חקירת פונקציה לוגרתמית 5 יחידות

הפונקציה ln x

הפונקציה ln x היא פונקציית log שבסיסה e:
ln x = logex

גרף הפונקציה ln x עולה תמיד והאסימפטוטה האנכית שלו היא x=0.

תחום הגדרה ln

הפונקציה ln x מוגדרת עבור x>0.
כאשר הביטוי שמחליף את ה X הוא מורכב יותר תחום ההגדרה יכול להפוך מורכב יותר.

נשמע פשוט אבל שימו לב שאתם לא מתבלבלים.
למשל תחום ההגדרה של (ln (-x הוא x<0.

( 8-ln (2x²  תחום ההגדרה:  x>2 או x< -2.

(ln x²+6x+8  במקרה זה צריך לפתור אי שוויון ריבועי של הביטוי:
x²+6x+8 >0
בעזרת פירוק הטרינום  או נוסחת השורשים נקבל:
x-2) (x-4) >0)
נקבל x>4 או x<2.

 

עליה וירידה

הפונקציה ln x עולה לכל x>0.

חישובים בסיסיים עם ln

במהלך חקירת הפונקציה לפעמים מבקשים למצוא את ערך הפונקציה עבור x מסוים. למשל:
f(x)=ln x² כמה שווים (f(1), f(e³
f(1)=ln 1²
ex=1
x=0
f(1)=0

f(e³)=ln e=ln e6
ex=e6
x=6
f(e³)=6

משוואות בסיסיות עם lnx

x² ln x = 0
x= 0
או ln x = 0
e0=x
x=1
הפתרונות הם: x=0, x=1.

ln²x – 2ln x = 0
ln x(lnx – 2)=0
ln x =0
x=1
או
ln x -2 =0
lnx =2
x=e²
תשובה: x=e² או x=1.

חוקי הלוגרתמים הם:

  1. log a(x*y) = logax + logay
  2. log a(x/ y) = logax – logay
  3. logaxn = nlogax
  4. logax = logbx : logba  כלל של שינוי בסיס הלוג.
  5. alogax = x

כללים נוספים שניתן להשתמש בהם בפתרון משוואות לוגריתמיות :

  1. לוגריתם של המספר 1 הוא 0 לכל בסיס, כלומר loga1 = 0.
  2. ניתן לכתוב כל מספר בצורת לוגריתם. למשל את המספר 3 ניתן לכתוב בצורה של log28=3.

נגזרת ln x

ln x )' = 1/ x)
כאשר הפונקציה היא פונקציה מורכבת גוזרים אותה כמו פונקציה מורכבת.
(ln f (x))' = (1/ x) * f ' (x)

דוגמאות לנגזרות:
x² ln x)' = 2x ln x + (1/x) *2x)   – נגזרת של מכפלה.

6ln x ' = 6/x

ln 6x ' = 6/6x = 1/x

(ln (3x² +4) ' = 6x / (3x²+4

ln (-x)) ' = (1/ -x)  * -1 = 1/x)

(ln (x³ + x) ' = (1/(x³ +x)) * (3x²+1

אסימפטוטה פונקציית ln

אסימפטוטה אנכית – מצורה x=k
הפונקציה ln x אינה מוגדרת כאשר x=0.
כאשר X שואף ל 0 ערכי הפונקציה שואפים למינוס אינסוף לכן x=0 היא אסימפטוטה של אנכית של ln x.
דוגמאות נוספות:
(ln (x+3
x= -3 אסימפטוטה.
(ln (x-1
x=1 אסימפטוטה.
(ln (x² +1
אין אסימפטוטה אנכית משום שהפונקציה מוגדרת תמיד.

דוגמאות לגרפים של פונקציות ln

גרף של (ln (x+3 ו (ln (x-1

גרף של (ln (x² +1

גרף של (ln (x² +1

גרפים נוספים של פונקציות ln

גרף של ln x

גרף של ln x

גרף של (ln (-x

גרף של (ln (-x

עוד באתר:

פתרון תרגילים מהבגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון תרגילים מהבגרות בנושא חקירת פונקציות מעריכיות.
את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2017 מועד א

h (x) = (x+3) / x

א. תחום ההגדרה הוא כל x כך ש x≠0.

ב.x+3) / x >0 / x²)
x(x+3) >0
זו פרבולה מחייכת שנקודות החיתוך שלה הם 0, 3-. נשרטט סקיצה:

שרטוט הפרבולה

אנו יכולים לראות שהתחום החיובי הוא x< -3 או x>0.

ב. נמצא את הפונקציה ( f(x בעזרת האינטגרל של (f ' (x.
עושים זאת בעזרת שיטת ההצבה, נציב:
h (x) =t
h' (x) dx = dt
הערה: הרישום הטכני של האינטגרל באתר בעייתי לכן אעבור לתשובת האינטגרל והיא:
ln (h (x))+c
על מנת למצוא את c נציב את הנקודה בפונקציה שקיבלנו ונקבל:
ln 2 = ln ((3+3) /3) +c
ln 2 = ln 2 + c
c=0
(f(x) = ln ((x+3)/x

ד. אסימפטוטות
אסימפטוטת אנכיות יכולות להתקבל בנקודות אי ההגדרה שהן x=0, x=-3.
כאשר נציב נקודה סמוכה להן בפונקציה (f(x) = ln ((x+3)/x נקבל שערך הפונקציה שואף לאינסוף סמוך ל x=0 ולמינוס אינסוף סמוך ל x= -3.

אסימפטוטת אופקיות – כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף הערכים שלה שואפים ל 0.
תשובה: האסימפטוטות הן x=0, x=-3, y=0.

ה. תחומי עליה וירידה.
f ' (x) = (x/ (x+3) * (1*x – 1(x-3)) / x²
x / (x+3) * -3 / x²
הביטוי הראשון ( x /(x+3 חיובי תמיד כי הפונקציה מוגדרת כאשר ביטוי זה חיובי.
הביטוי השני שלילי תמיד כי הוא מספר שלילי (-3) לחלק בחיובי(x²)
לכן הנגזרת שלילית תמיד והפונקציה יורדת לכול X בתחום ההגדרה.

ו. סקיצה

סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.