משיק ונקודות קיצון פרמטרים

בדף זה 5 תרגילים עם פרמטרים.
תרגילים 1-3 הם בנושא משיק לפונקציה.
תרגילים 4-5 הם בנושא נקודות קיצון.

תרגילים עם משיקים

תרגילים 1-2 כוללים משיקים.
תרגיל 3 כולל שתי פונקציות.

תרגיל 1
שיפוע המשיק לגרף הפונקציה כאשר f(x) = -x² + 2ax כאשר x = -3 הוא 3.
חשבו את a וכתבו את הפונקציה ללא פרמטר.

פתרון
שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
לכן נחשב את ערך הנגזרת בנקודה x = -3 וזה צריך להיות שווה ל 3.

נגזור את הפונקציה:
f(x) = -x² + 2ax
f ' (x) = -2x + 2a
השאלה אומרת שערך הנגזרת ב x = -3 הוא 3.
נציב x = -3 בנגזרת ונבנה משוואה:
f ' (-3) = – (-3)² + 2*-3a = 3
9-6a = 3-
6a = 12-
a = -2

נכתוב את הפונקציה ללא פרמטר.
f(x) = -x² + 2ax
f(x) = -x² -4x

תרגיל 2
המשיק לגרף הפונקציה f (x) = ax³ -12x  מקביל ישר y = -3x +4 כאשר x =1.
מצאו את a ואת משוואת המשיק.

פתרון
סעיף א: נמצא את a
על פי נתוני השאלה אנו יודעים שבנקודה x= 1 שיפוע הפונקציה ושיפוע המשיק שווים ל 3-.
נגזור את הפונקציה:
f ' (x) = 3ax² – 12
נציב x = 1 בנגזרת, ואנו יודעים שבנקודה זו ערך הנגזרת הוא 3-. לכן יש לנו משוואה.
f ' (-1) = 3a*1² – 12 = -3
3a – 12 = -3  / +12
3a = 9  / : 3
a = 3

סעיף ב: נמצא את משוואת המשיק
על מנת למצוא משוואת ישר עלינו לדעת שיפוע ונקודה.
שיפוע המשיק הוא 3-. כי המשיק מקביל לישר  y = -3x +4 והשיפועים של ישרים מקבילים שווים.
חסרה לנו נקודה דרכה עובר המשיק.
וזו תהיה נקודת ההשקה, הרי המשיק עובר דרך נקודת ההשקה.

נציב x = 1 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת ההשקה.
f (1) = 3*1³ -12*1= 3 – 12 = -9
נקודת ההשקה היא: (9-, 1).

נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע (3-) ונקודה  (9-, 1).
(y-y1=m(x-x1
(y +9 = -3 (x – 1
y + 9 = -3x + 3  / -9
y = -3x – 6
תשובה: משוואת המשיק היא y = -3x – 6

תרגיל 3
לפונקציות f (x) = 2x² – 2ax ו  5 + g (x) = 4x² יש שיפוע שווה כאשר x = 3. מצאו את a.

פתרון
אם לפונקציות יש שיפוע שווה ב x = 3 זה אומר שערך הנגזרת שלהם שווה ב x = 3.
נגזור את שתי הפונקציות:
f (x) = 2x² – 2ax
f ' (x) = 4x -2a
5 + g (x) = 4x²
g' (x) = 8x

נמצא את הערך של שתי הנגזרות ב x = 3.
f ' (3) = 4*3 -2a = 12- 2a
g' (3) = 8*3 = 24

אנו יודעים כי השיפועים שווים ב x = 3
(f ' (3) = g' (3
12-2a = 24  / -12
2a = 12  / : -2-
a = -6
תשובה: a = -6.

פרמטרים ונקודות קיצון

תרגיל 1
לפונקציה f(x) = 2x² +ax – 4  יש נקודת קיצון כאשר x = 2.
מצאו את a ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
f ' (x) = 4x + a
על מנת שתהיה נקודת קיצון ב x = 2 הנגזרת צריכה להיות שווה ל 0 בנקודה זו.
נציב x= 2 בנגזרת ונבנה משוואה.
f ' (2)  = 4 * 2 + a = 0
a + 8 = 0  / -8
a = -8

משוואת הפונקציה היא  f(x) = 2x² -8x – 4.

תרגיל 2
לפונקציה f(x) = ax² + bx – 2 יש נקודת קיצון בנקודה (0, 1).
מצאו את a,b ורשמו את משוואת הפונקציה.

פתרון
יש לנו כאן שני נעלמים ואנו נבנה להם שתי משוואות.
משוואה אחת היא שערך הפונקציה ב x = 1 שווה ל 0.
משוואה שנייה היא שהנגזרת ב x = 1 שווה ל 0.

נציב את הנקודה (0, 1) במשוואת הפונקציה.
f (1) = a*1² + b – 2 = 0
a + b – 2 = 0   (זו המשוואה הראשונה).

נגזור את הפונקציה
f ' (x) = 2ax + b
נציב x= 1 בנגזרת ונשווה ל 0.
f ' (1) = 2a*1 + b = 0   (זו המשוואה השנייה)

שתי המשוואות שקיבלנו הם:
a + b – 2 = 0
2a*1 + b = 0
נפתור בשיטת השוואת מקדמים ונחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
a – (-2) = 0
a + 2 = 0  / -2
a = -2

נציב a = -2 במשוואה הראשונה על מנת למצוא את b.
a + b – 2 = 0
b – 2 – 2 = 0
b – 4 = 0
b = 4

תשובה: משוואת הפונקציה היא f(x) = -2x² + 4x – 2

עוד באתר:

מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

למשוואה ריבועית יכולים להיות 0 או 1 או 2 פתרונות.
במקרים מסוימים תצטרכו לדעת את מספר הפתרונות ולא את הפתרונות עצמם.

על מנת לדעת את מספר הפתרונות יש נוסחה פשוטה;
אם המשוואה הריבועית היא ax²+bx+c=0 אז מספר הפתרונות נקבע על ידי האי שוויונות הבאים:
b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

בהמשך הדף אנחנו נסביר:

  1. מדוע האי שוויונות הללו נכונים.
  2. מה היא המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
  3. נפתור תרגילים.

מדוע האי שוויונות הללו נכונים?

אנחנו יודעים שמשוואה ריבועית נפתרת על ידי נוסחת השורשים.
נוסחת השורשים נראית כך:

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

חלק א: מדוע כאשר b²-4ac < 0 אין פתרונות
אנחנו שמים לב שבתוך השורש נמצא הביטוי b²-4ac.
אנחנו יודעים גם שאין שורש (זוגי) למספר שלילי.
לכן כאשר b²-4ac < 0 אין למשוואה פתרונות, כי אנחנו מגיעים למשוואה מתמטית שאי אפשר לפתור.

חלק ב: מדוע כאשר b²-4ac > 0 יש שני פתרונות
למשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות.
שני הפתרונות מתקבלים כי במונה של נוסחת השורשים יש את הסימן ±.
פתרון אחד מתקבל כאשר הפעולה היא + ופתרון שני מתקבל כאשר הפעולה היא -.

חלק ג: מדוע כאשר b²-4ac = 0 יש פתרון יחיד
אמרנו שיש שני פתרונות זה נובע מכך שיש פעם אחת את הפעולה + ופעם שנייה את הפעולה -.
אבל כאשר הפעולה הפעולה היא 0 + או 0 – זה נותן בדיוק את אותה תוצאה.
כאשר b²-4ac = 0 הפעולה היא פעם אחת  0 + ולאחר מיכן 0 – ושני הפתרונות מתלכדים / זהים והופכים לפתרון יחיד.

המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

זה נושא חשוב.

