גאומטריה אנליטית משוואת ישר שאלון 382 / 803

נושא הגאומטריה אנליטית מפוצל לשני נושאים: הישר והמעגל.
דף זה הוא בנושא הישר.

המידע בדף זה הוא מתקדם ונועד עבור תלמידים היודעים את היסודות ומעוניינים לשפר את הידע לקראת הבגרות.
על מנת להצליח להבין ולפתור את התרגילים בדף עליכם לדעת את תשעת הנושאים הבאים:

  1. מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע.
  2. מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות.
  3. ישרים מקבילים הם בעלי שיפוע שווה.
  4. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
  5. מציאת משוואת ישרים מאונכים לצירים על פי נקודה אחת בלבד הנמצאת עליהם.
  6. נוסחת מרחק בין שתי נקודות.
  7. נוסחה למציאת אמצע קטע.
  8. מציאת נקודת חיתוך של ישר עם הצירים.
  9. מציאת  נקודת חיתוך של שני ישרים.

אם אתם צריכים חזרה על הנושאים הללו אז:
את נושאים 1-5 תוכלו למצוא באופן מרוכז בדף מציאת משוואת ישר או כל נושא בנפרד בקישורים שלמעלה.
נושאים 6-9 מפורטים בקישורים שלמעלה.

הקדמה

אז אתם יודעים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע.
אבל זה לא מספיק עבור הבגרות.
בבגרות שאלות לא מנוסחות בצורה של "מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (3,1) ושיפועו 2".
הניסוחים בבגרות מעורפלים.
תצטרכו להשתמש בנוסחה של משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע, אבל לא יבקשו ממכם לעשות זאת בצורה ישירה.

בבגרות מופיעים ניסוחים שונים, ויש להישען על תכונות של צורות על מנת לפתור את השאלות.
בדף זה אנסה להכיר לכם את הניסוחים השונים ואת התכונות השימושיות שעליכם להכיר על מנת לפתור שאלות.

צורות וניסוחים בשאלות ברמת בגרות

נלמד מה המשמעות של:

  1. משולש שווה שוקיים.
  2. ריבוע / מלבן.
  3. חישוב שטח משולש, כיצד לעשות זאת כאשר יש 2 קודקודים הנמצאים על אחד הצירים.
  4. משולש ישר זווית.
  5. נקודה הנמצאת על הצירים.
  6. המלצה כללית וחשובה לפתרון תרגילים.

בדף משולבים סרטוני וידאו הכוללים את אותם הסברים וחלק מהדוגמאות שיש בטקסט. לרוב קל יותר להבין את הוידאו.

1. נתון: משולש שווה שוקיים

הסבר על התכונות החשובות של משולש שווה שוקיים בהקשר של גאומטריה אנליטית

המשמעות היא:

  1. אם ידוע לנו השיפוע של התיכון לבסיס ניתן למצוא את השיפוע של צלע הבסיס.
  2. על הבסיס יש 3 נקודות משמעותיות: שני הקודקודים ונקודת האמצע אליה מגיע התיכון. אם אנחנו יודעים 2 מתוך שלושת הקודקודים ניתן למצוא את השלישי.

שני הדברים שמופיעים למעלה יופיעו בכמעט כל שאלה הכוללת משולש שווה שוקיים. יש עוד שתי תכונות של משולש שווה שוקיים המופיעות פחות בשאלות:

  1. השוקיים שוות, יש לזה משמעות אם למשל יבקשו מאיתנו לחשב היקף משולש.
  2. מכוון שהרבה פעמים נדע את 2 קודקודי הבסיס וגם את נקודת המפגש של הגובה עם הבסיס קל יחסית לחשב שטח משולש.

לדוגמה:
AB = BC.
משוואת BD היא: y = 2x -1
הנקודה (A (2,1

  1. מצאו את משוואת AC.
  2. מצאו את הנקודה C.
  3. הנקודה (B (4, 7. חשבו את שטח המשולש.
שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

לתרגיל זה נסביר את דרך הפתרון, ללא פתרון מלא:

משוואת הישר AC.
ידועה לנו הנקודה (A (2,1, לכן מה שחסר לנו הוא שיפוע.
AC ⊥ BD  לכן שיפוע AC הוא 0.5-.
עכשיו נמצא את משוואת AC על פי נקודה ושיפוע.
y = – 0.5x  + 2

הנקודה C.
עלינו למצוא את הנקודה D על מנת שנוכל למצוא את הנקודה C.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של הישרים AC ו BD אנו יודעים את המשוואות שלהם לכן ניתן למצוא את נקודת החיתוך.
2x – 1 = – 0.5x + 2
2.5x = 3
x = 1.2
(D(1.2, 1.4

עכשיו בעזרת הנוסחה לאמצע קטע ניתן למצוא את C.
(C(0.4, 1.8

חישוב שטח משולש ABC
עלינו לחשב את אורכו של BD ואורכו של AC בעזרת הנוסחה למרחק בין נקודות.
BD = √80
AC = √32
שטח המשולש: 25.29 יחידות ריבועיות.

תרגיל נוסף בנושא משולש שווה שוקיים
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB = AC).
AD הוא הגובה לבסיס.
ידועות הנקודות (C (1,0)    B(4,2.

  1. מצאו את משוואת הגובה לבסיס BD.
שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

לתרגיל זה נסביר את דרך הפתרון, ללא פתרון מלא:

מציאת משוואת הישר AD

  1. נמצא את שיפוע BD על פי 2 נקודות (0.66)
  2. נמצא את הנקודה D על ידי חישוב אמצע BC. הנקודה (D (2.5, 1
  3. נמצא את משוואת הישר על AD על פי נקודה ושיפוע. y = 0.66x – 0.66

2. נתון: מלבן או ריבוע

הסבר על התכונות החשובות של ריבוע בהקשר של גאומטריה אנליטית

כותבי שאלות אוהבים להשתמש בריבוע, כי יש בו הרבה דברים מקבילים / מאונכים / שווים באורכם.
המלבן כולל הרבה מתכונות הריבוע לכן נזכיר אותו כאן ובהמשך נוסיף את התכונות שקיימות רק בריבוע ולא במלבן.

למלבן וריבוע יש כמה משמעויות:

1.מידע על שיפוע צלע אחת בריבוע / מלבן מאפשר לדעת את השיפוע של הכל שאר הצלעות.
כי צלעות נגדיות מקבילות ולכן שיפוען שווה.
צלעות סמוכות מאונכות ולכן שיפוען 1-.

למשל
בריבוע ABCD שיפוע הצלע AB הוא 4.
מצאו את שיפוע שאר צלעות הריבוע.

שרטוט התרגיל

פתרון
CD מקביל ל AB לכן שיפועו 4.
BC ו AD מאונכים ל AB לכן השיפוע שלהם ¼ -.

2. כאשר נותנים קודקוד כלשהו של הריבוע / מלבן ואת נקודת מפגש האלכסונים ניתן לחשב את ערכו של הקודקוד הנוסף הנמצא על האלכסון.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים בריבוע, מלבן ובכול סוג אחר של מקבילית היא אמצע האלכסון.
לכן כאשר יודעים שניים מתוך השלוש (קודקוד, קודקוד נוסף הנמצא על אותו אלכסון, נקודת מפגש האלכסונים) ניתן למצוא את השלישי בעזרת הנוסחה למציאת אמצע קטע.

