וקטור גיאומטרי

וקטור הוא קטע עם כיוון. לאורך הקטע ולכוון הקטע יש משמעות.

בדף זה אני אסמן וקטור בעזרת שתי אותיות רגילות AB ללא חץ מעל האותיות משום שלא ניתן להקליד חץ מעל אותיות באתר.

הוקטור AB

הוקטור AB

שוויון וקטורים

שני תנאים שצריכים להתקיים על מנת שווקטורים יהיו שווים:

  1. לשני הוקטורים צריך להיות אורך זהה.
  2. לשני הוקטורים יש את אותו הכיוון.

כאשר וקטורים שווים ניתן להזיז אחד מיהם תוך שמירה על גודלו וכיוונו ולגרום לו להתלכד עם הוקטור האחר.

חיבור וחיסור וקטורים

על מנת לחבר בין וקטורים צריך לחבר את הגדלים והכיוונים של שניהם. יש שתי שיטות לעשות זאת:

שיטת המשולש

בשיטה זו מזיזים את אחד הוקטרים אל הנקודה שבה האחר מסתיים. כך נוצר רצף של קו וחיבור הוקטורים הוא הוקטור שמתחיל בהתחלה ומסתיים בנקודת הסיום.

אלו שני הוקטורים שיש לחבר

אלו שני הוקטורים שיש לחבר

מזיזים את אחד הוקטורים לנקודת הסיום והוקטור AD שנוצר הוא החיבור של הוקטורים

מזיזים את אחד הוקטורים לנקודת הסיום והוקטור AD שנוצר הוא החיבור של הוקטורים

שיטת המקבילית

בשיטה זו מביאים את שני הוקטורים לאותה נקודת התחלה. ואז משלימים את המבנה למקבילית.

AE הוא וקטור הסכום

AE הוא וקטור הסכום

חיסור וקטורים

חיסור וקטורים היא הפעולה ההפוכה לחיבור וקטורים.

(v – u = v + (-u

מבחינה טכנית נמצא נמצא את הוקטור שהוא באותו אורך אבל בכיוון מנוגד לוקטור u.

חיסור וקטורים, הוקטור AE הוא תוצאת החיסור AB-CD=AE

חיסור וקטורים, הוקטור AE הוא תוצאת החיסור AB-CD=AE

כפל של וקטור בסקלר (מספר)

כאשר מכפילים וקטור במספר אורכו של הוקטור גדל פי המספר וכיוונו נשאר זהה.

מכפלה של שני וקטורים (מכפלה סקלרית)

u * v = ΙuΙ * ΙvΙ *cos a
a – זו הזווית בין שני הוקטורים.

שימו לב שכאשר הוקטורים ניצבים המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים שווה ל 0 כי cos 90 =0.
ולהפך, אם המכפלה הסקלרית שווה ל 0 אז הווקטורים ניצבים.

מהנוסחה של מכפלה סקלרית ניתן לחשב את אורכו של וקטור.

u * u = ΙuΙ * ΙuΙ *cos 0 = u²
(u² בסוף המשוואה מייצג מספר ולא וקטור).

תרגילים

בדף זה נחלק את השאלות ל 3 סוגים על פי רמת הקושי:

  1. קומבינציה לינארית הכוללת רק חיבור של וקטורים.
  2. קומבינציה לינראית הכוללת חיבור וחיסור וקטורים – זו קפיצת מדרגה מבחינת קושי.
  3. קומבינציה לינארית הכולל גם נקודות הנמצאות על הקטע (יחס בין קטעים).

שתי הערות לגבי האופן שבו מחברים ומחסרים וקטורים:

  1. שימו לב לכיוון של הוקטור. וקטורים בתרגילים נראים דומים מאוד לצלעות, אבל בניגוד לצלעות הכיוון של הוקטורים חשוב.
  2. ברוב השאלות הפעולה הבסיסית שעליכם לעשות היא לבנות משוואה בעזרת כלל המשולש לחיבור וקטורים.

אני מזכיר כי בדף זה הוקטורים רשומים כשתי אותיות ללא חץ מעליהם (בגלל מגבלות הקלדה באתר).

שאלות קומבינציה לינארית הכוללות רק חיבור של וקטורים

תרגיל 1

במשולש ABC ידוע כי AB =u ו BC = v.
בטאו באמצעות הוקטורים u,v את הוקטור AC.