כאשר אנחנו הופכים את המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0 לפונקציה f(x) = ax² + bx + c אנו מקבלים גרף של פרבולה.
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x מתקבלות כאשר מציבים f(x)= 0.
בדיוק כמו שאת נקודת החיתוך של ישר עם ציר ה x היינו מקבלים לאחר הצבה y= 0.

כאשר נציב f(x)=0 נקבל את המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0.
לכן מספר נקודות החיתוך הוא כמספר הפתרונות של המשוואה.
כל פתרון הוא נקודת חיתוך.

כאשר יש שני פתרונות גרף המשוואה הריבועית חותך את ציר ה- x בשני מקומות.
כאשר יש פתרון אחד גרף המשוואה הריבועית משיק לציר ה – x בנקודה אחת – בקודקוד.
כאשר אין פתרונות גרף המשוואה הריבועית אינו חותך את ציר ה – x.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית 2x² – 3x + 6 = 0.
מה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה f (x) = 2x² – 3x + 6 עם ציר ה x.

פתרון
במשוואה הריבועית הזו הערך של הפרמטרים הוא:
a = 2
b = -3
c = 6
נציב את המספרים הללו בביטוי b² – 4ac ונקבל:
6*2*4 – ²(3-)
48 – 9
0 > 39-
קיבלנו כי b² – 4ac < 0  ולכן למשוואה ריבועית זו אין פתרונות.
ומכוון שכך גם לפרבולה f (x) = 2x² – 3x + 6 אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

תרגיל 2
למשוואה הריבועית
x² +bx + 16 = 0 יש פתרון יחיד.
מצאו את b.

פתרון
במשוואה הזו:
a = 1
b = 0
c = 16
מכוון שיש פתרון יחיד b² – 4ac = 0

b²-4*16 = 0
b² -64 = 0  / +64
b² = 64
b = 8, b = -8
תשובה: על מנת שלמשוואה יהיה פתרון יחיד b = 8 או b = -8

תרגיל 3
ידוע כי לגרף הפרבולה f(x) = 2x² + bx + c אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
מבין הגרפים הבאים איזה גרף יכול להיות הגרף של (f(x?

פתרון
גרף של פרבולות

פתרון
גרף מספר 3 חותך את ציר ה x ולכן לא יכול להיות התשובה הנכונה.
גרף מספר הוא פרבולה עם נקודת מקסימום, ולכן הערך של a צריך לקיים a < 0. אבל בפרבולה שלנו a= 2. לכן זה לא יכול להיות גרף מספר 2.
גרף מספר 1 לא חותך את ציר ה x וה a שלו מקיים a > 0 ולכן גרף זה יכול לתאר את הפרבולה.

עוד באתר:

אסימפטוטות פונקציה טריגונומטרית

לפונקציה טריגונומטרית אסימפטוטות אנכיות.
בדף זה נפתור שני תרגילים.

עוד באתר:

תרגיל 1

פתרון:

אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו – האסימפטוטה תתקבל בנקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת.
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס,
כלומר:   x – 1 = 0
כאשר x שואף ל -1 , המכנה שואף ל – 0, והמונה שואף למספר שאינו 0 .
לכן כאשר x שואף ל -1 הפונקציה שואפת לאינסוף.
כלומר : הישר x = 1 הינו אסימפטוטה אנכית.

 

תרגיל 2
(tan(x
בתחום   

פתרון:

אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו – האסימפטוטה תתקבל בנקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת.
tan(x) = sinx/cosx
לכן הפונקציה אינה מוגדרת כאשר cosx = 0.
בתחום שלנו , משוואה זו מתקיימת עבור x = π/2 , x = 3π/2.
בנקודות הללו, sinx שונה מ – 0.

לכן הישרים x = π/2 , x = 3π/2 הם אסימפטוטות אנכיות בתחום .

עוד באתר:

מציאת משיק לפונקציה טריגונומטרית

בדף זה שני תרגילים של מציאת משוואת משיק לפונקציה טריגונומטרית.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 2x + 4sin x בנקודה x=0.5π.

פתרון

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x=0.5π בפונקציה.

f(0.5π) = 2*0.5π + 4sin(0.5π) = π + 4
(sin(0.5π) = sin(90) = 1).

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0.5π, π+4)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
כלומר:  (m = f ' (0.5π.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = 2 + 4cosx
נציב את x=0.5π בנגזרת הפונקציה:
f ' (0.5π) = 2 + 4cos(0.5π)  =  2
(cos(0.5π) = cos (90) = 0 )
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – (π +4) = 2*(x – 0.5π
y – π – 4 = 2x – π
y = 2x + 4

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק ששיפועו m = √2 לפונקציה f(x) = sinx – cosx בתחום [0,π]

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 2√, לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = √2.
f ' (x) = cosx + sinx
לכן המשוואה היא :
cosx + sin x =  √2
נעלה את 2 אגפי המשווה בריבוע:
(כאשר מעלים את המשוואה בריבוע נוסף עוד פתרון, לכן לאחר פתרון המשוואה נוודא כי מצאנו פתרון נכון שנמצא בתחום).
cosx + sinx)² = 2)
(נוסחת כפל מקוצר : a+b)² = a² + 2ab + b²) )
cos²x + 2sinx*cosx + sin²x = 2

(זהויות טריגונומטריות:
1. 2sinx*cosx = sin2x
2. cos²x + sin²x = 1)

לכן נקבל :
sin2x + 1 = 2
sin2x = 1
ידוע כי : sin(0.5π) = sin(90) = 1)
לכן : 2x =0.5π 
x = 0.25π
ערך ה-x שמצאנו אכן נמצא בתחום [0,π].
*נציב x = 0.25π במשוואה :
cosx + sin x =  √2
נבדוק שהפתרון שמצאנו אכן פותר את המשוואה הנ"ל.
ואכן, מתקיים :
cos(0.25π) + sin(0.25π) = √2

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = 0.25π בפונקציה.
f(0.25π) = sin(0.25π) – cos(0.25π) = 0
לכן נקודת ההשקה היא :  (x,y) =  (0.25π, 0)

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = √2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 0 = √2*(x-0.25π
y = √2*x – √2*0.25π

עוד באתר:

פרבולה בעיות עם פרמטרים חסרים

בדף זה 6 תרגילים הכוללים מציאת פרמטר חסר בפרבולה.

תרגיל 1
הפרבולה f(x) = ax² – 3 עוברת בנקודה (19-, 2).
מצאו את a ואת משוואת הפרבולה.

פתרון
נקודות דרכן הפרבולה עוברת מקיימות את משוואת הפרבולה.
לכן נציב את הנקודה (19-, 2) במשוואת הפרבולה ונשאר עם נעלם אחד שהוא a.
a*2² – 3= -19
4a – 3 = -19   / + 3
4a = -16  / :4
a = -4

תשובה: a = -4 ומשוואת הפרבולה היא  f(x) = -4x² – 3.

תרגיל 2
משוואת פרבולה היא f (x) = x² + 3x + c. ידוע כי הפרבולה חותכת את ציר ה y כאשר y = -6.
מצאו את c ואת משוואת הפרבולה.

פתרון
בנקודת החיתוך עם ציר ה y מתקיים x= 0.
לכן נקודת החיתוך היא:
(6-, 0).
נציב את הנקודה במשוואת הפרבולה:
c + 0² + 3*0 = -6
c = -6.

תשובה: c = -6 ומשוואת הפרבולה היא  f (x) = x² +3x -6.

הפרבולה f (x) = x² +3x -6 ונקודת החיתוך שלה עם ציר ה y

הפרבולה f (x) = x² +3x -6 ונקודת החיתוך שלה עם ציר ה y

תרגיל 3
הפרבולה f(x) = ax² +c   עוברת דרך הנקודות (13, 3) ו (3-, 1).
מצאו את a ו c ואת משוואת הפרבולה.