אם יודעים שתיים מתוך שלושת הנקודות 1,2,3 ניתן למצוא את השלישית בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.

אם יודעים שתיים מתוך שלושת הנקודות 1,2,3 ניתן למצוא את השלישית בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.

תרגיל
בריבוע ABCD ידועים הקודקוד   (D(-3, -1 ונקודת מפגש האלכסונים (M (-2, 1  חשבו את הקודקוד B.

שרטוט התרגיל ריבוע

פתרון
נניח שהנקודה B היא  (B (XB, YB.
נחשב את הערכים של הנקודה B על פי הנוסחה לאמצע קטע

xb – 3 = -4  / + 3
xb = -1


yb -1 = 2  / +2
yb = 3

תשובה: (B(-1, 3

שאלה דומה אבל קצת אחת
נתון משולש ישר זווית ושווה שוקיים ABC (זווית B = 90∠) (הצלעות AB = BC).
קודקודי המשולש הם: (A (2,0)  B(4,3)   C(6,0
מעבירים ישר BD המאונך לישר AC כך שהמרובע ABCD הוא ריבוע.
מצאו את הנקודה D.

שרטוט התרגיל

פתרון
המטרה שלנו תהיה למצוא את נקודת מפגש האלכסונים (M).
ולאחר מיכן להשתמש בנוסחה לאמצע קטע על מנת למצוא בעזרת הנקודות B,M את הנקודה D.
נציג פתרון מקוצר לבעיה.

נקודת מפגש האלכסונים נמצאת באמצע AC.
(M (4,0
הנקודה M היא גם האמצע של BD.
נמצא את D בעזרת הנקודות B,M.
(D (4,-3

תכונות של ריבוע

1.בריבוע ובמעוין אך לא במלבן האלכסונים מאונכים זה לזה.
לכן בריבוע מכפלת שיפועי האלכסונים היא 1-.

המשמעות:

אם נותנים לנו את נקודת מפגש האלכסונים וקודקוד כלשהו של הריבוע ניתן למצוא את שתי משוואות האלכסונים.

אם נתונות הנקודות D,M ניתן לחשב את משוואות הישרים BD, AC

אם נתונות הנקודות D,M ניתן לחשב את משוואות הישרים BD, AC

כיצד עושים זאת?

  1. הנקודות D,M נמצאות על האלכסון BD. לכן ניתן למצוא את משוואת BD על פי שתי נקודות.
  2. AC ⊥ BD לכן מכוון שאנו יודעים את השיפוע של BD ניתן למצוא את השיפוע של AC.
  3. עבור AC אנו יודעים את השיפוע ואת הנקודה M שעליו. לכן ניתן למצוא את משוואת AC על פי שיפוע ונקודה.

בדוגמה דיברנו על מקרה שאנו יודעים קודקוד ואת נקודת מפגש האלכסונים.
לעומת זאת, אם אנחנו יודעים שני קודקודים הנמצאים על אותו אלכסון? (למשל A ו C או B ו D בשרטוט למעלה)

גם במקרה זה ניתן למצוא את אותם דברים, כי אם אנו יודעים שני קודקודים על אותו אלכסון ניתן לחשב את נקודת מפגש האלכסונים M ואז להמשיך בדרך שהוסברה כמה שורות מעל.

2. כאשר נתונים שני קודקודים סמוכים בריבוע ניתן לחשב את ההיקף ושטח הריבוע.
כאשר נתונים שני קודקודים ניתן לחשב את אורך הצלע על ידי חישוב מרחק בין שתי נקודות ובעזרת אורך הצלע לחשב היקף או שטח ריבוע.

3. האלכסונים בריבוע יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים.
הדבר נובע מכך שאלכסוני הריבוע שווים זה לזה וגם חוצים זה את זה.
לכן אם מעבירים גובה היוצא מנקודת מפגש האלכסונים נותן לכם משולש שווה שוקיים עם גובה, כולל כל התכונות שדיברנו עליהן למעלה בדף.
בנוסף נוצר טרפז, ויתכן שתהיה שאלה עליו.

בריבוע ובמלבן האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. ME הוא גובה במשולש שווה שוקיים וגם יוצר טרפז EMCB

בריבוע ובמלבן האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. ME הוא גובה במשולש שווה שוקיים וגם יוצר טרפז EMCB

3. חישוב שטח משולש כאשר 2 מהקודקודים נמצאים על אחד הצירים או על ישר המקביל לצירים

כיצד לחשב שטח משולש כאשר שניים מהקודקודים נמצאים על אחד מהצירים

בחלק מהשאלות יבקשו מאיתנו לחשב שטח משולש.
בהרבה מהשאלות שתי נקודות יהיו על אחד הצירים או על ישר מקביל לצירים.
ובמקרים הללו קל יותר לחשב את אורך הבסיס והגובה לבסיס על מנת לחשב את שטח המשולש.

תרגיל
קודקודי משולש ABC הם:
(A (-2, 0)  B (3, -4)  C( 1,0
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט המשולש

פתרון
נחשב את אורך הצלע AB ואורך הגובה לצלע היוצא מהנקודה C.
חישוב אורך הצלע AB.
מכוון שערכי ה Y של שתי הנקודות הוא 0 המרחק בניהם הוא רק על ציר ה x.
נחסר את ערכי ה x של שתי הנקודות.
3 = (2-) – 1

חישוב הגובה היוצא מ C.
אורך הגובה / המרחק בין הנקודה C לבין ציר ה x הוא ערך ה y של C כלומר 4-. ובערך מוחלט 4.
לכן שטח המשולש הוא:
6 = 2 / (4 * 3)
6 יחידות ריבועיות.

הסבר מפורט יותר,  מדוע אורך הגובה היוצא מ C הוא ערך ה y של הנקודה C?

  1. נקרא לגובה היוצא מהנקודה D בשם CD.
  2. ערך ה Y של הנקודה D הוא 0, כי הנקודה D נמצאת על ציר ה x.
  3. כל הגבהים אל ציר ה x צריכים להיות מקבילים לציר ה y.
    כלומר משוואת הגובה CD היא מהצורה x = k, כאשר k הוא מספר.
  4. לכן לנקודה D צריך להיות אותו ערך X כמו הנקודה C.
  5. לכן המרחק בין C ל D שהוא אורך הגובה הוא הפרש ערכי ה y של הנקודות.
מדוע אורכו של CD הוא הפרש ערכי ה Y של הנקודות C ו D.

מדוע אורכו של CD הוא הפרש ערכי ה Y של הנקודות C ו D.

דוגמה נוספת לחישוב שטח משולש, הפעם שתי נקודות נמצאות על ישר המקביל לצירים.

תרגיל
קודקודי משולש ABC הם הנקודות
(A (-2, 6)   B(3, 4)  C (-2, 1
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
האורך של AC הוא:
5 = 1 – 6
הנקודה D אליה מגיע הגובה היוצא מ B היא (D (-2, 4 כי היא נמצאת על AC (ולכן x= -2) וגם נמצאת על הישר y = 4 (ולכן  y =4).
המרחק בין הנקודות (B (3,4) D (-2,4 הוא:
5 = (2-) – 3
לכן שטח המשולש הוא:
12.5 = 2 : (5 * 5)
12.5 יחידות ריבועיות.

