גיאומטריה אנליטית 5 יחידות 582

בדף זה פתרונות לתרגילים מהבגרות בגיאומטריה אנליטית.

קיץ 2018 מועד א שאלה 1

 

א. נרצה למצוא את כל הנקודות P המקיימות : PA/PB = 1
כלומר, מקיימות: PA = PB.
נמצא, עבור נקודה כללית (P(x,y , את אורכי הקטעים הנ"ל , ונשווה ביניהם.
(נעלה את המשוואה בריבוע כדי להשמיט את השורשים)
x – 3)2 + y2 = (x + 3a)2 + y2)
x – 3)2 = (x + 3a)2)
x2 – 6x + 9 = x2 + 6a*x + 9a2
x*(6 + 6a) = 9 – 9a2
2x*(3 + 3a) = 9 – 9a2
נוסחת כפל מקוצר:

לכן:
(2x*(3 + 3a) = (3 – 3a)*(3 + 3a
2x = 3 – 3a

x = 3/2 – 3a/2.
זהו המקום הגאומטרי המבוקש (מדובר בקו המאונך לציר x , אשר מיקומו תלוי בפרמטר a).

ב. נרצה למצוא את כל הנקודות Q המקיימות : QA/QB = 2
כלומר, מקיימות: QA = 2*QB.
נמצא, עבור נקודה כללית (Q(x,y , את אורכי הקטעים הנ"ל , ונציבם במשוואה.

נעלה את המשוואה בריבוע:
[x+3a)2 + y2 = 4*[ (x-3)2 + y2)
x2 + 6a*x + 9a2 + y2 = 4x2 – 24x + 36 + 4y2
3x2 – 6ax – 24x + 3y2 + 36 – 9a2 = 0
נחלק ב – 3:
x2 – 2ax – 8x + y2 + 12 – 3a2 = 0
נוציא x גורם משותף:
x2 + x*(-2a-8) + 12 – 3a2 + y2 = 0
נרצה לבצע השלמה לריבוע על מנת להגיע למשוואה של מעגל.
לפי הביטוי שכופל את x , נשים לב שאנו צריכים להגיע לצורה הזו : x – (a+4) )2).
ואז אנו מקבלים : (x2 + x(-2a-8  – בדומה למשוואה הנ"ל.
לכן אנו צריכים להשלים ל – a+4)2).
a+4)2 = a2 + 8a + 16)
לכן נוסיף ל-2 אגפי המשוואה: 4a2 + 8a + 4.  נקבל:
(x – (a+4) )2 + y2 = 4a2 + 8a + 4)
2(x – (a+4) )2 + y2 = (2a + 2)
וזוהי משוואת המעגל הדרושה.
רדיוס המעגל:  2a + 2
מרכז המעגל: ( a + 4 , 0)

ג.
1. מרכזי המעגלים נמצאים במרחק שווה מהישר מסעיף א' :  x = 3/2 – 3a/2 , וממרכז המעגל מסעיף ב' : (a+4, 0).
(זאת מכיוון שהמעגל משיק לישר זה, ועובר בנקודה זו. כידוע, כל 2 נקודות על המעגל נמצאות במרחק שווה זה מזה.)
המקום הגאומטרי בעל התכונות הללו הוא פרבולה.
כל נקודה בפרבולה נמצאת במרחק שווה מישר כלשהו(מדריך הפרבולה) ומנקודה מסוימת (מוקד הפרבולה).
במקרה שלנו, נתון כי המקום הגאומטרי עובר דרך ראשית הצירים, ולכן מדובר בפרבולה קנונית.
(הקודקוד נמצא בראשית, ומדריך הפרבולה מאונך לציר x).

2. בפרבולה קנונית שמשוואתה y2 = 2p*x , מוקד הפרבולה הוא בנקודה (0.5p , 0),
ומשוואת המדריך היא: x = -0.5p.
לכן שיעור ה – x של המוקד הוא הפוך בסימנו לשיעור ה- x של המדריך.
כלומר: (a + 4 = -(3/2 – 3a/2
a – 3a/2 = -3/2 – 4
a/2 = -11/2-
a = 11

משוואת הפרבולה:
ראינו כי מוקד הפרבולה נמצא בנקודה (0.5p , 0), ומצאנו כי הוא נמצא בנקודה (a + 4 ,0), כלומר (15,0).
לכן: 0.5p = 15
p = 30
לכן משוואת הפרבולה:
y2 = 2p*x
y2 = 60x

 

חורף 2018 שאלה 1

א.
C נקודה כלשהי ששיעוריה (x,y).

CD חוצה זווית במשולש ABC, ולכן הזוויות ACD ו -BCD שוות.
נבטא את הזוויות באמצעות שטחי המשולשים:
2/(SΔACD = AC*CD*sin(ACD
2/(SΔBCD = BC*CD*sin(BCD

כעת נמצא את שטחי המשולשים הנ"ל לשטחי המשולשים בנוסחה של בסיס*גובה/2:
(גובה המשולשים הוא בעצם שיעור ה-y של נקודה C, שסימנו אותו ב-y)
SΔACD = AD*h/2 = 9*y/2 = 4.5y
SΔBCD = BD*h/2 = 10*y/2 = 5y

כעת נשווה בין הנוסחאות לשטחי המשולשים:
ACD:
AC*CD*sin(ACD)/2 = 4.5y
(sin(ACD) = 4.5y/(AC*CD

BCD:
BC*CD*sin(BCD)/2 = 5y
(sin(BCD) = 5y/(BC*CD

הזוויות הנ"ל שוות, לכן גם הסינוס שלהן שווה. נשווה בין הסינוסים:

נחלק ב – y ונכפיל ב – CD:

נציב את אורכי הצלעות AC ו -BC   (נמצא אותן לפי נוסחה לאורך קטע לפי 2 נקודות)

נעלה בריבוע:

כפל בהצלבה:
25x2 + 25y2 = 20.25x2 – 769.5x + 7,310.25 + 20.25y2
4.75x2 + 769.5x + 4.75y2 = 7,310.25
נחלק ב-4.75 :
x2 + 162x + y2 = 1,539
נוסיף ל-2 האגפים 6,561 :
x2 + 162x + 6,561 = 8,100
נוסחת כפל מקוצר:
x + 81)2 + y2 = 8,100)

זוהי משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות C שמקיימות את הדרישות.
(זוהי משוואה של מעגל שמרכזו בנקודה (81,0-) ורדיוסו 90).

ב.
בסיס המשולש ABC הוא קבוע – הצלע AB, שאורכה 19.
בשביל שטח משולש מקסימלי, נרצה שגובה המשולש יהיה מקסימלי (רחוק ככל הניתן מציר x).
לכן נרצה שנקודה C תהיה בעל שיעור y גדול ככל הניתן (בערכו המוחלט).
מכיוון שהנקודה C נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה (81,0-) ורדיוסו 90,
שיעור ה-y המקסימלי שהיא יכולה לקבל הוא 90.
לכן גובה המשולש המקסימלי הוא 90.
לכן שטח המשולש המקסימלי הוא:
SΔABC = 19*90/2 = 855

ג.
הצלע BC משיקה למעגל, אם השיפועים שלהן שווים באותה נקודה.
השיפוע של הצלע BC:
(m = (y – 0)/(x – 19
(m = y / (x – 19

נמצא את השיפוע של משוואת המעגל. ראשית נבודד את y מהמשוואה:
(y = ±√(8100-(x+81)2

ניקח את החלק החיובי של המעגל, ונגזור את הפונקציה:

נשווה בין השיפועים:

אנו יודעים כי C נמצאת על משוואת המעגל, ולכן היא מקיימת את המשוואה:
 (y = ±√(8100-(x+81)2
נציב במשוואה:

כפל בהצלבה:
x + 81)2 + 8,100 = -x2 + 19x – 81x + 1539)-
x2 – 162x – 6,561 + 8,100 = -x2 – 62x + 1,539-
100x = 0-
x = 0

ישנן 2 נקודות על המעגל המקיימות x = 0.
(מוצאים אותן ע"י הצבת x = 0 במשוואה : (y = ±√(8100-(x+81)2 )
1. (1,539√ , 0)
2. (1,539√- , 0)
וזוהי התשובה.

קיץ 2017 מועד א

שרטוט התרגיל גיאומטריה אנליטית קיץ 2017. שאלון 582

נחשב את אורכי אלכסוני המעוין וכך נמצא את קודקודי המעוין.
נשתמש בתכונה שהמוקדים של אליפסה קנונית נמצאים במרחקים שווים מראשית הצירים.

  1. נעביר גובה EF לצלע BC.
  2. במשולש EFB על פי משפט פיתגורס:
    EB² = EF² + BF²
    5² = 4.8² + BF²
    BF² = 1.96
    BF = 1.4
  3. FC = BC – BF = 5-1.4=3.6
  4. במשולש EFC על פי משפט פיתגורס:
    EC² = EF² + FC²
    EC² = 4.8² + 3.6² = 36
    EC=6
  5. הנקודות E,C הן מוקדי הפרבולה הקנונית ולכן נמצאות במרחק שווה של 3 מראשית הצירים.
    (E (-3,0) C( 3,0

על פי משפט פיתגורס במשולש EOB (הנקודה O היא ראשית הצירים).
OB² = EB² – EO² = 5² – 3² = 16
OB = 4.
ולכן (B (0,4
אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ולכן OD = 4
(D (0, -4
תשובה:  (E (-3,0),  C( 3,0) , D(0, -4),  B(0,4

סעיף א חלק 2:
מצאנו כי b=4.
על מנת למצוא את משוואת האליפסה עלינו למצוא את a.
כל נקודה על האליפסה נמצאת במרחק 2a ממוקדי האליפסה.
הנקודה C שעל האליפסה נמצאת במרחק 2a = 10 לכן a=5.
משוואת האליפסה היא:
x² /25 + y² / 16  =1

סעיף ב
נמצא את ערך ה x של נקודת החיתוך
x² / 25 + 15/16 = 1
x² / 25 = 1/16
x² = 25 /16
x= 5/4 = 1.25
(M (1.25, √15
נציב את ערכי נקודה M במשוואת הפרבולה:
15 = 2p*1.25
p=6
מוקד הפרבולה נמצא ב  (F(0.5P, 0
(F (3,0 וזו הנקודה C.

סעיף ג.
(E (-3,0
ולכן הישר הוא x= -3.
זה הוא גם המדריך של הפרבולה משום שהמדריך חותך את ציר ה x בנקודה שהיא מינוס ערך ה x של מוקד הפרבולה.
מבקשים מאיתנו שנמצא את היחס של מרחק נקודה על הפרבולה מהמוקד ומהמדריך של הפרבולה.
הגדרת הפרבולה אומרת שהיא אוסף הנקודות שמרחקיהן מהמוקד ומהמדריך שווה. לכן יחס זה שווה ל 1.

שרטוט המצב בסעיף ג

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.