וקטורים שאלון 582 5 יחידות

בדף זה ובקישורים היוצאים ממנו תמצאו מדריך מקיף לנושא הוקטורים.
לאחר הקישורים מופיעות הנוסחאות שניתן להשתמש בהן בבגרות ופתרונות מלאים לשאלות מבחינות בגרות.

סימון הוקטור באתר זה
וקטורים מסמנים עם חץ מעל האותיות.
באתר זה יש קושי לרשום סימן מעל אותיות ולכן בכל הדפים העוסקים בוקטורים הוקטור מסומן ללא חץ מעליו, בצורה הזו AB.

וקטור גיאומטרי

הדף השני בחלק זה חשוב בהרבה מהשניים האחרים.

  1. וקטור גיאומטרי מבוא.
  2. וקטור גיאומטרי חיבור וחיסור.
  3. מכפלה סקלרית בוקטור גיאומטרי.

וקטור אלגברי

היכרות

  1. וקטורים שמוצאם בראשית הצירים, פעולות חשבון בוקטורים.
  2. וקטורים שמוצאם לא בראשית הצירים.
  3. מכפלה סקלרית של וקטורים אלגבריים.
  4. חלוקת קטע ביחס נתון.
  5. האם 3 נקודות נמצאות על אותו ישר?.

ישרים ומישורים

  1. הצגה פרמטרית של ישר.
  2. הצגה פרמטרית של מישור.
  3. הצגה אלגברית של מישור.
  4. איך מוצאים הצגה אלגברית של מישור.

מצבים הדדיים, מרחקים, זוויות

  1. מצב הדדי בין שני ישרים.
  2. מצב הדדי בין ישר למישור.
  3. מצב הדדי בין מישורים.
  4. מציאת ישר החיתוך של שני מישורים.
  5. מצב הדדי בין מישורים בהצגה פרמטרית.
  6. מרחק של נקודה מישר ומישור.
  7. זווית בין שני ישרים.
  8. זוויות בין ישר ומישור.
  9. זווית בין שני מישורים.

הערה: וקטור מסמנים עם חץ מעליו. באתר זה זה לא ניתן לסמן חץ מעל אותיות ולכן בדף זה וקטור יסומן בעזרת האותיות בלבד.

נוסחאות וקטורים

אורך של וקטור   ( x| = √(x * x) = √(x1² + x1² + x3²|
מישור דרך קצוות וקטורים a,b,c
(x = a + t(b – a) + s(c -a
מכפלה סקלרית    x * y = x1y1 + x2y2 + x3y3
מרחק בין נקודה p למישור v* x + e = 0

מציאת זווית בין הישר a + tb והמישור v * x + e = 0
זווית בין ישר למישור
(הוקטור v הוא הנורמל של המישור).

מציאת זווית בין מישורים v1*x +e1 = 0   v2*x + e2 = 0
זווית בין מישורים

(v1, v2 הם וקטורי הנורמל של המישורים).

פתרונות לתרגילים מבגרות

קיץ 2018 מועד א שאלה 2

א. משוואת המישור:  על מנת למצוא את משוואת המישור PNK, נמצא את שיעורי שלושת הנקודות.
נקודה N – שיעורי הנקודה נתונים : (0 , 5 , 0).
נקודה P
שיעור x : נתון AD = 4. לכן שיעור ה- x של נקודה A הוא 4. (כי D נמצאת בראשית הצירים).
שיעור ה-x של נקודה P זהה לשל נקודה A ולכן הוא 4. (כי שתיהן נמצאות על ישר המאונך לציר x).
שיעור y: נקודה P נמצאת על מישור XZ , כלומר אינה בולטת לכיוון ציר y. לכן שיעור ה-y שלה הוא 0.
שיעור z:  נתון: 'AA' = 3 , AP = 2PA.   מכאן ניתן להסיק:
AP = 2, PA' = 1
לכן שיעור ה-z של נקודה P הוא 2.

נקודה K –
שיעור x:  שיעור ה-x של נקודה K הוא זהה לנקודה P (ניתן להסיק מהשרטוט).
לכן הוא 4.
שיעור y: נתון כי : A'K = (4/5)*DN.
שיעור ה-y של נקודה N הוא 5 (נתון) , ולכן: DN = 5.
לכן: A'K = (4/5)*5 = 4
שיעור ה-y של נקודה K הוא 4.
שיעור z: נתון כי AA' = 3 , ולכן שיעור ה-z של נקודה K הוא 3.

מציאת משוואת המישור:

מצאנו את שיעורי שלושת הנקודות:
(N(0,5,0
(P(4,0,2
(K(4,4,3

נציב את שלושתן במשוואת המישור: Ax + By + Cz + D = 0

נקבל 3 משוואות:
1. 4A + 2C + D = 0
2. 5B + D = 0
3. 4A + 4B + 3C + D = 0

מהמשוואה השנייה נסיק כי D = -5B
נציב זאת במשוואות האחרות:
4A – 5B + 2C = 0
4A – B + 3C = 0
נחסר ביניהן:
4B – C = 0-
C = -4B

נציב במשוואה הראשונה:
4A – 8B – 5B = 0
4A = 13B
A = (13/4)*B

נבחר B = 4.

