלן לא ידוע.

פתרון
סעיף א
ADF ∼ LKC
עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
נבחר משולש אחד (נניח ABC) ונבדוק האם אנו יודעים את הצלע המתאימה של אחד הצלעות שלו.
תזכורת: צלעות מתאימות מוצאים רק על פי רישום הדמיון ולא על פי השרטוט.

עבור הצלע AD
הצלע המתאימה היא LK.
LK = 4
לכן ניתן לחשב את יחס הדמיון באמצעות הצלעות הללו.
1.5 = 4 : 6

ADF הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר ולכן יחס הדמיון יכתב כך:
1 : 1.5
ניתן ורצוי לכתוב את היחס כך:
2 : 3

סעיף ב:
הצלע השנייה שאנו יודעים במשולש ADF היא:
ADF ∼ LKC
AF = 15
הצלע המתאימה לה היא LC, והיא קטנה ממנה פי 1.5.
LC = 15 : 1.5 = 10

הצלע השנייה שאנו יודעים במשולש LKC היא CK.
הצלע המתאימה לה היא AF והיא גדולה ממנה פי 1.5.
CK = 8 * 1.5 = 12

תשובה: CK = 12,   LC = 10.

2. מה הסדר הנכון לכתיבת יחס הדמיון?

אם יש לנו שני משולשים דומים שבהם צלעות במשולש אחד גדולות פי 4 מצלעות במשולש שני.
האם נרשום את יחס הדמיון
כך :  4 : 1
או כך : 1 : 4

התשובה היא שאם כתבו לנו את סדר המשולשים בשאלה. למשל
"מצאו את יחס הדמיון בין ABC ∼ DEF"
אז עלינו לשמור על אותו סדר בכתיבת יחס הדמיון.

אם נכתוב "יחס הדמיון הוא 4 : 1".
זה אומר שצלעות משולש DEF גדולות פי 4 מצלעות משולש ABC.
אם נכתוב "יחס הדמיון הוא 1 : 4".
זה אומר שצלעות משולש ABC גדולות פי 4 מצלעות משולש DEF.

אם סדר המשולשים לא כתוב לנו בשאלה אז אנו יכולים לכתוב את יחס הדמיון על פי הסדר שנבחר.

3. מציאת יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים

עד עכשיו למדנו למצוא את יחס הדמיון בעזרת היחס שבין הצלעות של משולשים דומים.

בנוסף ניתן למצוא את יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים.

המשפט אומר שיחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.
למשל, אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3 : 1
אז יחס השטחים יהיה 9 : 1.
אם יחס הדמיון הוא 5 : 2
אז יחס השטחים הוא 25 : 4.

ובמקרה ההפוך כאשר ידוע לנו יחס השטחים נוציא שורש לשני חלק היחס ונמצא את יחס הדמיון.
אם יחס השטחים הוא 16 : 1
אז יחס הדמיון הוא 4 : 1
אם יחס השטחים 4 : 9
אז יחס הדמיון הוא 2 : 3

תרגיל 1
ידוע הדמיון ABC ∼ DEF.
שטח משולש ABC הוא 40 סמ"ר.
שטח משולש DEF הוא 10 סמ"ר.

  1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. DE = 6 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה לה.

פתרון
סעיף א
4 = 10 : 40
מכוון שמשולש ABC גדול יותר היחס בין השטחים בסדר הזה:
1 : 4
יחס הדמיון הוא:
1 : 2
כל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

סעיף ב
ABC ∼ DEF
DE = 6
הצלע המתאימה ל DE היא AB והיא גדולה ממנה פי 2.
AB = 6 * 2 = 12
תשובה: AB = 12 סנטימטר.

תרגיל 2
ידוע הדמיון ABC ∼ DEF.
שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.
שטח משולש DEF הוא 100 סמ"ר.

  1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. EF = 10 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה לה.

פתרון
5 = 20 : 100
מכוון ששטח משולש DEF גדול יותר היחס בין השטחים יכתב בסדר הזה:
5 : 1
היחס בין הצלעות (יחס הדמיון) הוא השורש של היחס בין השטחים
5√ : 1
2.23 : 1
(ניתן לרשום תשובה בשני האופנים).

סעיף ב
ABC ∼ DEF
הצלע המתאימה ל EF היא BC.
EF שייכת למשולש שצלעותיו גדולים יותר לכן אנו צריכים לחלק ב 2.23 על מנת למצוא את BC.
BC = 10 : 2.23 = 4.48
תשובה: BC = 4.48 סנטימטר.

תרגיל 3
רשומים כאן יחסי שטחים בין משולשים.
רשמו את יחס הדמיון בניהם.

  1.   25 : 9
  2.   7 : 4

ועוד שני יחסים הכוללים שברים:

פתרון
בכול התרגיל אנו נעשה את אותה פעולה בדיוק; נוציא שורש לשני המספרים המופיעים ביחס השטחים.

תרגיל 1: 25 : 9
5 : 3

תרגיל 2: 7 : 4
7√ : 2

תרגיל 3

את השורש של 1/16 ניתן למצוא בעזרת מחשבון כמו כל שורש אחר.

ניתן להכפיל פי 4 את שני המספרים ביחס האחרון שקיבלנו ולקבל יחס שאינו כולל שבר.

תרגיל 4

נוציא שורש לשני המספרים ביחס ונקבל

נכפיל פי 3 ונקבל יחס ללא שבר:
9 : 1

עוד באתר:

חוצה זווית בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים

בדף זה נלמד תכונה – משפט שימושיים הקשורים לישרים מקבילים וכמובן לכל צורה הכוללת ישרים מקבילים.

