חקירת פונקציה לוגרתמית 5 יחידות שאלון 582

הפונקציה ln x

הפונקציה ln x היא פונקציית log שבסיסה e:
ln x = logex

גרף הפונקציה ln x עולה תמיד והאסימפטוטה האנכית שלו היא x=0.

תחום הגדרה ln

הפונקציה ln x מוגדרת עבור x>0.
כאשר הביטוי שמחליף את ה X הוא מורכב יותר תחום ההגדרה יכול להפוך מורכב יותר.

נשמע פשוט אבל שימו לב שאתם לא מתבלבלים.
למשל תחום ההגדרה של (ln (-x הוא x<0.

( 8-ln (2x²  תחום ההגדרה:  x>2 או x< -2.

(ln x²+6x+8  במקרה זה צריך לפתור אי שוויון ריבועי של הביטוי:
x²+6x+8 >0
בעזרת פירוק הטרינום  או נוסחת השורשים נקבל:
x-2) (x-4) >0)
נקבל x>4 או x<2.

 

עליה וירידה

הפונקציה ln x עולה לכל x>0.

חישובים בסיסיים עם ln

במהלך חקירת הפונקציה לפעמים מבקשים למצוא את ערך הפונקציה עבור x מסוים. למשל:
f(x)=ln x² כמה שווים (f(1), f(e³
f(1)=ln 1²
ex=1
x=0
f(1)=0

f(e³)=ln e=ln e6
ex=e6
x=6
f(e³)=6

משוואות בסיסיות עם lnx

x² ln x = 0
x= 0
או ln x = 0
e0=x
x=1
הפתרונות הם: x=0, x=1.

ln²x – 2ln x = 0
ln x(lnx – 2)=0
ln x =0
x=1
או
ln x -2 =0
lnx =2
x=e²
תשובה: x=e² או x=1.

חוקי הלוגרתמים הם:

  1. log a(x*y) = logax + logay
  2. log a(x/ y) = logax – logay
  3. logaxn = nlogax
  4. logax = logbx : logba  כלל של שינוי בסיס הלוג.
  5. alogax = x

כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :

  1. לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר loga1 = 0.
  2. ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log28=3.

נגזרת ln x

ln x )' = 1/ x)
כאשר הפונקציה היא פונקציה מורכבת גוזרים אותה כמו פונקציה מורכבת.
(ln f (x))' = (1/ x) * f ' (x)

דוגמאות לנגזרות:
x² ln x)' = 2x ln x + (1/x) *2x)   – נגזרת של מכפלה.

6ln x ' = 6/x

ln 6x ' = 6/6x = 1/x

(ln (3x² +4) ' = 6x / (3x²+4

ln (-x)) ' = (1/ -x)  * -1 = 1/x)

(ln (x³ + x) ' = (1/(x³ +x)) * (3x²+1

אסימפטוטה פונקציית ln

אסימפטוטה אנכית – מצורה x=k
הפונקציה ln x אינה מוגדרת כאשר x=0.
כאשר X שואף ל 0 ערכי הפונקציה שואפים למינוס אינסוף לכן x=0 היא אסימפטוטה של אנכית של ln x.
דוגמאות נוספות:
(ln (x+3
x= -3 אסימפטוטה.
(ln (x-1
x=1 אסימפטוטה.
(ln (x² +1
אין אסימפטוטה אנכית משום שהפונקציה מוגדרת תמיד.

דוגמאות לגרפים של פונקציות ln

גרף של (ln (x+3 ו (ln (x-1

גרף של (ln (x² +1

גרף של (ln (x² +1

גרפים נוספים של פונקציות ln

גרף של ln x

גרף של ln x

גרף של (ln (-x

גרף של (ln (-x

עוד באתר:

פתרון תרגילים מהבגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון תרגילים מהבגרות בנושא חקירת פונקציות מעריכיות.
את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2018 מועד א שאלה 5

א. נפעיל על שני אגפי המשוואה ex , ונקבל:

(מחוקי לוגריתמים:  eln(x) = x )

עבור x = 1 : נתון כי (g(x מתאפסת עבור x = 1 , ולכן g(1) = 0.
לכן: f(1) = e0 = 1

עבור x = -2: הפונקציה (g(x מתאפסת גם עבור x = -2 ,
לכן: f(-2) = e0 = 1

עבור x = 0: ניתן לראות מהגרף :  g(0) = 1.
לכן: f(0) = e1 = e

 

ב. תחומי חיוביות ושליליות:
הפונקציה (f(x נמצאת בתוך ה -ln.
לכן, הפונקציה (g(x מוגדרת רק כאשר f(x) > 0  (תחום ההגדרה של פונקציית ה- ln ).
לכן, (f(x חיובית עבור x > 4 או  x < 2.
כאשר (g(x אינה מוגדרת – (f(x היא שלילית או אפס.
לכן (f(x שלילית עבור   .