לכן משוואת המישור:
13x + 4y – 16z – 20 = 0

ב.
1. הישר NK: בשביל הצגה פרמטרית אנו זקוקים לנקודה על הישר, ולוקטור המייצג את כיוון הישר.
נקודה על הישר: (N(0,5,0
וקטור הכיוון יהיה הוקטור NK. נמצא אותו ע"י חיסור בין שיעורי הנקודות.
(NK = (4,4,3) – (0,5,0) = (4 , -1 , 3

לכן ההצגה הפרמטרית היא:
(NK = (0,5,0) + t*(4,-1,3

הישר PL:
נקודה על הישר: (P(4,0,2
על מנת למצוא את וקטור הכיוון, נמצא את שיעורי נקודה L:
L היא אמצע BC , לכן שיעור ה-x הוא 2.
שיעור ה- y הוא a (מכיוון ש – AB = a)
שיעור ה-z הוא 0.
לכן: (L(2,a,0
וקטור הכיוון:
(LP = (4,0,2) – (2,a,0) = (2, -a, 2

לכן ההצגה הפרמטרית היא:
(LP = (4,0,2) + s*(2, -a, 2

2. ישרים מצטלבים הם ישרים אשר אינם מקבילים ואינם חותכים אחד את השני.
הישרים NK ו – PL אינם מקבילים מכיוון שוקטור הכיוון שלהם שונה.
בנוסף, הישרים הנ"ל אינם נחתכים (ניתן לראות בשרטוט).
לכן הישרים מצטלבים.

ג.
1. נתבונן במשולש : A'C'P

הזווית A'C'P שווה ל – 7.9 = 82.1 – 90
את אורך הצלע A'P כבר מצאנו, הוא שווה 1.
את אורך הצלע 'A'C נמצא לפי משפט פיתגורס במשולש 'A'B'C :

(A'C' = √(a2 + 16

לכן:

טריגונומטריה במשולש A'C'P :

נעלה את המשוואה בריבוע:

נחשב את ערך ה-tan , ונכפול את המשוואה בביטוי : a2 + 16 :
1 = 16*0.0193 + 0.0193*a2
a2 * 0.0193 = 0.691
a2 = 35.81
a = 5.99

2. לא קיים a עבורו הזווית PC'C שווה 90º.
נימוק:
הזווית תהיה שווה 90 מעלות רק אם הישר C'P יהיה מאונך לישר 'CC.
כלומר, נקודה P צריכה להיות בעלת שיעור z זהה לשל נקודה 'C.
אורך הצלע AB (כלומר הפרמטר a) לא משפיעה על שיעור ה-z של נקודה P, ולכן לא קיים a שכזה.

 

חורף 2018 שאלה 2

נתון: 'DK = t*AA

א.
על מנת למצוא את t, נמצא את נפחי הפירמידה והמנסרה כתלות,
וניעזר בנתון לגבי הנפחים כדי ליצור משוואה הקושרת ביניהם.

נתון כי נפח המנסרה גדול פי 4.5 מנפח הפירמידה ABCK.
לכן:
Vפירמידה * 4.5 = Vמנסרה

נצמצם:
t*1.5 = 1
t = 2/3

ב. נבצע בניית עזר:

נקודה M היא אמצע הצלע AB.
CM מאונך לAB מכיוון שABC שווה צלעות.
KM מאונך לAB מכיוון שABK שווה שוקיים.

נשתמש במשפט פיתגורס במשולש BMC:

CM2 = a2 – (a/2)2
(CM = √(a2 – a2/4
(CM = √(3a2/4
CM = √3*a/2

מכיוון שהמשולש ABC שווה צלעות, ו – D מפגש התיכונים, הוא מחלק כל תיכון ביחס של 2:1.
לכן:
MD = (√3*a/2)/3
MD = √3*a/6

כעת נסתכל על משולש MDK:

לכן: DMK = 66.586º.

(הזווית הזו היא בעצם הזווית בין שני המישורים, ולכן זוהי התשובה)

ג. נמצא את נפח הפירמידה (כתלות ב-a) עפ"י נוסחה, ונשווה אותו לנפח הנתון.
נחשב ראשית את שטח בסיס הפירמידה: (משולש שווה צלעות)
SΔABC = a*a*sin(60)/2
SΔABC = a2 * √3 /4

כעת נשווה בין הנפחים:

נצמצם:
a3 / 6 = 36
a3 = 216
a = 6

ד. 
1. שיעורי הקודקוד 'B:
ראשית נמיר את הנתונים שקיבלנו לנקודות ממשיות:
A היא ראשית הצירים, לכן: (0,0,0)A
'A נמצאת על ציר z החיובי, ונמצאת במרחק a = 6  מהראשית. לכן: (0,0,6) 'A.
C נמצאת על ציר y החיובי, ונמצאת במרחק a = 6  מהראשית. לכן: (0,6,0) C.

נבצע בניית עזר:

הנקודה F היא אמצע הצלע 'A'C. מכיוון שזהו משולש שווה צלעות, הצלע B'F מהווה אנך לצלע 'A'C.