את המשפט הזה צריך להוכיח בכול פעם שמשתמשים בו. 

גם המשפט ההפוך נכון: אם בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים אז הישר היוצר אותם הוא חוצה זווית.

הוכחת המשפט: חוצה זווית בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים

נשתמש בישרים המקבילים של מלבן על מנת להוכיח.

שרטוט התרגיל

המפתח להוכחה הוא שזוויות CDE∠ וזווית AED∠ הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן אם נתון ש DE חוצה זווית נגדיר:

  1. EDC = ∠EDA = X∠ נתון ED חוצה זווית.
  2. AED = ∠EDC =X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. קיבלנו שבמשולש AED יש שתי זוויות שגודלן X ולכן המשולש שווה שוקיים.

הוכחת המשפט ההפוך: אם ישר בין ישרים מקבילים יוצר משולש שווה שוקיים אז הוא חוצה זווית.

בשאלה זו נתון לנו ש ABCD הוא מלבן וגם  AD= AE.
צריך להוכיח ש DE הוא חוצה זווית.

  1. DEA = ∠EDA = X∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. AED = ∠EDC =X∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. EDC = ∠EDA = X∠ ולכן DE הוא חוצה זווית.

עוד באתר:

בעיות בנייה של פרבולה

בדף זה אוסף של תרגילים בהם אתם צריכים לבנות משוואה של פרבולה.
על מנת לפתור את התרגילים אתם צריכים להפגין ידע במספר נושאים:

  1. קודקוד פרבולה.
  2. הזזה של פרבולה.
  3. חיוביות ושליליות של פרבולה.
  4. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה של פרבולה.

הדף הוא דף מסכם ומיועד עבור מי שלמד כבר את כל נושא הפרבולה.

תרגילים

תרגיל 1
הציעו שתי משוואות פרבולה שלישר y = -2 אין נקודת חיתוך איתם.
משוואה אחת של פרבולת מינימום. משוואה שנייה של פרבולת מקסימום.

פתרון
פרבולות עם נקודת מינימום שאין להם נקודת חיתוך עם y = -2 נראות כך.

המשותף לכולן הוא שערך ה y של הקודקוד שלהן גדול מ 2-, ושהן פרבולות מינימום.
משוואות של פרבולות כאלו יכולות להיות:
y = x² – 1
y = (x – 4)² + 6
ועוד.

משוואות עם נקודת מקסימום שאינן חותכות את הישר y = -2 נראות כך:

המשותף להן הוא שערך ה y של נקודת הקודקוד שלהן נמוך מ 2-.
ושהן פרבולות מקסימום.
משוואות של פרבולות כאלו יכולות להיות:
y = -x² – 3
y = – (x + 2)² -5

תרגיל 2
הציעו משוואות של פרבולות החותכות את הישר y=3 בשתי נקודות.
הציעו פרבולת מינימום אחת ופרבולת מקסימום אחת.

פתרון
פרבולה מינימום החותכת את הישר y= 3 בשתי נקודות היא פרבולה שהקודקוד שלה נמצא מתחת ל y = 3.
כך זה נראה

משוואות מתאימות יכולות להיות:
y = x²
y = (x-4)² + 2

פרבולות עם נקודת מקסימום החותכות את הישר הן בעלות ערך y של קודקוד הגדול מ 3.
למשל:

משוואות מתאימות יכולות להיות:
y = -x² + 4
y = – (x-4)² +5

תרגיל 4
כתבו משוואה של פרבולה שלא חותכת את את הפרבולה y = 2(x+4)² – 6

פתרון
זו הצגה קודקודית של פרבולה.
הקודקוד של הפרבולה הזו נמצא בנקודה (6-, 4-).
וזו פרבולת מינימום.
כך נראית סקיצה של הפרבולה.

הפרבולה שנבנה צריכה לענות על שני תנאים:

  1. צריכה להיות לה נקודת מקסימום. לכן המקדם של x² צריך להיות שלילי.
  2. ערך ה y של הקודקוד צריך להיות נמוך מ 6-.

אינסוף משוואות של פרבולות עונות על התנאים הללו. אני אכתוב רק שתי משוואות.
y = -x² – 7
y = -2(x+4)² – 8

אציין כי קיימות פרבולות שאינן עונות על שני התנאים הכתובים למעלה ואינם חותכות את הפרבולה המקורית. אבל הכתיבה של המשוואה שלהן יותר מסובכת.

סקיצה של גרף הפרבולות שהצעתי נראית כך.

תרגיל 4
כתבו משוואה של פרבולה החיובית אך ורק בתחומים
x> 2  וגם x < -5

פתרון
רמז לפתרון: פרבולה החיובית בתחומים הללו נראית כך:

האם עכשיו אתם יודעים לבנות את המשוואה?

משוואת הפרבולה המבוקשת צריכה לקיים שני תנאים:

  1. צריכה להיות לה נקודת מינימום.
  2. היא צריכה לחתוך את ציר ה x בנקודות x = 2, x = -5.

למי שמכיר את "תצוגת המכפלה" יש יתרון בבניית פרבולה מהסוג הזה.
משוואת פרבולה כזו יכולה להיות:
y = (x-2) (x+5)
אנו יכולים להוסיף כל מספר חיובי לפני הסוגריים והתשובה תישאר נכונה:
y = 2(x-2) (x+5)
y = 14(x-2) (x+5)

תרגיל 5
כתבו משוואת פרבולה החיובית רק בתחום

פתרון
רמז לפתרון: משוואת פרבולה כזו נראית כך:

האם עכשיו אתם יודעים לכתוב את המשוואה?

