בעיות הספק

דף זה הוא הכנה לבחינת הבגרות ברמת 5 יחידות בנושא בעיות הספק.
בעיות הספק הן בעיות הדומות מאוד במבנה שלהם לבעיות תנועה.
אבל בעיות הספק קשות יותר כי המושגים שלמהירות, זמן, דרך הם חלק מהעולם היום יומי שלנו. לעומת המושג של הספק שבו אנו משתמשים פחות.

לדף 4 חלקים:

  1. הסבר קצר מהו הספק.
  2. שאלות בסיסיות ללימוד החומר.
  3. שאלות הכנה לבגרות.
  4. שאלות מהבגרות עצמה.

1. מהו הספק

הספק הוא כמות עבודה שאנו מבצעים ביחידת זמן.
אם מכונה מייצרת 3 כיסאות בשעה אז ההספק שלה הוא 3 בשעה.
גנן השותל 6 צמחים ביום ההספק שלו הוא 6 ביום.
ברז הממלא 100 ליטרים ב 20 שעות ההספק שלו הוא
5 = 20 : 100
הספק הברז הוא 5 ליטרים בשעה.

אבל.
אם ברז ממלא בריכה ב 12 יום, מהוא ההספק שלו?
פתרון
את יחידת הזמן תמיד ניקח מהשאלה.
במקרה זה מדברים על ימים.

אם הברז ממלא בריכה ב 12 יום אז ההספק שלו הוא 1/12 מהבריכה ביום.

אם פועל חופר בור ב 4 ימים אז ההספק שלו הוא 1/4 בור ביום.

הנוסחה שבה משתמשים בבעיות הספק

הספק x זמן העבודה = העבודה שבוצעה

שימו לב לדמיון שבין הנוסחה הזו לנוסחה שבה אנו משתמשים בבעיות תנועה.
מהירות x זמן = דרך.

מהירות רכב היא כמו ההספק.
זמן הוא זמן.
והדרך שעובר הרכב היא כמו העבודה שנעשתה.

טיפ לבחירת משתנה

שלב ראשון בפתרון בעיות הספק, כמו כל סוגי הבעיות האחרות הוא בחירת משתנה.
ברוב המוחלט של השאלות המשתנה הוא ההספק או הזמן.

כאשר אתם קוראים שאלה בדקו אם ההספק נתון לכם.
אם ההספק לא ידוע ההספק הוא המשתנה.
אם ההספק ידוע אז הזמן הוא המשתנה.

2. שאלות בסיסיות ללימוד החומר

תרגיל 1

נגר מייצר 4 כיסאות ביום. כמה כיסאות הנגר ייצר ב 10 ימים?

פתרון
הנוסחה שלנו היא:
כמות = זמן * הספק
לכן:
40 = 10 * 4
תשובה: הנגר יצר 40 כיסאות ב 10 ימים.

תרגיל 2

נגר עובד על 60 כיסאות בקצב יומי קבוע.
פעם אחת הנגר יצר כיסא אחד יותר בכול יום ולכן סיים את העבודה 5 ימים לפני.
כמה כיסאות הנגל מייצר ביום עבודה רגיל?

פתרון
נגדיר:
x כמות הכיסאות שהנגר מיצר ביום רגיל.
x + 1   כמות הכיסאות שהנגר יצר ביום כאשר שינה את הקצב.

הזמנים:
זה מספר הימים שהנגר עובד בקצב הרגיל

זה מספר הימים שהנגר עובד כאשר האיץ את הקצב

המשוואה:
הקצב האיטי היה איטי ב 5 ימים לכן המשוואה היא:

60x + 60 + 5x(x +1) = 60x  / -60x
5x² + 5x + 60 = 0  / :5
x² + x + 12 = 0
הפתרונות של המשוואה הריבועית הם:
x = 3  או x = -4
x הוא גודל חיובי לכן התשובה היא:
x = 3
תשובה: הנגר מיצר ביום רגיל 3 כיסאות.

תרגיל 3

פועל אחד שותל 6 פרחים בשעה.
פועל שני שותל 4 פרחים בשעה.
על מנת לשתול את אותה כמות פרחים הפועל האיטי עבד 4 שעות יותר.
מצאו את כמות הפרחים שכל אחד מהפועלים שתל.

פתרון
נגדיר:
x כמות הפרחים ששני הפועלים שתלו.

לכן הזמנים הם:
x : 6  זה הזמן שעבד הפועל ששותל 6 פרחים.
x : 4 זה הזמן שעבד הפועל ששותל 4 פרחים.

המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה פי 12 ונקבל:
3x = 2x + 48
x = 48
תשובה: כל אחד מהפועלים שתל 48 פרחים.

תרגיל 4

שני גננים צריכים לשתול כל אחד 120 עצים.
הקצב של המהיר גדול ב 2 עצים לשעה מהקצב של של האיטי.
לאחר 10 שעות עבודה המהיר הפסיק ל 3 שעות ולאחר מיכן המשיך בקצב כפול מהקצב שבו התחיל.
כתוצאה מכך זמן העבודה של המהיר (כולל המנוחה) היה חצי מזמן העבודה של האיטי.
מצאו את קצב השתילה של כל אחד מהגננים.

פתרון
נגדיר:
x כמות העצים בשעה ששותל האיטי.
x + 2 כמות העצים בשעה ששותל המהיר.

הזמנים
הפועל האיטי עובד בקצב קבוע כל הזמן וזה זמן העבודה שלו.

הפועל המהיר עובד 10 שעות, נח 3 שעות ובקטע האחרון קצב העבודה שלו הוא:
2x + 4
וזמן העבודה שלו בחלק האחרון הוא:

הפועל המהיר עבד חצי מהזמן של הפועל האיטי ולכן המשוואה שלנו היא:

כאשר נפתור את המשוואה נקבל x = 3.
לכן:
3 עצים בשעה זה קצב השתילה של הפועל האיטי.
5 עצים בשעה זה קצב השתילה של הפועל המהיר.

תרגיל 5

שני פועלים צריכים ליצר יחד 70 כיסאות.
יום אחד הפועל המהיר עבד 2 שעות לבדו ואז שני הפועלים המשיכו יחד 10 שעות וסיימו את העבודה.
יום אחר עם התחילו לעבוד יחד למשך 3.5 שעות הפועל המהיר יצא להפסקה של 1 שעה, חזר ואת יתר העבודה הם סיימו יחד תוך 8 שעות.
מצאו את קצב יצור הכיסאות של כל אחד מהעובדים.

פתרון
בשאלה הזו אין קשר בין קצב העבודה של הפועלים ולכן צריך להשתמש בשני נעלמים על מנת לפתור.
x  מספר הכיסאות בשעה שמייצר הפועל המהיר.
y  מספר הכיסאות בשעה שמייצר הפועל האיטי.

נבנה משוואה עבור כל אחד מהימים.
ביום הראשון הפועל המהיר עבד 12 שעות ואילו האיטי עבד 10 שעות.
לכן המשוואה היא:
12x + 10y = 70

ביום השני הפועל המהיר עבד 11.5 שעות ואילו האיטי 12.5 שעות ולכן המשוואה היא:
11.5x + 12.5y = 70

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
12x + 10y = 70
11.5x + 12.5y = 70

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת המשוואה השנייה פי 4.
60x + 50y = 350
46x + 50y = 280
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה.
14x = 70
x = 5
נמשיך את הפתרון ונמצא y= 1.
תשובה: המהיר מיצר 5 כיסאות בשעה והאיטי מיצר 1 כיסאות בשעה.

עוד באתר:

3. שאלות בהן אנו לא יודעים מה כמות המדויקת של העבודה שבוצעה

בשאלות קשות יותר לא ידברו על כמות מסוימת של עבודה, אלא הכמות תהיה 1.
המקרה הנפוץ ביותר בשאלות: ברז ממלא בריכה.
מה כמות העבודה שהברז בסך הכל עושה? 1 בריכה.
ואם הוא ממלא את הבריכה ב x שעות אז מה ההספק של הברז?

אחד לחלק ב X

זכרו זאת היטב.
ברוב השאלות זאת תהיה יחידת העבודה הבסיסית שלכם.
אם למשל הברז ממלא את הבריכה במשך 4 שעות אז כמות העבודה שביצע היא:

תרגיל 1

ברז א ממלא בריכה תוך 40 שעות.
ברז ב ממלא בריכה תוך 50 שעות.
תוך כמה שעות ימלאו שני הברזים יחד את הבריכה?

פתרון

זמן העבודהקצב העבודהכמות העבודה
401/401
501/501

1/40 זה קצב העבודה של ברז א.
1/50 זה קצב העבודה של ברז ב.
t הוא הזמן בשעות שלוקח לשני הברזים ביחד למלא את הבריכה.
המשוואה היא:
t (1/40) + t(1/50)=1
t=22.22

תרגיל 2

אבי ואיציק, שני שחקני כדורגל מבקיעים מספיק שערים כדי שקבוצתם תעלה ליגה תוך 6 מחזורי ליגה.
אבי לבדו מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה ב 5 מחזורים פחות מאשר איציק לבדו.
תוך כמה מחזורים כל אחד מהשחקנים מבקיע מספיק שערים כדי שהקבוצה תעלה ליגה?