פתרון

על מנת להגיע מ A ל C ניתן ללכת:
מ A ל B ומשם ל C.
לכן:
AC = AB + BC = u + v

תרגיל 2

בתיבה AB= u,  AD = v,  AA' = w.
בטאו בעזרת הוקטורים הללו את הוקטורים
'AC,  DC',  AC

פתרון

מציאת AC
AC = AB + BC.
אבל אנחנו לא יודעים את BC.

נשים לב:
BC = AD = v

לכן:
AC = AB + BC = u + v

מציאת 'DC
'DC' = DC + CC

אין וקטורים שנקודת המוצא שלהם היא D. אז כיצד נתחיל?
DC = AB =u.
לכן ניתן להתחיל עם הוקטור u.

DC' = DC + CC' = u + v

מציאת 'AC
AC' = AB + BC + CC
AC'  = u + v + w.

שאלות קומבינציה לינארית הכוללות חיבור וחיסור וקטורים

תרגיל 1

במקבילית ABCD נתון:
AB = u,  AD = v.
בטאו בעזרת u,v את הוקטור  BD

וקטורים במקבילית

הסבר ויזואלי:
אנו צריכים למצוא את BD אבל אין שום וקטור שמתחיל בנקודה D.
לכן נחפש וקטור השווה ל BC (וזה AD) או שנחפש וקטור המסתיים ב B ונשתמש בו כשהוא בסימן שלילי (וזה AB)

פתרון מתמטי:
שלב 1: כתיבת הוקטור המבוקש
BD = BC + CD

שלב 2: ביטוי הוקטורים החסרים בעזרת הוקטורים הידועים
אנו לא יודעים לא את BC ולא את CD.
אבל:
BC = AD = v
וגם:
CD = – AB = – u.

לכן:
BD = BC + CD
BD  = v – u.

תרגיל 2

בתיבה AB= u,  AD = v,  AA' = w.
בטאו בעזרת הוקטורים הללו את הוקטורים

  1. CA
  2. B'C
  3. D'B

פתרון

סעיף א: מציאת CA
בנקודה C אין וקטור שמתחיל או מסתיים, אבל מתקיים השוויון AD = BC
לכן נוכל להשתמש בוקטור AD = BC = v על מנת לצאת מהנקודה C.

1.נכתוב את CA כחיבור וקטורים
CA = CB + BA

2. נגדיר את CB ו BA
CB = -DA = – v

BA = -AB = -u.

CA = CB + BA
CA = -v – u

סעיף ב: מציאת B'C
בנקודה 'B אין וקטור שמתחיל או מסתיים.
אבל הוקטור 'AA שווה לוקטור 'CB ואיתו נוכל לצאת מהנקודה 'B.

1.כתיבת B'C כקומבינציה של וקטורים.
B'C = B'B + BC

2. מציאת הוקטורים B'B, BC
BB' = -AA' = – w

BC = AD = v

B'C = B'B + BC
B'C = – w + v.

סעיף ג: מציאת D'B
D'B = D'D + DA + AB
D'D = -AA' = – w
DA = – AD = -v
AB = u

D'B = -w – v + u

שאלות קומבינציה לינארית הכוללות חלוקה של קטע

השאלות הללו דומות מאוד לשאלות מהסוג הקודם.

תרגיל 1

במלבן ABCD האלכסונים נפגשים  בנקודה O.
AB = u,  AD = v
בטאו באמצעות u,v את הוקטורים
OA
OD

פתרון
נזכור כי האלכסונים במלבן שווים וגם מחלקים זה את זה לחלקים שווים. כלומר הישרים OA = OD =OC = OB שווים באורכם.

סעיף א: מציאת OA
על מנת למצוא את OA נמצא את האלכסון CA ואז נחלק ב- 2.

CA = CB + BA

CB = – DA = – v
BA = -AB = – u

CA = -v – u
(OA = 0.5CA = -0.5 (v + u

סעיף ב: מציאת OD
סעיף זה זהה לחלוטין לסעיף א ומיועד למי שלא הצליח לפתור בעצמו את סעיף א.

