וקטור גיאומטרי

Ι

וקטור הוא קטע עם כיוון. לאורך הקטע ולכוון הקטע יש משמעות.

בדף זה אני אסמן וקטור בעזרת שתי אותיות רגילות AB ללא חץ מעל האותיות משום שלא ניתן להקליד חץ מעל אותיות באתר.

הוקטור AB

הוקטור AB

שוויון וקטורים

שני תנאים שצריכים להתקיים על מנת שווקטורים יהיו שווים:

  1. לשני הוקטורים צריך להיות אורך זהה.
  2. לשני הוקטורים יש את אותו הכיוון.

כאשר וקטורים שווים ניתן להזיז אחד מיהם תוך שמירה על גודלו וכיוונו ולגרום לו להתלכד עם הוקטור האחר.

חיבור וחיסור וקטורים

על מנת לחבר בין וקטורים צריך לחבר את הגדלים והכיוונים של שניהם. יש שתי שיטות לעשות זאת:

שיטת המשולש

בשיטה זו מזיזים את אחד הוקטרים אל הנקודה שבה האחר מסתיים. כך נוצר רצף של קו וחיבור הוקטורים הוא הוקטור שמתחיל בהתחלה ומסתיים בנקודת הסיום.

אלו שני הוקטורים שיש לחבר

אלו שני הוקטורים שיש לחבר

מזיזים את אחד הוקטורים לנקודת הסיום והוקטור AD שנוצר הוא החיבור של הוקטורים

מזיזים את אחד הוקטורים לנקודת הסיום והוקטור AD שנוצר הוא החיבור של הוקטורים

שיטת המקבילית

בשיטה זו מביאים את שני הוקטורים לאותה נקודת התחלה. ואז משלימים את המבנה למקבילית.

AE הוא וקטור הסכום

AE הוא וקטור הסכום

חיסור וקטורים

חיסור וקטורים היא הפעולה ההפוכה לחיבור וקטורים.

(v – u = v + (-u

מבחינה טכנית נמצא נמצא את הוקטור שהוא באותו אורך אבל בכיוון מנוגד לוקטור u.

חיסור וקטורים, הוקטור AE הוא תוצאת החיסור AB-CD=AE

חיסור וקטורים, הוקטור AE הוא תוצאת החיסור AB-CD=AE

כפל של וקטור בסקלר (מספר)

כאשר מכפילים וקטור במספר אורכו של הוקטור גדל פי המספר וכיוונו נשאר זהה.

האם נקודה נמצאת על ישר?  / וקטורים שסופם על ישר אחד

כיצד יודעים אם נקודה (C) נמצאת על ישר (AB)?
יש שתי דרכים:

דרך אחת היא להשתמש במשפט:
יהיו OC, OB, OA שלושה וקטורים עם נקודת מוצא משותפת O אז הנקודה C נמצאת על AB אם ורק אם קיים מספר t המקיים:
OC = t*OA + (1-t)OB

דרך שנייה היא להוכיח כי קיימת תלות לינארית בין AB לבין AC או BC.
כי כאשר יש תלות לינארית בין שני וקטורים אז יש t המקיים: AC= t*AB.

שני וקטורים הקובעים מישור

שני וקטורים בעלי מוצא משותף OA ו OB  קובעים מישור OAB.
וניתן לתאר כל נקודה C על המישור בעזרת מכפלה של שני סקלרים בשני הוקטורים:
OC = t1 * OA + t2 OB

שלושה וקטורים היוצאים מנקודה אחת ומגדירים מישור

OA, OB, OC הם שלושה וקטורים היוצאים מנקודה משותפת (O).
אם הנקודות A,B,C אינם נמצאות על אותו ישר אז הנקודות מגדירות מישור ABC.
הנקודה P נמצאת המישור ABC אם ורק אם:
OP = a*OA + b*OB + c *OC
כאשר a+b+c=1.

מכפלה של שני וקטורים (מכפלה סקלרית)

u * v = ΙuΙ * ΙvΙ *cos a
a – זו הזווית בין שני הוקטורים.