פרבולה כזו צריכה לענות על שני תנאים:

  1. זו פרבולה עם נקודת מקסימום.
  2. נקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן x = 1,  x =4.

משוואת פרבולה כזו יכולה להיות:
y = -2(x-1)(x -4)
וכל מספר שלילי שנשים לפני הסוגריים ומשוואת הפרבולה תישאר נכונה.
y = -0.1(x-1)(x -4)
y = -5(x-1)(x -4)

תרגיל 6
כתבו את משוואת הפרבולה שיש לה רק נקודת חיתוך אחת עם הישר y = -1.
ציר הסימטריה שלה הוא x=0.
ואין לה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

פתרון
נעבר תנאי תנאי בשאלה ונראה מה המשמעות שלו.

"יש לה רק נקודת חיתוך אחת עם הישר y = -1"
זה אומר שהישר y= -1 משיק לפרבולה, פוגש אותה בקודקוד.
כלומר ערך ה y של קודקוד הפרבולה הוא 1-.
דוגמאות לפרבולה כזו יכולות להיות:

תנאי שני: "ציר הסימטריה שלה הוא x=0."
המשמעות של תנאי זה הוא שערך ה x של הקודקוד הוא 0.
פרבולות כאלו יכולות להיות:

סיכום שני התנאים הראשונים:
נקודת הקודקוד צריכה להיות ב (1-, 0).

תנאי שלישי: "אין נקודות חיתוך עם ציר ה x".
פרבולות שאין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x נראות כך:

על מנת שהפרבולה תקיים את שלושת התנאים יחד.
גם נקודת קודקוד ב (1-, 0)
וגם ללא נקודות חיתוך עם הצירים זו צריכה להיות פרבולה עם נקודת מקסימום. (שימו לב שבגרף כל הפרבולות שיש להן נקודת קודקוד מתחת לציר ה x הן פרבולות מקסימום).

דוגמאות למשוואות המקיימות את כל התנאים הללו הן:
y = -x² – 1
כמו כן כל מספר שלילי שנשים לפני x² ייתן לנו משוואה העונה על שלושת התנאים.
למשל:
y = -2x² – 1
y = -8x² – 1

גרף הפרבולה העונה על התנאים נראה כך:

עוד באתר:

פרבולה מעבר בין הצגה קודקודית, סטנדרטית ומכפלה

לדף זה 3 חלקים:

  1. סוגי ההצגות של פרבולה ומה ניתן ללמוד מיהן.
  2. הסבר כיצד עוברים בין ההצגות השונות.
  3. 6 תרגילים

סוגי ההצגות של פרבולה ומה ניתן ללמוד מיהן

לפרבולה יש 3 הצגות בולטות.

הצגה סטנדרטית
y =ax² + bx + c
למשל:
y = 2x² + 3

מהצגה זו לא ניתן ללמוד דבר באופן ישיר אבל קל יחסית להשתמש בנוסחה
קודקוד הפרבולה
על מנת למצוא את נקודת הקודקוד.

הצגה קודקודית
y = a(x -p)² + c
הצגה זו נקראת קודקודית משום שמזהים בקלות את ערך הקודקוד של הפרבולה והוא:
p,c
למשל בפרבולה:
y = 3(x – 4) + 6
הקודקוד נמצא בנקודה
(6, 4)

הצגת מכפלה
(y = (x – t) * (x – k
בהצגה מסוג זה קל לראות את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x
הנקודות הן:
(0, t).
(k, 0)
למשל:
(y = (x – 4) * (x+2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
0, 4
0, 2-

כיצד עוברים בין ההצגות השונות

איך עוברים להצגה סטנדרטית?

הכי קל להגיע אל ההצגה הסטנדרטית ועושים זאת על ידי פתיחת סוגריים.
אם קיבלנו הצגה קודקודית:
y = 2(x+3)² – 4
נפתח סוגריים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר ונגיע אל ההצגה הסטנדרטית.
y = 2(x² +6x + 9) – 4
y = 2x² +12x +18 – 4
y = 2x² +12x + 14

אם קיבלנו הצגת מכפלה:
y = (x + 2) * (x-5)
אז נפתח סוגריים:
y = x² -5x + 2x -10
y = x² -3x – 10

איך עוברים להצגת המכפלה?

על מנת להגיע אל הצגת המכפלה אנו צריכים למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x ואז לבנות את הצגה.
למשל אם נקודות החיתוך הן:
0, 3
0, 5-
אז הצגת המכפלה תהיה:
y = (x – 3) * (x + 5)

שימו לב: לא כל פרבולה ניתן להציג בהצגת מכפלה
כי יש פרבולות שאין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x ואז לא ניתן להציג אותן בהצגת המכפלה.
ויש פרבולות שנקודות החיתוך שלהן עם ציר ה x הן נקודות לא "עגולות" למשל
0, 1.43562
במקרה כזה ניתן להציג בהצגת מכפלה אבל זה לא נהוג.

מעבר להצגת מכפלה
אם אנחנו בהצגה קודקודית.

  1. נפתח סוגריים ונגיע אל ההצגה הסטנדרטית.
  2. נוציא גורם משותף במידת האפשר.
  3. נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x באמצעות פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
  4. נכתוב את הצגת המכפלה.

