וקטור גיאומטרי

דף זה הוא עיקר הלימוד בנושא וקטורים גיאומטריים.
בדף זה נפתור תרגילים. בדף הקודם קיבלנו רקע תאורטי.

נחלק את השאלות ל 3 סוגים על פי רמת הקושי:

  1. קומבינציה לינארית הכוללת רק חיבור של וקטורים.
  2. קומבינציה לינארית הכוללת חיבור וחיסור וקטורים – זו קפיצת מדרגה מבחינת קושי.
  3. קומבינציה לינארית הכולל גם נקודות הנמצאות על הקטע (יחס בין קטעים).

שתי הערות לגבי האופן שבו מחברים ומחסרים וקטורים:

  1. שימו לב לכיוון של הוקטור. וקטורים בתרגילים נראים דומים מאוד לצלעות, אבל בניגוד לצלעות הכיוון של הוקטורים חשוב.
  2. ברוב השאלות הפעולה הבסיסית שעליכם לעשות היא לבנות משוואה בעזרת כלל המשולש לחיבור וקטורים.

אני מזכיר כי בדף זה הוקטורים רשומים כשתי אותיות ללא חץ מעליהם (בגלל מגבלות הקלדה באתר).

התרגיל האחרון בדף הוא תרגיל מסכם. אם פתרתם אותו נכונה כנראה שאתם מבינים את החומר.

שאלות קומבינציה לינארית הכוללות רק חיבור של וקטורים

תרגיל 1

במשולש ABC ידוע כי AB =u ו BC = v.
בטאו באמצעות הוקטורים u,v את הוקטור AC.

פתרון

על מנת להגיע מ A ל C ניתן ללכת:
מ A ל B ומשם ל C.
לכן:
AC = AB + BC = u + v

תרגיל 2

בתיבה AB= u,  AD = v,  AA' = w.
בטאו בעזרת הוקטורים הללו את הוקטורים
'AC,  DC',  AC

פתרון

מציאת AC
AC = AB + BC.
אבל אנחנו לא יודעים את BC.

נשים לב:
BC = AD = v

לכן:
AC = AB + BC = u + v

מציאת 'DC
'DC' = DC + CC

אין וקטורים שנקודת המוצא שלהם היא D. אז כיצד נתחיל?
DC = AB =u.
לכן ניתן להתחיל עם הוקטור u.

DC' = DC + CC' = u + v

מציאת 'AC
AC' = AB + BC + CC
AC'  = u + v + w.

שאלות קומבינציה לינארית הכוללות חיבור וחיסור וקטורים

תרגיל 1

במקבילית ABCD נתון:
AB = u,  AD = v.
בטאו בעזרת u,v את הוקטור  BD

וקטורים במקבילית

הסבר ויזואלי:
אנו צריכים למצוא את BD אבל אין שום וקטור שמתחיל בנקודה D.
לכן נחפש וקטור השווה ל BC (וזה AD) או שנחפש וקטור המסתיים ב B ונשתמש בו כשהוא בסימן שלילי (וזה AB)

פתרון מתמטי:
שלב 1: כתיבת הוקטור המבוקש
BD = BC + CD

שלב 2: ביטוי הוקטורים החסרים בעזרת הוקטורים הידועים
אנו לא יודעים לא את BC ולא את CD.
אבל:
BC = AD = v
וגם:
CD = – AB = – u.

לכן:
BD = BC + CD
BD  = v – u.

תרגיל 2

בתיבה AB= u,  AD = v,  AA' = w.
בטאו בעזרת הוקטורים הללו את הוקטורים

  1. CA
  2. B'C
  3. D'B

פתרון

סעיף א: מציאת CA
בנקודה C אין וקטור שמתחיל או מסתיים, אבל מתקיים השוויון AD = BC
לכן נוכל להשתמש בוקטור AD = BC = v על מנת לצאת מהנקודה C.

1.נכתוב את CA כחיבור וקטורים
CA = CB + BA

2. נגדיר את CB ו BA
CB = -DA = – v

BA = -AB = -u.