ג. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נתון כי (f(x רציפה לכל x. לכן, לפי תחומי החיוביות והשליליות – ניתן לראות כי (f(x מחליפה סימן, כלומר חותכת את ציר ה- x, בנקודות x = 2 , x = 4.
לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן: (2,0) , (4,0)
ציר y: ראינו בסעיף א' כי f(0) = e – זוהי נקודת החיתוך.
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא:  (x,y) = (0,e)

ד. אסימפטוטות אופקיות:
נשים לב לפי הגרף כי ל – (g(x יש 2 אסימפטוטות אופקיות:
– עבור x שואף לאינסוף: y = 0
– עבור x שואף למינוס אינסוף: y = 2.

נסיק מכך מסקנות לגבי האסימפטוטות של (f(x :
-כאשר x שואף לאינסוף – (g(x שואפת ל – 0. כלומר ( (ln ( f(x שואפת ל – 0.
על מנת שהפונקציה ln תשאף ל – 0, הארגומנט (כלומר הביטוי שבתוכה) צריך לשאוף ל – 1. (כי ln(1) = 0)
לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף לאינסוף היא y = 1.
– כאשר x שואף למינוס אינסוף – (g(x שואפת ל – 2.
מאותם נימוקים – (f(x תשאף ל – e2.
לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף למינוס אינסוף היא y = e2.

 

ה. תחומי עלייה וירידה:
נגזור את הפונקציה (g(x – גזירה של פונקציה מורכבת.

נבודד את (f ' (x , ונקבל:
(f ' (x) = f(x) * g '(x

כלומר, סימן הנגזרת של (f(x תלוי בסימן של (f(x ובסימן הנגזרת של (g(x.
אנו יודעים את תחומי החיוביות והשליליות של (f(x , וניתן לראות מהגרף את סימן הנגזרת של (g(x.
לכן נפצל לתחומים:
1. x < -2 : בתחום זה (g(x יורדת – כלומר g ' (x) < 0 , ו (f(x חיובית.
לכן בתחום זה  (f ' (x שלילית – כלומר  (f(x יורדת.
2.   : בתחום זה (g(x עולה , ו – (f(x חיובית.
לכן בתחום זה (f ' (x חיובית – כלומר (f(x עולה.
3.  : עבור x בין 0 ל -2 ניתן לראות כי (g(x יורדת ו – (f(x חיובית.
לכן עבור x בין 0 ל – 2  (f(x יורדת.
בנוסף נתון כי בתחום  הנגזרת מתאפסת רק עבור x = 3.
כלומר, סימן הנגזרת אינו משתנה בין 2 ל- 3.
לכן בתחום זה (f(x יורדת.
4. x > 3 : עבור x > 4  מתקיים: (g(x עולה , (f(x חיובית, ולכן  (f(x עולה.
סימן הנגזרת אינו משתנה כאשר x בין 3 ל-4, (מאותו נימוק כמו קודם) ,
ולכן בתחום זה (f(x עולה.

סיכום:
עלייה:
  , x > 3.
ירידה:  , x < -2.

ו. סקיצה:

 

ז. הסבר:
האינטגרל הנתון מייצג את השטח הנמצא מתחת לפונקציה (f(x בקטע שבין x = -2 לבין x = 1.
ראינו בסעיף א' כי  f(-2) = f(1) = 1.
בנוסף, ניתן לראות מהגרף כי בין  x = -2 ל- x = 1 הפונקציה נמצאת מעל y = 1.
כלומר, השטח הכלוא מתחת לגרף הוא בהכרח גדול משטח מלבן שרוחבו 3 וגובהו 1.
שטח המלבן הזה הוא 1*3 = 3.
ולכן האינטגרל הנתון בהכרח גדול מ- 3.

חורף 2018 שאלה 5

א.
1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של פונקציית השורש הוא x ≥ 0. מכיוון שהשורש נמצא במכנה, תחום ההגדרה הוא x > 0 .
(כי עבור x = 0 המכנה מתאפס)
תחום ההגדרה של הפונקציה ln x הוא x > 0.

לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x > 0.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x:
נפתור את המשוואה f(x) = 0.
הביטוי שווה ל -0 רק אם המונה מתאפס. לכן:
ln x)n = 0)
ln x = 0
x = 1

ציר y:  הישר x = 0 אינו נכלל בתחום ההגדרה של הפונקציה.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר y.