נתבונן במשולש A'B'F :

הזווית B'A'F שווה ל -60° , מכיוון שהמשולש 'A'B'C שווה צלעות.
לכן:

B'F = 3√3

הצלע הזו מקבילה לציר x, לכן שיעור ה -x של הנקודה B הוא 3√3.
שיעור ה-y של הנקודה 'B הוא כשל נקודה F , כלומר 3.
שיעור ה-z של הנקודה 'B הוא 6, כשל כל הבסיס העליון של המנסרה.

תשובה: שיעורי הנקודה 'B הם: (x,y,z) = (3√3 , 3, 6)

2. משוואת המישור:

ראשית נמצא את שיעורי נקודה K:
שיעור ה -z : נקודה K נמצאת 2/3*a  מעל בסיס המנסרה שנמצא ב -z = 0.
a =  6 , ולכן שיעור ה -z של נקודה K הוא 2/3*6 = 4.
שיעור ה -y: מבחינת ציר ה – y , נקודה K נמצאת באותו מרחק כמו נקודה 'B , ששיעור ה- y שלה הוא 3.
לכן שיעור ה – y  של נקודה K הוא 3.
שיעור ה -x: שיעור ה -x של נקודה B הוא 3√3.
מכיוון ש-D היא מפגש התיכונים במשולש שווה צלעות, שיעור ה-x שלה הוא 3/3√3 (כלומר שליש מהצלע).
שיעור ה-x של D ו-K זהים, לכן שיעור ה-x של נקודה K הוא 3√.

לכן: (4 , 3 , 3√)K

כעת נמצא את משוואת המישור לפי 3 נקודות:
נציב במשוואה: ax + by + cz + d = 0 את שלושת הנקודות.

נקודה A:
a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d  = 0

נקודה 'B:
a*3√3 + b*3 + c*6 = 0

נקודה K:
a*√3 + b*3 + c*4 = 0

יש לנו 2 משוואות עם 3 נעלמים. לכן נוכל לבחור a = 1, למשל.

כעת נחסר משהמשוואה הראשונה 3 פעמים את המשוואה השנייה: (ונציב a = 1):
6b – 6c = 0-
b = -c

נציב במשוואה השנייה:
3c + 4c + √3 = 0-
c = -√3
לכן: b = √3

לכן, משוואת המישור:
x + √3 y – √3 z = 0

 

 

קיץ 2017 מועד א

AC  = AS + SC
SC = AC-AS

AM = AS + SM  = AS + 0.5SA + 0.5SC = AS+0.5SA + 0.5AC- 0.5AS= 0.5AC + 0.5AS – 0.5AS= 0.5AC

חלק שני:
משולש ASC הוא שווה שוקיים משום שבפירמידה ישרה המקצועות שווים AS=SC.
במשולש שווה שוקיים ASC הוכחנו כי M היא האמצע של AC.
במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה ולכן AC ⊥ SM.
הערה: ניתן להוכיח שהם מאונכים גם באמצעות כפל וקטורים SM * AC =0 אך הוכחה זו ארוכה יותר.

חלק שלישי:
בפירמידה ישרה הגובה לבסיס מגיע אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.
בריבוע מרכז המעגל החוסם נמצא בנקודת מפגש האלכסונים שהיא אמצע האלכסון – בגלל שאלכסוני הריבוע חוצים זה את זה.
הוכחנו כי הנקודה M היא אמצע האלכסון AC ולכן SM הוא גובה הפירמידה.

סעיף ב
(A (√3, 1,0)   C(-√3, -1, 0
הנקודה M היא אמצע הקטע AC אז נחשב את את אמצע הישר AC ונקבל (M (0,0,0

במישור ABCD ערכי ה z הם 0 (נתון).
ומכוון שהישר SM מאונך למישור בנקודה M ערכי ה X וה Y שלו שווים לערכי X,Y של הנקודה M.
(S (0,0,Z

נחשב את אורך AC על פי מרחק בין שתי נקודות ונקבל 4.
שטח ריבוע הבסיס הוא 4*4*0.5 = 8.

נפח פירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.
V = (8*SM) / 3
48 = 8SM
SM  = 6
אורך SM הוא ערך ה Z של הנקודה S.
יש אפשרות ש S תהיה מעל או מתחת למישור ABCD ולכן שני הערכים האפשריים עבורה הם:
(0,0,6)  או  (-0,0,6)

סעיף ג
עלינו למצוא נקודה + שני וקטורים על מנת להגדיר מישור.
נשים לב שגם הנקודה M נמצאת על הישר S1S2 ולכן גם על המישור.
משוואת המישור:
(p = (0,0,0) + t1(√3, 1,0) + t2 (0,0,1
A = -1, B= √3, C=0
D=0  מכוון שהמישור עובר ב 0,0,0.
x + √3y = 0-  משוואת המישור.

נציב את הנקודה C במשוואת המישור ונראה אם היא מקיימת אותו.
(C(-√3, -1, 0
3√ – 3√ = 0
0=0
הנקודה C מקיימת את משוואת המישור ולכן נמצאת על המישור.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.