CA = CB + BA
CA = -v – u

סעיף ב: מציאת B'C
בנקודה 'B אין וקטור שמתחיל או מסתיים.
אבל הוקטור 'AA שווה לוקטור 'CB ואיתו נוכל לצאת מהנקודה 'B.

1.כתיבת B'C כקומבינציה של וקטורים.
B'C = B'B + BC

2. מציאת הוקטורים B'B, BC
BB' = -AA' = – w

BC = AD = v

B'C = B'B + BC
B'C = – w + v.

סעיף ג: מציאת D'B
D'B = D'D + DA + AB
D'D = -AA' = – w
DA = – AD = -v
AB = u

D'B = -w – v + u

שאלות קומבינציה לינארית הכוללות חלוקה של קטע

השאלות הללו דומות מאוד לשאלות מהסוג הקודם.

תרגיל 1

במלבן ABCD האלכסונים נפגשים  בנקודה O.
AB = u,  AD = v
בטאו באמצעות u,v את הוקטורים
OA
OD

פתרון
נזכור כי האלכסונים במלבן שווים וגם מחלקים זה את זה לחלקים שווים. כלומר הישרים OA = OD =OC = OB שווים באורכם.

סעיף א: מציאת OA
על מנת למצוא את OA נמצא את האלכסון CA ואז נחלק ב- 2.

CA = CB + BA

CB = – DA = – v
BA = -AB = – u

CA = -v – u
(OA = 0.5CA = -0.5 (v + u

סעיף ב: מציאת OD
סעיף זה זהה לחלוטין לסעיף א ומיועד למי שלא הצליח לפתור בעצמו את סעיף א.

נמצא את BD ואז נחלק ב 2 על מנת למצוא את OD.
BD = BA + AD
BD = -u  + v
(OD = 0.5 (v – u

תרגיל 2

במשולש ABC נתונים הווקטורים BC=v, AB= u.
הנקודה D נמצאת על הוקטור CA כך ש CD = k CA
מצאו את הוקטורים הבאים:

  1. CA
  2. BD
  3. AD

פתרון

סעיף א: מציאת CA

נגדיר את CA בעזרת חיבור וקטורים
CA = CB + BA
CA = -v + – u.

סעיף ב: מציאת BD

נגדיר את BD באמצעות חיבור וקטורים.
BD = BC + CD

אנו יודעים כי:
(CD = kCA = k (-v – u
BC = v
(BD = BC + kCA = v + k (-v – u

סעיף ג: מציאת AD

אנו יודעים שני וקטורים:
CA = -v + – u
(CD = kCA = k (-v – u

את הוקטור DA ניתן למצוא בקלות יחסית על ידי חיסור הוקטורים
DA = CA – CD
DA = -v – u -k(-v-u) = -v -u+kv + ku =
נשתמש בפירוק לגורמים:
(v(k -1) + u (k – 1) = (u + v) (k -1

תרגיל 3

במשולש ABC נתונים הוקטורים
AB=u,  AC = v.
AE = 0.2u + 0.3v
הנקודה D נמצאת על BC כך ש CD = k DB.
בטאו באמצעות u,v,k את הוקטורים הבאים:

  1. CE
  2. CD (סעיף קשה מהרגיל)
  3. DE

שרטוט התרגיל וקטורים

פתרון

סעיף א: מציאת CE
נגדיר את CE בעזרת חיבור וקטורים
CE = CA + AE

אנו יודעים כי:
CA = -AC = -v
AE = 0.2u + 0.3v
נציב ונקבל:
CE = 0.2u + 0.3v-v = 0.2u -0.7v

סעיף ב: מציאת CD
על מנת למצוא את CD נמצא את CB ולאחר מיכן נשתמש בנתון
CD = k DB
DB = CD / k

זו ההגדרה של CB בעזרת חיבור וקטורים
CB = CA + AB = -v + u

CB = CD + DB = CD + CD/k = CD (1+1/k) = CD *(k+1)/k
(הערה: בחלק האחרון של המשוואה זה מכנה משותף k+1)/k = 1+1/k))

