ממוצע כיתה ה

דף זה מחולק לשני חלקים.
בחלק הראשון הסבר כיצד מחשבים ממוצע ומסר תכונות של ממוצע. תוכלו למצוא את החלק הזה גם בסרטון שלמעלה.
בחלק השני תרגילים הבודקים דברים שונים בהבנת הממוצע. ממליץ לעבור על כל התרגילים.

1.כיצד מחשבים ממוצע ותכונות הממוצע

ממוצע הוא מספר המייצג את האמצע של מספר מספרים.

איך מחשבים ממוצע? עושים זאת בשני שלבים:

  1. מחברים את כל המספרים.
  2. מחלקים את הסכום במספר המספרים שחיברנו.

למשל:
נתונים המספרים 3,4,5,8. מה הממוצע שלהם?
פתרון
שלב 1: חישוב סכום המספרים:
20=3+4+5+8

שלב 2: מספר האיברים הוא 4.
5=20:4
תשובה הממוצע של המספרים הוא 5.

תרגיל נוסף.
נתונים המספרים 40,20,0. מה הממוצע שלהם?
פתרון
שלב 1: חישוב סכום האיברים:
60=40+20+0.

שלב 2: מספר האיברים הוא 3. לכן:
20=60:3
תשובה הממוצע הוא 20.

דברים נוספים שעליכם לדעת:

  1. אם מוספים לכל האיברים מספר קבוע אז הממוצע גדל באותו מספר קבוע.
    למשל, אם נוסיף 5 למספרים מהדוגמה הקודמת (40,20,0) ונהפוך אותם ל 45,25,5 אז הממוצע יעלה ב 5 מ 20 ל 25.
    ואותו דבר בחיסור אם נחסר 10 מכל אחד מהמספרים אז הממוצע יהפוך מ 20 ל 10.
  2. אם מוסיפים לקבוצת המספרים מספר חדש שהוא גדול מהמוצע אז הממוצע גדל.
    למשל אם נוסיף למספרים 40,20,0 את המספר 21 אז הממוצע יגדל מעל 20.
  3. ולהפך: אם מוסיפים מספר לקבוצת מספרים מספר קטן מהמוצע אז הממוצע קטן.
  4. אם נוסיף לקבוצת מספרים מספר השווה לממוצע הממוצע אינו משתנה.
  5. אם נכפיל את גודלם של מספרים הממוצע של המספרים יוכפל באותה מידה.
    למשל: אם 40,20,0 יהפכו ל 120,60,0. אז הממוצע יוכפל פי 3 ויהפוך ל 60.
  6. לא חייב להיות בקבוצה מספר שהוא ממוצע.
  7. הממוצע לא חייב להיות מספר שלם, הממוצע יכול להיות שבר.

2. תרגילים בנושא ממוצע

כל תרגיל הוא קצת אחר, ממליץ לעבור על כולם.

תרגיל 1: חישוב ממוצע

  1. חשבו את הממוצע של המספרים הבאים 5,20,20,25,30.
  2. איזה מספר ניתן להוסיף לקבוצת המספרים ולשמור על הממוצע?

פתרון
שלב 1: חישוב סכום המספרים:
100=5+20+20+25+30
שלב 2: יש 5 איברים.
20=100:5
תשובה: הממוצע הוא 20.

חלק שני
המספר הוא 20.
כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים מספר שגודלו כממוצע הממוצע לא משתנה.

תרגיל 2

כתבו 3 מספרים שהממוצע שלהם הוא 10.

פתרון
הכי פשוט זה לכתוב 10,10,10.
אפשרות אחרות הן:
5,10,15.
0,10,20.
0,0,30.
וקיימות אפשרויות רבות אחרות.

כל 3 מספרים שסכומם הוא 30 הממוצע שלהם הוא 10. כי:
10 = 3 : 30

תרגיל 3

עבור קבוצות המספרים הבאות קבעו לאיזו קבוצה יש ממוצע גדול יותר (או שהממוצעים שווים).

7,3        10,0
171, 86      170, 87
8,5,1     8,5,1,8
10,0     10,0,0

פתרון
7,3        10,0
מכוון שהסכום שווה (10) וגם מספר האיברים
שווה (2) הממוצעים שווים.
7,3    =  10,0

171, 86      170, 87
עבור המספרים הללו אולי קשה לחשב את הסכום אבל מכוון שהורידו 1 במקום אחד בקבוצה והוסיפו אחד במקום אחר באותה הקבוצה ניתן לקבוע שסכום הקבוצה שווה.
ומכוון שבשתי הקבוצות יש גם את אותו מספר איברים הממוצע של הקבוצות שווה.
171, 86    =  170, 87

8,5,1     8,5,1,8
קבוצת המספרים 8,5,1,8 היא כמו הקבוצה 8,5,1 רק שהוסיפו לה את המספר 8, שהוא גדול מהמוצע של 8,5,1.
לכן הממוצע של 8,5,1,8 גדול יותר.
8,5,1  <  8,5,1,8

10,0     10,0,0
קבוצת המספרים 10,0,0 היא כמו הקבוצה 10,0 רק שהוסיפו לה 0, שהוא מספר נמוך מהממוצע של 10,0. לכן הממוצע של 10,0,0 נמוך יותר.
10,0  > 10,0,0

תרגיל 4: בעיה מילולית

דני דונה ודנית כותבים במהלך הלימודים בבית ספר. דני כותב 8 דפים ביום. דונה כותבת 6 דפים ביום ודנית כותבת 10 דפים ביום.