פתרון
נציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ונקבל שתי משוואות עם שני נעלמים.
נציב את (13, 3) ונקבל:
a * 3² + c = 13
9a + c = 13
נציב את (3-, 1) ונקבל:
a*1² + c = -3
a + c = -3

קיבלנו את שתי המשוואות:
9a + c = 13
a + c = -3
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה.
8a = 16   / :8
a = 2

נציב a = 2 במשוואה a + c = -3 ונקבל:
c + 2 = -3   / -2
c = -5

תשובה: קיבלנו a = 2,  c = -5 ולכן משוואת הפרבולה היא:
f (x) = 2x² – 5

הפרבולה f (x) = 2x² - 5 ושתי הנקודות שנמצאות עליה.

הפרבולה f (x) = 2x² – 5 ושתי הנקודות שנמצאות עליה.

תרגיל 4
ידוע כי בפרבולה f (x) = 3x² + bx + c הקודקוד נמצא בנקודה (3-, 2)
מצאו את משוואת הפרבולה.

פתרון
יש לנו שני נעלמים ואנו יכולים לבנות שתי משוואות.
משוואה אחת היא ערך ה x של נקודת הקודקוד.
נוסחה לקודקוד הפרבולה
b : 2*3 = 2-
b = 12  / : -1-
b = -12

והמשוואה השנייה היא הצבה של הנקודה (3-, 2) במשוואת הפרבולה
c + 3*2² – 12*2 = -3
c + 12 – 24 = -3
c – 12 = -3  / +12
c = 9

תשובה: משוואת הפרבולה היא  f (x) = 3x² – 12x + 9

תרגיל 5
לפרבולה  f(x) = ax² + 6x + 3 יש נקודת השקה עם ציר ה x.
מצאו את משוואת הפרבולה ואת נקודת ההשקה.

פתרון
זה שיש נקודת השקה זה אומר שיש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה x.
כלומר שנציב f(x) = 0 נקבל פתרון יחיד למשוואה.
ax² + 6x + 3 = 0
פתרון יחיד של משוואה ריבועית מתקבל כאשר:
b² – 4ac = 0
6²-4a*3 = 0
36-12a=0
36=12a
a = 3

משוואת הפרבולה היא:
f(x) = 3x² + 6x + 3
נמצא את נקודת הקודקוד על ידי הנוסחה:
נוסחה לקודקוד הפרבולה
x = -6 : (2*3) = -1

מכוון שהקודקוד משיק לציר ה x אנו יודעים שערך ה y בקודקוד הוא y= 0.
נקודת הקודקוד היא (0, 1-).

תשובה: משוואת הפרבולה היא f(x) = 3x² + 6x + 3 נקודת הקודקוד היא (0, 1-).

הערה: היינו יכולים למצוא את ערך ה y של נקודת הקודקוד גם על ידי הצבה x = -1 במשוואת הפרבולה f(x) = 3x² + 6x + 3.

הפתרון של התרגיל הבא הוא אי שוויון.

תרגיל 6
עבור אלו ערכים של c לפרבולה f(x) = x² + 6x + c
אין נקודות חיתוך עם ציר ה x?
יש שתי נקודת חיתוך עם ציר ה x?

פתרון
סעיף א: אין אף פתרון
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x כאשר למשוואה הריבועית ממנה מורכבת הפרבולה אין פתרון.
למשוואה ריבועית מהסוג f(x) = ax²+bx+c אין אף פתרון כאשר
b² – 4ac <0
הפרבולה שלנו היא f(x) = x² + 6x + c.
כלומר
a = 1
b = 6
c = c
נציב את הערכים הללו באי השוויון b² – 4ac <0
6²-4c < 0
4c > 36  / :4
c > 9.

תשובה: כאשר c > 9  לפרבולה f(x) = x² + 6x + c אין נקודות חיתוך עם ציר ה x (שמשמעותם שאין למשוואה הריבועית פתרון).

סעיף ב: שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x.
שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x מתקבלות כאשר b² – 4ac > 0 .
נציב את ערכי הפרבולה שלנו באי שוויון ונקבל:
6²-4c > 0
4c < 36   / : 4
c < 9
תשובה: עבור c < 9 לפרבולה f(x) = x² + 6x + c יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x (שמשמעותם שני פתרונות למשוואה הריבועית).

עוד באתר:

גיאמטריה אנליטית חישוב שטחים

בכמעט כל שאלת בגרות ברמת 4 יחידות אתם נדרשים לחשב שטח.
לרוב זה שטח משולש, אבל לפעמים אלו גם שטחים של מרובעים.

בדף זה נלמד לחשב שטח של 3 צורות:

  1. שטח משולש.
  2. שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים (דלתון או ריבוע).
  3. שטח המרובע הנוצר על ידי הנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל ומרכז המעגל.

1. חישוב שטח משולש

בשאלות הללו יתנו לכם 2 נקודות הנמצאות על אחד הצירים או על ישר המקביל לצירים.
ונקודה שלישית כלשהי.
אתם תצטרכו לחשב את שטח המשולש.

תרגיל 1 (2 נקודות על אחד הצירים)
חשבו את שטח המשולש שאורך שלושת קודקודיו הוא:
(A (1,0),   B(4,0),  C(6,3

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

פתרון
אורך הצלע BC הוא 3 = 1 – 4.

עכשיו עלינו לחשב את הגובה היוצא מהקודקוד C.
הגובה הוא בעצם ערך ה y של הנקודה C.
כלומר 3.

ולמה אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה c?
כי כאשר נוריד את הגובה נראה שהנקודה D שאליה הוא מגיע היא בעלת אותו ערך X כמו הנקודה C.
לכן המרחק CD נמצא על ציר ה y בלבד.
(למי שההסבר לא מובן, אני מנסה להסביר את זה טוב יותר בוידאו).

שטח משולש
BC = 3. אורך הגובה הוא 3.
לכן שטח המשולש הוא:
4.5 = 2 : ( 3 * 3)
תשובה: שטח המשולש 4.5 יחידות ריבועיות.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של CD הוא 3.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של CD הוא 3.

תרגיל 2 (2 נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים)
חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם:
(A (-2, 5),  B(1,1),   C(-2, -1

שטח משולש שאתם צריכים לדעת לחשב

שטח משולש שאתם צריכים לדעת לחשב

פתרון
אורך הצלע AC הוא:
6 = (1-) – 5

אורך הגובה הוא:
3 = (2-) – 1

שטח המשולש הוא:
9 = 2 : (3 * 6)
תשובה: שטח משולש ABC הוא 9 יחידות ריבועיות.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של BD הוא 3.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של BD הוא 3.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מהצירים.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מישר המקביל לצירים.

2. שטח דלתון מעוין וריבוע על פי ערכי הקודקודים הידועים

בצורות דלתון, מעוין וריבוע האלכסונים מאונכים.
ויש נוסחת שטח יעילה בתרגילי גיאומטריה אנליטית והיא מכפלת האלכסונים לחלק ל- 2.

למה הנוסחה יעילה?
כי בגיאומטריה אנליטית הרבה פעמים אנו יודעים את ערכי נקודות הקודקוד.

נציג את הנוסחה לשטח דלתון, אבל זה בדיוק אותו דבר גם בשטח מעוין או בשטח ריבוע.

נוסחה לחישוב שטח דלתון

נוסחה לחישוב שטח דלתון

תרגיל
חשבו את שטח הדלתון שקודקודיו הם:

חישוב שטח דלתון, שרטוט התרגיל

פתרון
עלינו לחשב את אורך האלכסונים AD ו- BC.

האורך של AD הוא:
AD² = (2 -2)² + (6 – (-2))² = 8²
AD = 8

האורך של BC הוא:
BC² = (4 – 4)² + (5 – (-1))² = 6²
BC = 6

שטח הדלתון הוא:
24 = 2 : (6 * 8)
תשובה: שטח הדלתון הוא 24 יחידות ריבועיות.

