חקירת פונקציה מעריכית 5 יחידות 582

עיקר החומר בנושא פונקציה מעריכית נמצא בקישור.
בדך זה פתרון שאלה ברמת 5 יחידות, וקישורים לנושאים נוספים בנושא פונקציה מעריכית.

  1. נגזרת פונקציה מעריכית.
  2. משוואות מעריכיות.
  3. אי שוויונות מעריכיים.
  4. מציאת משוואת משיק לפונקציה מעריכית.
  5. בעיות קיצון פונקציה מעריכית.

עוד באתר:

עוד באתר:

פתרון לשאלות מהבגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון תרגילים מהבגרות בנושא חקירת פונקציות מעריכיות.

קיץ 2018 שאלה 4



א.
1. תחום הגדרה:
אין לנו הגבלות על תחום ההגדרה של הפונקציה המעריכית.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא לכל x.

2. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x:
נפתור את המשוואה f(x) = 0.
e2mx – emx = 0
נחלק ב – emx (שונה מ – 0 לכל x)
emx – 1 = 0
emx = 1
(נתון m > 0), לכן הפתרון:
x = 0

ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(0) = 0

לכן נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים היא (0 , 0).

3. אסימפטוטות:
אנכיות:
אין לפונקציה נקודות אי הגדרה, ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.
אופקיות: כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף – לכן זו אינה אסימפטוטה.
כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל – 0 ,
לכן y = 0 אסימפטוטה אופקית (עבור x שואף למינוס אינסוף).

4. נקודות קיצון:

m > 0 , וגם emx > 0 , ולכן פתרון המשוואה:
2emx = 1
emx = 1/2
(mx = ln(1/2
x = ln(1/2) / m

נבדוק האם היא נקודת קיצון,ואת סוגה, לפי מבחן הנגזרת השנייה:

לכן נקודת מינימום – (ln(0.5) / m , – 0.25)

 

ב. סקיצות עבור m = 1,2 :

ג.
1. הישר y = k משיק לגרף הפונקציה.
שיפוע הישר הנ"ל הוא 0 (כי מקביל לציר x), ולכן נקודת ההשקה היא בהכרח נקודת הקיצון – שם השיפוע הוא גם 0.
(מכיוון ששיפועי הפונקציה והישר זהים בנקודת ההשקה)
כלומר – נקודת ההשקה היא:  (ln(0.5) / m , – 0.25).
ולכן k = -0.25

השטח אותו אנו צריכים לחשב:

השטח נתון ע"י האינטגרל:
(ביצענו חיסור בין הפונקציה y = -1/4 לבין (f(x ).

קיבלנו מספר שלילי, מכיוון שהשטח נמצא מתחת לציר x.
לכן ניקח את הערך המוחלט של השטח שמצאנו :

 

2. לפי סעיף ג' (1) – (נציב m = 1)

ועבור m כללי:

ניתן לראות כי לכל m מתקיים  : Sm = S1 / m.
מש"ל.

 

חורף 2018 שאלה 4

א.
1. תחום הגדרה:
נקודות אי ההגדרה של הפונקציה הן נקודות עבורן המכנה מתאפס.
אבל, ex היא פונקציה חיובית לכל x.  לכן המכנה חיובי לכל x.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כל x.

2. תחומי עליה וירידה:
ראשית נבדוק האם לפונקציה יש נקודות קיצון.
נגזור לפי נגזרת של מנה:

הפונקציה ex חיובית לכל x. לכן המונה והמכנה של הנגזרת חיוביים לכל x.
לכן הפונקציה עולה עבור כל x.

3. נקודות פיתול:
נגזור שוב את הפונקציה כדי למצוא נקודות פיתול:

נחלק ב – (ex + 1)  – הביטוי שונה מ – 0.

הביטוי מתאפס רק אם המונה שווה ל – 0. לכן:
ex – e2x = 0
ex ( 1 – ex) = 0
נחלק ב- ex (שונה מ – 0)
ex = 1
x = ln(1) = 0

לכן x = 0 היא נקודה חשודה לפיתול.
נבדוק האם היא אכן נקודת פיתול בעזרת תחומי קעירות וקמירות:

לכן נקודת פיתול : (x , y) = (0 , 0.5)

4. אסימפטוטות:
אסימפטוטה אנכית: מתקבלת בנקודת אי הגדרה של הפונקציה.
פונקציה זו מוגדרת לכל x, ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטה אופקית: מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים עבור x ששואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).

עבור x שואף לאינסוף: הביטוי המשמעותי במונה והמכנה הוא ex.
לכן תוצאת הגבול תהיה מנת המקדמים של ex – שהיא 1.
לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף לאינסוף היא y = 1.

עבור x שואף למינוס אינסוף: ex שואף ל – 0.
לכן המונה ישאף ל – 0 , ואילו המכנה ל – 1. ובסה"כ הפונקציה תשאף ל – 0 .
לכן אסימפטוטה אופקית עבור x שואף למינוס אינסוף היא y = 0.

