אינטגרל של פונקציית שורש

אינטגרלים של פונקצית שורש

פעולת השורש היא בעצם העלאה בחזקת  1/2.
לפי חוקי חזקות:

לכן , במידה ויש לנו שורש במכנה , החזקה תהיה 1/2- .

שלבים בביצוע האינטגרל:
1. אם יש במונה מספר איברים , מפרקים את המונה לאיברים בודדים.
2. נמיר את השורש לחזקת 1/2. (או מינוס חצי)
3. נפתור את האינטגרל בדומה לפולינום.
4. במידה ויש ביטוי מורכב מתחת לשורש , כלומר (f(x√ , ננסה להציב : f(x) = t  ולפתור.

תזכורת – נוסחה לאינטגרל של פולינום: (הפרמטר n הוא לא בהכרח מספר שלם)

תרגילים

אינטגרל לא מסוים:

תרגיל 1

פתרון

ראשית נמיר את השורש לחזקת 1/2 . נקבל:

כעת נפתור בדומה לאינטגרל פולינום.

לכן התשובה:

 

תרגיל 2

פתרון

ראשית נמיר את השורש לחזקת 1/2- . (כי הוא נמצא במכנה). נקבל:

כעת נפתור בדומה לאינטגרל פולינום.

לכן התשובה:

 

תרגיל 3


פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא  f(x) = x + 2.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 2 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

נציב באינטגרל:

כעת נפתור את האינטגרל לפי t :

נחזור בחזרה למשתנה המקורי :
תשובה:

 

אינטגרל מסוים:

תרגיל 4

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא  f(x) = x + 4.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 4 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

הערה: מכיוון שזהו אינטגרל מסוים , גבולות האינטגרל גם ישתנו בהתאם להצבה.
איך הגבולות משתנים?
מציבים במשוואת ההצבה כל אחד מהגבולות. (מציבים במקום x כמובן).
הערך שמתקבל עבור t הוא הגבול החדש.
נחשב עבור הגבול התחתון:
נציב x = 5 במשוואה:
x + 4 = t
נקבל : t = 9.
לכן הגבול החדש הוא 9.
(עבור הגבול העליון מחשבים באותו אופן)

נציב באינטגרל:

כעת נפתור את האינטגרל לפי t :

תשובה:

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

תרגיל 5

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה מורכבת בתוך השורש.
הפונקציה היא  f(x) = x + 1.
לכן נציב f(x) = t , כלומר x + 1 = t
נגזור את שני האגפים, נקבל:
dx = dt

הערה: מכיוון שזהו אינטגרל מסוים , גבולות האינטגרל גם ישתנו בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


תשובה:

חישובי שטחים

תרגיל 6
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה:   ,
לבין הישר:  .

נתון כי נקודות החיתוך הן  x1 = 3 , x2 = 6.

פתרון

השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
נקודות החיתוך בין הפונקציה לישר נתונות לנו בשאלה.
לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:
נרצה להשתמש בהצבה t = x – 2.
לכן נסדר את הביטוי בצורה הבאה:

(אם נפתח חזרה את הסוגריים נקבל בדיוק אותו ביטוי).

כעת נציב: t = x – 2.
dx = dt.
יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם.
נקבל:

ב. פתרון האינטגרל לפי t :


כצפוי, קיבלנו מספר שלילי , מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 1.

תרגיל 7
חשבו את השטח המוגבל ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x ,
הישרים y = 1 , y = 0.5 ,  וציר y.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הישרים  y = 1, y = 0.5.
2.שטח חסום בין הישר לפונקציה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 1/√x והישר y = 0.5.

קודם כל נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה לישרים (אנו נזדקק להן):
א. עם הישר y = 1:

x = 1√
x = 1

ב. עם הישר y = 0.5:

x = 2√
x = 4

נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S

 שטח המלבן הוא : S1 = 1*0.5 = 0.5

 

2. השטח החסום בין הישר לפונקציה :
נקודות החיתוך הן : x = 1 , x = 4

לכן השטח ניתן לחישוב ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח הכלוא:


לכן S2 = 0.5

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :
Stot = S1 + S2 = 0.5 + 0.5 = 1

תשובה : השטח החסום הוא 1.

תרגיל 8

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 0.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = 8.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 0 בפונקציה.

f(0) = √(0+1) = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.

נציב את x = 0 בנגזרת הפונקציה:
f ' (0) = 1/2
כלומר: m = 1/2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 0.5*(x – 0
y – 1  = 0.5x
y = 0.5x +1

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
השטח חסום מלמטה ע"י הישר , ומלמעלה ע"י הפונקציה.
לכן ניתן לבטא את השטח באמצעות חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
גבולות האינטגרל הם x = 0 (נק' ההשקה) והישר x = 8.

לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

חישוב האינטגרל:
א. הצבה:

נציב:  x + 1 = t
ואז מתקיים : x = t – 1.
dx = dt.

הערה: יש לזכור לשנות את הגבולות בהתאם להצבה.

נציב באינטגרל ונקבל:

ב. חישוב האינטגרל לפי t:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 6.6667.

 

תרגיל 9  (עם פרמטר)

א. הביעו באמצעות הפרמטר c את השטח הכלוא בין הפונקציה, ציר x , והישרים   : x = 4 , x = 7.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 2 . מצאו את c.

(הערה: הניחו כי הפונקציה מוגדרת בתחום הדרוש).

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל ע"י הצבה:
נציב:  t = x + c
מתקיים : dx = dt.
גבולות האינטגרל משתנים בהתאם:
-התחתון – 4 + c
-העליון –  7 + c

נציב באינטגרל ונקבל:

נפתור את האינטגרל לפי t :


ב. מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 2.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:



נעלה בריבוע את שני האגפים , נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:



נעלה בריבוע את שני האגפים:
c + 4 = 1

תשובה: c = -3

עוד באתר:

אינטגרל של פונקציות רציונליות

אינטגרלים של פונקציות רציונליות

כללים לביצוע אינטגרלים מסוג זה:
1. בעזרת כללי חזקות , נוכל להפוך את הביטוי לאינטגרל של פולינום:

2. במידה ויש לנו פונקציה מורכבת של x במכנה:

שלבים לביצוע האינטגרל:
1. אם יש במונה מספר איברים , מפרקים את המונה לאיברים בודדים.
2. הופכים את האינטגרל לפולינום – לפי הכלל הראשון.
3. מבצעים אינטגרל לפי פולינום.

תרגילים

אינטגרל לא מסוים

תרגיל 1

פתרון

  1. נהפוך את האינטגרל לפולינום : 
  2. נפתור את האינטגרל לפי אינטגרל של פולינום:

    לפי חוקי חזקות , נחזיר את x למכנה.
    תשובה:

תרגיל 2

פתרון

  1. נהפוך את האינטגרל לפולינום:
  2. נפתור את האינטגרל לפי אינטגרל של פולינום:


    לפי חוקי חזקות נחזיר את x למכנה.
    תשובה:

תרגיל 3

פתרון

יש לנו פונקציה מורכבת במכנה. לכן נשתמש בנוסחה:

כאשר:  m = 4 , n = 2.

לכן התשובה:

תרגיל 4

פתרון

לפי חוקי חזקות, מתקיים :
a / b)2 = a/ b2).
לכן:

את האינטגרל שקיבלנו נפתור בעזרת הנוסחה :

כאשר:  m = 2 , n = -1.

(נציין כי יש פה הכפלה בקבוע – המספר '16' – צריך לכפול בו גם את האינטגרל).

לכן התשובה:

 

חישוב שטחים – אינטגרל מסוים

תרגיל 5
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 1/ x2 , לבין הישרים x = 1 , x = 2 , וציר x.