  1. כמה דפים נכתבים בממוצע על ידי שלושתם ביום?
  2. ידוע כי לא ניתן לכתוב יותר מ- 18 דפים ליום. מוסיפים לקבוצה עוד 2 תלמידים. מה הממוצע הגדול ביותר היכול להתקבל?

פתרון
שלב 1: חישוב סכום הדפים שנכתבים.
24=6+8+10
שלב 2: יש 3 איברים ולכן:
8=24:3
תשובה: ממוצע הדפים שנכתבים הוא 8.

חלק שני.
נניח שהצטרפו לקבוצה שני תלמידים שכל אחד מיהם רושם 20 דפים ביום.
שניהם ביחד יכתבו:
36 = 18 + 18
על מנת לחשב את סכום הדפים שכל חמשת חברי הקבוצה כותבים עלינו להוסיף 36 למספר ששלושת הראשונים כתבו:
60 = 36 + 24

נחלק את המספר הזה ב- 5 על מנת לחשב את הממוצע.
12 = 5 : 60
תשובה: הממוצע הגדול ביותר שניתן להגיע אליו אחרי תוספת 2 התלמידים הוא 12 דפים ביום.

תרגיל 5: חישוב ממוצע מבלי לחשב

  1. מה הממוצע של 560,562,564 ?
  2. ידועים שני המספרים 120 ו- 140. מבלי לחשב כתבו איזה מספר יש להוסיף לשני המספרים על מנת שהממוצע יהיה 140.

פתרון
ניתן לראות כי 560 קטן ב 2 מ 562 ואילו 564 גדול ב 2.
לכן שני ההפרשים מקזזים אחד את השני והממוצע הוא 562.

חלק שני
הממוצע המבוקש הוא 140.
לכן המספר 140 לא משפיע על גודל הממוצע.
והמספר 120 נמצא 20 מתחת.
לכן המספר הנוסף צריך להיות 20 מעל 140, על מנת לאזן.
160 = 20 + 140
תשובה: המספר שצריך להוסיף הוא 160.

תרגיל 6: אומדן של ממוצע

עבור קבוצת המספרים 180, 300, 420, 520.
מבלי לחשב את הממוצע, מה הוא לדעתכם הטווח שבו נמצא הממוצע?

  • 100-300
  • 300-500
  • 500-700

פתרון

האפשרות 500-700 לא הגיונית כי יש מספר אחד שהוא גדול מ- 500 והוא גדול בקצת (520).
גם בין 100-300 יש רק מספר אחד וכל השאר גדולים יותר.
עבור הקבוצה 300-500 יש שני מספרים בתחום הזה ושני המספרים האחרים מאזנים זה את זה. מספר אחד גדול מהקבוצה (520) ומספר אחד קטן מהקבוצה.

2 תרגילים נוספים לחזרה: חוזרים על נושאים שנלמדו קודם

תרגיל 7

נתונה קבוצת הציונים 70, 80, 85, 85

  1. מבלי לחשב את הממוצע קבעו אם המספר 90 יכול להיות ממוצע הקבוצה? הסבירו את תשובתכם.
  2. חשבו את הממוצע של המספרים.
  3. איזה מספר ניתן להוסיף לקבוצת מספרים זו על מנת שהממוצע ישאר אותו הדבר?
  4. אם נוסיף לקבוצה  את אחד מהמספרים 60,   70,   80,   90,   100. מי מיהם יוריד יותר מכולם את הממוצע?

פתרון

1.  לא, המספר 90 לא יכול להיות הממוצע.
הממוצע הוא מספר הנמצא בין האיבר הקטן ביותר בקבוצה (70) למספר הגדול ביותר בקבוצה (85).
המספר 90 גדול יותר מכל אחד ממספרי הקבוצה ולכן לא יכול להיות הממוצע.

2. נחשב את סכום הציונים
320 = 85 + 85 + 80 + 70
מספר הציונים הוא 4.
לכן הממוצע הוא:
80 = 4 :320

3. על מנת לא לשנות את הממוצע צריך להוסיף מספר השווה לממוצע, כלומר להוסיף 80 ואז הממוצע לא ישתנה.

4. המספר שיקטין את הממוצע בצורה הרבה היותר הוא המספר הקטן ביותר שניתן להוסיף – והוא 60.

תרגיל 8

בכיתה ה1 יש 30 תלמידים, בכיתה ה2 יש 40 תלמידים ובכיתה ה3 יש 32 תלמידים.

  1. מה ממוצע התלמידים בכיתות ה?
  2. הוסיפו 3 תלמידים לכל כיתה. מה הממוצע החדש של התלמידים בכיתה ה?

פתרון

עלינו לחשב את הממוצע של המספרים:  30, 40, 32.
נחשב את סכום המספרים:
102 = 30 + 40 + 32
סך הכל יש 3 מספרים, לכן הממוצע הוא:
34 = 3 : 102
תשובה: ממוצע התלמידים בכיתות ה הוא 34.

כאשר מוסיפים מספר קבוע לכל אחד ממספרי הקבוצה הממוצע גדל באותו מספר, לכן הממוצע יגדל ב 3.
37 = 3 + 34
תשובה: הממוצע החדש הוא 37.

עוד באתר:

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “ממוצע כיתה ה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום איילת.
      הוספתי עוד 2 תרגילים עם כמה סעיפים בכול תרגיל.
      תודה על התגובה המשפרת ובהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.