אם אנחנו בהצגה סטנדרטית
נדלג על שלב אחד ונבצע את שלבים 2-4.

דוגמה
כתבו את הפרבולה
y =(x – 4)² – 4
בהצגת מכפלה.

פתרון
שלב א: פתיחת סוגריים ומעבר להצגה סטנדרטית
y =(x – 4)² – 4
y = x² – 8x + 16 – 4
y = x² – 8x + 12

זו משוואה ריבועית שניתן למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה x בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
אני אראה כן את הדרך של פירוק טרינום.
שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 8- הם 6-, 2-.
לכן:
y = x² – 2x -6x + 12
(y = x (x -2) – 6(x -2
(y = (x – 6) (x – 2
(וזו התשובה).

איך עוברים להצגה קודקודית?

המעבר להצגה קודקודית קשה יותר מהמעברים הקודמים.
אבל אם תבינו את הרעיון גם מעבר זה לא יהיה קשה.

אנו יודעים שההצגה הקודקודית נראית כך:
y = a(x -p)² + c
כאשר:
p, c
זו נקודת הקודקוד.

לכן מה שעלינו לעשות על מנת למצוא את ההצגה הקודקודית הוא למצוא את נקודת הקודקוד ואז נוכל להציב את p,c במשוואה.
המשתנה השלישי בהצגה הקודקודית הוא a. והערך של a הוא בדיוק כמו a בהצגה הסטנדרטית (המקדם של x²).

תרגיל
מצאו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה
y = 2x² + 8x -12

פתרון
כבר מההצגה הראשונית אנו רואים שהמקדם של x² הוא 2. לכן במשוואה
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי
a = 2

מה שנותר לנו למצוא את קודקוד הפרבולה ואז נדע גם את
p, c

ערך ה x של קודקוד הפרבולה מתקבל על ידי המשוואה
קודקוד הפרבולה

x = -8 : 4 = -2
נציב x = -2 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y של הקודקוד.
y = 2x² + 8x -12
y = 2* (-2)² + 8*-2 – 12 = 8 -16 – 12 = -20

נקודת הקודקוד היא:
20-, 2-
לכן משוואת הפרבולה היא:
y = a(x -p)² + c
y = 2(x + 2)² – 20

נתונה לנו הצגת מכפלה: כיצד נעבור להצגה קודקודית?

אפשרות אחת היא לעבור להצגה סטנדרטית ואז לפתור כפי שפתרנו קודם לכן.

אפשרות שנייה היא להשתמש בעובדה ששתי נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים הן נקודות סימטריות בפרבולה.
לכן קל בעזרתם למצוא את ערך ה x של הקודקוד (ואין צורך להשתמש בנוסחה על מנת לעשות זאת).

דוגמה:
מצאו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה
y = (3x – 12)*(x + 2)

פתרון
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
(0, 2-)
(0, 12)
אלו נקודות סימטריות בפרבולה משום שיש להן אותו ערך y.
לכן ערך ה x של קודקוד הפרבולה הוא:
x = (12 + (-2) ) : 2= 5

נציב במשוואת הפרבולה x= 5 ונמצא את ערך ה y
y = (15 -12) * (5 + 2)
y = 3 * 7 = 21

מצאנו כי נקודת הקודקוד היא
21, 5
לכן המשוואה הקודקודית של הפרבולה היא:
y = a(x -p)² + c
y = a(x -5)² + 21

אבל מה הוא הערך של a?
אנו יודעים ש a הוא המקדם של x².
מה הוא המקדם של x² במשוואה:
y = (3x – 12)*(x + 2)

התשובה היא 3. אם נפתח סוגריים נזהה שהמקדם של x² הוא 3.

לכן המשוואה הקודקודית של הפרבולה
y = (3x – 12)*(x + 2)
היא:
y = 3(x -5)² + 21

דוגמאות נוספות למציאת a בלבד במעבר בין הצגת מכפלה להצגה קודקודית.

בתרגילים הבאים נתונה הצגת מכפלה.
מצאו את a אם הייתם צריכים לעבור להצגה קודקודית מהסוג
y = a(x -p)² + c

תרגיל 1
y = (0.5x + 1)*(8x – 2)

פתרון
a = 0.5*8 = 4

תרגיל 2
y = (x + 1)*(x – 2)

פתרון
a = 1*1 = 1

תרגיל 3
y = 4(x + 1)*(x – 2)

פתרון
a = 4*1*1= 4

תרגילים

תרגיל 1 הוא שאלה סטנדרטית.
תרגיל 2 הוא מעבר להצגה סטנדרטית.
תרגילים 3-4 הם מעבר להצגת מכפלה.
תרגילים 5-6 הם מעבר להצגה קודקודית.

תרגיל 1 (שאלה תאורטית)
נתונה הפרבולה
y = (x-1)²
איזו סוג של הצגה זו ? (סטנדרטית / קודקודית / מכפלה).

פתרון
ניתן לראות בהצגה זו גם הצגה קודקדית וגם הצגת מכפלה.

זו הצגה קודקודית
כי ניתן לכתוב את המשוואה כך:
y = (x-1)² + 0
קודקוד הפרבולה הוא בנקודה
0, 1

זו גם הצגת מכפלה
כי ניתן ללמוד מהצגה זו מה הם נקודות החיתוך עם ציר ה x.
y = (x-1)² = (x-1)(x-1)
לפרבולה נקודת השקה בודדת עם ציר ה x והיא x = 1.

