בעיות הספק

דף זה הוא הכנה לבחינת הבגרות ברמת 5 יחידות בנושא בעיות הספק.

הדף כולל מספר שאלות קלות ללימוד החומר, שאלות קשות יותר כהכנה לבחינת הבגרות ושאלות מתוך הבגרות עצמה.

הנוסחה הבסיסית של בעיות הספק היא:
קצב העבודה x זמן העבודה = העבודה שבוצעה

שאלות בסיסיות ללימוד החומר

תרגיל 1

ברז ממלא בריכה ב 15 ימים.
פעם אחת הברז עבד בקצב הרגיל שלו במשך 5 ימים ולאחר מיכן הוריד את הקצב והוסיף לבריכה 10 ליטר פחות בכל יום ממה שהיה רגיל.
מסיבה זו הברז עבד 2 יומיים יותר.
מה הקצב הרגיל של הברז?
כמה ליטרים יש בבריכה?

פתרון
x – מספר הליטרים שהברז מוסיף לבריכה ביום רגיל.
x-10 – מספר הליטרים שהוסיף לבריכה בעשרת הימים האחרונים.
17 – מספר הימים שעבד הברז.

קצב העבודה זמן העבודה העבודה שבוצעה
x 5 5x
x-10 12 12x-120

5x העבודה שבוצעה בחמשת הימים הראשונים.
12x – 120 העבודה שבוצעה ב 12 הימים שלאחר מיכן.
15x העבודה שהייתה מתבצעת אם הברז היה עובד כרגיל.
המשוואה היא:
15x = 5x +12x-120
2x=120
x=60
תשובה: הקצב הרגיל של הברז הוא הוספת 60 ליטרים ביום. בבריכה יש 60*15=900 ליטרים.

תרגיל 2

שני גננים (דני וצביקה) עובדים על גינה וכל אחד מיהם צריך לשתול 60 צמחים.
דני סיים את עבודתו שעתיים לפני צביקה.
יום אחד שני דני עבד במשך שעתיים ואילו צביקה הוסיף 3 שעות. יחד הם שתלו 76 צמחים.
מה קצב העבודה של דני וצביקה?

פתרון
x  קצב העבודה של דני.
y קצב העבודה של צביקה.

הטבלה והמשוואה שמתאימה לחלק הראשון של השאלה.

קצב העבודה זמן העבודה העבודה שבוצעה
דני x 60 לחלק ב X 60
צביקה y 60 לחלק ב Y 60

60 לחלק ב X הוא זמן העבודה של דני.
60 לחלק ב Y הוא זמן העבודה של צביקה.
זמן העבודה של צביקה ארוך יותר בשעתיים לכן המשוואה היא:

60 לחלק ב X = לשישים לחלק ב y ועוד 2.

הטבלה והמשוואה שמתאימים לחלק השני של השאלה:

קצב העבודה זמן העבודה העבודה שבוצעה
דני x 2 2x
צביקה y 3 3y

2x זו העבודה שבוצעה על ידי דני.
3y  זו העבודה שבוצעה על ידי צביקה.

המשוואה היא:
2x + 3y =76

נפתור את שתי המשואות עם שני הנעלמים ונקבל:
x=20, y=12

עוד באתר:

שאלות בהן אנו לא יודעים מה כמות המדויקת של העבודה שבוצעה

בשאלות הספק קשות יותר לא יגידו לנו מה היא העבודה שבוצעה (כלומר לא יגידו בבריכה 4000 ליטר, נבנו 80 שולחנות וכו…).
במקרים אלו נתייחס אל כל העבודה שבוצעה כאל 1.
x יהיה לרוב מספר הימים / שעות שלוקח לבצע את העבודה כולה.
ולכן 1 לחלק ב X  הוא מספר הפריטים שנעשים ביום / שעה. זה קצב העבודה.

אחד לחלק ב X

קצב העבודה

הזמן שלוקח לבצע את כל העבודה קצב העבודה סך כל העבודה
x אחד לחלק ב X 1

תרגיל 1

ברז א ממלא בריכה תוך 40 שעות.
ברז ב ממלא בריכה תוך 50 שעות.
תוך כמה שעות ימלאו שני הברזים יחד את הבריכה?

פתרון

זמן העבודה קצב העבודה כמות העבודה
40 1/40 1
50 1/50 1

1/40 זה קצב העבודה של ברז א.
1/50 זה קצב העבודה של ברז ב.
t הוא הזמן בשעות שלוקח לשני הברזים ביחד למלא את הבריכה.
המשוואה היא:
t (1/40) + t(1/50)=1
t=22.22

תרגיל 2

אבי ואיציק, שני שחקני כדורגל מבקיעים מספיק שערים כדי שקבוצתם תעלה ליגה תוך 6 מחזורי ליגה.
אבי לבדו מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה ב 5 מחזורים פחות מאשר איציק לבדו.
תוך כמה מחזורים כל אחד מהשחקנים מבקיע מספיק שערים כדי שהקבוצה תעלה ליגה?