פתרון

השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.5

תרגיל 6
חשבו את השטח הכלוא בין הישר y = -4x + 7 , לבין הפונקציה:

פתרון

  1. נקודות החיתוך בין הפונקציות:
    ניתן לראות מהגרף כי נקודות החיתוך הן:
    x1 = 0.5 , x2 = 1
  2. חישוב השטח הכלוא:
    השטח נמצא מתחת לישר , ומעל הפונקציה.
    לכן ניתן לבטא את השטח כחיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:


    א. חישוב האינטגרל:
    ב.חישוב השטח:

תשובה: השטח הכלוא בין הפונקציות הוא 0.25

תרגיל 7

מעבירים לפונקציה משיק בנקודה x = 2.
מצאו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = 2 בפונקציה.

f(2)  =  1/(2-3)2  =  1/1 = 1

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (2 , 1)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
3(f ' (x) =  -2 /(x-3
נציב את x = 2 בנגזרת הפונקציה:
f ' (2) = -2/(-1)3 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 1 = 2*(x – 2
y – 1  = 2x – 4
y = 2x – 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (השמאלי)
השטח כלוא בין  x = 0 לבין  x = 1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא:


לכן השטח הראשון:  S1 = 1/3

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :(הימני)

השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x = 1.5) x),
לבין נקודות ההשקה ( x = 2).

השטח נמצא מתחת לפונקציה , ומעל למשיק.
לכן ניתן לבטא את השטח כחיסור בין שטח הפונקציה לבין שטח המשיק.

לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2. חישוב השטח:

לכן השטח השני : S2 = 1/12 .


סיכום: כעת רק נותר לנו לסכום את שני השטחים:

תשובה: השטח החסום : 5/12.

עוד באתר:

אינטגרל של פונקציות לוגריתמיות

אינטגרל של פונקציות לוגריתמיות

כללים לביצוע אינטגרל של פונקציות לוגריתמיות:

1. האינטגרל של    הוא  lnx :

2. במידה ויש לנו במונה את הנגזרת של המכנה – האינטגרל יהיה ln של הפונקציה במכנה.
כלומר:
 

הערה: בגלל תחום ההגדרה של הפונקציה ln x , נשים ערך מוחלט בתוך ה-ln ,                                                  על מנת להבטיח שהביטוי בתוך ה-ln יהיה חיובי.
(ניתן לוותר על הערך המוחלט במידה ואנו יודעים בוודאות כי הביטוי תמיד חיובי)

*בתרגילים מסוג זה חשוב לשים לב לתחום ההגדרה.

תרגילים

אינטגרל לא מסוים

בתרגילים הבאים הניחו כי המכנה תמיד חיובי

תרגיל 1

פתרון

נשתמש בכלל :

הביטוי שלנו הוא כפולה ב 2 של  .

לכן התשובה:

(הערה: במקרה זה אין צורך לשים ערך מוחלט, מכיוון שאנו מניחים שהמכנה חיובי , כלומר x חיובי.)

תרגיל 2

פתרון

ראשית נזכור כי אינטגרל של חיבור = חיבור האינטגרלים.

-עבור הביטוי הראשון(השמאלי) נשתמש בכלל :

נשים לב כי הביטוי שלנו הוא כפולה ב 4 של  .

-הביטוי השני(הימני) הוא פולינום , לכן נבצע לו אינטגרל לפי הכללים של פולינומים.
(לפי חוקי חזקות מתקיים כי :  x-2 = 1/x2 ).

לכן התשובה:

(הערה: במקרה זה אין צורך לשים ערך מוחלט, מכיוון שאנו מניחים שהמכנה חיובי , כלומר x חיובי.)

תרגיל 3

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה של x במכנה.
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
x-2) ' = 1)
כלומר – במונה יש נגזרת של המכנה.
לכן נשתמש בכלל :

לכן התשובה:

(הערה: במקרה זה אין צורך לשים ערך מוחלט, מכיוון שאנו מניחים שהמכנה חיובי , כלומר 2-x ביטוי חיובי.)

תרגיל 4

פתרון

בתרגיל זה יש לנו פונקציה של x במכנה.
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
4x + 3) ' = 4)
כלומר – המונה הוא כפולה בקבוע של הנגזרת של המכנה.
לכן נכפול ב – 4 את המונה – ולאחר מכן נחלק ב- 4 את הביטוי – כדי לא לשנות את ערכו של הביטוי.

ואז נקבל שהמונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה.
לכן נוכל להשתמש בכלל :

לכן התשובה:

(הערה: במקרה זה אין צורך לשים ערך מוחלט, מכיוון שאנו מניחים שהמכנה חיובי , כלומר 4x+3 ביטוי חיובי.)

תרגיל 5

פתרון

זהו ביטוי מורכב. על מנת לפשט אותו נחלק אותו ל-2 אינטגרלים נפרדים:

האינטגרל הראשון הוא בעצם  .
האינטגרל השני הוא פולינום.
(לפי חוקי חזקות מתקיים כי :  x-2 = 1/x2 ).

לכן התשובה:

(הערה: במקרה זה אין צורך לשים ערך מוחלט, מכיוון שאנו מניחים שהמכנה חיובי , כלומר x חיובי.)

תרגיל 6

פתרון

זהו ביטוי מורכב. על מנת לפשט אותו נחלק אותו ל-2 אינטגרלים נפרדים:

האינטגרל הראשון הוא כפולה בקבוע של  .

האינטגרל השני הוא אינטגרל של שורש.
(לפי חוקי חזקות מתקיים :  x-1/2 = 1/√x)

לכן התשובה:
 

(הערה: במקרה זה אין צורך לשים ערך מוחלט, מכיוון שאנו מניחים שהמכנה חיובי , כלומר x חיובי.)

תרגיל 7

פתרון

המכנה הוא פונקציה של x, והמונה אינו הנגזרת של המכנה או כפולה בקבוע שלה.
אבל , נשים לב כי ניתן לפרק לגורמים את המכנה.

לכן התשובה:

(הערה: בתרגיל זה כן היינו צריכים לשים ערך מוחלט , כי ההנחה שהמכנה המקורי חיובי אינה בהכרח מעידה על כך שהביטוי x – 2 גם חיובי.)

בתרגילים הבאים הניחו כי המכנה תמיד שלילי.

תרגיל 8

פתרון

הביטוי הוא כפולה בקבוע של  .
יש לזכור כי המכנה שלילי – כלומר x שלילי.
לכן ערך מוחלט של x זה בעצם x- . (כך הופכים את הסימן של x לחיובי).

לכן התשובה:

תרגיל 9

פתרון

הנגזרת של המכנה היא 3-.
לכן המונה הוא כפולה בקבוע של נגזרת המכנה.
נכפול את הביטוי באותו קבוע וגם נחלק – על מנת לא לשנות את ערך הביטוי.

כעת קיבלנו שהמונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה.

לכן התשובה:

(אנו מניחים שהמכנה שלילי , ולכן הערך המוחלט שלו יתקבל ע"י הוספת מינוס)

 

חישובי שטחים

תרגיל 1
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 4/x , לבין הישרים :
x = 1 ו – x = 4.

פתרון

השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 5.545

תרגיל 2
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 2/x, לבין הישר y = -x+3

פתרון

1. נקודות חיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות על מנת למצוא את גבולות האינטגרל.
נעשה זאת ע"י השוואה בין הפונקציות.
x + 3 = 2/x-
נכפול ב -x את שני אגפי המשוואה:
x2 + 3x = 2-
x2 – 3x + 2 = 0
פירוק לגורמים:
x – 1) * (x – 2) = 0)
x1 = 1 , x2 = 2

2.חישוב השטח:
השטח הכלוא הוא חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.1137

תרגיל שטח עם פרמטר

תרגיל 3

הניחו כי c > 0.

א. הביעו באמצעות c את השטח הכלוא מתחת לפונקציה ובין הישרים  x = 0, x = 3.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – (ln(7. מצאו את c.