תרגיל 2 ( מעבר להצגה סטנדרטית)
נתונות שתי פרבולות
y = 3(x +1)² -1
y = (x – 3) *x
כתבו את ההצגה הסטנדרטית של שתי הפרבולות.

פתרון
בשני המקרים כל מה שעלינו לעשות הוא לפתוח סוגריים.

עבור y = 3(x +1)² -1
y = 3(x² +2x +1) – 1
y = 3x² +6x + 3 – 1 = 3x² + 6x +2

עבור y = (x – 3) *x
y =x² -3x

תרגיל 3 (מעבר להצגת מכפלה)
נתון גרף של פרבולה.
נקודת הקודקוד נמצא ב (4, 3-)
כתבו את הצגת המכפלה של הפרבולה.

פתרון
ניתן לראות שלפרבולה הזו אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
לכן לא ניתן לכתוב עבור הפרבולה הזו הצגת מכפלה.

הנתון על נקודת הקודקוד נועד לבלבל אותנו ואין לו משמעות.

תרגיל 4 (מעבר אל הצגת מכפלה)
כתבו את הצגת המכפלה של הפרבולות הבאות
y = 3x² – 12x
y= 2x² + 10x +12
כתבו באלו נקודות הפרבולות הללו חותכות את ציר ה x.

פתרון
עבור הפרבולה y = 3x² – 12x 
נוציא גורם משותף ונקבל
y = 3x (x -4)
ממצב זה אין עוד שום דבר שאנו יכולים לעשות. וזו הצגת המכפלה של הפרבולה.

נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
x=0, x =4
אם זה לא ברור למה אז שימו לב שניתן לכתוב את משוואת הפרבולה גם כך:
y = (3x – 0) (x-4)

עבור הפרבולה y= 2x² + 10x +12
נוציא גורם משותף
y = 2(x² + 5x + 6)

ועכשיו נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים
על מנת למנוע בלבול וריבוי סוגריים נפרק את הטרינום בנפרד ואז נחזיר אותו אל הפונקציה.
x² + 5x + 6
x² + 2x + 3x + 6
x (x +2) + 3 (x +2)
x+ 3) (x+2))

נחזור אל המשוואה המקורית
y = 2(x+3)(x+2)
זו משוואת הפרבולה.

נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם.
0, 3-
0, 2-

תרגיל 5
עבור הפרבולה y = ax² + bx + c ידוע כי
a = 3.
אם נקודת הקודקוד של הפרבולה היא
(6, 0)
רשמו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה.

פתרון
המבנה הכללי של הצגה קודקודית היא:
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי:
p = 0, c =6, a =3
לכן ההצגה הקודקודית תהיה:
y = 3x² + 6

תרגיל 6
כתבו את ההצגה הקודקודית ושרטטו סקיצה של הפרבולה עבור הפרבולה
y = 3(x – 4)(x+2)

פתרון
כפי שלמדנו יש שתי דרכים לעבור מהצגת מכפלה להצגה קודקודית.
אני אראה כאן את הדרך הארוכה יותר, העוברת דרך ההצגה הסטנדרטית.

נפתח סוגריים
y = 3 (x² +2x -4x -8) = 3(x² -2x – 8)
y = 3x² -6x -24

נמצא את קודקוד הפרבולה
קודקוד הפרבולה
x = 6 : 6 = 1
נמצא את ערך ה y של הקודקוד על ידי הצבה x= 1 במשוואת הפרבולה.
y = 3*1² -6*1 -24 = -27

משוואה קודקודית של פרבולה נראית כך
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי:
p =1
c = -27
a הוא המקדם של x² וניתן לראות שהוא 3.
לכן המשוואה הקודקודית של הפרבולה היא
y = 3(x -1)² -27

סעיף ב: שרטוט גרף הפרבולה
נסכם את הנתונים שאנו יודעים על הפרבולה.

  1. זו פרבולת מינימום.
  2. נקודת הקודקוד היא 27-, 1
  3. נקודות החיתוך עם ציר ה x הן (0, 4)  (0, 2-).

לכן גרף הפרבולה נראה כך:

גרף פרבולה

עוד באתר:

כפל וחילוק מספרים שליליים (מספרים מכוונים)

הכללים לכפל וחילוק של מספרים מכוונים אומרים:

חיובי כפול חיובי = תוצאה חיובית.
שלילי כפול שלילי = תוצאה חיובית.
כלומר, כאשר מכפילים או מחלקים שני מספרים עם סימן זהה התוצאה חיובית.

למשל:
6 = (3-) * (2-)
2 = (5-) : (10-)

לעומת זאת:
מספר חיובי כפול מספר שלילי = תוצאה שלילית.
מספר שלילי כפול מספר חיובי = תוצאה שלילית.

למשל:
12- = (4-) * 3
10- = 10 : (100-)

כאשר יש מכפלה  של 3 מספרים שליליים או יותר

הכללים שכתבנו למעלה מתייחסים לשני מספרים.
אבל מה תהיה תוצאת התרגיל:
= (3-) * (2-) * (5-)

אל התוצאה נגיע על ידי ביצוע הדרגתי של התרגיל:
10 = (2-) * (5-)

לכן התרגיל שלנו הוא:
30 – = (3-) * 10

הכלל במקרים הללו אומר:
כאשר יש תרגיל הכולל רק פעולות כפל הוא חילוק.
אם מספר האיברים השליליים הוא אי זוגי אז התוצאה היא אי זוגית.
אם מספר האיברים השליליים הוא זוגי אז התוצאה היא חיובית.