פתרון

x מספר המחזורים שבהם אבי מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה.
x-5 מספר המחזורים שבהם איציק מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה.

מספר מחזורים…שערים במחזורסך העבודה
אביx1 לחלק ב x1
איציקx-51 לחלק ב x-51

1 לחלק ב x הוא מספר השערים במחזור שאבי מבקיע.
1 לחלק ב x-5 הוא מספר השערים במחזור שאיציק מבקיע.

6 כפול סכום השערים שאבי ואיציק מבקיעים ביחד שווה ל 1 זו המשוואה.

פתרון המשוואה הוא x=10.

תרגיל 3

שירה ודוד אוספים ביחד מספיק עצים למדורה תוך 4 שעות.
יום אחד דוד זרק את העצים ששירה אספה. הקצב שדוד זורק עצים הוא הקצב שבו הוא אוסף עצים. ביום זה נאספו מספיק עצים למדורה תוך 12 שעות.
כמה עצים שירה אוספת למדורה בשעה?

פתרון

x הזמן בשעות ששירה לבדה אוספת מספיק עצים למדורה.
y  הזמן בשעות שדוד לבדו אוסף מספיק עצים למדורה.

1 לחלק ב x זה קצב העבודה של שירה.
1 לחלק ב y זה קצב העבודה של דוד.
נכפיל את סכום קצבי העבודה ב 4 ונשווה לאחד זו המשוואה הראשונה.

סכום קצבי העבודה כפול 4 שווה ל 1

במשוואה השנייה צריך לחסר את קצב העבודה של דוד מקצב העבודה של שירה ולהכפיל ב 12.

הפרש קצבי העבודה כפול 12 שווה ל 1

הפתרון הוא x=8, y=4.

תרגיל 4

נתן ונעה שותלים 1/3 גינה תוך 2 שעות.
אם נעה שותלת לבדה 1/2 גינה ואז מצטרף אליה נתן לעבודה משותפת שתילת הגנה מסתיימת תוך 12 שעות מהזמן שנעה התחילה בעבודה.
תוך כמה שעות נעה לבדה מסיימת את שתילה הגינה?

פתרון
x – מספר השעות שבהם נעה לבדה מסיימת את שתילת הגינה.
y – מספר השעות שבהם נתן לבדו מסיים את שתילת הגינה.
1 לחלק ל x זה ההספק של נעה.
1 לחלק ל y זה ההספק של נתן.
משוואה ראשונה: סכום ההספקים כפול 2 שווה ל 1/3.

אם נעה מסיימת את כל העבודה ב x שעות אז את 1/2 מהעבודה היא תסיים תוך 0.5x.
זמן העבודה של שניהם ביחד הוא 12-0.5x.
משוואה שנייה: זמן העבודה המשותף כפול סכום ההספקים שווה לחצי.

זמן העבודה המשותף כפול סכום ההספקים שווה לחצי.

פתרון שתי המשוואות הוא:
x=18, y=9.

תרגיל 5
(בתרגיל זה הפתרון האלגברי לאחר שבונים את הפונקציות ארוך, לכן נסתפק בבניית המשוואות)
דנה ואמיר כותבים ביחד קוד לפרויקט משותף בתחום התוכנה.
דנה התחילה בעבודה ולאחר יומיים הצטרף אליה אמיר.
6 ימים לאחר שדנה התחילה בעבודה הם סיימו 13/18 מהפרויקט.
הם המשיכו יחדיו עד לסיום הפרויקט ואז התברר שהעבודה של דנה על הפרויקט הייתה כפולה מהעבודה של אמיר.
תוך כמה ימים דנה לבדה הייתה מסיימת את הפרויקט? תוך כמה ימים אמיר?

פתרון

x  מספר הימים שבו דנה לבדה מסיימת פרויקט.
y  מספר הימים שבו אמיר לבדו מסיים פרויקט.
1 לחלק ב x – זה ההספק של דנה.
1 לחלק ב y – זה ההספק של אמיר.

בניית המשוואה הראשונה
דנה עבדה 6 ימים.
אמיר עבד 4 ימים.
ביחד הם ביצעו 13/18 מהעבודה.
לכן המשוואה הראשונה היא:

6 כפול 1 לחלק ב X ועוד 4 כפול אחד לחלק ב y שווה ל 13/18

בניית המשוואה השנייה
נגדיר:
z  מספר הימים שאמיר עבד על הפרויקט מתחילתו ועד סופו.
z + 2 מספר הימים שדנה עבדה על הפרויקט מתחילתו ועד סופו.
לכן המשוואה השנייה היא:

בניית המשוואה השלישית
לאחר z ימי עבודה של אמיר.
ו z +2 ימי עבודה של דנה.
כמות העבודה שדנה ביצעה גדולה פי 2 מכמות העבודה שאמיר ביצע.
לכן המשוואה היא:

הפתרון של המשוואות הוא:
z = 6, x=12, y=18.

4. פתרון בעיות הספק מבגרויות

השאלות של חורף 2019 (סעיף ג) וחורף 2018 הן שאלות המוסיפות על הנלמד קודם לכן.
ממליץ לפתור אותן.

חורף 2019 שאלה 1

סעיף א
נגדיר
x  כמות העצים שאמורה הייתה קבוצה הפועלים לכרות ביום.

הזמנים:
זה זמן העבודה המתכנן.

בפועל הפועלים עבדו 3 ימים בהם כרתו 3x עצים.
לאחר מיכן עבדו עוד:

סך הכל העבודה בפועל הייתה קצרה ביום מהמתוכנן לכן המשוואה שלנו היא:

(216x + 216 * 8 = 232x – 3x² +4x (x +8
216x + 1728 = 232x -3x² + 4x² +32x
x² + 48x -1728 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הזו הם:
x = 24 או x = -72.
x הוא הספק חיובי ולכן התשובה היא x = 24.
תשובה: הפועלים היו אמורים לכרות ביום 24 מ"ק.

סעיף א חלק שני
הזמן המקורי שהפועלים היו אמורים לעבוד הוא:
9 = 24 : 216
בפועל הפועלים עבדו יום פחות. לכן עבודה 8 ימים.

סעיף ב
2/3 מהכמות המתוכננת הם:
144 = 216 * (2/3)

במהלך שלושת ימי העבודה הראשים הם עבוד בהספק 24, לכן כרתו
72 = 24 * 3
נותרו להם לאחר מיכן:
72 = 72 = 144

לאחר מיכן עבדו בקצב 32
2.25 = 32 : 72
לכן הם סיימו 2/3 מהעבודה במהלך היום השישי.

סעיף ג
ההספק של כל קבוצת הפועלים המנוסים הוא 24.
לכן ההספק של פועל מנוסה יחיד הוא:

ההספק של פועל לא מנוסה יחיד קטן ב 1.

סעיף ג חלק שני
ההספק של m הצמדים הוא:

הם עבדו 8 ימים.
לכן המשוואה שלנו היא:

8m + 384 = 338-
8m = 46  / : 8
m=6
תשובה: בקבוצת הפועלים החדשה יש 6 פועלים.

חורף 2018 שאלה 1

נגדיר:
x  ההספק של כל אחד מהצינורות.

נגדיר את הזמנים בם התמלאה בריכה א ואת הכמויות שהגיעו באותן הזמנים לבריכה ב.

בשלב הראשון
4 צינורות מלאו 1/6 לכן הזמן של בריכה א הוא:

בשלב זה לא היו צינורות שמלאו את בריכה ב.

בשלב השני מלאו בבריכה א
1/3 = 1/6 – 1/2
1/3 בריכה.
עם 3 צינורות לכן זמן המילוי הוא:

בריכה ב התמלאה עם צינור אחד בלבד. לכן כמות המים שמולאה בה היא:

בשלב השלישי מלאו 1/2 מבריכה א עם צינור אחד.
לכן הזמן הוא:

בזמן הזה מלאו את בריכה ב 3 צינורות
לכן כמות המים שמולאה בבריכה ב היא:

סך כל כמות המים שמולאה בבריכה ב היא v2 לכן המשוואה היא:

2v1 + 27v1 = 18v2
29v1 = 18v2
v1 / v2 = 18 / 29

חורף 2017 שאלה 1

m הזמן שצינור א ממלא את הבריכה.
2m הזמן שצינור ב ממלא את הבריכה.
המשוואה הראשונה היא:

תשובה: תחום הערכים של m הוא:

סעיף ב.
המשוואה היא:

תשובה: m =8.5

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “בעיות הספק

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום שני.
      בעיות הספק, אלו הבעיות המילוליות היותר קשות.
      שיטת הצינורות והבריכות….
      אם תצביע על שאלה ספציפית ותגיד מה אתה מבין ומה לא אנסה לעזור

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.