נמצא את BD ואז נחלק ב 2 על מנת למצוא את OD.
BD = BA + AD
BD = -u  + v
(OD = 0.5 (v – u

תרגיל 2

במשולש ABC נתונים הווקטורים BC=v, AB= u.
הנקודה D נמצאת על הוקטור CA כך ש CD = k CA
מצאו את הוקטורים הבאים:

  1. CA
  2. BD
  3. AD

פתרון

סעיף א: מציאת CA

נגדיר את CA בעזרת חיבור וקטורים
CA = CB + BA
CA = -v + – u.

סעיף ב: מציאת BD

נגדיר את BD באמצעות חיבור וקטורים.
BD = BC + CD

אנו יודעים כי:
(CD = kCA = k (-v – u
BC = v
(BD = BC + kCA = v + k (-v – u

סעיף ג: מציאת AD

אנו יודעים שני וקטורים:
CA = -v + – u
(CD = kCA = k (-v – u

את הוקטור DA ניתן למצוא בקלות יחסית על ידי חיסור הוקטורים
DA = CA – CD
DA = -v – u -k(-v-u) = -v -u+kv + ku =
נשתמש בפירוק לגורמים:
(v(k -1) + u (k – 1) = (u + v) (k -1

תרגיל 3

במשולש ABC נתונים הוקטורים
AB=u,  AC = v.
AE = 0.2u + 0.3v
הנקודה D נמצאת על BC כך ש CD = k DB.
בטאו באמצעות u,v,k את הוקטורים הבאים:

  1. CE
  2. CD (סעיף קשה מהרגיל)
  3. DE

שרטוט התרגיל וקטורים

פתרון

סעיף א: מציאת CE
נגדיר את CE בעזרת חיבור וקטורים
CE = CA + AE

אנו יודעים כי:
CA = -AC = -v
AE = 0.2u + 0.3v
נציב ונקבל:
CE = 0.2u + 0.3v-v = 0.2u -0.7v

סעיף ב: מציאת CD
על מנת למצוא את CD נמצא את CB ולאחר מיכן נשתמש בנתון
CD = k DB
DB = CD / k

זו ההגדרה של CB בעזרת חיבור וקטורים
CB = CA + AB = -v + u

CB = CD + DB = CD + CD/k = CD (1+1/k) = CD *(k+1)/k
(הערה: בחלק האחרון של המשוואה זה מכנה משותף k+1)/k = 1+1/k))

CD *(k+1)/k = -v + u
(CD = k (u-v) / (k+1

סעיף ג: מציאת DE.
DE = EA + AC + CD
EA = – AE = -0.2u – 0.3v

(DE = -0.2u – 0.3v +v + k (u-v) / (k+1) = 0.7v -0.2u +k (u-v) / (k+1

תרגיל 4

בתיבה AB= u,  AD = v,  AA' = w.
הנקודה E נמצאת על הוקטור BC כך ש BE = kBC
הנקודה F נמצאת על הוקטור 'C'D כך ש 'D'F = 0.25FC
הגדירו בעזרת u,v,w,k את הוקטורים הבאים:

  1. AE
  2. ED
  3. FE

פתרון

סעיף א: מציאת AE
נגדיר את AE כחיבור של וקטורים
AE = AB + BE

אנו יודעים כי:
AB = u
BE = kBC = kv

AE = AB + BE
AB = u + kv

סעיף ב: מציאת ED
נגדיר את ED כחיבור של וקטורים.
ED = EB + BA + AD

אנו יודעים כי:
EB = – BE = -kv
BA = – AB = – u
AD = v
נציב את הנתונים הללו במשוואה של ED ונקבל:
ED = -kv -u + v

סעיף ג: מציאת FE
חלק 1: נגדיר את FE בעזרת חיבור וקטורים
FE = FD' + D'D + DE

חלק 2: נגדיר כל אחד מהאיברים המרכיבים את FE
עבור 'FD.
אנו יודעים כי
'D'F = 0.25FC
כמו כן:
'D'C' = D'F + FC
לכן אם נגדיר את הישר D'F = x אז הישרים:
FC = 4x
D'C' = x + 4x = 5x

ואת כל זה עשינו על מנת להגיע למשוואה הזו:
FD' = 0.2 C'D' = – 0.2u

עבור D'D
D'D = – AA' = – w

עבור DE
DE = -ED = – (-kv -u + v) = kv + u – v

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.