מספר האיברים החיוביים בתרגילים מסוג זה לא משפיע על הסימן של התוצאה.

דוגמאות
בתרגילים קבעו האם תוצאת התרגילים הללו היא חיובית או שלילית (אין צורך לחשב את התוצאה עצמה).

תרגיל 1
= 4 * (2-) * (1-) : (6-) : 36

פתרון
בתרגיל זה 3 מספרים שליליים. לכן התוצאה הסופית שלילית.

תרגיל 2
= (4-) * (8-) * (3-) * 4 * (9-)

פתרון
בתרגיל זה 4 מספרים שליליים לכן התוצאה היא חיובית.

תרגילים

  1.   = (4-) * 5
  2.   = (2-) * (1-)
  3.   = (5-) : (30-)
  4.   = 10 : (10-)

פתרונות

תרגיל 1
בתרגיל כפל שבו יש מספר אחד שלילי התוצאה שלילית.
20 – = (4-) * 5

תרגיל 2
בתרגיל כפל שבו שני מספרים שליליים התוצאה חיובית.
2 = (2-) * (1-)

תרגיל 3
בתרגיל חילוק בו יש שני מספרים שליליים התוצאה חיובית.
6 = (5-) : (30-)

תרגיל 4
בתרגיל חילוק בו יש מספר שלילי אחד התוצאה שלילית.
1- = 10 : (10-)

עוד באתר:

מספרים מכוונים דף מסכם עם תרגילים

הדף הזה הוא דף מסכם בנושא מספרים מכוונים.
הדף כולל רק תרגילים.

בדפים קודמים למדנו:

  1. היכרות ותרגילים מכל הסוגים במספרים מכוונים.
  2. חיבור וחיסור מספרים מכוונים.
  3. כפל וחילוק מספרים מכוונים.

בדף זה נפתור תרגילים מהסוגים הללו:

  1. חיבור וחיסור של 3 מספרים או יותר.
  2. שילוב של חיבור / חיסור / כפל / חילוק בתרגיל אחד.
  3. בעיות מילוליות.

חיבור וחיסור של 3 מספרים או יותר

  1.      = (5-) + (6+) – (2+)
  2.     = ( 2-) – 5 – (3-)
  3.     = 4 + 3 – (6-)
  4.     = (7-) + 3 + (10-)
  5.    = (9 -) – (2-) – (4-) – (20-)
  6.    = (7-) + (5+) – (6+) + (11-)

פתרון 1
= (5-) + (6+) – (2+)
= 5 – 6 – 2
9- = 5 – 4 –

פתרון 2
= ( 2-) – 5 – (3-)
= 2 + 5 – 3 –
6 – = 2 + 8-

פתרון 3
= 4 + 3 – (6-)
5 – = 4 + 9-

פתרון 4
= (7-) + 3 + (10-)
= 7 – 3 + 10 –
14 – = 7 – 7 –

פתרון 5
= (9 -) – (2-) – (4-) – (20-)
= 9 + 2 + 4 + 20-
= 9 + 2 + 16 –
5 – = 9 + 14 –

פתרון 6
= (7-) + (5+) – (6+) + (11-)
= 7 – 5 – 6 + 11 –
= 7 – 5 – 5 –
17 – = 7 – 10 –

ארבעת פעולות החשבון בתרגיל אחד

תרגילים 6-9 קשים יותר.

  1.  = (6 – 3) * 2
  2.  = (4-)  * 2  + 10 – 8
  3.  = 3 : (9-) – 6 – 10
  4.  = 2 – (1-) * (1-) * (1-)
  5.  = 3 + (1-) *1 + 0 * (1-)
  6.  = (2-) * (4 – 2 : 6-)
  7. = (2-) : 8 * (3-) – 10-
  8. = (2-) * (5-) + (3- 2-) – 4
  9.  = (6-) – (8-) * (2-) – 15 –

פתרון

1.
(6 – 3) * 2
6 – = (-3) * 2

2.
(4-)  * 2  + 10 – 8
(8-) + 10 – 8
10- = 8 – 2 –

3.
3 : (9-) – 6 – 10
(3-) – 6 – 10
(3-) – 4
7

4.
= 2 – (1-) * (1-) * (1-)
= 2 – (1-) * 1
= 2 – 1-
3-

5.
3 + (1-) *1 + 0 * (1-)
3 + (1-) *1 + 0
3 + 1 –
2

6.
(2-) * (4 – 2 : 6-)
(2-) * (4 – 3 -)
(2-) * (-7)
14

7.
(לדעתי המעבר בין השורה השנייה לשלישית יכול לבלבל במיוחד. צריך להתרכז בביצוע הפעולה והרישום שלה. כל מה שלא בוצע בפעולה נשאר כמו שהוא).
= (2-) : 8 * (3-) – 10-
= (2-) : (24-) – 10-
= 12 – 10-
22-

8.
(2-) * (5-) + (3- 2-) – 4
(2-) * (5-) + (5-) – 4
10 + (5-) – 4
10 + 9
19

9.
(6-) – (8-) * (2-) – 15 –
(6-) – 16 – 15 –
(6-) – 31 –
6 + 31 –
25-

בעיות מילוליות

תרגיל 1
לאדם יש חוב בבנק של 400 שקלים. הוא מושך עוד 500 שקלים מהחשבון.
כתבו תרגיל עם מספרים שליליים המתאר את החוב שלו עכשיו.

פתרון
900 – = 500- 400 –
תשובה: החוב עכשיו הוא 900 שקלים.

תרגיל 2
בדרך אל מערה יורדים 10 מדרגות שהגובה של כל אחת מיהן הוא 20 סנטימטר.
השתמשו במספרים שליליים על מנת לבנות תרגיל המחשב בכמה סנטימטר ירד אדם שירד את המדרגות הללו.

פתרון
200 – = 10 * (20-)
תשובה: האם ירד 200 סנטימטר.

תרגיל 2
בחדר התקבצו 10 הורים.
ל- 8 מיהם יש חוב של 100 שקלים בבנק.
ל 2 מיהם יש חוב של 50 שקלים בבנק.
בעזרת מספרים שליליים כתבו תרגיל המחשב את הסכום שכולם חייבים ביחד לבנק.

פתרון
החוב של שמונת ההורים הוא:
800 – = 8 * (100-)

החוב של שני ההורים הוא:
100- = 2 * (50-)

בסך הכל החוב הוא:
900- = 100- 800-
תשובה: החוב של ההורים כולם הוא 900 שקלים.

עוד באתר:

חיבור וחיסור מספרים שליליים (מספרים מכוונים)

לנושא חיבור וחיסור מספרים מכוונים חשיבות מיוחדת.

עוד מעט תלמדו לפתור משוואות ולא תוכלו להתקדם בנושא זה מבלי לדעת לחבר ולחסר מספרים מכוונים.

בדף זה נלמד לחבר ולחסר מספרים שליליים.

חיבור מספר חיובי למספר שלילי

אם נסתכל על ציר המספרים אז כאשר אנו מוסיפים מספר חיובי אנו זזים ימינה.

נסתכל למשל על הנקודה 5-.

כאשר נוסיף 2 לאן נגיע?
הוספת 2 זה אומר ללכת שני צעדים ימינה.

לאחר הליכה 2 צעדים ימינה נגיע למספר 3-.
לכן:
3- = 2 + 5-

דוגמה נוספת.
= 4 + 1-
סימנו עבורכם את הנקודה 1- על ציר המספרים.
הוסיפו 4 על מנת לפתור את התרגיל.

הוספת 4 על ציר המספרים תראה כך:

הגענו אל המספר 3.
לכן פתרון התרגיל הוא:
3 = = 4 + 1-

דוגמה נוספת
לספור כל פעם צעד אחד זה יכול להיות מעייף.
לכן במקרים מסוימים נחפש "תחנות" נוחת לעצור בהן.
למשל:
= 6 + 4-

נלך 4 צעדים עד 0 ואז נותרו לנו עוד 2 צעדים.
2 = 6 + 4-

תרגיל נוסף
= 8 + 10-

פתרון

2- = 8 + 10-

 תרגילים

ככלי עזר לפתרון התרגילים יש אנשים החושבים על מעליות או על כסף בבנק.
למשל על התרגיל:
= 3 + 7-.
ניתן לחשוב כ:
אני בקומה 7- ועליתי 3 קומות באיזו קומה אני עכשיו?
או
אני במינוס של 7 שקלים בבנק ונוספו לי 3 שקלים. כמה כסף יש לי עכשיו?
4- = 3 + 7-.

תרגיל 1
= 1 + 4-

פתרון

3- = = 1 + 4-

תרגיל 2
= 8 + 1-

פתרון
נלך צעד 1 עד ה 0 ואז עוד 7 צעדים.

7 = 8 + 1-

תרגיל 3
= 10 + 6-

פתרון
נלך 6 צעדים עד ה 0. ואז עוד 4 צעדים.

4 = 10 + 6-

תרגילי חיסור

עד עכשיו רק חיברנו. מעכשיו גם נחסר.
בחיבור הלכנו ימינה על ציר המספרים, בחיסור נלך שמאלה.

דרך הפתרון מאוד דומה ואנחנו ישר נתחיל לפתור תרגילים.

תרגיל 1
= 6 – 4

פתרון

2- = 6 – 4

תרגיל 2
= 5- 2 –

פתרון

תרגיל 3
= 7 – 0

פתרון

7- = 7 – 0

כיצד מתייחסים לשני סימנים צמודים?

בחלק מהתרגילים אתם תראו שני סימנים צמודים אחד לשני.
למשל + – או – – ועליכם להבין את המשמעות שלהם.

אלו הכללים בנושא הזה:
+ + הוא פלוס.
– – הוא פלוס.
+ – הוא מינוס
– + הוא מינוס.

תרגילים מכול הסוגים

תרגיל 1
= 4 + 7-

פתרון

3- = 4 + 7-

תרגיל 2
= 4 – 4 –

פתרון

8- = = 4 – 4 –

תרגיל 3
= (15-) + 8

פתרון
15 – 8 = (15-) + 8
נלך 8 צעדים עד ה 0. ולאחר מיכן עוד 7 צעדים.

7 – = 15 – 8

תרגיל 4
= (30-) – (20-)

פתרון
= (30-) – (20-)
= 30 + 20 –

נלך 20 עד 0 ואז נותרו לנו 10 צעדים.

10 = 30 + 20 –

תרגיל 5
= (20-) + (5-)

פתרון
= (20-) + (5-)
= 20 – 5 –

25 – = = 20 – 5 –

עוד באתר:

חקירת שתי משוואות ממעלה ראשונה

אלו מצבים יכולים להיות בין שני ישרים במישור

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, נחתכים, או מוכלים (כלומר ישר נמצא על ישר).