תוספת לשאלה.
נתונה הנקודה (2, 10.5) E פי כמה גדול שטח משולש AEC משטח משולש ABC?

שרטוט התרגיל

פתרון
אורך הבסיס AC נשאר כמו שהוא.
מה שמשתנה זה אורך הגובה לבסיס.
המרחק של הנקודה D מהישר AC הוא:
12.5 = (2-) – 10.5
אורך הגובה במשולש ADC גדול פי 2.5 מאורך הגובה במשולש ABC.
2.5 = 5 : 12.5
לכן שטח משולש ADC גדול פי 2.5 משטח משולש ABC.

4. נתון: משולש ישר זווית

המשמעות של משולש ישר זווית היא:

  1. מכפלת השיפועים של שני הניצבים היא 1-.
  2. אם ידוע האורך של שתי צלעות ניתן להשתמש במשפט פיתגורס על מנת למצוא את הצלע השלישית.

5. נתונה נקודה הנמצאת על הצירים.

בשאלות פשוטות נותנים לנו ישר ומבקשים שנמצא עבורו את נקודת החיתוך עם ציר ה x או y.
וזה בעצם לבקש מאיתנו להציב x= 0 או y=0 במשוואת הישר.

בניסוח הדומה לשאלת בגרות אומרים:
בריבוע ABCD הנקודה D נמצאת על ציר ה x ועל הישר CD שמשוואתו y = -x -2.
מצאו את הנקודה D.

כלומר עלינו להסיק שהפתרון הוא מציאת נקודת החיתוך של הישר y = -x -2 עם ציר ה x.

נפתור את השאלה.

שרטוט התרגיל

פתרון
הנקודה D היא נקודת החיתוך של הישר CD עם ציר ה x.
לכן נציב y=0 על מנת למצוא אותה.
x – 2 = 0  / + x-
x = -2
תשובה: הנקודה D היא (0, 2-).

6. המלצה כללית וחשובה לפתרון תרגילים

השאלות בנושא משוואת הישר הן שאלות עם 3-5 סעיפים.
בהרבה מהשאלות על מנת לפתור את סעיף ג תצטרכו להשתמש בסעיף א.
אבל אנחנו שקועים בתרגיל ולרוב מחפשים את הנתונים רק בשאלה המקורית שנתנו לנו.
לכן, רשמו את פתרונות הסעיפים בתחתית השאלה המקורית או / גם על שרטוט השאלה.
כך הם יהיו נגישים לכם והסיכוי שתהיו מודעים למה שפתרתם בסעיפים קודמים יעלה משמעותית.

הרבה בהצלחה.

הסתברות שאלון 381 / 802

בדף זה שני חלקים:

  1. חזרה על התאוריה, בעזרת 3 סרטוני וידאו.
  2. פתרון תרגילים ברמת בגרות.
  3. דפים נוספים באתר: שאלון 381 / 802, סטטיסטיקה 381 / 802בגרות במתמטיקה 3 יחידות,  הסתברות (הדף המרכזי באתר בנושא).
    חזרה על החומר של שנה שעברה הסתברות 181 / 801.

1.חזרה על התאוריה

סרטון הראשון חישוב הסתברות של מאורע יחיד, אלו יסודות ההסתברות.

בסרטון השני חישוב הסתברות של שני מאורעות.
השאלות בסרטון דומות לשאלות מאגר.

בסרטון השלישי הסבר כיצד משרטטים ועושים חישובים על דיאגרמת עץ.

אם אתם רוצים חזרה כתובה ולא רק בוידאו תוכלו למצוא אותה בדפים:
הסתברות כיתה ט וגם הסתברות כיתה ח.

2. פתרון תרגילים ברמת בגרות

לחלק מהתרגילים יש גם פתרון וידאו, הוידאו יופיע לפני השאלה.

תרגיל 1

שחקן כדורסל זורק לסל 3 פעמים.
ההסתברות לקליעה בזריקה בודדת היא 0.3

  1. מה ההסתברות שיקלע פעמיים ויפספס פעם אחת?

פתרון
ההסתברות שיקלע בשתי הפעמים הראשונות ויפספס בשלישית היא:
0.063 = 0.7 * 0.3 * 0.3
ההסתברות שיקלע בפעם הראשונה, יפספס בשנייה ויקלע בשלישית היא:
0.063 = 0.3 * 0.7 * 0.3
ההסתברות שיפספס בפעם הראשונה ויקלע בשתי הפעמים שלאחר מיכן היא:
0.063 = 0.3 * 0.3 * 0.7
סכום ההסתברויות הוא:
0.189 = 0.063 + 0.063 + 0.063
תשובה: ההסתברות לקלוע פעמיים ולפספס פעם אחת היא 0.189.

תרגיל 2

בשק יש 3 כדורים אדומים. 4 צהובים ו 8 ירוקים.
מוצאים כדור אחד, אם יוצא ירוק מפסיקים להוציא. אם יוצא אדום או צהוב מוציאים כדור שני.

  1. מה ההסתברות שיוציאו שני כדורים ושהכדור השני יהיה אדום?

פתרון
סך הכל יש 15 כדורים בשק.
15 = 8 + 4 + 3
ההסתברות להוציא בשני אדום שווה להסתברות להוציא בפעם הראשונה אדום ובפעם השנייה אדום או להוציא בפעם הראשונה צהוב ובפעם השנייה אדום.
בחישוב ההסתברויות נשים לב לכך שההוצאות הן ללא החזרה.
ההסתברות להוציא בפעם הראשונה אדום ובפעם השנייה אדום היא:
210 / 6 = (14 / 2) * (15 / 3)
ההסתברות להוציא בפעם הראשונה צהוב ובפעם השנייה אדום היא:
210 / 12 = (14 / 3) * (15 / 4)

סכום ההסתברויות הוא:
35 / 3 = 210 / 18 = (210 / 6) + (210 / 12)
תשובה: ההסתברות לקבל אדום בפעם השנייה היא 35 / 3.

אם נרצה להציג את ההסתברויות בדיאגרמת עץ כך זה יראה:

דיאגרמת עץ. חלק מהענפים לא שורטטו כי הם לא חשובים לפתרון הבעיה.

דיאגרמת עץ. חלק מהענפים לא שורטטו כי הם לא חשובים לפתרון הבעיה.

תרגיל 3

שני שחקני כדורסל זורקים לסל.
ההסתברות שאחד יקלע היא 0.6 וההסתברות שהשני יקלע היא 0.7.
שני השחקנים זורקים לסל.

  1. מה ההסתברות שבדיוק אחד מיהם יקלע לסל?
  2. מה ההסתברות ששניהם יקלעו לסל?
  3. מה ההסתברות שלכל היותר אחד מיהם יקלע לסל?

פתרון
בדיוק אחד מיהם יקלע זה אומר שאחד קולע והשני מפספס.
ההסתברות שהראשון יקלע והשני יפספס היא:
0.18 = 0.3 * 0.6
ההסתברות שהשני יקלע והראשון יפספס היא:
0.28 = 0.4 * 0.7
נחשב את סכום ההסתברויות:
0.46 = 0.18 + 0.28
תשובה: ההסתברות שבדיוק אחד מיהם יקלע היא 0.46.

