טריגונומטריה במרחב 582 (807) 5 יחידות

בדף זה הסברים על זוויות הנוצרות בין ישרים למישורים ובין מישורים למישורים. נושאים שאם תדעו אותם מראש זה יקל עליכם במהלך הבחינה.
בתחילת הדף מידע על זוויות שקל יחסית לזהות ולהוכיח ואילו לקראת סוף הדף זוויות קשות יותר.

אם אתם מעוניינים בחזרה על נושאים נוספים תוכלו למצוא אותה בקישורים הבאים:

  1. טריגונומטריה במרחב 4 יחידות.
  2. נפח.
  3. טריגונומטריה.

תיבה

הזווית של אלכסון התיבה עם הבסיס

הזווית שבין אלכסון התיבה C'A לבין מישור הבסיס ABCD היא הזוויות C'AC

הזווית שבין אלכסון התיבה C'A לבין מישור הבסיס ABCD היא הזוויות C'AC

הזווית שבין אלכסון התיבה C'A לבין מישור הבסיס ABCD היא הזוויות C'AC.
מדוע זה כך?
משום ש C'C הוא אנך למקצועות התיבה BC ו DC ולכן הוא אנך לכול המישור ABCD.
נובע מכך ש AC הוא ההיטל של C'A על מישור הבסיס.

הזווית של אלכסון הפיאה עם הבסיס

הזווית של אלכסון הפיאה C'B עם מישור הבסיס ABCD היא הזווית C'BC

הזווית של אלכסון הפיאה C'B עם מישור הבסיס ABCD היא הזווית C'BC

הזווית של אלכסון הפיאה C'B עם מישור הבסיס ABCD היא הזווית C'BC.
מדוע זה כך?
בסעיף הקודם הראינו כי C'C הוא אנך למישור ABCD.
נובע מכך ש BC הוא ההיטל של C'B על מישור הבסיס.
ולכן הזווית שבין BC לישר C'B היא הזווית המבוקשת.

פירמידה מלבנית או ריבועית

הזווית שבין מקצוע הפירמידה לבסיס

חשוב לזכור שבפירמידה ישרה  גובה הפירמידה נוגע בבסיס הפירמידה במרכז המעגל החוסם את הבסיס.
במקרה של ריבוע או מלבן זו גם נקודת המפגש של האלכסונים.

הזווית שבין מקצוע הפירמידה DS לבין מישור בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית SDO

הזווית שבין מקצוע הפירמידה DS לבין מישור בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית SDO

הזווית שבין מקצוע הפירמידה DS לבין מישור בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית SDO.
מדוע זה כך?
SO הוא גובה הפירמידה ולכן הוא גובה (מאונך) לכל ישר במישור הבסיס, כולל DO.
ולכן DO הוא ההיטל של של DS על מישור הבסיס.
ולכן הזווית שבין DO ל DS היא הזווית שבין DS למישור הבסיס ABCD.

פירמידה ישרה ומשולשת

בפירמידה ישרה ומשולשת גובה הפירמידה נוגע בפירמידה במרכז המעגל החוסם את הבסיס. שהיא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

זווית שבין מקצוע הפירמידה לבסיס הפירמידה

דומה מאוד למה שראינו בפירמידה שבסיסה ריבוע.

הזווית שבין מקצוע הפאה SC לבין בסיס הפירמידה ABC היא SCO.

הזווית שבין מקצוע הפאה SC לבין בסיס הפירמידה ABC היא SCO.

הזווית שבין מקצוע הפאה SC לבין בסיס הפירמידה ABC היא SCO.
מדוע זה כך?
גובה הפירמידה SO מאונך לכל ישר על בסיס הפירמידה ולכן מאונך גם ל CO.
לכן CO הוא ההיטל של CS על מישור הבסיס.
לכן הזווית שבין CS לבין CO היא הזווית שבין CS למישור הבסיס.

 

הזווית שבין הישר C'A לבין מישור הפאה BB'C'C

הזווית שבין הישר C'A לבין מישור הפאה BB'C'C היא הזווית AC'B

הזווית שבין הישר C'A לבין מישור הפאה BB'C'C היא הזווית AC'B

הזווית שבין הישר C'A לבין מישור הפאה BB'C'C היא הזווית AC'B
מדוע זה כך?
הישר AB מאונך לישרים CB ו B'B ולכן מאונך לכול ישר בפאה BB'C'C כולל הישר C'B.
לכן C'B הוא היטלו של הישר C'A על הפאה BB'C'C.
לכן הזווית המבוקשת היא הזווית שבין C'B לבין C'A.

הזווית שבין המישור  AC'B לבין הבסיס ABCD

הזווית שבין המישור AC'B לבין הבסיס ABCD היא הזווית C'BC

הזווית שבין המישור AC'B לבין הבסיס ABCD היא הזווית C'BC

הזווית שבין המישור AC'B לבין הבסיס ABCD היא הזווית C'BC.
מדוע זה כך?
ישר החיתוך בין שני המישורים הוא AB.
במישור ABCD הישר BC מאונך ל AB. במישור AC'B הישר C'B מאונך לישר AB (למה? כי AB מאונך ל B'B ול BC ולכן מאונך לכל ישר במישור BB'C'C).
לכן הזווית שבין המישורים היא הזווית בין הישרים BC ל C'B.

פירמידה

זווית בין בסיס הפירמידה לפאת הפירמידה

הזווית שבין בסיס הפירמידה ABCD לבין פאת הפירמידה DSC היא SEO

הזווית שבין בסיס הפירמידה ABCD לבין פאת הפירמידה DSC היא SEO

הערה: הנקודה E מייצגת את אמצע הצלע DC. בשרטוט הנקודה E נוטה יותר לכיוון C בגלל שכך ניתן לראות את המשולש SEO.

הזווית שבין בסיס הפירמידה ABCD לבין פאת הפירמידה DSC היא SEO.
מדוע זה כך?

  1. DC הוא הישר המשותף לשני המישורים.
  2. מכוון ש DSC הוא משולש שווה שוקיים הגובה SE הוא גם תיכון ו E היא אמצע הישר DC.
  3. במישור ABCD הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם את ABCD ובמלבן או ריבוע זו נקודת מפגש האלכסונים.
  4. מכוון שאלכסוני המלבן / ריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה המשולש DOC הוא משולש שווה שוקיים והגובה מהנקודה O הוא גם תיכון ומגיע לנקודה E.
  5. לכן הזוויות בין הישרים OE ל SE היא הזווית בין המישורים.

בגרות במתמטיקה 5 יחידות הסברים ותרגילים לנושאים נוספים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.