הערה: מכוון שבדלתון הספציפי הזה האלכסונים הם ישרים המקבילים לצירים היה ניתן לחשב את שטח הדלתון בדרך קצרה יותר.
מכוון שרציתי להראות דרך המתאימה לכל דלתון / מעוין / ריבוע לא עשיתי זאת.

3. שטח מרובע הנוצר על ידי נקודה ממנה
יוצאים שני משיקים למעגל ומרכז המעגל

הכוונה היא למרובע כגון ABMC שבשרטוט.

יש שני משפטים בגיאומטריה שעליכם להכיר:

  1. שני משיקים למעגל למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (ולכן AB = AC)
  2. רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה (ולכן AB ⊥ MB,   AC ⊥ AC).

בנוסף גם MB = MC כי שניהם רדיוסים במעגל.
ולכן:
SMBA = SMCA  כי שניהם משולשים ישרי זוויות שאורכי הניצבים שלהם שווים (AB = AC,  MB = MC).
(דרך אחרת להוכיח שהשטחים שווים היא להוכיח שהמשולשים חופפים על פי צ.ז.צ  או צ.צ.צ).

לכן כאשר יבקשו מאיתנו לחשב את שטח מרובע ABMC אנו נוכל לחשב את שטח אחד המשולשים ולהכפיל פי 2.

עוד באתר:

גיאומטריה אנליטית 4 יחידות סיכום החומר

עברתי על תוכנית הלימודים ומספר בחינות בגרות אחרונות ואספתי בצורה של נקודות את הדברים הבולטים שאתם צריכים לדעת בגיאומטריה אנליטית עבור הבחינה הרמת 4 יחידות.

הדברים שאספתי הם בנושא מעגל וחישוב שטחים. בנושא משוואת הישר יש כמובן דברים חשובים אך לא הכנסתי אותם לפה.

סך הכל מודגשים כאן 9 נושאים שעליכם לדעת.

קוטר ורדיוס במעגל

1.אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל.

בהרבה שאלות מקבלים שתי נקודות היוצרות קוטר במעגל.

צריך לזכור ששתי הנקודות הללו "מחביאות" בתוכן נתון נוסף שהוא מרכז המעגל.

למשל אם הנקודות (6, 1)   ו-   (2 , 5) יוצרות קוטר במעגל אז מרכז המעגל הוא:

x = 3, y = 4 זו נקודת מרכז המעגל

x = 3, y = 4 זו נקודת מרכז המעגל

אתם צריכים לדעת זאת באופן אוטומטי, מבלי שישאלו אותכם שאלה ישירה של "מצאו את נקודת מרכז המעגל".

ובנוסף:
לפעמים לא יגידו אפילו את המילה קוטר. אלא ישתמשו במשולש ישר זווית החסום במעגל.
במקרה הזה עליכם להשתמש במשפט "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר".
ואז לחשב את נקודת מרכז המעגל ולמצוא את משוואת המעגל.

אם גודל זווית C הוא 90 מעלות אז אתם צריכים להסיק לבד ש AB הוא קוטר ושניתן למצוא את מרכז המעגל

אם גודל זווית C הוא 90 מעלות אז אתם צריכים להסיק לבד ש AB הוא קוטר ושניתן למצוא את מרכז המעגל

2. מציאת משוואת משיק למעגל

הנושא הזה חשוב מאוד.
שואלים עליו הרבה.

התכונות שבעזרתם מוצאים את משוואת המשיק הם:

  1. אם ידועה לנו נקודה על המעגל ניתן למצוא את שיפוע הרדיוס (שיפוע על פי שתי נקודות, בעזרת הנקודה שעל המעגל ובעזרת נקודת מרכז המעגל)
  2. המשיק מאונך לרדיוס בנקודה ההשקה. לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק.

מ- 1 ו- 2 נובע שיש לנו שיפוע ונקודה של המשיק.
לכן בעזרת הנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה ניתן למצוא את משוואת הישר.

אם ידועות הנקודות A,B ניתן למצוא את השיפוע של הרדיוס AB וגם של המשיק BC.

אם ידועות הנקודות A,B ניתן למצוא את השיפוע של הרדיוס AB וגם של המשיק BC.

דברים הנפתרים על ידי הצבה במשוואת המעגל

3. לדעת להציב במשוואת המעגל על מנת למצוא ערך חסר

משוואת המעגל היא:
x-a)²+(y-b)²=R²)
ויש בה 3 משתנים:
a  ערך ה- x של נקודת מרכז המעגל.
b  ערך ה y של נקודת מרכז המעגל.
R  רדיוס המעגל.

אם אנחנו יודעים שניים מתוך שלושת המשתנים הללו ועוד נקודה על המעגל. אנחנו יכולים להציב את שני המשתנים שאנו יודעים במשוואת המעגל ולמצוא את השלישי.

תרגיל לדוגמה.
מצאו את משוואת המעגל העובר דרך הנקודה (7, 3) מרכזו נמצא על ציר ה y ורדיוסו 5.

פתרון
מתוך שלושת הנעלמים במשוואת המעגל אנו יודעים שניים.
R = 5.
ערך ה x של נקודת מרכז המעגל הוא 0  (כי מרכז המעגל נמצא על ציר ה y).
מה שחסר לנו זה ערך ה y של נקודת מרכז המעגל.

ויש לנו את הנתון הנוסף שהוא הנקודה (7, 3) שמאפשר לנו לבנות משוואה.

נגדיר: b ערך ה- y בנקודת מרכז המעגל.
נציב את הנתונים והנקודה במשוואת מרכז המעגל ונפתור.

b² – 14b + 58 = 25
b² – 14b + 33 = 0
נשתמש בפירוק הטרינום או בנוסחת השורשים.
b – 11) ( b – 3) = 0)

b=11, b = 3

תשובה: קיבלנו שיש שתי אפשרויות למרכז המעגל. (3, 0) או (11, 0).

ערך חסר יכול להיות גם רדיוס המעגל.
הסרטון הבא מסביר כיצד למצוא את רדיוס המעגל אם ידוע מרכז המעגל ונקודה על המעגל.

4. לדעת למצוא נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים

בדומה לסעיף הקודם, גם מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים נמצאת על ידי הצבה בנוסחת המעגל.

תרגיל
נתונה משוואת המעגל
x-2)2+(y-1)2=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון

נציב X=0 על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.

משוואת המעגל

y² -2y + 1 +4 = 40
y² – 2y + 5 = 40  / -40
y² – 2y – 35 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
נוסחת השורשים
ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.
תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)2+(0 -1)2=40)
X2-4x+4+1=40  /-40
x2-4x-35=0

פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

שרטוט המעגל x-2)2+(y-1)2=40) ונקודות החיתוך שלו עם הצירים

5. המשמעות של מעגל המשיק לאחד הצירים או שניהם

המשמעות היא שיש לכם נתון חבוי.
למשל, אם מעגל משיק לציר ה Y אז אורך הרדיוס שלו שווה לערך ה X של מרכז המעגל.
וערך ה Y של מרכז המעגל שווה לערך ה Y של מרכז המעגל.

המעגל המשורטט למטה משיק לציר ה y בנקודה y = -1.
לכן הרדיוס המאונך לציר ה y נמצא על משוואת הישר y = -1.
וערך ה y של מרכז המעגל הוא 1-.

כמו כן המרחק של מרכז המעגל מציר ה y הוא R.
ולכן ערך ה x של מרכז המעגל הוא R או R-  (תלוי באיזה רביע נמצאת הנקודה).
נקודת מרכז המעגל היא (1-, R).

6. תכונות מיוחדות של ישרים מקבילים לצירים.