לכן נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים היא : (1,0)

ב.
נוסחה לחישוב נפח גוף סיבוב:

כאשר במקרה שלנו : a = 1 , b = e2.   לכן:

נפתור את האינטגרל בשיטת ההצבה:
נציב: t = ln x.
ואז מתקיים: dt = 1/x dx

חישוב הגבולות:
גבול עליון: t = ln(e2) = 2
גבול תחתון: t = ln 1 = 0

נקבל: (נוכל כעת לפתור את האינטגרל כפולינום)

כעת, על מנת למצוא את n, נשווה בין הנפח שחישבנו לנפח הנתון:

נצמצם ונקבל:
22n+1 = 32
ידוע כי 25 = 32 , ולכן:
2n + 1 = 5

n = 2

ג.

1. נקודות קיצון:


(ביצענו מכנה משותף וסידרנו את השבר)
lnx * (4 – lnx) = 0
1. ln x = 0
x1 = 1

2. lnx = 4
x2 = e4

נבדוק האם הן נקודות קיצון (ומה סוגן) בעזרת טבלה:

נקודת מקסימום: (e4 , 16/e2)
נקודת מינימום: (1,0)

2. אסימפטוטות אנכיות:
x = 0 היא נקודת אי הגדרה. לכן סביר להניח שהישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית.
נוודא זאת ע"י חישוב הגבול – כאשר x שואף ל- 0 המונה שואף לאינסוף והמכנה שואף ל – 0.
לכן כאשר x שואף ל – 0 הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.

ד. סקיצה:

 

ה.  g(x) = f(x) + m , כאשר m ≠ 0.
1. על מנת שהפונקציה תשיק לציר x , השיפוע שלה צריך להיות 0 בנקודת ההשקה.
שיפוע הפונקציה (g(x זהה לזה של (f(x מכיוון שהן נבדלות רק בקבוע (שנופל בגזירה).
לכן, ישנן 2 נקודות פוטנציאליות להשקה – נקודות הקיצון : x1 = 1 , x2 = e4.
עבור נקודת הקיצון הראשונה – x = 1 – הפונקציה (f(x כבר משיקה לציר x בנקודה זו,
ולכן על מנת ש – (g(x תשיק באותה נקודה נדרוש m = 0  . אבל, נתון כי m ≠ 0 .
לכן נקודת ההשקה תהיה נקודת הקיצון השניה:  x = e4.
נדרוש: g(e4 ) = 0  , כדי שהפונקציה תשיק לציר x.
g(e4) = f(e4) + m = 0
 f(e4) = 16/e2  – כבר מצאנו.
לכן:
m = -f(e4) = -16/e2

2.

נשרטט סקיצה של הפונקציה:

מהגרף ניתן לראות כי יהיה פתרון יחיד למשוואה עבור k = -16/e2 , וגם k > 0.

 

 

קיץ 2017 מועד א תרגיל 5

h (x) = (x+3) / x

א. תחום ההגדרה הוא כל x כך ש x≠0.

ב.x+3) / x >0 / x²)
x(x+3) >0
זו פרבולה מחייכת שנקודות החיתוך שלה הם 0, 3-. נשרטט סקיצה:

שרטוט הפרבולה

אנו יכולים לראות שהתחום החיובי הוא x< -3 או x>0.

ב. נמצא את הפונקציה ( f(x בעזרת האינטגרל של (f ' (x.
עושים זאת בעזרת שיטת ההצבה, נציב:
h (x) =t
h' (x) dx = dt
הערה: הרישום הטכני של האינטגרל באתר בעייתי לכן אעבור לתשובת האינטגרל והיא:
ln (h (x))+c
על מנת למצוא את c נציב את הנקודה בפונקציה שקיבלנו ונקבל:
ln 2 = ln ((3+3) /3) +c
ln 2 = ln 2 + c
c=0
(f(x) = ln ((x+3)/x

ד. אסימפטוטות
אסימפטוטת אנכיות יכולות להתקבל בנקודות אי ההגדרה שהן x=0, x=-3.
כאשר נציב נקודה סמוכה להן בפונקציה (f(x) = ln ((x+3)/x נקבל שערך הפונקציה שואף לאינסוף סמוך ל x=0 ולמינוס אינסוף סמוך ל x= -3.

אסימפטוטת אופקיות – כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף הערכים שלה שואפים ל 0.
תשובה: האסימפטוטות הן x=0, x=-3, y=0.

ה. תחומי עליה וירידה.
f ' (x) = (x/ (x+3) * (1*x – 1(x-3)) / x²
x / (x+3) * -3 / x²
הביטוי הראשון ( x /(x+3 חיובי תמיד כי הפונקציה מוגדרת כאשר ביטוי זה חיובי.
הביטוי השני שלילי תמיד כי הוא מספר שלילי (-3) לחלק בחיובי(x²)
לכן הנגזרת שלילית תמיד והפונקציה יורדת לכול X בתחום ההגדרה.

ו. סקיצה

סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.