שימו לב שכאשר הוקטורים ניצבים המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים שווה ל 0 כי cos 90 =0.
ולהפך, אם המכפלה הסקלרית שווה ל 0 אז הווקטורים ניצבים.

מהנוסחה של מכפלה סקלרית ניתן לחשב את אורכו של וקטור.

u * u = ΙuΙ * ΙuΙ *cos 0 = u²
(u² בסוף המשוואה מייצג מספר ולא וקטור).

תרגילים

שתי הערות לגבי האופן שבו מחברים ומחסרים וקטורים:

  1. שימו לב לכיוון של הוקטור. וקטורים בתרגילים נראים דומים מאוד לצלעות, אבל בניגוד לצלעות הכיוון של הוקטורים חשוב.
  2. ברוב השאלות הפעולה הבסיסית שעליכם לעשות היא לבנות משוואה בעזרת כלל המשולש לחיבור וקטורים.

אני מזכיר כי בדף זה הוקטורים רשומים כשתי אותיות ללא חץ מעליהם (בגלל מגבלות הקלדה באתר).

תרגיל 1: חיבור, חיסור וכפל בסקלר

במשולש ABC נתונים הווקטורים BC=v, BA= u.
הנקודה D נמצאת על הוקטור BA כך ש BD = k BA
מצאו את הוקטורים הבאים:

  1. CA.
  2. DA
  3. CD.

שרטוט התרגיל חיבור וחיסור וקטורים

פתרון

  1. מציאת CA.
    על פי כלל המשולש לחיבור וקטורים:
    CA= CB+BA.
    CB = – BC = -u
    CA = v-u

2. מציאת DA
(DA = BA- BD= u – ku = u(1-k

3. מציאת CD.
CD = CB + BD
CB = – BC = -v

BD = BA – DA = u – u(1-k) = -u (-1+1-k)=uk
CD = -BC + BD = -v +uk

תרגיל 2: חיבור, חיסור וכפל בסקלר

במשולש ABC נתונים הוקטורים הבאים:
AB=u,  AC = v.
AE = 0.2u + 0.3v
הנקודה D נמצאת על BC כך ש CD = k DB.
מצאו את:

  1. CE
  2. CD
  3. DE

חיבור וקטורים שרטוט התרגיל

פתרון

1.מציאת CE.
CE = CA + AE
CA = -AC = -v

CE = 0.2u + 0.3v-v = 0.2u -0.7v

2. מציאת CD.
CB = CA + AB = -v + u

CB = CD + DB = CD + CD/k = CD (1+1/k) = CD *(k+1)/k
(הערה: בחלק האחרון של המשוואה זה מכנה משותף k+1)/k = 1+1/k))

CD *(k+1)/k = -v + u
(CD = k (u-v) / (k+1

3. מציאת DE.
DE = EA + AC + CD
EA = – AE = -0.2u – 0.3v

(DE = -0.2u – 0.3v +V + k (u-v) / (k+1) = 0.7v -0.2u +k (u-v) / (k+1

תרגיל 3: מכפלה סקלרית

הוכיחו בעזרת וקטורים כי האלכסונים במלבן שווים באורכם.

שרטוט התרגיל, הוכחה בעזרת וקטורים כי אלכסוני המלבן שווים באורכם

פתרון
נגדיר מלבן ABCD ונגדיר את הוקטורים הבאים DC= u, CB = v.

  1. DB = DC+CB  סכום וקטורים.
  2. ΙDBΙ² = ΙDC +CBΙ ² = Ιu + vΙ² = u²+2vu + v²
  3. 2vu =0 בגלל ש v  ו u הם וקטורים ניצבים שהמכפלה הסקלרית שלהם היא 0.
  4. ΙDBΙ² = u² + v² נובע מ 2 ו 3.
  5. (DB = √(v²+u²

חלק שני להוכחה:

  1. DA=CB = v
  2. CD = – CA = – u
  3. CA = CD+DA = v – u
  4. ΙACΙ ² = Ι v-uΙ² = v² -2vu +u²
  5. 2vu = 0-   בגלל ש v  ו u הם וקטורים ניצבים שהמכפלה הסקלרית שלהם היא 0.
  6. ΙACΙ² = u² + v²
  7. AC = √(v²+u²)= DB

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.