התכונות המיוחדות הן:

  1. ניתן למצוא את משוואת הישר בעזרת נקודה אחת בלבד (והידיעה כי הוא מקביל לאחד הצירים).
  2. קל לחשב מרחק שתי נקודות עליו.
  3. קל לזהות את המשוואה שלו בעזרת שתי נקודות הנמצאות עליו.

דוגמאות

מציאת משוואת הישר בעזרת נקודה אחת בלבד

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (2-, 4).

פתרון
ישר המקביל ציר ה x הוא בעל ערך y קבוע.
ידוע שבנקודה אחת הערך הוא 2-, לכן הוא 2- לכל אורך הישר ומשוואתו y= -2.

הישר y = -2 והנקודה (2-, 4)

הישר y = -2 והנקודה (2-, 4)

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר המאונך לציר ה y ועובר בנקודה (4-,  1-).

פתרון
ישר מאונך לציר ה y הוא בעל ערך y קבוע.
לכן משוואת הישר היא:
y = -4.

7. נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל

אם מנקודה יוצאים שני משיקים למעגל אז אורך שני המשיקים שווה. (זה חלק מהמשפטים בגיאומטריה)
כלומר AB = AC.

בנוסף MB ⊥ AB וגם MC ⊥ AC. כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
לכן ΔABM ≅ ΔACM (חפיפת משולשים על פי צ.צ.צ).
AB = AC
MB = MC
AM צלע משותפת.
לכן אם מבקשים מאיתנו לחשב את שטח המרובע ABMC ניתן לחשב את השטח של אחד המשולשים ולהכפיל פי 2.

חישוב שטח של משולש ושטח של מרובעים שאלכסוניהם מאונכים

8. חישוב שטח משולש

בשאלות הללו יתנו לכם 2 נקודות הנמצאות על אחד הצירים או על ישר המקביל לצירים.
ונקודה שלישית כלשהי.
אתם תצטרכו לחשב את שטח המשולש.

תרגיל 1 (2 נקודות על אחד הצירים)
חשבו את שטח המשולש שאורך שלושת קודקודיו הוא:
(A (1,0),   B(4,0),  C(6,3

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

פתרון
אורך הצלע BC הוא 3 = 1 – 4.

עכשיו עלינו לחשב את הגובה היוצא מהקודקוד C.
הגובה הוא בעצם ערך ה y של הנקודה C.
כלומר 3.

ולמה אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה c?
כי כאשר נוריד את הגובה נראה שהנקודה D שאליה הוא מגיע היא בעלת אותו ערך X כמו הנקודה C.
לכן המרחק CD נמצא על ציר ה y בלבד.
(למי שההסבר לא מובן, אני מנסה להסביר את זה טוב יותר בוידאו).

שטח משולש
BC = 3. אורך הגובה הוא 3.
לכן שטח המשולש הוא:
4.5 = 2 : ( 3 * 3)
תשובה: שטח המשולש 4.5 יחידות ריבועיות.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של CD הוא 3.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של CD הוא 3.

תרגיל 2 (2 נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים)
חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם:
(A (-2, 5),  B(1,1),   C(-2, -1

שטח משולש שאתם צריכים לדעת לחשב

שטח משולש שאתם צריכים לדעת לחשב

פתרון
אורך הצלע AC הוא:
6 = (1-) – 5

אורך הגובה הוא:
3 = (2-) – 1

שטח המשולש הוא:
9 = 2 : (3 * 6)
תשובה: שטח משולש ABC הוא 9 יחידות ריבועיות.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של BD הוא 3.

בשרטוט ניתן להבין טוב יותר מדוע האורך של BD הוא 3.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מהצירים.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מישר המקביל לצירים.

9. שטח דלתון מעוין וריבוע על פי ערכי הקודקודים הידועים

בצורות דלתון, מעוין וריבוע האלכסונים מאונכים.
ויש נוסחת שטח יעילה בתרגילי גיאומטריה אנליטית והיא מכפלת האלכסונים לחלק ל- 2.

למה הנוסחה יעילה?
כי בגיאומטריה אנליטית הרבה פעמים אנו יודעים את ערכי נקודות הקודקוד.

נציג את הנוסחה לשטח דלתון, אבל זה בדיוק אותו דבר גם בשטח מעוין או בשטח ריבוע.

נוסחה לחישוב שטח דלתון

נוסחה לחישוב שטח דלתון

תרגיל
חשבו את שטח הדלתון שקודקודיו הם:

חישוב שטח דלתון, שרטוט התרגיל

פתרון
עלינו לחשב את אורך האלכסונים AD ו- BC.

האורך של AD הוא:
AD² = (2 -2)² + (6 – (-2))² = 8²
AD = 8

האורך של BC הוא:
BC² = (4 – 4)² + (5 – (-1))² = 6²
BC = 6

שטח הדלתון הוא:
24 = 2 : (6 * 8)
תשובה: שטח הדלתון הוא 24 יחידות ריבועיות.

הערה: מכוון שבדלתון הספציפי הזה האלכסונים הם ישרים המקבילים לצירים היה ניתן לחשב את שטח הדלתון בדרך קצרה יותר.
מכוון שרציתי להראות דרך המתאימה לכל דלתון / מעוין / ריבוע לא עשיתי זאת.

שני נושאים נוספים פחות חשובים

10. משולש שווה שוקיים ומרחק בין נקודות

ניתן לחשב את ערכי נקודה A גם מבלי לדעת את המרחק של הנקודה A מהנקודות B,C

ניתן לחשב את ערכי נקודה A גם מבלי לדעת את המרחק של הנקודה A מהנקודות B,C

תרגיל
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) ידועים הקודקודים (B(2,5),   C(6,5.
הקודקוד A נמצא על הישר y= 2x.
מצאו את קודקוד A.

פתרון
נגדיר: xA הוא ערך ה- x בנקודה A.
לכן ערך ה- Y הוא:
y = 2xA

על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות האורך בריבוע של AB הוא:
xA – 2)² + (2xA – 5)² = d²)

המרחק AC הוא:
xA – 6)² + (2xA – 5)² )

אנו יודעים כי AB = AC.
לכן:
xA – 2)² + (2xA – 5)²  = (xA – 6)² + (2xA – 5)² )

כאשר נפתח את הסוגריים נמצא:
x= 4
ולכן ערך ה- y בנקודה A הוא 8.
תשובה: (A (4,8

11. שימוש במשוואת ישר ומשוואת המעגל על מנת למצוא נקודה על המעגל

דוגמה לשאלה שאתם צריכים לדעת לפתור

דוגמה לשאלה שאתם צריכים לדעת לפתור

תרגיל
משוואה מעגל היא x-2)²+(y-7)²=9).
קוטר המעגל והנקודה B נמצאים על הישר y = 3x + 1.
מצאו את הנקודה B אם ידוע שערך ה x שלה גדול יותר מערך ה- x של A.

פתרון
הנקודה A היא מרכז המעגל (7, 2) והיא נמצאת במרחק של 3 מהנקודה B.
(המרחק הוא הרדיוס).
אם נגיד שערך ה- x בנקודה B הוא xb.
אז ערך ה y הוא:
yb = 3xb + 1.

(B (xb, 3xb + 1

נציב את הערכים של הנקודה B במשוואת המעגל ונקבל משוואה עם נעלם אחד:

xb-2)²+(3xb + 1 – 7)²=9)
xb² -4xb + 4 + 9xb² – 36xb + 36 = 9
10xb² -40x+ 31 = 0   / :10
xb² – 4xb + 3.1 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הם 2.94 ו- 1.05.
ערך ה- x של הנקודה B הוא 2.94 (הפתרון 1.05 מתאים לנקודה היוצרת עם B את הקוטר).
ערך ה y בנקודה B הוא:
y = 3 * 2.94 + 1 = 9.82

תשובה: (B (2.94, 9.82

הערה: נושא זה לא בהכרח קשור לקוטר אבל הרבה פעמים משוואת הישר היא משוואת הקוטר.

