וקטורים

נושא הוקטורים הוא הנושא הגדול ביותר בשאלון 582 (807) והוא מחולק באתר זה למספר דפים;

  1. וקטור גיאומטרי.
  2. וקטור אלגברי.
  3. הצגות פרמטריות של ישרים ומישורים.

בתחילת דף זה תרגילים בסיסיים במספר נושאים הקשורים לוקטורים. בסוף הדף פתרון של שאלות מהבגרות.

הערה: וקטור מסומן עם חץ מעליו. באתר זה זה לא ניתן לסמן חץ מעל אותיות ולכן בדף זה וקטור יסומן בעזרת האותיות בלבד.

תרגיל 1 : חישוב זווית בין וקטורים

אורך שני וקטורים u,v הוא u¦ = 4, ¦v¦ = 2¦  והמכפלה הסקלרית שלהם היא u*v = 3.
חשבו את הזווית שבין הוקטורים.

דרך הפתרון:
משתמשים בנוסחה ¦cos a = u * v / ¦v¦ * ¦u.

פתרון
הנוסחה לזווית שבין וקטורים היא:
¦cos a = u * v / ¦v¦ * ¦u
cos a = 3 / 4*2 = 3/8
a = 68
תשובה: הזווית שבין שני הוקטורים היא 68 מעלות.

תרגיל 2: מציאת וקטור ניצב לשני וקטורים

נתונים הוקטורים (u (2,5,1) , v(6,1,4.
מצאו וקטור המאונך לשניהם.

דרך הפתרון:

  1. נגדיר וקטור ( p(a,b,c
  2. ניצור את המכפלה שלו עם כל אחד מהוקטורים שהוא אמור להיות מאונך אליהם.
  3. נגדיר שנים מתוך השלשה a,b,c  בעזרת השלישי.
  4. נמצא את הוקטור המאונך.

פתרון
נניח כי הוקטור ( p(a,b,c מאונך לשני הוקטורים.
המכפלה של שני וקטורים מאונכים שווה ל 0 לכן מתקיים:
p*v = 6a+b+4c = 0
p * u = 2a + 5b +c = 0

נבודד את c במשוואה השנייה ונציב במשוואה הראשונה:
c = -2a – 5b  (משוואה 3)
6a + b-8a-20b = -2a -19b = 0
a = -9.5b

נציב במשוואה 3.
c = 14b
עכשיו ניתן להגדיר את הוקטור P באמצעות b  בלבד:
( p (-9.5b, b, 14b
כל מספר שנבחר עבור b ייתן לנו וקטור מאונך (מלבד 0). נציב b=1.
( p (-9.5, 1, 14

עלינו לבדוק שהוקטורים מאונכים:
p*v = 6a+b+4c = 0
p * u = 2a + 5b +c = 0
p*v = -57+1+56=0
p*u = -19 + 5 +14 = 0

תשובה: מכוון שמכפלת הוקטורים שווה ל 0 הוקטור p מאונך לשני הוקטורים.

תרגיל 3: הוכחה כי וקטורים שווים

נתונות הנקודות (0,A (4,7,6)   B (1,1,2)   C(8,5,2)   D(5, -1
הוכיחו את שוויון הוקטורים AB=CD.

דרך הפתרון:
כאשר נתונות  4 נקודות עלינו למצוא את שתי הוקטורים המבוקשים ולראות אם הם שווים.

פתרון
נחשב את הוקטורים AB ו CD
(AB = (4-1, 7-1, 6-2) = (3,6,4
(CD = (8-5, 5+1, 4-0) = (3,6,4

הוכחנו כי הוקטורים שווים.

תרגיל 4: הוכחה כי נקודות נמצאות על ישר אחד

נתונות הנקודות (A (6,6,5)   B(2,3,0)  C( 2, 3, 0
הוכיחו כי הנקודה C נמצאת על הישר AB.
האם הנקודה C נמצאת על הישר AB או על המשכו?

פתרון
עלינו למצוא את הוקטורים AB, AC ולאחר מיכן התנאי שצריך להתקיים על מנת שנקודה תהיה על הישר הוא:  AB = t AC.
(AB =(4,3,5
( AC = (6, 4.5, 7.5

(t * (4,3,5) = (6, 4.5, 7.5
אנו רואים שעבור האיבר הראשון t=1.5.
נבדוק האם t=1.5 מתאים גם לשני האיברים הנוספים ונמצא שכן. לכן הנקודה C נמצאת על הישר AB.

מכוון ש t>1 הנקודה C לא נמצאת על הישר AB אלה על המשכו.
(רק אם t>0 וגם t<1 אז C נמצאת על AB).

תרגיל 5: הוכחה כי נקודה נמצאת על המישור

נתונות הנקודות

התנאי הוא AD = tAB + p AC
מוצאים את הוקטור AD.
מציבים במשוואה.
מחברים את הוקטורים ומקבלים 3 משוואות עם שני נעלמים.