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2. חישוב השטח (כתלות ב- c) :

ב.מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא (ln(7.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
(ln(3c + 2) – ln(2) = ln(7
נשתמש בחוקי לוגריתמים:
(ln(x) – ln(y) = ln(x/y
נקבל:
(ln(3c+2 / 2) = ln(7
3c+2 / 2 = 7
3c + 2 = 14
3c = 12
c = 4

תשובה לסעיף ב':  c = 4

עוד באתר:

אינטגרל של פונקציות מעריכיות

אינטגרל של פונקציות מעריכיות

כללים לביצוע אינטגרל מסוג זה:
1. ייחודיות הפונקציה ex היא שהאינטגרל שלה זהה לפונקציה עצמה (כמובן , בהבדל של קבוע).
כלומר:

2. במידה ויש לנו פונקציה של x בחזקה של e :

תרגילים

10 תרגילים.
1-8 הם תרגילי אינטגרל לא מסוים.
9-10 הם תרגילי חישוב שטחים הנוצרים על ידי 2 פונקציות.

אינטגרל לא מסוים:

תרגיל 1

פתרון

האינטגרל של ex הוא ex.
יש לנו כפולה בקבוע של ex – לכן נכפול גם את האינטגרל באותו קבוע. (המספר '3/4').

לכן התשובה:

 

תרגיל 2

פתרון

האינטגרל של ex הוא ex.
יש לנו כפולה בקבוע של ex – לכן נכפול גם את האינטגרל באותו קבוע. (המספר '2').

הביטוי e2 אינו תלוי ב – x , ולכן הוא כמו מספר קבוע – באינטגרל נכפול ב – x.

לכן התשובה:


תרגיל 3

פתרון

יש לנו פונקציה של x בחזקה של e.
לכן נשתמש בנוסחה:

(כאשר  m = 3 , n = 2).

בנוסף לכך, הפונקציה כפולה בקבוע, ולכן גם האינטגרל יהיה כפול באותו קבוע.

ולכן התשובה:


תרגיל 4

פתרון

על מנת לפתור את האינטגרל , נצטרך לפתוח סוגריים (לפי נוסחת כפל מקוצר):

כעת נזכור כי אינטגרל על סכום שווה לסכום האינטגרלים.
עבור שני האיברים הראשונים נשתמש בנוסחה:

לכן התשובה:

תרגיל 5

פתרון

על מנת שנדע לפתור את האינטגרל – נשתמש בחוקי חזקות.
לפי חוקי חזקות מתקיים :
xa / xb = xa-b
לכן:

לכן התשובה:

תרגיל 6

פתרון

על מנת לפתור את האינטגרל , נצטרך לפרק אותו לשני איברים (לפרק את המכנה המשותף):

לפי חוקי חזקות :
1.   xa / xb = xa-b
2.   x-a = 1/xa

לכן האינטגרל שמתקבל:

ולכן התשובה:


 

תרגיל 7

פתרון

על-מנת לפתור את האינטגרל , נבצע פירוק לגורמים.
נשים לב כי  ניתן לפרק את המונה לפי נוסחת כפל מקוצר:
a – b) * (a + b) = a2 – b2)

לכן נקבל:

את האינטגרל שקיבלנו אנו יודעים לפתור.

לכן התשובה:

תרגיל 8

פתרון

בתרגיל זה נשתמש בשיטת ההצבה.
נציב:  ex = t
אם נפעיל ln על שני אגפי המשוואה, נקבל:
(x = ln(t
נגזור את שני אגפי המשוואה:
dx = 1/t dt

  1. נציב הכל באינטגרל:
  2. 2. נפתור את האינטגרל לפי t :

  3. 3. נחזור למשתנה המקורי – ex :
    תשובה:

 

חישובי שטחים – אינטגרל מסוים

תרגיל 1
חשבו את השטח המוגבל ע"י הפונקציה f(x) = ex , הישר y = 2 , וציר y.

פתרון
השטח מתקבל ע"י חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.

הגבול השמאלי של האינטגרל הוא ציר ה – y , כלומר x = 0.
הגבול הימני של האינטגרל הוא נקודת החיתוך בין הפונקציה לישר.
נמצא אותה:
ex = 2
נפעיל פונקציית ln על 2 אגפי המשוואה. נקבל:
(x = ln(2
לכן הגבול הימני של האינטגרל הוא (x = ln(2

לכן, השטח המבוקש נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:
ex dx = e
(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:


(לפי חוקי לוגריתמים :  elnx = x )

תשובה: השטח המבוקש הוא 0.386

תרגיל 2
חשבו את השטח הכלוא בין הצירים לבין הפונקציה :



פתרון
השטח כלוא מתחת לפונקציה (f(x.
הגבול השמאלי של האינטגרל הוא ציר y , כלומר x = 0.

הגבול הימני של האינטגרל הוא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר x.
נמצא אותה:
f(x) = 0
e2-x – 1 = 0
e2-x = 1
אנו יודעים כי e0 = 1.  לכן בהכרח מתקיים:
x – 2 = 0
x = 2

לכן הגבול הימני של האינטגרל הוא x = 2.
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

ב. חישוב השטח:


תשובה: השטח המבוקש הוא 4.389 

עוד באתר:

בעיות קיצון, בעיות מינימום מקסימום

שאלה קיומית: ( :))

למה יש בעיות קיצון – מינימום מקסימום ?

(מבחינה מתמטית) בעיות מינימום מקסימום הם בעיות מציאותיות שהפתרון שלהם נועד לתת מידע על מצבי הקיצון. למשל לרשות מפעל 100 שעות עבודה הוא מייצר שני מוצרים והוא מעוניין לדעת כיצד לחלק את שעות העבודה על מנת שהרווח שלו יגיע למקסימום (בעיית מקסימום) או כיצד לחלק את שעות העבודה על מנת שיהיו מינימום תאונות עבודה (בעיית מינימום).

שלבים בפתרון בעיות מינימום מקסימום

  1. לבחור משתנה שבאמצעותו ניתן להגדיר את הפונקציה הרצויה.
  2. לבנות פונקציה בעזרת המשתנה הנתון.
  3. לגזור את הפונקציה ולמצוא נקודות קיצון (להשוות את הנגזרת ל – 0).
  4. לבדוק האם נקודת / נקודות הקיצון שקיבלנו היא מתאימה לדרישה של השאלה (מינימום או מקסימום).
    הבדיקה נעשית בעזרת טבלה או נגזרת שנייה.
  5. להסתכל על השאלה ולבדוק אם יש סעיף נוסף שצריך לענות עליו. הרבה פעמים יבקשו מאיתנו לעשות משהו עם המספרים שמצאנו בסעיף הראשון.

תרגילים

תרגיל 1
מה הוא זוג המספרים שסכומם הוא 14 ומכפלתם היא מקסימלית? מצאו את המכפלה.

פתרון
שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
x1   המספר המבוקש הראשון.
המספר השני

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את מכפלת המספרים.
f (x) = x1 (14 – x1) = 14x1 – x1²

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה:
f (x) = 14x1 – x1²
f ' (x) = 14 – 2x1

2x1 + 14 = 0 –
2x1 = 14  / : 2
x1 = 7
כלומר המספר החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מקסימלי הוא 7.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.
נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 14 – 2x1
f " (x) = -2

מצאנו שהנגזרת השנייה שלילית לכל x, וגם עבור x1 = 7.
נגזרת שנייה שלילית זה אומר נקודת מקסימום.

לכן עבור x = 7 ערך מכפלת המספרים הוא מקסימלי.
המספר השני הוא:
7 = 7 – 14.
תשובה: זוג המספרים שסכומם 14 ומכפלתם מקסימלית הוא 7,  7.

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בנוסף שאלו אותנו מה היא המכפלה המקסימלית
49 = 7 * 7
תשובה: המכפלה המקסימלית היא 49.

גרף הפונקציה f (x) = 14x - x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

גרף הפונקציה f (x) = 14x – x² ונקודת המקסימום שלו (49, 7)

תרגיל 2
מבין כל המלבנים שהיקפם הוא 40. מה הם אורכי הצלעות שעבורם שטח המלבן הוא מקסימלי?
חשבו את שטח המלבן המקסימלי.