5. סקיצה:

 

ב.
ניתן לראות מהשרטוט, כי הפונקציה חסומה בין y = 0 לבין y = 1.
הפרש שיעורי ה -x באינטגרל הנתון הינו 1.
לכן כל שטח כזה שנחסום מתחת לפונקציה יהיה בהכרח קטן משטח ריבוע שאורך צלעו 1.
שטח הריבוע הזה הוא 1.
לכן מתקיים:

ג. 
1.
f(x) = g(x) + 0.5
לכן מתקיים:
g(x) = f(x) – 0.5
לכן:

לפי חוקי חזקות:  e-x = 1/ex

נכנס איברים ונכפול את הביטוי ב – ex :

בנוסף, מתקיים:

קיבלנו:
(g(-x) = – g(x.

לכן זוהי פונקציה אי – זוגית.
(בנוסף ניתן לראות בגרף – אם נוריד מ –  (f(x  חצי  , תהיה סימטריה הפוכה ביחס לצירים –
תכונה של פונקציה אי זוגית).

2. הוכחה:
דרך א' – חישוב:

נציב:  f(x) = g(x) + 1/2

נפצל את האינטגרלים:

(g(x פונקציה אי – זוגית , לכן ישנה סימטריה הפוכה ביחס לציר x , ולכן השטחים מצטמצמים.

דרך ב' – הסבר בעזרת סימטריה:
נשים לב כי (f(x סימטרית ביחס לישר y = 1/2.
לכן השטחים בחלק החיובי ובחלק השלילי "משלימים" אחד את השני , כך שביחד הם יוצרים מלבן שגובהו 1.
מכיוון שגובה המלבן הוא 1 , ורוחב המלבן שאנו צריכים לחשב הוא b – c , שטח המלבן הוא b – c.


ניתן לראות כי שני המלבנים זהים, כאשר הגובה הוא 1 והרוחב הוא c – b.

 

קיץ 2017 מועד א

f (x) = ((e – 2x) / ex²

א1. המכנה חיובי ושונה מ 0 לכול X לכן הפונקציה מוגדרת לכל X.

א2. נגזור את הפונקציה.
f ' (x) = ((e * 2x -2) ex² – ex²*2x  * (e – 2x) ) / (e
2ex² (xex²-1-xex²+x²) / (e)² =
(x²-1)2 / (e)
הנגזרת מתאפס כאשר המונה שווה ל 0.
x²-1)*2 =0)
2x² = 1
x= 0.707, x = -0.707

נמצא את סוג הקיצון על פי הנגזרת השנייה:
(f ' (x) = (4x²-2) / (e
f " (x) = 8xe – e*2x *(4x²-2) / (e
2x (4x -4x²+2) / e
כאשר נציב x= 0.707 הנגזרת השנייה חיובית ולכן זו נקודת מינימום.
כאשר נציב x = – 0.707 הנגזרת השנייה שלילית ולכן זו נקודת מקסימום.

נציב את ערכי ה x בפונקציה ונקבל את ערכי ה y.
f (0.707) = 0.14
f (-0.707) = 1.858
תשובה: (0.14, 0.707) מינימום.
(1.858, 0.707-) מקסימום.

3. מכוון שהפונקציה רציפה לכול אורכה קל לקבוע את תחומי העליה והירידה בעזרת נקודות הקיצון:
עלייה: x< – 0.707 או x> 0.707
ירידה: x<0.707 וגם x> -0.707

4. מכוון שהפונקציה מוגדרת לכול X אין לפונקציה אסימפטוטת מאונכות לציר ה X.

אסימפטוטות אופקיות:  כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ערך ה Y של הפונקציה שואף ל 1.
לכן y=1 היא אסימפטוטה אופקית.

5. סקיצה

סקיצה של גרף הפונקציה

סקיצה של גרף הפונקציה

סעיף ב.
1. תחום הגדרה.
ניתן לראות בגרף ש (f(x חיובית תמיד ושונה מ 0 לכל X . לכן עבור (g(x המכנה שלה שונה מ 0 לכול X והיא מוגדרת לכול X.

2. נקודות קיצון
(g (x) = 1 / f(x
(g ' (x) = (0*f(x) – f '(x) ) / f²(x
נשארנו במונה עם הביטוי ( f ' (x – שהוא מתאפס כאשר הנגזרת מתאפסת – כלומר נקודות הקיצון הן זהות. רק שתחומי העליה והירידה הם הפוכים (בגלל סימן המינוס לפני הנגזרת).
נציב בפונקציה (g (x על מנת למצוא את ערכי ה y של הקיצון ונקבל:
(7.04, 0.707) מקסימום.
(0.54, 0.707-) מינימום.

3. תחומי עליה והירידה.
מצאנו בחלק 2 כי סימן הנגזרת של (g (x  הפוך מסימן הנגזרת של (f (x לכן תחומי העליה והירידה הם:
ירידה: : x< – 0.707 או x> 0.707
עליה:  x<0.707 וגם x> -0.707

4. אין אסימפטוטה אנכית כי הפונקציה מוגדרת לכול X.

אסימפטוטות אופקיות:  כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ערך ה Y של הפונקציה שואף ל 1.
לכן y=1 היא אסימפטוטה אופקית.

שרטוט של שתי הפונקציות

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.