תרגיל 6: מצב הדדי בין ישר למישור

נתון הישר (x = (6,1,2) + t(2,3,1 והמישור 6x+2y+z+4 =0. האם הישר מוכל במישור, מקביל למישור או חותך את המישור?

דרך הפתרון:

  1. מגדירים נקודה הנמצאת על הישר.
  2. מציבים במשוואת המישור ובודקים אם הנקודה מקיימת את משוואה המישור.
    אם כן עבור t ספציפי אז הם חותכים.
    אם כן עבור כל t אז הישר מוכל במישור.
    אם לא אז הם מקבילים.

פתרון

(x = (6,1,2) + t(2,3,1
(2t+6, 3t+1, t+2) היא נקודה שעל הישר. נציב את הערכים שלה במשוואת המישור 6x+2y+z+4 =0.
36+12t +6t+2+t+2 = 0
40+19t=0
t = -40/19
תשובה: מצאנו כי קיים ערך יחיד בו הישר פוגש את המישור לכן הישר והמישור נחתכים.

תרגיל 7: מצב הדדי בין שני מישורים

נתונים המישורים 5x+2y+z=0,  4x+4y+4z =0.
מצאו האם המישורים הללו מקבילים, מכילים אחד את השני או חותכים.

דרך הפתרון:

  1. מוצאים את שני הוקטורים המאונכים לישרים הללו, נניח v,u.
  2. אם מתקיים u=tv וגם d1 = td2 אז המישורים מתלכדים.
  3. אם מתקיים u=tv וגם d1 ≠ td2 אז המישורים מקבלים.
  4. אם מתקיים u≠tv אז המישורים נחתכים.

פתרון

5x+2y+z=0,  4x+4y+4z =0.
הוקטורים המאונכים למישורים הם: (4,4,4) ו (5,2,1).
האם יש t המקיים:
(4,4,4) = (5,2,1)t.
ניתן לראות כי עבור y מתקיים t=2 אך ערך זה אינו מתקיים עבור x,z. לכן המישורים נחתכים.

בגרות במתמטיקה 5 יחידות הסברים ותרגילים לנושאים נוספים.

פתרונות לתרגילים מבגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון תרגילים מהבגרות בנושא וקטורים.
את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2017 מועד א

AC  = AS + SC
SC = AC-AS

AM = AS + SM  = AS + 0.5SA + 0.5SC = AS+0.5SA + 0.5AC- 0.5AS= 0.5AC + 0.5AS – 0.5AS= 0.5AC

חלק שני:
משולש ASC הוא שווה שוקיים משום שבפירמידה ישרה המקצועות שווים AS=SC.
במשולש שווה שוקיים ASC הוכחנו כי M היא האמצע של AC.
במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה ולכן AC ⊥ SM.
הערה: ניתן להוכיח שהם מאונכים גם באמצעות כפל וקטורים SM * AC =0 אך הוכחה זו ארוכה יותר.

חלק שלישי:
בפירמידה ישרה הגובה לבסיס מגיע אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.
בריבוע מרכז המעגל החוסם נמצא בנקודת מפגש האלכסונים שהיא אמצע האלכסון – בגלל שאלכסוני הריבוע חוצים זה את זה.
הוכחנו כי הנקודה M היא אמצע האלכסון AC ולכן SM הוא גובה הפירמידה.

סעיף ב
(A (√3, 1,0)   C(-√3, -1, 0
הנקודה M היא אמצע הקטע AC אז נחשב את את אמצע הישר AC ונקבל (M (0,0,0

במישור ABCD ערכי ה z הם 0 (נתון).
ומכוון שהישר SM מאונך למישור בנקודה M ערכי ה X וה Y שלו שווים לערכי X,Y של הנקודה M.
(S (0,0,Z

נחשב את אורך AC על פי מרחק בין שתי נקודות ונקבל 4.
שטח ריבוע הבסיס הוא 4*4*0.5 = 8.

נפח פירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.
V = (8*SM) / 3
48 = 8SM
SM  = 6
אורך SM הוא ערך ה Z של הנקודה S.
יש אפשרות ש S תהיה מעל או מתחת למישור ABCD ולכן שני הערכים האפשריים עבורה הם:
(0,0,6)  או  (-0,0,6)

סעיף ג
עלינו למצוא נקודה + שני וקטורים על מנת להגדיר מישור.
נשים לב שגם הנקודה M נמצאת על הישר S1S2 ולכן גם על המישור.
משוואת המישור:
(p = (0,0,0) + t1(√3, 1,0) + t2 (0,0,1
A = -1, B= √3, C=0
D=0  מכוון שהמישור עובר ב 0,0,0.
x + √3y = 0-  משוואת המישור.

נציב את הנקודה C במשוואת המישור ונראה אם היא מקיימת אותו.
(C(-√3, -1, 0
3√ – 3√ = 0
0=0
הנקודה C מקיימת את משוואת המישור ולכן נמצאת על המישור.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.