CD *(k+1)/k = -v + u
(CD = k (u-v) / (k+1

סעיף ג: מציאת DE.
DE = EA + AC + CD
EA = – AE = -0.2u – 0.3v

(DE = -0.2u – 0.3v +v + k (u-v) / (k+1) = 0.7v -0.2u +k (u-v) / (k+1

תרגיל 4

בתיבה AB= u,  AD = v,  AA' = w.
הנקודה E נמצאת על הוקטור BC כך ש BE = kBC
הנקודה F נמצאת על הוקטור 'C'D כך ש 'D'F = 0.25FC
הגדירו בעזרת u,v,w,k את הוקטורים הבאים:

  1. AE
  2. ED
  3. FE

פתרון

סעיף א: מציאת AE
נגדיר את AE כחיבור של וקטורים
AE = AB + BE

אנו יודעים כי:
AB = u
BE = kBC = kv

AE = AB + BE
AB = u + kv

סעיף ב: מציאת ED
נגדיר את ED כחיבור של וקטורים.
ED = EB + BA + AD

אנו יודעים כי:
EB = – BE = -kv
BA = – AB = – u
AD = v
נציב את הנתונים הללו במשוואה של ED ונקבל:
ED = -kv -u + v

סעיף ג: מציאת FE
חלק 1: נגדיר את FE בעזרת חיבור וקטורים
FE = FD' + D'D + DE

חלק 2: נגדיר כל אחד מהאיברים המרכיבים את FE
עבור 'FD.
אנו יודעים כי
'D'F = 0.25FC
כמו כן:
'D'C' = D'F + FC
לכן אם נגדיר את הישר D'F = x אז הישרים:
FC = 4x
D'C' = x + 4x = 5x

ואת כל זה עשינו על מנת להגיע למשוואה הזו:
FD' = 0.2 C'D' = – 0.2u

עבור D'D
D'D = – AA' = – w

עבור DE
DE = -ED = – (-kv -u + v) = kv + u – v

תרגיל 5
תרגיל זה הוא תרגיל מסכם, אם אתם מצליחים לפתור אותו כנראה שאתם מבינים את הנושא.

בפירמידה שבסיסה משולש מגדירים את הוקטורים
SA = v,  SB = u,  SC= w.
בבסיס הפירמידה מעבירים ABC מעבירים את שלושת התיכונים הנפגשים בנקודה O.
הגדירו באמצעות הוקטורים v,u,w את:

  1. SO.
  2. בפאה SAB מעבירים את שלושה תיכונים הנפגשים בנקודה P. הביעו באמצעות שלושת הוקטורים v,u,w את הוקטור OP.

פתרון
נגדיר את SO:
SO = SA + AO

אנו יודעים כי  SA =v.
לכן הדבר היחידי שחסר לנו להגדיר הוא AO.
(AO = 0.66AD = 0.66(AB + 0.5BC

נגדיר את AB,BC
AB = – v + u
0.5BC = 0.5(-u + w) = -0.5u + 0.5w

נחזור למשוואה המגדירה את AO:
(AO = 0.66AD = 0.66(AB + 0.5BC
(AO = 0.66(-v + u- 0.5u + 0.5w) = 0.66(0.5u+0.5w – v

נחזור למשוואה המגדירה את SO
SO = SA + AO
(SO = -v + 0.66(0.5u+0.5w – v
SO = -v + 0.33u + 0.33w -0.66v
SO = -1.66v + 0.33u + 0.33w

סעיף ב: מציאת OP
נגדיר את OP.
OP = OF + FP.
OP = 0.33CF + 0.33FS

נגדיר את כל אחד מהחלקים של המשוואה: CF, FS

נתחיל ב CF
CF = CB + BF
CB = – w + u
(BF = 0.5BA = 0.5 (-u + v
לכן
CF = -w + u -0.5u + 0.5v = 0.5u + 0.5v -w

הגדרת FS
FS = 0.5AB + BS
0.5AB = 0.5 (-v + u) = 0.5u – 0.5v
BS = – u
FS = 0.5u – 0.5v – u = -0.5v – 0.5u

נחזור אל OP
OP = 0.33CF + 0.33FS
(OP = 0.33(0.5u + 0.5v -w – 0.5v – 0.5u
OP = -0.33w

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.