סעיף 2.
ההסתברות ששניהם יקלעו:
0.42 = 0.7 * 0.6

סעיף 3
לכול היותר 1 יקלע זה אומר שיהיו 0 קליעות או 1 קליעות.
נחשב את 0 קליעות:
0.12 = 0.3 * 0.4

ההסתברות של 0 או 1 קליעות היא:
0.58 = 0.12 + 0.46

אם היינו רוצים לתאר את הבעיה בדיאגרמת עץ היינו יכולים לעשות זאת כך.

החיבור של מסלולים 1 ו 2 הוא הפתרון לסעיף א. מסלול 3 הוא הפתרון לסעיף ב. וסכום המסלולים 1,2,4 הוא הפתרון לסעיף ג

החיבור של מסלולים 1 ו 2 הוא הפתרון לסעיף א.
מסלול 3 הוא הפתרון לסעיף ב.
וסכום המסלולים 1,2,4 הוא הפתרון לסעיף ג

תרגיל 4
בגלגל מזל ההסתברות לזכות ב 100 שקלים היא 1/6, ההסתברות לזכות ב 50 שקלים היא 1/3 וההסתברות לזכות ב 0 שקלים היא 1/2.
מסובבים את הגלגל פעמיים.

  1. מה ההסתברות לזכות ב 50 שקלים?
  2. מה ההסתברות לזכות ב 100 שקלים.

פתרון
אלו אפשרויות יש לזכות ב 50 שקלים?
לזכות ב 50 בסיבוב הראשון ו 0 בשני. או 0 בסיבוב הראשון ו 50 בשני.
ההסתברות לזכות ב 50 בראשון ו 0 בשני היא:
6 / 1 = (2 / 1) * (3 / 1)
ההסתברות לזכות ב 0 בראשון ו 50 בשני.
6 / 1 = (3 / 1) * (2 / 1)
סכום ההסתברויות הוא:
3 / 1 = 6 / 2 = (6 / 1) + (6 / 1)
תשובה: ההסתברות לזכות ב 50 שקלים היא 1/3.

סעיף ב
אלו אפשרויות יש לזכות ב 100 שקלים?
לזכות ב 50 בראשון וב 50 בשני.
9 / 1 = (3 / 1) * (3 / 1)
לזכות ב 100 בראשון ו 0 בשני.
12 / 1 = (2 / 1) * (6 / 1)
12 / 1 = (6 / 1) * (2 / 1)
סכום ההסתברויות הוא:
18 / 5 = 36 / 10 = (12 / 1) + (12 / 1) + (9 / 1)
תשובה: ההסתברות לזכות ב 100 שקלים היא 5/18.

תרגיל 5

ההסתברות שמחר הוא יום שלישי היא 1/7.
ההסתברות לגשם בכול אחד מימות השנה היא 1/10.
ההסתברות לאכול ארטיק בכול אחד מימות השנה היא 1/5.

  1. מה ההסתברות ששלושת הדברים יתרחשו? (מחר שלישי, ירד גשם ונאכל ארטיק).
  2. מה ההסתברות שלכל היותר 2 מתוך ה 3 יקרו?
  3. מה ההסתברות שבדיוק שני דברים יקרו?

פתרון

סעיף 1.
ההסתברות ששלושת הדברים יתרחשו היא מכפלת ההסתברויות
350 / 1 = (5 / 1) * (10 / 1) * (7 / 1)
תשובה: ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא 350  / 1.

סעיף 2.
ההסתברות שלכל היותר 2 דברים יתרחשו היא ההסתברות ש 0 או 1 או 2 דברים יתרחשו.
כלומר כל האפשרויות חוץ מהאפשרות ששלושתם יתרחשו.
לכן ניתן לבצע חישוב של הסתברות משלימה.

350 / 349 = (350 / 1) – 1
תשובה: ההסתברות שלכל היותר 2 דברים יקרו היא 350 / 349.

סעיף 3.
הנתונים הם שההסתברות ליום שלישי (1/7) לגשם (1/10) לארטיק (1/5).

ההסתברות ליום שלישי ולגשם אבל לא לארטיק היא:
350 / 4 = (5 / 4) * (10 / 1) * (7 / 1)
ההסתברות ליום שלישי ולארטיק אבל לא לגשם היא:
350 / 9 = (10 / 9) * (5 / 1) * (7 / 1)
ההסתברות לגשם ולארטיק אבל לא ליום שלישי היא:
350 / 6 = (7 / 6) * (10 / 1) * (5 / 1)

סכום ההסתברויות הוא:
350 / 19 = (350 / 6)  + (350 / 9) + (350 / 4)

תרגיל 6
(שאלת מאגר)

נתונים שני כדים. בכד אחד יש 10 כדורים לבנים ו 5 שחורים.
בכד השני יש 8 כדורים לבנים ו 12 שחורים.
זורקים קובייה.
אם המספר הוא 1 או 2 בוחרים באקראי כדור מהכד הראשון.
אם מתקבל מספר אחר בוחרים באקראי כדור מהכד השני.

  1. מה ההסתברות שנבחר כדור לבן מהכד הראשון?
  2. מה ההסתברות שנבחר כדור לבן?

פתרון
בהתחלה יהיה פתרון ללא עץ ולאחר מיכן עץ.
ההסתברות ל 1 או 2 היא:
3 / 1 = 6 / 2
כאשר מוציאים כדור מהכד הראשון, ההסתברות לכדור לבן היא:
3 / 2 = 15 / 10
ההסתברות לשני הדברים ביחד:
9 / 2 = (3 / 2) * (3 / 1)

סעיף 2
נחשב את ההסתברות ללבן מהכד השני.
ההסתברות שהקובייה תראה את אחד מהמספרים 3,4,5,6 היא:
3 / 2 = 6 / 4
אם מוצאים כדור מהכד השני ההסתברות שהוא יהיה לבן היא:
5 / 2 = 20 / 8
ההסתברות של לבן מהכד השני היא:
15 / 4 = (5 / 2) * (3 / 2)

נחשב את ההסתברות של לבן מהכד הראשון או לבן מהכד השני:
45 / 22 = (15 / 4) + (9 / 2)
תשובה: ההסתברות להוציא כדור לבן היא 22/45.

פתרון התרגיל בעזרת דיאגרמת עץ:

הפתרון לסעיף א הוא מסלול 1. הפתרון לסעיף ב הוא מסלול 1 + 2.

הפתרון לסעיף א הוא מסלול 1. הפתרון לסעיף ב הוא מסלול 1 + 2.

תרגיל 7
(שאלת מאגר)
זורקים קובייה הוגנת שרשומים עליה המספרים 1,2,3,4,5,6.
ומסובבים סביבון עם 4 פאות שרשומים עליו המספרים 1,2,3,4.

  1. מה ההסתברות שהקובייה והסביבון יראו את אותו מספר?
  2. מה ההסתברות שהסביבות יראה מספר גדול יותר מהקובייה?

פתרון
נבנה טבלה הכוללת את כל התוצאות האפשריות (כל מרחב המדגם).