פתרון

x מספר המחזורים שבהם אבי מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה.
x-5 מספר המחזורים שבהם איציק מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה.

מספר מחזורים… שערים במחזור סך העבודה
אבי x 1 לחלק ב x 1
איציק x-5 1 לחלק ב x-5 1

1 לחלק ב x הוא מספר השערים במחזור שאבי מבקיע.
1 לחלק ב x-5 הוא מספר השערים במחזור שאיציק מבקיע.

6 כפול סכום השערים שאבי ואיציק מבקיעים ביחד שווה ל 1 זו המשוואה.

פתרון המשוואה הוא x=10.

תרגיל 3

שירה ודוד אוספים ביחד מספיק עצים למדורה תוך 4 שעות.
יום אחד דוד זרק את העצים ששירה אספה. הקצב שדוד זורק עצים הוא הקצב שבו הוא אוסף עצים. ביום זה נאספו מספיק עצים למדורה תוך 12 שעות.
כמה עצים שירה אוספת למדורה בשעה?

פתרון

x הזמן בשעות ששירה לבדה אוספת מספיק עצים למדורה.
y  הזמן בשעות שדוד לבדו אוסף מספיק עצים למדורה.

1 לחלק ב x זה קצב העבודה של שירה.
1 לחלק ב y זה קצב העבודה של דוד.
נכפיל את סכום קצבי העבודה ב 4 ונשווה לאחד זו המשוואה הראשונה.

סכום קצבי העבודה כפול 4 שווה ל 1

במשוואה השנייה צריך לחסר את קצב העבודה של דוד מקצב העבודה של שירה ולהכפיל ב 12.

הפרש קצבי העבודה כפול 12 שווה ל 1

הפתרון הוא x=8, y=4.

תרגיל 4

נתן ונעה שותלים 1/3 גינה תוך 2 שעות.
אם נעה שותלת לבדה 1/2 גינה ואז מצטרף אליה נתן לעבודה משותפת שתילת הגנה מסתיימת תוך 12 שעות מהזמן שנעה התחילה בעבודה.
תוך כמה שעות נעה לבדה מסיימת את שתילה הגינה?

פתרון
x – מספר השעות שבהם נעה לבדה מסיימת את שתילת הגינה.
y – מספר השעות שבהם נתן לבדו מסיים את שתילת הגינה.
1 לחלק ל x זה ההספק של נעה.
1 לחלק ל y זה ההספק של נתן.
משוואה ראשונה: סכום ההספקים כפול 2 שווה ל 1/3.

אם נעה מסיימת את כל העבודה ב x שעות אז את 1/2 מהעבודה היא תסיים תוך 0.5x.
זמן העבודה של שניהם ביחד הוא 12-0.5x.
משוואה שנייה: זמן העבודה המשותף כפול סכום ההספקים שווה לחצי.

זמן העבודה המשותף כפול סכום ההספקים שווה לחצי.

פתרון שתי המשוואות הוא:
x=18, y=9.

תרגיל 5

דנה ואמיר כותבים ביחד קוד לפרויקט משותף בתחום התוכנה.
דנה התחילה בעבודה ולאחר יומיים הצטרף אליה אמיר.
6 ימים לאחר שדנה התחילה בעבדה הם סיימו 13/18 מהפרויקט.
הם המשיכו יחדיו עד לסיום הפרויקט ואז התברר שהעבודה של דנה על הפרויקט הייתה כפולה מהעבודה של אמיר.
תוך כמה ימים דנה לבדה הייתה מסיימת את הפרויקט? תוך כמה ימים אמיר?

פתרון

x  מספר הימים שבו דנה לבדה מסיימת פרויקט.
y  מספר הימים שבו אמיר לבדו מסיים פרויקט.
1 לחלק ב x – זה ההספק של דנה.
1 לחלק ב y – זה ההספק של אמיר.

המשוואה הראשונה היא:

6 כפול 1 לחלק ב X ועוד 4 כפול אחד לחלק ב y שווה ל 13/18

הפתרון של שתי המשוואות הוא:
x=12, y=18.

פתרון בעיות הספק מבגרויות

חורף 2017 שאלה 1

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “בעיות הספק

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום שני.
      בעיות הספק, אלו הבעיות המילוליות היותר קשות.
      שיטת הצינורות והבריכות….
      אם תצביע על שאלה ספציפית ותגיד מה אתה מבין ומה לא אנסה לעזור

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.