עוד באתר:

בעיות תנועה: הכנה לבגרות 4 יחידות

בדף זה 5 בעיות שכל אחת מיהן כוללת "מכשול" אחר.
הבעיות נועדו להכין אותכם לבגרות ברמת 4 יחידות, שאלון 481.
לכל הבעיות יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

כל אחת מהבעיות נועדה ללמד אותכם להתגבר על מכשול אחר.
אלו הם המכשולים:

  1. לכתוב משוואה שהיא לא דרך = דרך.  בבעיה זו תצטרכו לכתוב משוואה שהיא זמן = זמן או מהירות = מהירות.
  2. תרגיל שיש בו מספר שינויי מהירות.
  3. תרגיל שבו יש שתי מהירויות אבל הזמן שניתן לכם הוא זמן של שני הקטעים יחד ולא של כל קטע בנפרד.
  4. תרגיל עם ניסוח מסורבל מאוד.
  5. בעיה שבה שני כלי רכב יוצאים, נפגשים וממשיכים לנוע לאחר הפגישה.

בסוף הדף יש סרטון וידאו המסכם את המכשולים שנלמדו בדף.

פתרונות של שאלות מהבגרות עצמה תוכלו למצוא בדף בעיות מילוליות 4 יחידות.

תרגילים

תרגיל 1 (בעיה שבה המשוואה היא לא דרך = דרך)
מטוס טס דרך של 5400 ק"מ. יום אחד האיץ המטוס את מהירותו ב 300 קמ"ש ולכן הגיע 3 שעות לפני המועד הרגיל. מה המהירות הרגילה של המטוס?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v – המהירות הרגילה.
v+300 – "היום המיוחד".

שלב ב: בניית טבלה
עבור הטורים של המהירות והדרך יש לנו נתונים.
את טור הזמן נקבל על ידי חישוב.

מהירות זמן דרך
יום רגיל v 5400 לחלק ב v 5400
יום מיוחד v+300 5400 לחלק ב (v+300) 5400

שלב ג: בניית משוואה

הזמן ביום הרגיל

הזמן ביום המיוחד

ידוע כי ביום המיוחד הזמן היה קצר יותר ב- 3 שעות לכן יש להוסיף להוסיף ליום המיוחד 3 על מנת ליצור שוויון במשוואה.
(הערה: מהיר יותר = קצר יותר).

המשוואה

היום המיוחד משמאל והיום הרגיל מימין

המכנה המשותף הוא:
(v (v + 300
נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
(5400v + 3v (v + 300) = 5400 (v + 300
5400v + 3v² + 900v = 5400v + 1,620,000
3v² + 900v – 1,620,00 = 0   / :3
v² + 300v – 540,000 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v1 = 600,   v2 = -900
מהירות היא גודל חיובי לכן הפתרון המתאים הוא v1 = 600

תרגיל 2 (בעיה עם מספר שינויים של מהירות)

שתי מכוניות יצאו ממטולה לאילת. מכונית אחת נסעה במהירות 80 קמ"ש כל הדרך ומכוניות שנייה נסעה במשך שעה במהירות 70 קמ"ש, נחה 2 שעות והמשיכה במהירות 100 קמ"ש.
מכונית ב הגיעה 20 דקות לפני מכונית א לאילת.
א. כמה זמן נסעה מכונית א?
ב. חשבו את המרחק ממטולה לאילת.

פתרון
על מנת לפתור את הבעיה עלינו להגדיר משתנה. מכוון שאת המהירות אנו יודעים המשתנה יכול להיות הזמן או הדרך. שני המשתנים הללו יפתרו את הבעיה אבל בחירת הזמן כמשתנה תיתן לנו משוואה פשוטה יותר.

שלב א: הגדרת משתנה והבעת גדלים אחרים באמצעותו
t  – הזמן שלקח למכונית א לעבור את הדרך בשעות.
1/3 – t – הזמן שלקח למכונית ב לעבור את הדרך.
t-3-1/3  – הזמן שבו נסעה מכונית ב את הקטע השלישי.

שלב ב: בניית טבלה
נבנה עכשיו טבלה ובעזרתה נחשב את המרחקים שעברו המכוניות בכול חלק של המסע:
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאות החישוב באדום.

מהירות זמן דרך
מכונית א 80 t 80t
מכונית ב התחלה 70 1 70
מכונית ב מנוחה 0 2 0
מכונית ב סיום 100 t-3-1/3 100(t-3.33)

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
80t   המרחק שעברה מכונית א.
t – 3.33)*100 + 70) המרחק שעברה מכונית ב.

המרחקים שעברו המכוניות שווים.
לכן המשוואה היא:
(80t = 70 + 0 + 100(t-3.33
80t = 70 + 100t -333
80t=100t – 263 /-100t
20t=-263 / :-20-
t=13.15
0.15 בדקות זה 0.15 * 60 = 9 דקות.
משך זמן הנסיעה של מכונית א הוא 13.15 שעות.

מכונית א נסעה במהירות 80 קמ"ש לכן המרחק ממטולה לאילת הוא:
1052 = 80 * 13.15

תשובה: זמן הנסיעה של מכונית א הוא 13 שעות ותשע דקות.
המרחק ממטולה לאילת הוא 1052 ק"מ.

תרגיל 3 (תרגיל בו נתון זמן כולל של שני קטעים ולא של קטע כל קטע בנפרד)

מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ"ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ"ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק"מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

תיאור המסלול של המכונית

תיאור המסלול של המכונית

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.
4 מינוס t מינוס חצי זמן הנסיעה בקטע השני
90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.
הדרך מתחנת הדלק ועד הסיום

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק"מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t1 זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t2  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t1   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t2  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t1 + t2 = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t1 + 70t2 = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה.

תרגיל 4 (תרגיל עם ניסוח מסורבל )

משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
טיפ לפתרון: צריך כאן שתי משוואות עם שני נעלמים.
כיצד בונים את המשוואה השנייה?

שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ"ש.
u מהירות המכונית בקמ"ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט "למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה".

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק"מ.


הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

המשוואה השנייה

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ"ש.

תרגיל 5 (כלי רכב הנוסעים באותו כיוון נפגשים וממשיכים)

משאית השלום יצאה מנהריה צפונה והחליטה שלא תעצור לפני שתגיע לאיסטנבול, מרחק של 900 ק"מ. שעתיים אחריה יצאה מנהריה מכונית באותו כיוון ובמהירות הגדולה ב 40 קמ"ש ממהירות המשאית.
המכונית והמשאית נפגשו ו 6 שעות לאחר הפגישה הגיעה המכונית לאיסטנבול.
חשבו את מהירות המשאית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
אין לנו את הזמן או המהירות של המשאית אבל יש לנו קשר בין מהירות המשאית למהירות המכונית ואת הקשר שבין זמן נסיעת המשאית לזמן נסיעת המכונית.
לכן שני המשתנים שלנו יהיו:
v  מהירות המשאית בקמ"ש.
t הזמן שנסעה המשאית עד הפגישה עם המכונית.
v + 40 מהירות המכונית בקמ"ש.
t – 2 הזמן שנסעה המכונית עד הפגישה.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
vt  הדרך שעברה המשאית עד הפגישה.
(v + 40) (t – 2)  הדרך שעברה המכונית עד הפגישה.

הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(vt = (v+40) (t-2
vt = vt – 2v +40t -80  / -vt
40t – 2v -80 = 0 / +2v
40t – 80 = 2v  /:2
20t – 40 = v

שלב ג: נבנה משוואה עבור הדרך הכוללת שעברה המכונית
המכונית הייתה בדרך עוד 6 שעות לאחר הפגישה.
לכן הזמן הכולל של המכונית בדרך הוא:
t -2 + 6 = t+4

v + 40  זו מהירות המכונית לאורך כל הדרך.
(v + 40) (t+ 4)  זו הדרך שהמכונית עברה.
900 ק"מ זה המרחק מנהריה לאיסטנבול

המשוואה היא:
v + 40) (t+ 4) = 900)
vt + 4v + 40t + 160 = 900 / -160
vt + 4v + 40t = 740

שלב ד: נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את משוואה אחת במשוואה שקיבלנו:
t(20t -40) + 4(20t – 40) +40t = 740
20t² -40t +80t -160 + 40t = 740  / -740
20t² + 80t -900 = 0 /:20
t² +4t – 45 = 0
נפתור בעזרת פירוק הטרינום או נוסחת השורשים.
t + 9) (t – 5) = 0)
t = -9, t = 5
מכוון ש t הוא זמן והוא גודל חיובי הפתרון היחידי שאפשרי הוא t=5.
כלומר הזמן שנסעה המשאית עד הפגישה הוא 5 שעות.

שאלו אותנו על מהירות המשאית v לכן נציב t=5 במשוואה
20t – 40 = v
(זו המשוואה שבנינו עבור נקודת הפגישה)
v = 20 * 5 – 40 = 100 -40 = 60
תשובה: מהירות המשאית 60 קמ"ש.

סיכום של המכשולים שנלמדו בדף וכיצד להתגבר עליהם תוכלו למצוא בסרטון.

עוד באתר:

בעיות תנועה: שוויון, סכום והפרש דרכים

אז בעבר למדנו ש:    מהירות * דרך = מרחק.
וגם למדנו להגדיר את אחד מהשלושה כמשתנה ולמצוא אותו.

בדף זה נעשה את הצעד הבא, נבנה משוואות מורכבות יותר.
המשוואות מורכבות משוויון של דרכים, סכום דרכים או הפרש דרכים.
נסביר כאן את הניסוחים המתאימים לכל סוג של משוואות ונפתור שאלות.
לכל סוג של בעיות יש גם סרטון.

אין צורך לשנן וללמוד את מה שכתוב כאן בעל פה. צריך לקרוא ולהבין למה זה נכון. כלומר למה במקרה מסוים המשוואה שנוצרת היא שוויון / סכום / הפרש.
מצורפים שרטוטים שנועדו לעזור להבין את התרגיל.

בתחילת הדף נלמד על סוגי הניסוחים, לאחר מיכן נפתור שאלות.

סוגי ניסוחים

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה שוויון דרכים?

  1. הלוך ושוב >> כאשר מכונית אחת נוסעת הלוך ושוב המשוואה תהיה: הדרך הלוך שווה לדרך חזור.
  2. יום רגיל ויום "מיוחד"   >> לפעמים יתארו לנו מכונית שיש לה מסלול "רגיל" אבל ביום מסוים היא עברה את אותו מסלול אבל במהירות / זמן שונים.
    המשוואה תהיה: הדרך ביום "הרגיל" שווה לדרך ביום "המיוחד".
  3. כאשר שתי מכוניות יוצאות מאותו מקום ומגיעות לאותו מקום.
    המשוואה תהיה: הדרך שמכונית א עברה שווה לדרך שמכונית ב עברה.
  4. כאשר מכונית אחת יוצאת מעיר א לעיר ב ואילו מכונית שנייה יוצאת מעיר ב לעיר א.
  5. המשוואה תהיה: הדרך שמכונית א עברה שווה לדרך שמכונית ב עברה.

הסבר לנוסחאות שוויון דרכים כפי שפורט למעלה

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה סכום דרכים?

  1. שני כלי רכב הנוסעים זה לכיוון זה.
  2. שני כלי רכב היוצאים מאותה נקודה בכיוונים מנוגדים.
  3. מכונית אחת הנוסעת באותו כיוון ומשנה מהירות במהלך נסיעתה.

הסבר לנוסחאות סכום דרכים כפי שפורט למעלה

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה הפרש דרכים?

  1. שני כלי רכב הנוסעים באותו כיוון עם מהירות מהירות / זמן / נקודת יציאה שונים.

הערה: משוואות של הפרש דרכים ניתן תמיד לכתוב גם בצורה של סכום דרכים.

תרגילים: שוויון, סכום והפרש דרכים

מצורפים 5 תרגילים.
בראש התרגיל לא כתוב איזה סוג תרגיל זה, הדבר כתוב בשורה הראשונה של הפתרון.

תרגיל 1 

אדם נסע לבקר את קרובי משפחתו. הדרך הלוך נמשכה שעתיים וחצי. בדרך חזור האדם הגדיל את מהירותו ב 15 קמ"ש ולכן דרכו חזרה נמשכה שעתיים.
חשבו את מהירות הנסיעה בדרך הלוך ואת המרחק שהאדם נסע בכיוון אחד.

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של שוויון דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירות של האדם, לכן נבחר בה כמשתנה.
v מהירות הנסיעה בדרך הלוך.
v + 15 מהירות הנסיעה בדרך חזור.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה ונשלים את הדרך שכל מכונית עברה
בשחור הנתונים שקיבלנו בשאלה, באדום תוצאת ההכפלה של מהירות * זמן.

מהירות זמן דרך
הלוך v 2.5 2.5v
חזור v +15 2 2v + 30

שלב ג: בניית משוואה
2.5v  זו הדרך הלוך.
2v + 30  זו הדרך חזור.
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:

2.5v = 2v +30   / -2v
0.5v =30  / *2
v = 60

נחשב את הדרך שעברה המכונית בכיוון אחד על ידי הצבת v=60
s = 2.5 * 60 = 150

אם נרצה נוכל לבדוק שלא טעינו בפיתוח המשוואות על ידי הצבה של v = 60 גם בביטוי השני של המרחק (s = 2v + 30)
s = 2*60 + 30 = 150
קיבלנו את אותה תשובה בשני הדרכים ולכן התשובה היא נכונה.

תשובה: המהירות בדרך הלוך היא 60 קמ"ש והנסיעה בכיוון אחת היא 150 קמ"ש.

תרגיל 2

מכונית החלה בנסיעה של 410 ק"מ במהירות מסוימת לאחר 3 שעות הגבירה את מהירותה ב 30 קמ"ש וסיימה את נסיעתה לאחר 5 שעות מרגע יציאתה לדרך.
באיזו מהירות התחילה המכונית את הנסיעה?

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של סכום דרכים)
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן מהירות המכונית תהיה המשתנה
v – המהירות שבה התחילה המכונית את הנסיעה.
v+30 מהירות המכונית לאחר שהגבירה את מהירותה.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונחשב את הדרך שנעשתה בשתי המהירויות (באדום).

מהירות זמן דרך
נסיעה במהירות התחלתית v 3 3v
נסיעה במהירות מוגברת v+30 2 2(v+30)

שלב ג: בניית משוואה
3v – הדרך שהמכונית עברה במהירות ההתחלתית.
2(v+30) – הדרך שהמכונית עברה במהירות המוגברת.
סכום הדרכים הוא 410 לכן המשוואה היא:
3v + 2(v+30)=410
3v+2v+60=410 /-60
5v=350 /:5
v=70

תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית הייתה 70 קמ"ש.

תרגיל 3

גלי ואבי הולכים מביתם אל הים.
אבי הולך מביתו אל הים במשך 5 שעות.
גלי יצאה שעה אחרי שאבי יצא אך הלכה במהירות הגבוהה ב 2 קמ"ש ממהירותו של אבי ולכן הגיעה לים שעה לפניו.
חשבו את המרחק בית הבית לים.