קובייה ⇐
סביבון ⇓
1 2 3 4 5 6
1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

סך הכל יש לנו 24 תוצאות אפשריות.
יש 4 אפשרויות שהסביבון והקובייה יראו את אותו מספר
1,1   2,2   3,3   4,4
לכן ההסתברות היא:
6 / 1 = 24 / 4
תשובה: ההסתברות שהסביבון והקובייה יראו את אותו מספר היא 1/6.

סעיף 2.
האפשרויות שהסביבון יראה תוצאה גדולה יותר הן:
כאשר הקובייה מראה 1 אז:
1,2   1,3   1,4
כאשר הקובייה מראה 2 אז:
2,3   2,4
כאשר הקובייה מראה 3 אז:
3,4
סך בכל יש 6 אפשרויות מתוך 24 ולכן ההסתברות היא:
4 / 1 = 24 / 6
תשובה: ההסתברות שהסביבון יראה מספר גדול יותר מהקובייה היא 1/4.

הערה: יש עוד דרך להסתכל על סעיף א ולפתור אותו ללא טבלה.
מה ההסתברות שהקובייה והסביבון יראו את אותו מספר?
נניח שהסביבון מראה מספר כלשהו בין 1-4. מה ההסתברות שהקובייה תראה את אותו מספר? 1/6.
לכן ההסתברות שהקובייה והסביבון יראו את אותו מספר היא 1/6.

ממוצע

בדף זה תמצאו סוגים שונים של תרגילי חישוב ממוצע:

  1. תרגילי ממוצע בסיסיים וממוצע של קבוצות.
  2. תרגילי ממוצע בהם צריך להשתמש במשתנה על מנת לפתור את השאלה.
  3. תרגילי ממוצע בהם מוסיפים מחסרים מספרים לאחר שהממוצע כבר חושב.
  4. תרגילי ממוצע משוקלל.
  5. ממוצע לעומת חציון.
  6. דפים קשורים נוספים באתר: סטיית תקן, התפלגות נורמלית.

1. איך מחשבים ממוצע

נוסחה לחישוב ממוצע

דוגמאות:

תרגיל 1
חשבו את הממוצע של של המספרים
10,  20,   20,   30

פתרון
סכום המספרים הוא:
80 = 30 + 20 + 20 + 10
מספר המספרים הוא 4.
לכן הממוצע הוא:
20 = 4 : 80
תשובה: הממוצע של המספרים הוא 20.

תרגיל 2
בחנות יש 2000 מוצרים המסודרים ב 50 מגירות.
כמה מוצרים יש בממוצע במגירה אחת?

פתרון
"הסכום" הוא 2000.
מספר האיברים שצריך לחלק בו הוא 50.
40 = 50 : 2000

2. ממוצע של קבוצות

לפנינו טבלה של המציגה ציונים במבחן ומספר התלמידים שקיבל כל ציון.

ציון 80 70
מספר תלמידים 6 4

כאשר נרצה לחשב את סכום הציונים של הכיתה, איזה תרגיל יהיה לנו קל יותר לפתור?
= 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 70 + 70 + 70 + 70
או
760 = 6 * 80 + 4 * 70

התרגיל השני נוח יותר לפתרון וכאשר "מספר התלמידים" גדול יותר. נניח שהיינו רוצים לחשב ממוצע ציונים בבית ספר שלם, במקרה כזה אין ברירה אלא להשתמש בשיטה השנייה.

בשיטה השנייה התייחסנו אל קבוצת התלמידים שקיבלה 70 ואל קבוצת התלמידים שקיבלה 80. לכן קוראים לזה "ממוצע של קבוצות".

הממוצע של תרגיל זה הוא:
76 = 10 : 760

תרגיל 1
בטבלה מתוארת התפלגות ציונים של תלמידים בכיתה.
חשבו את ממוצע הציונים.

ציון 90 80 70 60
מספר התלמידים 4 10 12 3

פתרון
מספר התלמידים הוא:
29 = 4 + 10 + 12+ 3
סכום הציונים הוא:
2180 = 4 * 90 + 80 * 10 + 70 * 12 + 3 * 60
הממוצע הוא:
75.17 = 29 : 2180

תרגיל 2
בכיתה 30 תלמידים.
בדיאגרמת העיגול המצורפת תמצאו את החלק בכיתה שקיבל כל ציון.
כמה תלמידים קיבלו כל ציון?
חשבו את ממוצע הציונים בכיתה.

דיאגרמת עיגול

פתרון

את הציון 8 קיבלו:
10 = 30 * (1/3)
את הציון 7 קיבלו:
12 = 30 * (2/5)
את הציון 9 קיבלו:
8 = 10 – 12 – 30

אם אתם רוצים ניתן לבנות טבלה המייצגת את הציונים בכיתה (אבל זו לא חובה לבנות את הטבלה):

ציון 9 8 7
מספר התלמידים 8 12 10

סכום הציונים של התלמידים הוא:
238 = 9 * 8 + 8* 12 + 7 * 10
ממוצע הציונים הוא:
7.933 = 30 : 238
תשובה: ממוצע הציונים של הכיתה הוא 7.933

3. שימוש במשתנה למציאת הממוצע

תרגיל 1

נתונה קבוצת הציונים:

ציון 90 80 70
מספר תלמידים x 6 18

ממוצע הציונים הוא 75.
כמה תלמידים קיבלו 90?

פתרון
מספר התלמידים הוא:
x + 6 + 18 = x + 24
סכום הציונים הוא:
90x + 80 * 6 + 70 * 18 = 90x + 1740
הממוצע הוא 75, לכן המשוואה היא:
90x + 1740) / (x + 24) = 75    /*x + 24)
90x + 1740 = 75x + 1800  / -1740 – 75x
15x = 60  / :15
x = 4
תשובה: מספר התלמידים שקיבל 90 הוא 4.

תרגיל 2

הציון באנגלית בכיתה ח1 היה נמוך ב 7 נקודות מהציון באנגלית ב ח2. בח1 יש 30 תלמידים וב ח2 40 תלמידים. הממוצע של שתי הכיתות היה 82. חשבו את הציון הממוצע במבחן באנגלית בכול אחת מהכיתות.

פתרון

x הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח1
x + 7 הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח2

כך נראית הטבלה המייצגת את הבעיה:

ח1 ח2
ציון x x + 7
מספר התלמידים 30 40

מספר התלמידים בשתי הכיתות הוא:
70 = 30 + 40
סכום הציונים בשתי הכיתות הוא:
30x +40(x+7) = 70x + 280
הממוצע בשתי הכיתות הוא 82, לכן המשוואה היא:
70x + 280) / 70 = 82   /*70)
70x + 280 = 5740   / -280
70x  = 5460   / :70
x = 78
תשובה: הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח1 הוא 78, בכיתה ח2 הציון הממוצע הוא 85.

4. ממוצע שחושב ולאחר מיכן מוסיפים לו מספר

תרגיל 1
בכיתה 32 תלמידים. הציון הממוצע בכיתה במבחן במתמטיקה היה 72.
המורה נתנה 6 נקודות תוספת לכל אחד מהתלמידים.
מה הוא הציון הממוצע החדש?

פתרון

כאשר מוספים לכל התלמידים מספר קבוע הממוצע עולה באותו מספר, כלומר הממוצע יהיה 78.

נוכיח את זה:
מספר התלמידים 32.
סכום הציונים של התלמידים לפני התוספת הוא:
2304 = 72 * 32
מספר הנקודות שהמורה הוסיפה לכל התלמידים הוא:
192 = 6 * 32
סכום הציונים של תלמידי הכיתה לאחר התוספת הוא:
2496 = 192 + 2304
הממוצע החדש הוא:
78 = 32 : 2496

תרגיל 2
בכיתה 30 תלמידים שהציון הממוצע שלהם הוא 81.
לכיתה נוסף תלמיד עם ציון ממוצע 70 ותלמיד עם ציון ממוצע 75.
מה הממוצע החדש של תלמידי הכיתה?

פתרון

סכום הציונים של תלמידי הכיתה לפני התוספת:
2430 = 30 * 81
סכום ציוני תלמידי הכיתה לאחר התוספת:
2575 = 70 + 75 + 2430
מספר תלמידי הכיתה לאחר התוספת הוא 33.
הממוצע החדש הוא:
78.03 = 33 : 2575

תרגיל 3 (עם משתנה)
הממוצע של תלמיד ב 6 מבחנים הוא 70 . מה צריך להיות הציון של התלמיד במבחן השביעי על מנת שהממצע ב 7 מבחנים יהיה 74?

פתרון
x   הוא הציון של התלמיד במבחן השביעי על מנת שהממוצע לאחר 7 מבחנים יהיה 74.
סכום הציונים של התלמיד לאחר 6 מבחנים הוא:
420 = 6 * 70
סכום הציונים של התלמיד לאחר 7 מבחנים הוא:
x + 420
הממוצע לאחר 7 מבחנים הוא 74, לכן המשוואה היא:
x + 420) : 7  = 74)
x + 420 = 518  / – 420
x = 98
תשובה: הציון במקצוע השביעי צריך להיות 98.

5. ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו לציונים / מספרים שונים יש חשיבות שונה.
למשל אם עושים 2 מבחנים והחשיבות של המבחן השני בקביעת הציון הסופי גדולה פי 2.

את סכום הציונים של הממוצע המשוקלל מחלקים במספר "החשיבויות".

תרגיל 1
בהיסטוריה נערכו שני מבחנים.
דנה קיבלה במבחן הראשון ציון 80 ובמבחן השני ציון 92.
הציון בתעודה נקבע על פי שני המבחנים והחשיבות של המבחן השני היא פי 3 מהחשיבות של המבחן הראשון.
מה הציון של דנה בתעודה?

פתרון
החשיבות של המבחן הראשון היא 1, לכן הסכום שהמבחן הראשון תורם לממוצע הוא:
80 = 1 * 80
החשיבות של המבחן השני היא 3, לכן הסכום שהמבחן השני תורם לממוצע הוא:
276 = 3 * 92
הסכום הכללי הוא:
356 = 80 + 276
סכום "החשיבויות" הוא:
4 = 1 + 3
הממוצע המשוקלל / הציון בתעודה הוא:
89 = 4 : 356
תשובה: הציון של דנה בהיסטוריה בתעודה הוא 89.

הערה: היינו יכולים לייצג את הבעיה בטבלה כך (מאוד דומה לממוצע של קבוצות):

ציון 92 80
משקל 3 1

תרגיל 2
פירוט המקצועות והציונים של תלמיד נראה כך:
מתמטיקה 5 יחידות ציון 84.
תנ"ך 2 יחידות ציון 90.
לשון 1 יחידה ציון 78.
אנגלית 5 יחידות ציון 96.
המשקל של כל מקצוע בחישוב הממוצע הוא כמספר היחידות שלו.
חשבו את ממוצע הציונים של התלמיד ב 4 המקצועות.

פתרון
סכום היחידות של ארבעת המקצועות הוא:
13 = 5 + 1 + 2 + 5
סכום הציונים "המשוקלל" במקצועות הללו הוא:
1158 = 5 * 96 + 1 * 78 + 2 * 90 + 5 * 84
הממוצע המשוקלל הוא:
89.077 = 13 : 1158

6. ממוצע לעומת חציון

ממוצע וחציון הם שני מדדים שנועדו לייצג קבוצה של מספרים.
אף אחד מיהם הוא לא טוב יותר מאחרים בכל המקרים.

מה ההבדל העיקרי בין ממוצע וחציון?

חציון הוא מדד שאינו משתנה כאשר עושים שינויים מסוימים בנתונים.
למשל, החציון של שתי קבוצות המספרים הללו נשאר זהה:
1 ,3,  4
1, 3,  100
בשני המקרים החציון הוא 3.
לכן קוראים לחציון "מדד שאינו רגיש למה שקורה בקצוות". כי ניתן לשנות את מספרי הקצה של קבוצת המספרים מבלי שהקצה ישתנה.

הממוצע לעומת זאת הוא מדד שכן רגיש למה שקורה בקצוות, הממוצע כן משתנה כאשר משנים מספרים הנמצאים בקצוות.

האם "רגישות לקצוות" זה דבר טוב או רע?
אין תשובה אחת.
זה תלוי מה מחפשים.

למה אם אלו ההכנסות החודשיות של קבוצת אנשים מסוימת:
4000,    6000,    80000,   80000,    100,000

יש שיגידו שאם נכלול את 100,000 בחישוב הממוצע נקבל מספר שרחוק מאוד מלייצג את ההכנסות של 4 האנשים האחרים. ולכן החציון עדיף במקרה זה.
לעומת אחרים שיגידו שנדרש מדד המייצג את ההכנסות של כל 5 האנשים, מדד כמו הממוצע.

בשורה התחתונה: כאשר אין מספרים קיצוניים מאוד הרחוקים משאר המספרים לרוב סטטיסטיקאים ישתמשו בממוצע.
לעומת זאת כאשר יש מספרים קיצוניים שגורמים לממוצע להיות לא מייצג יש כאלו שישתמשו בחציון ואחרים יחשבו את הממוצע והחציון על מנת לייצג את הקבוצה.

סטיית תקן: אך לחשב סטיית תקן

בדף זה:

  1. למה צריך סטיית תקן?
  2. חישוב סטיית תקן. הסבר ותרגילים.
  3. שאלות מילוליות שיכולים לשאול אותכם על סטיית תקן.
  4. חישוב סטיית תקן בתוך תרגילי התפלגות נורמלית.
  5. דפים נוספים באתר: ממוצע, בגרות במתמטיקה 3 יחידות.

1.למה צריך סטיית תקן?

נסתכל על שתי קבוצות המספרים
49,50,51
0,50,100
לשתי קבוצות המספרים יש ממוצע שווה (50).
אבל בקבוצה הראשונה המספרים קרובים אחד לשני ובקבוצה השנייה רחוקים.

סטטיסטיקאים חיפשו מדד שיגיד להם מתי המספרים קרובים אחד לשני ומתי רחוקים.
סטיית התקן עושה את זה.
כאשר סטיית התקן גדולה זה אומר שהמספרים מפוזרים, קיימים פערים גדולים בניהם.
כאשר סטיית התקן קטנה זה אומר שהמספרים סמוכים אחד לשני.
נהוג לסמן את סטיית התקן באות s.

2. חישוב סטיית תקן

שלבי חישוב סטיית התקן של קבוצת מספרים:

  1. נחשב את הממוצע של המספרים.
  2. נחשב את המרחק של כל מספר מהממוצע ונעלה את המרחק בריבוע. (אם הממוצע הוא x והמספר הוא c אז
    c – x)²) ).
  3. נחבר את ריבועי המרחקים ונחשב את הסכום.
  4. נחלק את הסכום במספר המספרים.
  5. נוציא שורש ונקבל את סטיית התקן.

לדוגמה, מצאו את סטיית התקן של המספרים:
5,10,15,25

פתרון
1.נחשב את הממוצע
15 = 4 / (25 + 15 + 10 + 5)
2. נחשב את המרחק של כל מספר מהממוצע ונעלה בריבוע.
100 = ²(10-) = ²(15 – 5)
25 = ²(5-) = ²(15 – 10)
0 = ²(15 – 15)
100 = ²(10) = ²(15 – 25)
3. סכום ריבועי המרחקים הוא:
225 = 100 + 0 + 25 + 100
4. נחלק במספר המספרים (מספר האיברים, 4)
56.25 = 4 / 225
s = √56.25 = 7.5

תשובה: סטיית התקן של המספרים היא 7.5

פתרון של התרגיל במשוואה אחת היה נראה כך:

חישוב סטיית תקן

חישוב סטיית תקן עבור נתונים בטבלה

אם הטבלה שלנו היא כזו:

מספר התלמידים f4 f3 f2 f1
הציונים x4 x3 x2 x1

והממוצע הוא x, אז סטיית התקן s נתונה על ידי הנוסחה:

נוסחה לחישוב סטיית תקן

נוסחה לחישוב סטיית תקן

שימו לב: המונה מייצג את סכום ריבועי המרחקים מהממוצע.
המכנה מייצג את מספר התלמידים.

תרגיל 1

נתונה טבלה המציגה ציונים ומספר תלמידים שקיבל כל ציון.
חשבו את סטיית התקן של הציונים.

מספר התלמידים 12 10 8 2
הציון 90 80 70 60

פתרון
נחשב את הממוצע של הציונים:
2560 = 12 * 90 + 10 * 80 + 8 * 70 + 2 * 60
מספר הציונים הוא:
32 = 12 + 10 + 8 + 2
הממוצע הוא:
80 = 32 / 2560

נחשב את סטיית התקן
יש כאלו שנוח להם לבצע את החישובים בשורות מתחת לטבלה המקורית.

מספר התלמידים 12 10 8 2
הציון 90 80 70 60
המרחק מהממוצע ²(80 – 90)* 12 ²(80 – 80)* 10 ²(80 – 70)* 8 ²(80 – 60) * 2
התוצאה 1200 0 800 800

סטיית התקן היא:

חישוב סטיית התקן 9.354

תרגיל 2

נתונה קבוצת המספרים:

הציון 90 85 80  75
מספר התלמידים 12 7 x  5

ידוע כי הממוצע הוא 85. חשבו את

  1. מספר התלמידים שקיבל ציון 80.
  2. את החציון.
  3. את סטיית תקן.

פתרון

הממוצע הוא:
חישוב ממוצע

מספר התלמידים הוא:
x + 5 + 7 + 12 = x + 24
סכום הציונים הוא:
80x + 75*5 + 85 * 7 + 90 * 12 = 80x + 2050

אנחנו יודעים שהממוצע הוא 85, לכן המשוואה היא:
חישוב ממוצע התרגיל

(80x + 2050 = 85(x + 24
80x + 2050 = 85x + 2040  / -80x – 2040
5x = 10  / :5
x = 2
תשובה: מספר התלמידים שקיבל את הציון 80 הוא 2.

נחשב את סטיית התקן.

הציון 90 85 80  75
מספר התלמידים 12 7 x  5

500 = ²(85 – 75) * 5
50 = ²(85 – 80) * 2
0 = ²(85 – 85) * 7
300 = ²(85 – 95) * 12
סכום המרחקים הוא:
850 = 300 + 0 + 50 + 500

לכן סטיית התקן היא:
חישוב סטיית התקן

תשובה: סטיית התקן היא 5.15.

3. שאלות מילוליות על סטיית תקן

במהלך השאלות על סטיית תקן יבקשו ממכם לחשב את סטיית התקן ובנוסף יתכן כי יתנו לכם שאלה מילולית.
שאלה כמו אחת מהשאלות הבאות.

שאלה 1
חישבו את ממוצע המשקל של 20 ארגזי עגבניות ומצאו כי המשקל הממוצע הוא 14 ק"ג וסטיית התקן היא 2.
הוסיפו ארגז עגבניות נוסף וממוצע המשקל של ארגזי העגבניות לא השתנה.
האם סטיית התקן השתנתה?

פתרון
אם הממוצע לא השתנה זה אומר שמשקל ארגז העגבניות החדש הוא 14 ק"ג, בדיוק כמו הממוצע.
סטיית התקן מבטאת את המרחק מהממוצע ומשקל הארגז שנוסף הוא במרחק 0 מהממוצע.
לכן סטיית התקן תקטן לאחר תוספת הארגז החדש.

שאלה 2
בכיתה ממוצע המבחן בהיסטוריה היה 72 וסטיית התקן הייתה 8.
המורה החליט להוסיף 5 נקודות לכל תלמיד.
האם הממוצע ישתנה?
האם סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מעלים 5 נקודות הממוצע יעלה ב 5 נקודות, הממוצע יהיה 77.

סטיית התקן
סטיית התקן לא תשתנה.
המרחק של כל ציון מהממוצע לא ישתנה.
ניקח לדוגמה תלמיד שקיבל 80.
לפני התוספת המרחק של תלמיד זה מהממוצע הוא:
8 = 72 – 80
לאחר התוספת הציון של התלמיד הוא 85 והממוצע 77.
המרחק של התלמיד מהממוצע הוא:
8 = 77 – 85.
לכן סטיית התקן לא תשתנה.

שאלה 3
(שאלה זו לא הכרחית לתלמידי תיכון).
ממוצע מספרים הוא 70 וסטיית התקן היא 5.
מכפילים את כל המספרים פי 2.
האם וכיצד הממוצע ישתנה?
האם וכיצד סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מכפילים פי 2 את הציונים גם הממוצע יגדל פי 2.

סטיית התקן
סטיית התקן תגדל, כי המרחק של כל אחד מהציונים (מלבד אלו שקיבלו בדיוק את הציון הממוצע יגדל).
ניקח כדוגמה את המספר 60.
לפני ההכפלה המרחק שלו מהממוצע הוא:
10- = 70 – 60
לאחר ההכפלה המספר הופך ל 120 והממוצע ל 140.  המרחק הוא:
20 – = 140 – 120
אנו רואים שלאחר ההכפלה המרחק של ציון מהממוצע גדל, לכן גם סטיית התקן גדלה.

לסיכום השאלות המילוליות:

  • כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים ציון שגודלו שווה לממוצע סטיית התקן קטנה (ובתנאי שסטיית התקן היא לא 0).
  • כאשר מוספים לכל איברי הקבוצה מספר קבוע הציון לא משתנה.
  • כאשר מכפילים במספר גדול מ 1 את כל איברי הקבוצה סטיית התקן גדלה (ובתנאי שסטיית התקן היא לא 0).

4. חישוב סטיית תקן בהתפלגות נורמלית

הנושא של סטיית התקן מופיע בשאלות על התפלגות נורמלית.
מספר דוגמאות לחישוב סטיית תקן בשאלות התפלגות נורמלית.

  • אם אתם מרגישים שאתם לא יודעים לקרוא את ההתפלגות הנורמלית עצה או רוצים שאלות מסוגים נוספים בקרו בדף התפלגות נורמלית.

תרגיל 1
קבוצת מספרים מתפלגת נורמלית עם ממוצע 12.
הציון הנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 7.
חשבו את סטיית התקן.

פתרון
בהתחלה יופיע פתרון ללא שרטוט ולאחר מיכן השרטוט.

המרחק של המספר (7) מהממוצע הוא:
5 – = 12 – 7
המרחק הוא גם 2- סטיות תקן. לכן:
2s = -5  / : -2-
s = 2.5
תשובה: סטיית התקן שווה ל 2.5.

ההפרש בין המספרים הוא 5 שהם גם 2 סטיות תקן

ההפרש בין המספרים הוא 5 שהם גם 2 סטיות תקן

תרגיל 2
קבוצה מספרים מתפלגת נורמלית.
המספר שרק 2% נמצאים מעליו הוא 18. המספר הנמצא 34% מתחת לממוצע הוא 6.
חשבו את סטיית התקן.
חשבו את הממוצע.

פתרון
חישוב סטיית התקן.
נמצא את המיקום של המספרים 18 ו 6 על ההתפלגות הנורמלית.
2% נמצאים מעל 2 סטיות תקן מעל הממוצע ולכן 18 נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע.
34% מתחת לממוצע זה 1 סטיות תקן מתחת לממוצע ולכן 6 נמצא שם.

המספרים 6 ו 18 על ההתפלגות הנורמלית

המספרים 6 ו 18 על ההתפלגות הנורמלית

המרחק בין המספרים הוא:
12 = 6 – 18
המרחק בין המספרים הוא 3 סטיות תקן. לכן סטיית תקן אחת שווה ל:
4  = 3 : 12

חישוב הממוצע
המספר 6 נמצא 1 סטיית תקן מתחת לממוצע.
סטיית תקן שווה ל 3. לכן הממוצע הוא:
9 = 3 + 6

לוח הכפל יום 28 ו 29

בלוח הכפל יש 9 תרגילים שנחשבים קשים יותר מאחרים:

  1.    42 = 7 * 6
  2.    48 = 8 * 6
  3.    56 = 9 * 6
  4.    49 = 7 * 7
  5.    56 = 8 * 7
  6.    63 = 9 * 7
  7.    64 = 8 * 8
  8.    72 = 9 * 8
  9.    81 = 9 * 9

זכירה טובה של התרגילים הללו תדרוש מספר ימי עבודה.

בדף זה נחזור על התרגילים הללו בעזרת 3 סרטונים.

כל הכבוד, להתראות!

 

לוח הכפל יום 27

חלק 1: סרטון למידה

חלק 2: שקופיות לחזרה

72 = 8 * 9
« 1 של 3 »

שקופיות עם כל הכפולות של המספר 9.

18 = 2 * 9
« 1 של 9 »

חלק 3: תרגילים שצריך לפתור

מלאו את הפתרונות של כל התרגילים.
לחצו "סיימתי את התרגילים" וקבלו תשובה האם צדקתם בפתרון התרגילים.

1)

= 5 * 9

2)

= 3 * 9

3)

7 * 9

4)

= 8 * 9

5)

= 4 * 9

6)

= 10 * 9

7)

= 9 * 9

8)

= 2 * 9

9)

= 9 * 4

10)

= 9 * 6

להתראות מחר.

לוח הכפל, הדף עם הקישורים לכל ימי הלימוד.

לוח הכפל יום 1

חלק 1: סרטון למידה

חלק 2: שקופיות לחזרה נוספת

בהתחלה החליפו שקופיות עם החץ שפונה שמאלה.

2*1 =2
« 1 של 4 »

חלק 3: פתרון תרגילים ומשוב

מלאו את הפתרונות של כל התרגילים.
לחצו "סיימתי את התרגילים" וקבלו תשובה האם צדקתם בפתרון התרגילים.

1)

= 1 * 2

2)

= 2 * 2

3)

= 3 * 2

4)

= 4 * 2

להתראות מחר.

לוח הכפל, הדף עם הקישורים לכל ימי הלימוד.

 

 

לוח הכפל יום 26

חלק 1: סרטון למידה

חלק 2: שקופיות לחזרה

בהתחלה החליפו שקופיות עם החץ הפונה שמאלה.

45 = 5 * 9
« 1 של 3 »

שקופיות עם כל הכפולות של המספר 9.

18 = 2 * 9
« 1 של 9 »

חלק 3: תרגילים שצריך לפתור

מלאו את הפתרונות של כל התרגילים.
לחצו "סיימתי את התרגילים" וקבלו תשובה האם צדקתם בפתרון התרגילים.

1)

= 5 * 9

2)

= 3 * 9

3)

= 6 * 9

4)

= 2 * 9

5)

= 7* 9

6)

= 4 * 9

7)

= 9 * 3

8)

= 9 * 6

9)

= 9 * 5

10)

= 9 * 4


להתראות מחר.

לוח הכפל, הדף עם הקישורים לכל ימי הלימוד.

לוח הכפל יום 25

חלק 1: סרטון למידה

חלק 2: שקופיות לחזרה

בהתחלה החליפו שקופיות עם החץ הפונה שמאלה.

9 = 1 * 9
« 1 של 4 »

שקופיות עם כל הכפולות של המספר 9.

18 = 2 * 9
« 1 של 9 »

חלק 3: תרגילים שצריך לפתור

מלאו את הפתרונות של כל התרגילים.
לחצו "סיימתי את התרגילים" וקבלו תשובה האם צדקתם בפתרון התרגילים.

שימו לב שכל תרגיל חוזר פעמיים. היעזרו בכך על מנת לפתור את התרגילים.

1)

= 2 * 9

2)

= 4 * 9

3)

= 3 * 9

4)

 = 9 * 2

5)

= 9 * 3

6)

= 9 * 4

להתראות מחר.

לוח הכפל, הדף עם הקישורים לכל ימי הלימוד.

לוח הכפל יום 24

חלק 1: סרטון למידה

חלק 2: שקופיות לחזרה

בהתחלה החליפו שקופיות עם החץ הפונה שמאלה.

64 = 8 * 8
« 1 של 3 »

שקופיות עם כל התרגילים של המספר 8.

8 = 1 * 8
« 1 של 10 »

חלק 3: תרגילים שצריך לפתור

מלאו את הפתרונות של כל התרגילים.
לחצו "סיימתי את התרגילים" וקבלו תשובה האם צדקתם בפתרון התרגילים.

1)

= 5 * 8

2)

= 2 * 8

3)

= 10 * 8

4)

= 9 * 8

5)

= 4 * 8

6)

= 8 * 8

7)

= 7 * 8

8)

= 3 * 8

9)

= 6 * 8

10)

= 8 * 7

להתראות מחר.

לוח הכפל, הדף עם הקישורים לכל ימי הלימוד.