פתרון
שלב 1: הגדרת צלעות המלבן המבוקשות בעזרת משתנה אחד.
אם אורך צלעות מלבן הוא a,b אז היקף המלבן הוא:
(p = 2(a + b

לכן סכום צלעות המלבן שווה לחצי מהיקף המלבן.
במקרה שלנו חצי מהיקף המלבן הוא 20.
נגדיר:
x1 צלע אחת של המלבן
אורך הצלע השנייה

שלב 2: בניית פונקציה המתארת את שטח המלבן
שטח מלבן שווה למכפלת צלעותיו.
f (x) = x1 (20 – x1) = 20x1 – x1²

שלב 3: מוצאים מתי הנגזרת שווה ל- 0
f (x) =  20x1 – x1²
f ' (x) = 20 – 2x1

2x1 + 20 = 0-
2x1 = 20
x1 = 10
גודל צלע המלבן החשודה כמספקת שטח מקסימלי היא 10.

שלב 3: נמצא האם הנקודה החשודה כקיצון היא נקודת מקסימום
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 20 – 2x1
f " (x) = -2
נגזרת שלילית משמעותה עבור נקודות קיצון היא מקסימום.

סימן הנגזרת שלילי עבור כל x וגם עבור x = 10.
לכן x1 = 10 היא נקודת מקסימום.

נמצא את צלע המלבן השנייה:
10 = 10 – 20
תשובה: צלעות המלבן הנותנות שטח מקסימלי הן 10,   10. זה ריבוע.

שלב 5: האם שאלו אותנו שאלה נוספת?
ביקשו שנמצא את שטח המלבן המקסימלי.
מכפלת הצלעות היא:
100 = 10 * 10
תשובה: שטח המלבן הוא 100 סמ"ר.

גרף הפונקציה f (x) =  20x - x² ונקודת המקסימום שלה (100, 10)

גרף הפונקציה f (x) =  20x – x² ונקודת המקסימום שלה (100, 10)

תרגיל 3
מצאו את השיפוע הקטן ביותר של המשיק לגרף הפונקציה g (x ) = x³ – 2x²

פתרון
שלב 1: מציאת הפונקציה המתארת את השיפוע.
g (x ) = x³ – 2x²
g ' (x) = 3x² – 4x

שימו לב: (g ' (x היא למעשה הפונקציה שאנו מחפשים לה את הערך הקטן ביותר.
לכן מבחינת השאלה הזו (g ' (x היא פונקציה ולא נגזרת.

שלב 2: מוצאים מתי (g ' (x  מקבלת ערך מינימלי.
נגזור את (g ' (x
g ' (x) = 3x² – 4x
g " (x) = 6x – 4

נשווה את הנגזרת ל- 0.
6x – 4 =0   / +4
6x = 4  / :6
x = 0.666
הנקודה x = 0.666 חשודה כנתונת ערך מינימלי ל (g ' (x.

שלב 3: נבדוק אם x = 0.666 היא אכן נקודת מינימום.
נעשה זאת על ידי הנגזרת השנייה.
g " (x) = 6x – 4
g "' (x) = 6

הנגזרת השנייה חיובית תמיד, לכן x = 0.666 היא נקודת מינימום.

שלב 4: בודקים אם שאלו אותנו משהו נוסף.
נמצא את הערך המינימלי של הנגזרת.
g ' (x) = 3x² – 4x
g ' (0.666) = 3 * 0.666² – 4 * 0.666
g ' (0.666) = -1.333

גרף הפונקציה g ' (x) = 3x² - 4x ונקודת המינימום שלה

גרף הפונקציה g ' (x) = 3x² – 4x ונקודת המינימום שלה

 

פתרון בעיית מינימום מקסימום לדוגמה ברמת 5 יחידות לימוד.
(הבעיה לקוחה מתוך בחינת הבגרות קייץ 2009 מועד ב ברמת 5 יחידות).

פתרון סעיף א אינו קשור ישירות לבעיות מינימום מקסימום אבל הוא הכרחי על מנת להגדיר פונקציה שתבטא את שטח המשולש.

אם מחברי השאלה היו משמיטים את סעיף א השאלה הייתה הופכת לקשה יותר. אחד הטיפים היותר גדולים שאני יכול לתת לכם שברוב השאלות בבגרות הנתונים שנאספים בסעיף א הם נתונים מרכזיים על מנת לפתור את סעיף ב. אל תשכחו להשתמש בהם.

השאלה
בעיית מינימום מקסימום

בעיות מינימום מקסימום

פתרון סעיף א
+
השלב הראשון הפתרון הבעיה שהוא בחירת משתנה שבאמצעותו ניתן להגדיר את הפונקציה

בעיות מינימום מקסימום

על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את שיעורי הנקודות

שלב ב בפתרון – הגדרת פונקציה מתאימה לשאלה

הערה – שכחתי לציין בשרטוט כי הנקודה D היא נקודת המפגש של הישר AB עם ציר ה- Y.


שלב ג בפתרון – מציאת נקודות קיצון של הפונקציה


שלב ד בפתרון – בדיקה של איזה סוג נקודת קיצון מצאנו.

שלב-ד

עוד באתר:

יחס כיתה ו

בכיתה ו אתם צריכים לדעת 3 דברים על בעיות יחס:

  1. מהוא יחס וכיצד רושמים אותו.
  2. צמצום והרחבת יחס. כיצד מצמצמים ומרחיבים יחס וכיצד זה יכול לעזור לנו לפתור שאלות.
  3. חלוקת כמות על פי יחס נתון. מה זה בדיוק אומר נסביר בחלק השלישי של הדף.

1. מה הוא יחס וכיצד רושמים וקוראים אותו

  1. יחס בין מספרים מאפשר להשוות בין שני המספרים.
  2. יחס בין מספרים הוא המנה (תוצאת חילוק) של חלוקתם זה בזה.
  3. יחס בין שני מספרים נרשם באמצעות הפרדתם זה מזה באמצעות נקודתיים, למשל 3:4.

יש חשיבות לסדר שבו קוראים כותבים וקוראים את היחס.
אם בצורה המילולית 3 מופיע לפני 4 אז בכתיבה המתמטית המספר 3 יופיע משמאל למספר 4.
למשל: יש 3 פרחים צהובים ו 4 פרחים לבנים. מה היחס בין הפרחים הפרחים הצהובים לפרחים הלבנים?
3:4.
היחס בין X ל- Y הוא X:Y.
סדר הדברים נובע מכך שעברית נכתבת מימין לשמאל ואילו מתמטיקה משמאל לימין.

תרגילים בנושא רישום נכון של יחס

תרגיל 1
בחנות תכשיטים יש 10 צמידים ו 18 טבעות. מה היחס בין הצמידים לטבעות?

פתרון
10 צמידים.
18 טבעות.
היחס בין הצמידים לטבעות הוא 18 : 10.

תרגיל 2
בחנות מוזיקה היחס בין גיטרות לתופים הוא 6 : 2.
מה יש יותר בחנות. גיטרות או תופים?
פי כמה יותר יש את כלי הנגינה שיש יותר בחנות?

פתרון
גיטרות נמצאות מימין בטקסט המילולי, ולכן הם צריכות להיות משמאל בטקסט המתמטי.
יש 2 גיטרות על כל 6 תופים, ולכן יש יותר תופים.
וזה אומר שיש פי 3 תופים ביחס לגיטרות.

תרגיל 3
על מדף יש 6 ספרי מתמטיקה ו- 11 ספרי אנגלית.

  1. מה היחס בין ספרי האנגלית לספרי המתמטיקה?
  2. מה היחס בין ספרי המתמטיקה לכל הספרים שעל המדף?

פתרון
אנגלית 11.
מתמטיקה 6.
היחס בין ספרי האנגלית לספרי המתמטיקה הוא 6 : 11.

חלק 2.
מתמטיקה 6.
על המדף 17 = 6 + 11.
היחס בין ספרי המתמטיקה לכל הספרים שעל המדף הוא 17 : 6.

2. צמצום והרחבת יחס

אם ניתן לצמצם את מספרי היחס נהוג לצמצם אותם. מצמצמים יחס כמו שמצמצמים שבר.
למשל: מה הוא היחס בין 5 ל- 10?
אפשר לכתוב 5:10.
אבל כך יותר טוב: 1:2.

צמצום או הרחבה של יחס אינם משני אותו.

שימוש בהרחבה וצמצום לפתרון בעיות

תרגיל 1
בעוגה אחת היחס בין כוסות הקמח לכפות השמן הוא 2 : 6.
דני הכין מספר עוגות והשתמש ב- 18 כוסות קמח.

  1. בכמה כפות שמן דני השתמש?
  2. כמה עוגות דני הכין?
  3. האם היחס השתנה בין כפות השמן לכפות הקמח השתנה כתוצאה מכך שהכנו מספר עוגות?

פתרון
על פי היחס בעוגה אחת יש 6 כוסות קמח.
דני השתמש ב- 18 כוסות קמח.
מספר כוסות הקמח גדל פי 3   18=6*3.
לכן גם מספר כפות השמן צריך לגדול פי 3.
6= 3 * 2
תשובה: נשתמש ב 6 כפות שמן.

כמה עוגות הכין דני?
הכמויות גדלו פי 3. לכן דני הכין 3 עוגות.

 האם היחס השתנה?
לא.
היחס 6 : 2 הוא זהה ליחס 18 : 6.

תרגיל 3

על שני מדפי ספרים יש 10 ספרי ילדים ו- 20 ספרים למבוגרים.

  1. מה היחס בין ספרי מבוגרים לספרי ילדים? נסו לכתוב יחס מצומצם.
  2. מה היחס בין מספר ספרי המבוגרים לכל הספרים הנמצאים על המדף?
  3. מה מספר ספרי הילדים וספרי מבוגרים שיהיו על 6 מדפים?

פתרון

היחס הוא 10 : 20. (שימו לב שבשאלה המילולית ספרי המבוגרים הופיעו ראשונים).
ניתן לצמצם את היחס פי 10.
1 : 2  (זה היחס המצומצם).

מה היחס בין ספרי המבוגרים לכל הספרים שעל המדף.
על שני מדפים יש 20 ספרי מבוגרים ו- 30 ספרים בסך הכל.
לכן היחס הוא:
30 :  20.
וכאשר נצמצם את היחס פי 10 נקבל:
3 : 2.

כמה ספרים יהיו על 6 מדפים?
על מנת לדעת כמה ספרים יהיו על 6 מדפים נכפיל פי 3 את הכמות.
(כי הכמות הראשונית היא של 2 מדפים).

30 ספרים לילדים, 60 ספרים למבוגרים.

תרגיל 3
לכנס תוכננו להגיע 20 אנשים.
היו צפויים לחכות להם 10 אנשי צוות, 20 שולחנות ו- 4 עמדות שתייה.
בסוף התברר שיגיעו 30 אנשים.

  1. התאימו את הכמויות לכמות החדשה של האנשים.
  2. * רשמו את היחס בין שולחנות עמדות שתייה ואנשי צוות.
  3. מה היחס בין אנשי הצוות לכלל הדברים שיש להכין לכנס?

פתרון
30 = 1.5 * 20.
לכן עלינו להכפיל את כל הכמויות פי 1.5
15 = 1.5 * 10   (אנשי צוות).
30 = 1.5 * 20  (שולחנות).
6 = 1.4 * 4  (עמדות שתייה).

3. חלוקת כמות על פי יחס נתון

תרגיל לדוגמה:

בכיתה 15 תלמידים.
היחס בין הבנות לבנים הוא 2 : 3.
כמה בנות וכמה בנים בכיתה?

פתרון

זה שהיחס בין בנות ובנים הוא 2 : 3.
זה אומר שעבור כל 5 תלמידים יש לנו 3 בנות ו- 2 בנים.
עבור 10 תלמידים יש לנו 6 בנות ו- 4 בנים.
עבור 15 תלמידים יש לנו 9 בנות ו- 6 בנים.

תשובה: בכיתה 9 בנות ו- 6 בנים.

תרגילים בחלוקה על פי יחס נתון

תרגיל 1

במטבח יש 28 צלחות וכוסות.
היחס בין מספר הכוסות למספר הצלחות הוא 5 : 2.
כמה כוסות וכמה צלחות יש במטבח?

פתרון
היחס בין הכוסות לצלחות הוא 5 : 2.
זה אומר:
עבור 7 כלים יש 5 כוסות ו- 2 צלחות.
עבור 14 כלים יש 10 כוסות ו- 4 צלחות.
עבור 21 כלים יש 15 כוסות ו- 6 צלחות.
עבור 28 כלים יש 20 כוסות ו- 8 צלחות.

תרגיל 2

בחנות מוצרי חשמל מוכרים רק סמארטפונים וטלוויזיות.
על כל 4 סמארטפונים שנמכרים יש 2 טלווזיות שנמכרות. כאשר החנות מוכרת 18 מוצרים כמה סמארטפונים וכמה טלווזיות נמכרו?

פתרון
היחס בין טלוויזיות שנמכרות לסמארטפונים שנמכרים הוא 4 : 2.
עבור 6 מוצרים שנמכרים יש 4 סמארטפונים ו- 2 טלוויזיות.
עבור 12 מוצרים שנמכרים יש 8 סמארטפונים ו- 4 טלוויזיות.
עבור 18 מוצרים שנמכרים יש 12 סמארפונים ו- 4 טלוויזיות.

תרגיל 3

בחנות רהיטים יש 30 שולחנות וכיסאות.
היחס בין מספר השולחנות לכיסאות הוא 1:4.
כמה שולחנות וכמה כיסאות יש בחנות?

פתרון
היחס 1:4 אומר שעל כל שולחן 1 יש 4 כיסאות.
עבור  5 רהיטים יש 1 שולחנות ו- 4 כיסאות.
עבור 10 רהיטים יש 2 שולחנות ו- 8 כיסאות.
עבור 15 רהיטים יש 3 שולחנות ו- 12 כיסאות.
עבור 20 רהיטים יש 4 שולחנות ו- 16 כיסאות.
עבור 25 רהיטים יש 5 שולחנות ו- 20 כיסאות.
עבור 30 רהיטים יש 6 שולחנות ו- 24 כיסאות.

דרך קצרה יותר לפתור את התרגיל.
תלמידי כיתה ו אינם נדרשים לדעת את הדרך הזו אבל היא יכולה לעזור.

היחס הוא  4 : 1.
כלומר סך הכל יש לנו קבוצות של 5.
כמה פעמים 5 נכנס ב: 30?
6
נכפיל את היחס המקורי 4 : 1 פי 6 ונקבל:
24 : 6.
תשובה: 6 שולחנות, 24 כיסאות.

עוד באתר:

אינטגרל של פולינום חישובי שטחים

למדנו כיצד מחשבים אינטגרל ואינטגרל מסוים בדף אינטגרל של פולינום.
בדף זה נתקדם הלאה ונלמד כיצד מחשבים שטחים בעזרת אינטגרל.

חישוב שטח הכלוא מתחת גרף הפונקציה – בעזרת אינטגרל:

אחד השימושים העיקריים של האינטגרל , הוא מציאת השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה.
איך עושים זאת?
1. בשאלות מסוג זה , תהיה נתונה לנו פונקציה, ושני ישרים אשר מקבילים לציר y.
2. על מנת למצוא את השטח – נשתמש באינטגרל מסוים.
3. באינטגרל מסוים – הכוונה היא שהגבולות של האינטגרל יהיו מספרים – אותם נציב לאחר מציאת הפונקציה הקדומה.
המספרים בגבולות האינטגרל יהיו הישרים אשר דיברנו עליהם בסעיף 1. – הם בעצם הישרים אשר קובעים את            גבולות השטח שלנו , לכן הם נקראים "גבולות האינטגרל".
4. השלבים :
א.  נמצא את הפונקציה הקדומה לפונקציה המקורית ( כלומר, נבצע אינטגרציה).
ב.  נציב את הגבולות בפונקציה הקדומה.
ראשית, נציב את הגבול העליון , ולאחר מכן נחסר ממנו את הגבול התחתון.

ובצורה פורמלית:

הסבר גרפי כיצד מחשבים סוגים שונים של אינטגרלים

אינטגרל פשוט. מחשבים על ידי הצבת גבולות האינטגרל באינטגרל של הפונקציה
אינטגרל פשוט. מחשבים על ידי הצבת גבולות האינטגרל באינטגרל של הפונקציה
« 1 של 5 »

תרגילים

  1. תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
  2. תרגילים 3-4 הם תרגילי חישוב שטחים הנמצאים מעל או מתחת לציר ה x.
  3. תרגיל 5 הוא בנושא שטח מעל ומתחת לציר ה x.
  4. תרגילים 6-7 הם תרגילי שטחים בין שני פונקציות.
  5. תרגילים 8-9 הם חישוב שטחים מורכבים.
  6. תרגילים 10-11 הם חישוב אינטגרל עם פרמטרים.

1. חישוב שטחים פשוטים

תרגיל 1
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y = x, ציר ה- x והישרים x = 1, x = 3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
x = x² / 2

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

תשובה: השטח הכלוא הוא 4 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) =x³ + 4, ציר ה- x והישרים x = -1, x= 2

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. האינטגרל של הפונקציה הוא:

3. חישוב השטח:


תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  15.75 .

2. שטח מעל או מתחת ציר ה- x

תרגיל 3
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = -x² + 4, וציר ה- x (מעל ציר ה- x).

פתרון

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 + 4 = 0-
x2 = 4
x = ± 2
לכן : a = -2  , b = 2.

2. מציאת האינטגרל:

3. חישוב השטח:


תשובה: לכן השטח הכלוא הדרוש הוא  10.666 .

תרגיל 4
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה f (x) = x² – 6x ,  וציר ה- x (מתחת לציר ה- x).

פתרון

1.מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x:
על מנת לחשב את השטח עלינו למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נציב y = 0
נקבל:
x2 – 6x = 0
x*(x-6) = 0
x1 = 0, x2 = 6
לכן : a = 0  , b = 6.
(יש להקפיד על כך שהגבול העליון יהיה בערכו יותר גדול מהתחתון).

2. נחשב את האינטגרל:

3. חישוב השטחים :



כצפוי, קיבלנו מספר שלילי – מכיוון שמצאנו שטח שהוא מתחת לציר x.
לכן ניקח את השטח בערך מוחלט (אין דבר כזה שטח שלילי).

תשובה: השטח הכלוא הדרוש הוא  36 .

3. שטח מעל ומתחת ציר ה x

תרגיל 5
לפונקציה f (x) = x³ – 9x יש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה- x.  חשבו את השטח המוגבל בין הפונקציה וציר ה x.

פתרון

בתרגיל זה יש לנו 2 שטחים נפרדים שעלינו לחשב.
הראשון – מעל ציר ה – x.
השני – מתחת לציר ה – x.
לכן נצטרך לחשב כל אחד מהשטחים בנפרד – והתשובה תהיה סכום השטחים.

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x.
נציב y =0
נקבל:
x3 – 9x = 0
x*(x2 – 9) = 0
x1 = 0  ,  x2,3 = ±3

2. מציאת האינטגרל (פונקציה קדומה):

3. חישוב השטחים:

השטח השמאלי נתון על ידי האינטגרל:




השטח הימני נתון על ידי האינטגרל:



כצפוי (מכיוון שהשטח מתחת לציר x) , המספר של השטח השני שלילי. לכן ניקח את ערכו המוחלט.

לסיכום :
S1  = 20.25
S2  = 20.25

 תשובה: השטח החסום : 40.5

4. שטחים בין שתי פונקציות

השטח הכלוא בין הפונקציות הוא בעצם השטח שכלוא מתחת לפונקציה העליונה,                                            כאשר מחסרים ממנו את שטח הפונקציה התחתונה.
לכן , בתרגילים מסוג זה נפעל לפי השלבים הבאים:
1. נזהה איזה גרף של איזו פונקציה.
2. נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות.
3. נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה.
4. נמצא את השטח הכלוא מתחת לפונקציה שמצאנו (לאחר החיסור).

 

תרגיל 6
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² – 4x + 4 ו- g(x) = -x² + 6x + 4.

פתרון

נפעל לפי השלבים לעיל:

1. נזהה את הפונקציות :
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפרבולות היא "מחייכת" , והשניה "עצובה".
לכן יהיה ניתן לזהות את הפונקציות עפ"י המקדם של x2.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = -x² + 6x + 4  – מכיוון שזוהי פרבולה "עצובה" – וזוהי העליונה בגרף.
והתחתונה – f (x) = x² – 4x + 4 – מכיוון שזוהי פרבולה "מחייכת" – וזוהי התחתונה בגרף.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 – 4x + 4 = -x2 + 6x + 4
2x2 – 10x = 0
2x*(x – 5) = 0
x1 = 0 , x2 = 5

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה :
= (g(x) – f(x) = -x2 + 6x + 4 – (x2 – 4x + 4
= x2 + 6x + 4 – x2 + 4x – 4- =
2x2 + 10x- =

4. חישוב השטח:

א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:


 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 41.6667.

 

תרגיל 7
חשבו את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות
f (x) = x² + 6  ו- g(x) = 5x.

פתרון

נפעל לפי השלבים לעיל:

1. נזהה את הפונקציות : 
במקרה זה, ניתן לראות כי אחת הפונקציות היא פרבולה, והשנייה קו ישר.
לכן – הפונקציה העליונה היא: g(x) = 5x  – קו ישר.
והתחתונה – f (x) = x² + 6 – פרבולה.

2.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
x2 + 6 = 5x
x2 – 5x + 6 = 0
פירוק לגורמים:
x – 3)*(x – 2) = 0)
x1 = 2 , x2 = 3

3. חיסור הפונקציות:
נחסר מהפונקציה העליונה את הפונקציה התחתונה:
= (g(x) – f(x) = 5x – (x2 + 6
x2 + 5x – 6- =

4. חישוב השטח:

א. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ב. חישוב השטח הכלוא:

 תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 1/6.

5. שטחים מורכבים

תרגיל 8
חשבו את השטח שבין  f(x) = 0.5x²  , x = – 4    ו- y=4.5   וציר ה- x.

פתרון

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע"י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע"י הפונקציה y = 4.5 , והישרים : x= -3 , x = -4.
2.שטח חסום מתחת לפרבולה –  חסום ע"י הפונקציה f(x) = 0.5x², והישרים: x = -3 , x = 0.
נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע"י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S
במקרה שלנו :
-גובה = 4.5   (המלבן נמצא בין ציר ה-x לבין הישר y = 4.5).
-בסיס = 1  (בסיס המלבן נמצא בין x = -4 ל – x = -3).
לכן שטח המלבן הוא : S = 1*4.5 = 4.5

2. פרבולה :
א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
לכן השטח הכולל הוא :

תשובה : השטח החסום הוא 9.

תרגיל 9
לפונקציה f(x) = -x² – 4x – 6 מעבירים משיק ב- x = -3.
חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, המשיק והצירים.

פתרון

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = -3 בפונקציה.

3-  =  f(-3)  =  -(-3)2 – 4*-3 – 6  =  -9 + 12 – 6

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (-3 , – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = -2x – 4
נציב את x = – 3 בנגזרת הפונקציה:
f ' (-3) = 6 – 4 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
((y – (-3) = 2*(x – (-3
y + 3  = 2x + 6
y = 2x + 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק , נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע"י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע"י הפונקציה : (הימני)
השטח כלוא בין הישר x = 0 לבין הישר x = -1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע"י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא: 



השטח נמצא מתחת לציר x , לכן כצפוי קיבלנו מספר שלילי.
ניקח את המספר בערכו המוחלט כדי לקבל את השטח :
S1 = 5.625

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :

1. נקודות החיתוך : השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת ההשקה ,
לבין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x (כי משם והלאה כבר חישבנו את השטח).
כבר מצאנו את נקודות אלה, ולכן :
a = -3 , b = -1.5

2. חישוב השטח הכלוא:
השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

לכן השטח השני : S2 = 1.125 .


סיכום:
 כעת רק נותר לנו לסכום את שני השטחים:

תשובה: השטח החסום : 6.75.

6. אינטגרל עם פרמטרים

תרגיל 10
נתונה הפונקציה y = x² + cx.  נתון c > 0.

  1. הביעו באמצעות c את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר x = 4.
  2. מצאו את c אם ידוע שהשטח המוגבל בין הפונקציה, הישר x = 4 וציר ה- x הוא 61.333

פתרון

1.השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

2. נחשב את האינטגרל



תשובה: לכן השטח הכלוא (כתלות בפרמטר c) הוא: 

סעיף ב – מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 61.333.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
8c + 64/3 = 61.333
8c = 40
c = 5
תשובה: c=5

 

תרגיל 11
נתונה הנגזרת: f ' (x) = 3x² + 6.
השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
מצאו את הפונקציה שהנגזרת שלה נתונה בשאלה.

פתרון
1. מציאת הפונקציה ע"י ביצוע אינטגרל:

נתונה לנו הנגזרת , ונרצה למצוא את הפונקציה.
לכן הפעולה שעלינו לעשות היא אינטגרציה.
לכן:

הוספנו את הקבוע c מכיוון שמדובר באינטגרל לא מסוים. (לא נתונים הגבולות של האינטגרל).

2. מציאת הקבוע ע"י חישוב השטח:
כדי לקבוע מהו הקבוע c , נשתמש בנתון השני – לגבי השטח הכלוא.
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
לכן נמצא את השטח הנ"ל כתלות בקבוע c , ונשווה אותו ל-450.
כך נקבל מהמשוואה את ערכו של c.

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:



ג. בניית משוואה על מנת למצוא את c.
מצאנו את השטח הכלוא כתלות בפרמטר c.
כעת נשווה אותו עם השטח הנתון 450.

6c + 432 = 450
6c = 18
c = 3

לכן הפונקציה היא:

עוד באתר:

אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות

כללים לביצוע אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות:

1. אינטגרל של cosx:

2. אינטגרל של sinx:

3.אינטגרלים של פונקציות מורכבות:
כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך cos:

כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך sin:

4. אינטגרל נוסף שחשוב לדעת:

הערה :  כאשר יש לנו פונקציה טריגונומטרית שכפולה במספר קבוע , נכפול את האינטגרל באותו מספר.


תרגילים

אינטגרל לא מסוים



תרגיל 1

פתרון

נשתמש בנוסחה לאינטגרל של cosx :

כמו כן , נשים לב כי הפונקציה שלנו כפולה בקבוע (המספר '5') ,
ולכן נכפול גם את האינטגרל באותו מספר.
תשובה:

תרגיל 2

פתרון

אינטגרל של סכום שווה לסכום האינטגרלים.
לכן מתקיים:

נחשב כל אחד מהאינטגרלים בנפרד:
1. sinx –  : נשתמש בנוסחה:

ונכפול את האינטגרל ב 1- , מכיוון שהפונקציה נכפלת בקבוע הזה.

2. 4cosx- : נשתמש בנוסחה:

ונכפול את האינטגרל ב 4- , מכיוון שהפונקציה נכפלת בקבוע הזה.

לכן התשובה:



תרגיל 3


פתרון

נשתמש בנוסחה לאינטגרל מורכב של sin:

(כאשר m = 4 , n = 3)

לכן התשובה:

אינטגרל מסוים

תרגיל 4

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
cosx = sinx∫
(אין צורך להוסיף קבוע , מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

2.נבצע את החישוב:


תשובה: 1

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = cosx
2. a = 0 , b = π/2

תרגיל 5

 

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
(זהו שילוב של פונקציה טריגונומטרית עם פולינום – אנו יודעים לבצע אינטגרל)
2sinx + 2x dx = -2cosx + x² ∫
(אין צורך להוסיף קבוע , מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).

2.נבצע את החישוב:

תשובה: π2 + 4

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = 2sinx + 2x
2. a = 0 , b = π

 

חישובי שטחים

תרגיל 1
חשבו את השטח שחסום ע"י הפונקציה:  f(x) = cosx + 0.5 ,
והישרים : x = π/3 , x = 2π/3.

פתרון

1. השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:

האינטגרל הוא:
cosx+0.5 dx = sinx + 0.5x ∫

2. חישוב השטח (פתרון התרגיל):

 

תשובה: השטח הכלוא הוא π/6.

תרגיל 2
חשבו את השטח שבין (f(x) = sin(2x , והישר y = √2/2.
בתחום : 

פתרון

1.נקודות החיתוך בין הפונקציות:
נמצא את נקודות החיתוך ע"י השוואה בין 2 הפונקציות :
sin(2x) = √2/2
(2x = arcsin(√2/2
בתחום שלנו ישנן 2 אפשרויות:
א..   2x = π/4
x1 = π/8
ב. 2x = 3π/4
x2 = 3π/8

2. חישוב השטח:

א. השטח המבוקש נתון ע"י:

(ביצענו חיסור בין השטחים על מנת לקבל את השטח הכלוא בין הפונקציות).

ב. האינטגרל של הפונקציה הוא:

ג. חישוב השטח הכלוא:


תשובה: השטח החסום בין הפונקציות : 0.1517.

 

תרגיל 3
לפונקציה f(x) = sinx מעבירים משיק בנק' x = π/2.
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק, והישר x = π.

פתרון

  1. נמצא את משוואת המשיק:
    על מנת למצוא את נקודת ההשקה, נציב x = π/2 בפונקציה f(x) = sinx.
    f(π/2) = sin(π/2) = 1
    לכן נקודת ההשקה היא  (1 , π/2).שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
    לכן נגזור את הפונקציה:
    f ' (x) = cosx.
    נציב בנגזרת x = π/2 על מנת למצוא את השיפוע:
    f ' (π/2) = cos(π/2) = 0
    לכן השיפוע: m = 0. (כלומר, ישר המקביל לציר x).נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y= m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
    נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
    (y – 1 = 0*(x – π/2
    y  – 1 = 0
    y = 1
    2. חישוב השטח הכלוא:

    השטח מוגבל מתחת לישר y = 1 (המשיק) ומעל הפונקציה f(x) = sinx.
    השטח מוגבל משמאל ע"י נקודת ההשקה – x = π/2 , ומימין ע"י הישר x = π.
    לכן השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

    א. חישוב האינטגרל:

    ב. חישוב השטח:

    תשובה: השטח הכלוא הוא 0.571.

חישוב שטח עם פרמטר

תרגיל 4
(f(x) = 2cos(3x
א. הביעו באמצעות c את השטח הכלוא מתחת לפונקציה, בין הישרים x = 0, x = c.
ב. נתון כי השטח הנ"ל שווה ל – 1/3.  מצאו את c.

הערה : הניחו כי :    

פתרון

א. השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

1. חישוב האינטגרל:

2.חישוב השטח:


ב.מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 1/3.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
1/3 = 2/3 * (sin (3c
נחלק את המשוואה ב – 2/3.
sin(3c) = 1/2
ידוע כי  sin (π/6) = 1/2. לכן:
3c = π/6
c = π/18

תשובה לסעיף ב':  c = π/18

עוד באתר:

משוואת משיק לפונקציית שורש

בדף זה נפתור 3 תרגילים בנושא מציאת משיק לפונקציית שורש.

בדף פונקציית שורש תוכלו ללמוד על נושאים נוספים בחקירת פונקציית שורש.

תרגיל 1
מצאו את המשיק לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
בנקודה y = 4.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 4.

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
2x – 1 = 4²
2x – 1 = 16
2x = 17
x = 8.5
לכן נקודת ההשקה היא (4, 8.5).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 8.5.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 8.5.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = 1/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = 1/4*(x – 8.5
y  – 4  =  1/4*x – 17/8
y   =  1/4*x + 15/8

 

תרגיל 2
האם לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש משיק ששיפועו 8-?
אם לא הוכיחו שאין. אם כן מצאו אותו.

פתרון

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
לכן, על מנת לבדוק האם לפונקציה יש משיק ששיפועו  8- ,
נגזור את הפונקציה, ונבדוק האם יש x שנמצא בתחום ההגדרה ומקיים:
f ' (x) = -8.


כעת נשווה את הנגזרת ל 8- :

נכפול ב x3/2:
8x3/2  =  -1-
נחלק ב 8- :
x3/2 = 1/8
נעלה בחזקת 2/3:
(ואז , לפי חוקי חזקות, החזקה על ה – x תהיה שווה ל – 1)
x = (1/8)2/3
x = 1/4

מצאנו x המקיים f ' (x) = 8.
לכן לפונקציה שלנו אכן קיים משיק ששיפועי 8-.
נמצא אותו:

מצאנו כי שיעור ה – x של נקודת ההשקה הוא x = 1/4.
נמצא את שיעור ה- y של נקודת ההשקה.
נעשה זאת ע"י הצבת x = 1/4 בפונקציה.
כלומר , מציאת הערך של   (f(1/4.

f(1/4) = 2/√(1/4) = 2 / (1/2) = 4

לכן ערך ה – y של נקודת ההשקה הוא  y = 4.
לכן נקודת ההשקה היא : (4 , 1/4)

שיפוע המשיק נתון לנו כתנאי השאלה: m = -8.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = -8*(x – 1/4
y – 4 = -8x + 2
y = -8x + 6
זוהי משוואת הישר המשיק לפונקציה ששיפועו 8-.

 

תרגיל 3
לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש בנקודה x = 9 משיק ששיפועו 0.5-.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 9 הוא  m = -1/2.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 9 , צריך להיות 1/2-.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f ' (9) = -1/2.

המשוואה f ' (9) = -1/2 :

נקבל ממנה (לאחר הכפלה ב – 6 ) :
a = 6*-1/2

תשובה:
a = -3

גרף הפונקציה:
f(x) = -3√x

עוד באתר:

אינטגרל פולינום

כללי אינטגרל של פולינום

הקדמה:
אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
כאשר אנו מבצעים אינטגרציה לפונקציה, אנו בעצם מוצאים את "הפונקציה הקדומה" שלה.
כלומר, אם נבצע אינטגרציה לפונקציה , ולאחר מכן נגזור את האינטגרל – נקבל את הפונקציה המקורית.

ישנם 2 סוגים של אינטגרלים:
1. אינטגרל לא מסוים : כאשר אין מספרים בגבולות האינטגרל ,
כלומר, רוצים למצוא רק את הפונקציה הקדומה.
2. אינטגרל מסוים : כאשר יש מספרים בגבולות האינטגרל.
כלומר, רוצים לחשב שטח או משהו אחר בעזרת האינטגרל.

שימושו העיקרי של האינטגרל הוא מציאת השטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה.

לרוב , נסמן את הפונקציה הקדומה ב – (F(x.

איך מוצאים אינטגרל של פולינום?
– נרצה למצוא את "הפונקציה הקדומה" של הפולינום הנתון.
לכן נרצה לבצע פעולה שהיא הפוכה לנגזרת.

-בנגזרת של פולינום ( כלומר של x בחזקה כלשהי ) , אנו מורידים את החזקה ב – 1 ,
ומכפילים באותה החזקה.
(למשל , הנגזרת של x3 היא 3*x2. )

-לכן באינטגרל נבצע את הפעולה ההפוכה : 
ראשית, נעלה את החזקה ב – 1.  (פעולה הפוכה לחיסור)
שנית , נחלק בחזקה הנוכחית (כלומר, בחזקה לאחר שהוספנו לה 1).  (פעולה הפוכה לכפל)

ובצורה פורמלית:

מסקנה חשובה מהכלל הנ"ל:
אינטגרל של מספר קבוע יהיה אותו מספר כפול x.
לדוגמה , האינטגרל של המספר 5  הוא  5x.

בדומה לנגזרת: במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.

עוד כלל חשוב : אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :

הערה חשובה:
-כפי שלמדנו, נגזרת של מספר קבוע היא 0.
לכן, פונקציה קדומה יכולה להכיל כל ערך של מספר קבוע, מכיוון שהוא בכל מקרה יתאפס בגזירה.
-לכן, במידה ואנו רוצים למצוא אינטגרל לא מסוים, (כלומר, אין לנו מידע על גבולות האינטגרל)
נוסיף קבוע לפונקציה הקדומה.

דוגמה:

נמצא את האינטגרל של הפונקציה :
f(x) = x4.

פתרון

1.    נעלה את החזקה ב -1 , נקבל : x5.
2.    נחלק בחזקה הנוכחית ( כלומר ב – 5) :
נקבל : x5/5.
והאינטגרל הוא: (נסמן ב F את הפונקציה הקדומה).
F(x) = x5/5 + C
(שימו לב כי לא היו נתונים לנו הגבולות של האינטגרל – אינטגרל לא מסוים, לכן הוספנו קבוע C כלשהו).

תרגילים

אינטגרל לא מסוים

 חשבו את האינטגרלים הבאים:

תרגיל 1

פתרון

נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)

נקבל:

תרגיל 2

פתרון

נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)

נקבל:

תרגיל 3

פתרון

נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)

נקבל:

תרגיל 4

פתרון

נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)

נקבל:


תרגיל 5 (אינטגרל של חיבור פונקציות)

פתרון

אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :

עבור כל אחד מהאינטגרלים נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)


לכן נקבל:



(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 6 (אינטגרל של מכפלת פונקציות)

פתרון

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן, ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

כעת זהו פולינום ואנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :

עבור כל אחד מהאינטגרלים נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)


לכן נקבל:



(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 7

פתרון

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן,ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

כעת זהו פולינום ואנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :

עבור כל אחד מהאינטגרלים נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)

לכן נקבל:


(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 8

פתרון

על מנת להפוך את הביטוי לפולינום מהצורה שאנו יודעים לפתור,
נחלק את הביטוי ל-2 גורמים:

כעת אנו יודעים לבצע אינטגרציה.
אינטגרל של חיבור פונקציות – יהיה חיבור האינטגרלים.
כלומר :

עבור כל אחד מהאינטגרלים נשתמש בנוסחה לאינטגרל של פולינום:
(נזכור כי במידה והפונקציה נכפלת בקבוע כלשהו , גם האינטגרל יהיה מוכפל באותו הקבוע.)

לכן נקבל:


אינטגרל מסוים

חשבו את האינטגרלים הבאים:

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
2x = x²∫

2.נבצע את החישוב:

הערה: בפתרון השאלה השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1. f(x)  = 2x
2. a = 0 , b = 2

 

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:


הערה: לצורך החישוב השתמשנו בנוסחה:

כאשר :
1. f(x)  = 3x5
2. a = 1 , b = 4

תרגיל 3

פתרון

1. נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:

הערה: לצורך החישוב השתמשנו בנוסחה:

כאשר :
1.   f(x)  = x4 + 2x5
2.    a = -2 , b = 1

תרגיל 4


פתרון

חיבור המספר '2' אינו קשור לאינטגרל.
לכן "נגרור" את החיבור הנ"ל לאורך התרגיל, אבל נבצע את החיבור לאחר פתרון האינטגרל,
ולאחר החיבור נקבל את התוצאה הדרושה.

1. נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:
(חשוב לזכור "לגרור" את החיבור של המספר '2' מחוץ לאינטגרל)



הערה: בפתרון השתמשנו בנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים:

כאשר :
1.   f(x)  = x4
2.    a = -3 , b = -1