פתרון
(המשוואה בתרגיל היא שוויון דרכים)

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירות של אבי, לכן היא תהיה המשתנה.
v  המהירות של אבי בהליכתו לים בקמ"ש.
v +2 המהירות של גלי בהליכתה לים בקמ"ש.

שלב ב: כמה זמן כל אחד מיהם הלך?
בעיה נוספת בשאלה היא לדעת כמה זמן גלי הלכה לים.
אבי הלך 5 שעות. גלי יצאה 1 שעה אחרי והגיעה 1 שעה לפני. ולכן היא הלכה 3 שעות.
3 = 1 – 1 – 5

שלב ג: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור ותוצאת החישוב באדום

מהירות זמן דרך
אבי v 5 5v
גלי v +2 3 3v + 6

שלב ד: בניית משוואה ופתרונה
בטבלה ניתן לראות כי:
5v  המרחק שאבי עבר.
3v + 6  המרחק שגלי עברה.
הדרכים שהם עברו שוות ולכן המשוואה היא:
5v = 3v + 6  /-3v
2v = 6  / :2
v = 3

נשים לב ששאלו אותנו על המרחק בין הבית לים: והוא 5v.
15 = 3 * 5
תשובה: המרחק בין הבית לים הוא 15 ק"מ.

תרגיל 4

שתי רוכבות אופניים יצאו לרכיבה מאותה נקודה.
הרוכבת הראשונה יצאה ב 10 בבוקר במהירות 15 קמ"ש.
הרוכבת השנייה יצאה בשעה 11 בבוקר במהירות 20 קמ"ש.
באיזו שעה הרוכבת השנייה תשיג את הראשונה ב 15 ק"מ?

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של הפרש דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את הזמן של הרוכבת הראשונה לכן הוא יהיה המשתנה
t זמן הנסיעה של הרוכבת הראשונה בשעות עד לנקודה שבה הרוכבת השנייה השיגה אותה ב 15 ק"מ.
t – 1 זמן הנסיעה של הרוכבת השנייה.

שלב 2: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאת החישוב באדום.

מהירות זמן דרך
רוכבת א 15 t 15t
רוכבת ב 20 t – 1 20t – 20

שלב ג: בניית משוואה
15t המרחק שעברה רוכבת א.
20t – 20  המרחק שעברה רוכבת ב.

רוכבת ב עברה 15 ק"מ יותר מרוכבת א לכן המשוואה היא:
20t – 20 – 15t = 15

הסבר למשוואה בעיות תנועה

הסבר למשוואה

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא לכתוב את המשוואה כסכום דרכים
המרחק שעברה רוכבת ב = 15 + המרחק שעברה רוכבת א
15t + 15 = 20t – 20

הסבר למשוואה

הסבר למשוואה

שלב ד: פתרון המשוואה
נפתור את המשוואה הראשונה
20t – 20 – 15t = 15
5t – 20 =15  / +20
5t = 35  /:5
t = 7

השאלה הייתה "באיזו שעה?" . 7 שעות לאחר השעה 10 זו השעה 17.
תשובה: בשעה 17 רוכבת ב תשיג את רוכבת א ב 15 ק"מ.

תרגיל 5
משתי ערים במרחק 470 ק"מ יצאו זו לקראת זו שתי מכוניות. המהירה מבניהן נסעה 20 קמ"ש מהר יותר מהאיטית. כעבור 2 שעות נסיעה המרחק בניהן היה 150 ק"מ.
מצאו את מהירות המכוניות.

שרטוט הבעיה

פתרון
(המשוואה בתרגיל זה היא של סכום דרכים).

הרעיון של הפתרון
מבחינת הבנת התרגיל המפתח הוא להבין כי שתי המכוניות ביחד עברו 320 = 150 – 470 ק"מ.
לכן נחשב את הדרך של כל אחת מיהן ונבנה משוואה (משוואת סכום דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן נבחר בה כמשתנה.
v מהירות המכונית האיטית בקמ"ש.
v + 20 מהירות המכונית המהירה בקמ"ש.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונבצע את החישוב (באדום).

מהירות זמן דרך
מכונית איטית v 2 2v
מכונית מהירה v + 20 2 2v + 40

שלב ג: בניית משוואה
2v – הדרך שעברה המכונית האיטית בשעתיים.
2(v+20) – הדרך שעברה המכונית המהירה בשעתיים.

הדרך ששתי המכוניות עברו ביחד בשעתיים היא 470-150=320 ק"מ.
לכן המשוואה היא:
2v+2(v+20)=320
2v+2v+40=320
4v=280
v=70

תשובה: מהירות המכונית האיטית היא 70 קמ"ש ומהירות המכונית המהירה היא 90 קמ"ש

הסבר למשוואה

הסבר למשוואה

עוד באתר:

משוואת ישר ישרים מקבילים או מאונכים

אנו כבר יודעים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע.
עושים זאת על ידי הצבת הנתונים בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1

אבל בחלק מהשאלות לא יתנו לנו את השיפוע (m) ואנו נצטרך למצוא אותו.
בדף זה נלמד כיצד עושים זאת בעזרת מידע על ישרים מקבילים או מאונכים.

לישרים מקבילים שיפועים שווים

לישרים מקבילים יש שיפועים שווים.
y = 2x – 4
כל הישרים המקבילים לישר זה יש שיפוע של 2.

זאת דוגמה לגרפים ששיפוע הישרים שלהם שווה. גרפים מקבילים.

הגרף האדום הוא y = 2x - 4 ושאר הגרפים אלו דוגמאות לישרים עם שיפוע שווה

הגרף האדום הוא y = 2x – 4 ושאר הגרפים אלו דוגמאות לישרים עם שיפוע שווה

תרגילים

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ועובר בנקודה (1, 3-).

פתרון
שיפוע הישר המבוקש (הישר המקביל) הוא 2.
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1

(y – 1 = 2 (x + 3
y – 1 = 2x + 6  / +1
y = 2x + 7

תשובה: משוואת הישר המקביל לישר y = 2x – 4 ועובר דרך הנקודה (1, 3-) היא y = 2x + 7.

דוגמה 2
לפעמים לא יתנו לכם את שיפוע הישר המקביל בצורה מפורשת, אלא תצטרכו למצוא אותו.

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,3) ומקביל לישר העובר דרך הנקודות (0, 1) ו (4-, 2)

פתרון
עלינו למצוא את שיפוע הישר המקביל בעזרת "שיפוע על פי שתי נקודות"
שיפוע ישר על פי 2 נקודות

נקבל:

עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 4- ועובר בנקודה (3,3)
נציב בנוסחה:
(y-y1=m(x-x1
(y – 3 = -4 (x – 3
y – 3 = -4x + 12  /+3
y = -4x + 15

תשובה: משוואת הישר המבוקש היא y = -4x + 15.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
אם יתנו לנו משוואת ישר  y = 4x -3
ויבקשו מאינו למצוא את שיפוע הישר המאונך כיצד נעשה זאת?

פתרון
נגדיר m השיפוע של הישר המבוקש.
אנו יודעים שהשיפוע של ישרים מאונכים הוא 1-.
לכן המשוואה שלנו היא:
m * -4 = -1
4m = -1   / :-4-
m = 0.25

תשובה: שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x -3 הוא 0.25.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (5-, 3) ומאונך לישר y = -0.4x -6

פתרון
נגדיר את שיפוע הישר המבוקש כ m.
מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
לכן:
m * -0.4 = -1
0.4m = -1   / : -0.4-
m = 2.5

עכשיו עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 2.5 ועובר בנקודה  (5-, 3)
(y-y1=m(x-x1
(y – (-5) = 2.5 (x -3
y +5 = 2.5x -7.5   / -5
y = 2.5x -12.5

תשובה: משוואת הישר המאונך לישר y = -0.4x -6 ועובר בנקודה (5-, 3) היא y = 2.5x -12.5.

עוד באתר: