מעגל גיאומטריה אנליטית שאלון 582 5 יחידות

בדף זה תמצאו דרכים לפתרון תרגילים וסיכום החומר עבור נושא המעגל בגיאומטריה אנליטית ברמת 5 יחידות לימוד.

הגדרת מעגל: מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קבוע. המרחק של כל נקודה מהמרכז נקרא רדיוס.

משוואת המעגל שמרכזו הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R היא:

x-a)²+(y-b)²=R²)
שימו לב שבמעגל יש 3 משתנים בלבד (a,b,R) כך שמקסימום אתם צריכים לבנות 3 משוואות.

סוגי תרגילים בנושא מעגל ואיך פותרים אותם

1.נותנים לכם 3 נקודות ומבקשים את משוואת המעגל.

פתרון
דרך א: מציבים את שלושת הנקודות במשוואת המעגל ופותרים 3 משוואות עם 3 נעלמים.
דרך ב: שלושת הנקודות הללו הן משולש. נקודת מרכז המעגל היא נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעים במשולש.
לכן ניתן לבנות משוואות של שני אנכים מרכזיים ולמצוא את נקודת החיתוך שלהם – שהיא מרכז המעגל (אין צורך לבנות שלושה).
תזכורת: אנך אמצעי יוצא מאמצע צלע ומאונך לצלע.
דרך ג: לבנות משוואות המתבססות על כך שהמרחק בין כל אחת מהנקודות למרכז המעגל הוא גודל קבוע ושווה לרדיוס (על פי נוסחת מרחק בין 2 נקודות). דרך זו לא יעילה יותר מאחרות עבור שאלה מסוג זב אבל חשוב לזכור אותה לשאלות קצת אחרות.

2. כיצד הופכים משוואת מעגל שאינה "מסודרת" למשוואה מסודרת

דרך א: לרוב על ידי השלמה לריבוע.
דרך ב: משוואת המעגל כאשר פותחים סוגריים היא x² -2ax +a² +y² -2by + y² = R². ניתן למצוא את את ההתאמה בין משוואה זו למשוואה שנותנים לנו. למשל x²-12x +y²-4y = 60. ניתן לזהות כי a=6 וכי b=2. את הרדיוס יש לחשב.

3. התנאים שחייבים להתקיים על מנת שמשוואה ריבועית תייצג מעגל

כאשר נקבל משוואה x² -2ax +a² +y² -2by + y² = R² איך נדע אם היא מייצגת מעגל?
קיימים שני תנאים שמשוואת מעגל חייבת לקיים:

  1.  המקדמים של x², y² חייבים להיות זהים.
  2. הביטוי xy לא יכול להיות חלק מהמשוואה.

כל משוואת מעגל מקיימת את התנאים הללו הללו.
אבל יש משוואות שמקיימות את התנאים אבל אינן מעגל. למשל:
R=O אז המשוואה מייצגת נקודה. למשל, x² -2ax +a² +y² -2by + y² = 0.
R<0 אז המשוואה מייצגת קבוצה ריקה. למשל, x² -2ax +a² +y² -2by + y² = -20.

4. שאלות בהם נותנים לכם אורך של מיתר ומבקשים שתמצאו את הרדיוס

בשאלות מסוג זה עליכם:

  1. להשתמש במשפט "ישר היוצא מאמצע מיתר במעגל ומאונך למיתר עובר דרך מרכז המעגל"
  2. להשתמש בנוסחה למרחק נקודה ממיתר.
  3. להשתמש במשפט פיתגורס על מנת למצוא את הרדיוס.

CB הוא גודל ידוע, את OC ניתן לחשב ולכן ניתן למצוא את R

5. משמעות מעגל המשיק לצירים

כאשר מעגל משיק לצירים אנו יכולים ללמוד שני נתונים "חבויים" בתוך הטקסט.

אם מעגל משיק לציר ה X אז :
ערך X של מרכז המעגל שווה לערך X בנקודת ההשקה.
ערך Y של מרכז המעגל שווה ל R או R-.

מעגל המשיק לציר ה X, שתי אפשרויות לערך ה Y של המרכז

מעגל המשיק לציר ה X, שתי אפשרויות לערך ה Y של המרכז

אם מעגל משיק לציר ה Y אז :
ערך Y של מרכז המעגל שווה לערך Y בנקודת ההשקה.
ערך X של מרכז המעגל שווה ל R או R-.

מעגל המשיק לציר ה Y, שתי אפשרויות לערך ה X של המרכז

מעגל המשיק לציר ה Y, שתי אפשרויות לערך ה X של המרכז

אם מעגל משיק לשני הצירים אז :
ערך ה X וערך ה Y שווים ל R או R- (בהתאם לרביע שבו ממוקם המעגל).

4 האפשרויות שקיימות כאשר מעגל משיק לשני הצירים

4 האפשרויות שקיימות כאשר מעגל משיק לשני הצירים

6. מצב הדדי בין שני מעגלים

שני מעגלים יכולים להיות:

  1. זרים מבפנים או מבחוץ.
  2. משיקים מבפני או מבחוץ.
  3. עם שתי נקודות משותפות.

איך מוצאים את המצב ההדדי?

פותרים את שתי משוואות המעגל כשתי משוואות עם שני נעלמים. לרוב נוח להשתמש בשיטת השוואת מקדמים על מנת להעלים את x², y².

דבר נוסף שיכול לעזור בחלק מסוגי השאלות בנושא שני מעגלים הוא חישוב אורך קטע מרכזים.
אם ידוע כי המעגלים משיקים מבחוץ אז המרחק שבין שני המרכזים שווה לסכום הרדיוסים.
אם שני המעגלים משיקים מבפנים אז אז קטע המרכזים שווה להפרש הרדיוסים.

האפשרויות למצב הדדי בין מעגלים

האפשרויות למצב הדדי בין מעגלים

משיק למעגל

יש מספר סוגי שאלות בנושא משיק למעגל. כולן נשענות על המשפט " רדיוס המעגל מאונך למשיק המעגל בנקודת ההשקה".

7. מציאת משיק למעגל כאשר אנו יודעים את מרכז המעגל ונקודת ההשקה

המקרה הפשוט ביותר. הפתרון:

  1. נמצא את שיפוע הרדיוס ושיפוע המשיק המאונך לרדיוס.
  2. משוואת משיק על פי שיפוע ונקודה (נקודת ההשקה).

8. כאשר יודעים את משוואת המשיק וגם את נקודת ההשקה או  מרכז המעגל וצריך למצוא את החסר.

אם חסר מרכז המעגל הפתרון הוא:

  1. נמצא את משוואת הרדיוס על פי שיפוע (המאונך למשיק) ונקודה (נקודת ההשקה).
  2. נגדיר את מרכז המעגל על פי משתנה אחד (בעזרת משוואת הרדיוס).
  3. נחשב את שיפוע הרדיוס בעזרת הנוסחה לשיפוע על פי 2 נקודות ונשווה לשיפוע הרדיוס הידוע.

אם חסרה נקודת ההשקה:

  1. מגדירים את נקודת ההשקה בעזרת משתנה אחד (בעזרת משוואת המשיק)
  2. מגדירים את שיפוע הרדיוס על פי 2 נקודות ומשווים אותו לשיפוע הרדיוס המתקבל מכך שהוא מאונך למשיק.

9. כאשר ידועה משוואת המעגל ושיפוע המשיק ומבקשים למצוא את משוואת המשיקים / נקודת ההשקה

הפתרון:

  1. מוצאים את שיפוע הרדיוס על פי שיפוע המשיק.
  2. בונים את משוואת הרדיוס בנקודת ההשקה (x1, y1).
  3. מוצאים את נקודת החיתוך של הרדיוס ומשוואת המעגל.

10. מציאת משוואת מעגל על פי משוואת משיק

הפתרון:

  1. יוצרים משוואה של מרחק מרכז המעגל (x1, y1) מישר (המשיק).
  2. יוצרים משוואות נוספות על פי הנתונים בשאלה.

11. מציאת אורך המשיק למעגל

כאשר נתונה משוואת המעגל ונקודת ההשקה.

הפתרון:

  1. אורך הרדיוס ידוע. את מרחק נקודת ההשקה ממרכז המעגל ניתן לחשב. בעזרת משפט פיתגורס מוצאים את אורך המשיק (ללא צורך למצוא את נקודת ההשקה).
מציאת אורך של משיק

מציאת אורך של משיק

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.