המצבים האפשריים בין שני ישרים

כאשר אנו מסתכלים על משואות כיצד נוכל להבדיל בין המצבים השונים?
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

ישרים מוכלים
ישרים מוכלים הם המצב שבו למערכת המשוואות אינסוף פתרונות.

מצב זה מתקבל כאשר ניתן להכפיל משוואה אחת במספר ולהגיע אל המשוואה השנייה.
למשל:
3x + y + 2 = 0
12x + 4y + 8 = 0

את המשוואה הראשונה ניתן להכפיל פי 4 ולהגיע אל המשוואה השנייה.
לכן למערכת הזו אינסוף פתרונות.
לכן המערכת הזו מייצגת שני ישרים מקבילים.

ישרים מקבילים
ישרים מקבילים הם מצב שבו למערכת המשוואות אין פתרון.

מצב זה מתקבל כאשר יש מספר שבו ניתן להכפיל משוואה אחת ולהשוות את ערכי ה x,y.
אך הכפלה במספר זה לא תשווה את ערכי המספר החופשי.
למשל:
3x + y + 2 = 0
12x + 4y + 7 = 0

הכפלה פי 4 של המשוואה הראשונה תביא להשוואת המקדמים של ,x,y אבל המספר החופשי יהיה שונה.
לכן למערכת זו לא יהיה פתרון.

ישרים נחתכים
בכול מקרה אחר.

סיכום הדרך למצוא את מספר הפתרונות

כאשר נתונות לנו המשוואות
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

אז אם מתקיים:

אז למערכת אינסוף פתרונות ואלו ישרים מוכלים.
(המשוואה מייצגת את הרעיון שניתן להכפיל את המשוואה הראשונה במספר ולהגיע אל המשוואה השנייה).

אם מתקיים:

אז למערכת אין אף פתרון ואלו ישרים מקבילים.

תרגילים

תרגיל 1
מצאו מתי למערכת המשוואות
4x + ay -12 = 0
x + 2y -3 = 0
יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון
למערכת יש אינסוף או אף פתרון כאשר:

a = 8.

שלב ב: נציב את ערכי ה a שמצאנו במשוואה ונראה אם יש עבורם אינסוף או אף פתרון
נציב a =8 ונבדוק האם יש במצב זה אינסוף פתרונות או אף פתרון

שלב ג: רישום התשובה
מצאנו כי למערכת יש אינסוף פתרונות כאשר a = 8.
וזה אומר שבמצב זה הישרים מקבילים.

עבור a≠8 למערכת יש פתרון יחיד, וזה אומר שהישרים נחתכים.

תרגיל 2
a² +5)x + 7y  + 3.5a = 0)
3x + y  +2 = 0
מצאו מתי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון

a² + 5 = 21  / -5
a² = 16
a = 4,  a = -4

שלב ב: נציב את ערכי ה a שמצאנו במשוואה ונראה אם יש עבורם אינסוף או אף פתרון
עבור a = 4
המשוואות נראות כך:
21x + 7y  + 14 = 0
3x + y  +2 = 0

לכן עבור a = 4 יש אינסוף פתרונות והישרים מוכלים אחד בשני.

נבדוק עבור a = -4
המשוואות נראות כך:
21x + 7y  – 14 = 0
3x + y  +2 = 0

לכן עבור a = -4 למערכת אין אף פתרון ואלו ישרים מקבילים.

פתרון יחיד
עבור a≠4,  a≠ -4 למערכת יש פתרון יחיד.

תרגיל 3
2ax + (a² + 2a – 6)y  + 8 = 0
12x + 6y  – 4 = 0
מצאו מתי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד. אינסוף פתרונות. אף פתרון.
כתבו את המשמעות הגרפית של כל אחד מהפתרונות.

פתרון
שלב א: נמצא לאלו ערכי a יש אינסוף או אף פתרון

12a² +24a -72 = 12a / -12a
12a² +12a – 72 = 0  / : 12
a² + a – 6 = 0

קיבלנו משווואה ריבועית.
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נפתור כאן בעזרת טרינום.
a² – 2a + 3a – 6 = 0
a (a – 2) +3( a-2) = 0
a + 3) (a – 2) = 0)

הפתרונות הם a = -3 או a =2.
עבור שני הערכים הללו יכולים להתקבל אינסוף או אף פתרון.
נבדוק כל ערך בנפרד.
2ax + (a² + 2a – 6)y  + 8 = 0
12x + 6y  – 4 = 0

עבור a=2 המשוואות שנקבל הן:
4x + 2y + 8 = 0
12x + 6y – 4 = 0

ניתן לראות שניתן להכפיל פי 3 את המקדמים של x,y במשוואה הראשונה על מנת להגיע אל המקדמים של x,y במשוואה השנייה.
אבל כאשר נכפיל פי 3 את המספר החופשי 8 לא נקבל 4-.

לכן עבור a =2 אין למשוואות פתרון ואלו שני ישרים מקבילים.

עבור a = -3 המשוואות שנקבל הן:
6x – 3y + 8 = 0-
12x + 6y – 4 = 0

אם נכפיל את כל אחד מהאיברים במשוואה הראשונה פי 2- נקבל מקדמים שווים של x,y אבל המספר החופשי לא יהיה שווה.
לכן עבור a =-3 למשוואה אין פתרונות ואלו ישרים מקבילים.

פתרון יחיד
כאשר a ≠ 2,  a ≠ -3 למשוואה יש פתרון יחיד.

עוד באתר: