טריגונומטריה 581 5 יחידות

דף זה מתחיל עם שני טיפים לפתרון בעיות בטריגונומטריה וממשיך אל פתרונות מלאים לשאלות משאלון 581.

2 טיפים לפתרון תרגילים בטריגונומטריה

1. בדקו אם יש יותר ממשולש אחד בו ניתן למצוא את מה שאתם מחפשים

לפעמים מחפשים מאיתנו למצוא גודל של זווית / צלע ויש משולש אחד שבולט לנו לעין ובו האיבר המבוקש נמצא. אנו בטוחים שדרך משולש זה נגיע לפתרון.
אבל לפעמים אבל לפעמים הפתרון מגיע דרך משולש אחר. לכן חשוב לא ללכת עם הראש בקיר ולחפש משולשים אחרים היכולים לפתור את התרגיל.

דוגמה מתוך בגרות קיץ 2016 מועד א.

משולש ABC הוא שווה שוקיים.
AE,BT הם תיכונים.
BC=2K.
B=a, C=β.
השאלה היא: צריך להגדיר את CT באמצעות K,β.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

המשולש הבולט שכולל את TC הוא משולש TBC ויש לנו גם נתונים במשולש זה. יתכן ואתם חושבים "כל מה שצריך הוא להיפתר מ a".
אבל זו לא הדרך לפתור את התרגיל.
הדרך לפתור את התרגיל היא להסתכל על משולש ישר זווית AEC לראות ש AC=2TC ואז הפתרון הוא:
cos β = k / 2TC.

2. למדו לבנות משוואות

בשאלות בטריגונומטריה בבגרות נתקלתי מספר פעמים בסעיף המבקש, הוכיחו:
sin (a+β) = 4 sin a cos β
אציע לכם כאן שתי דרכים להתמודד עם שאלות מסוג זה:

דרך ראשונה: לחפש איבר מיוחד במשוואה.

למשל כאשר מבקשים להוכיח משהוא כמו sin (a+β) = 4 sin a cos β  האיבר הבולט הוא (sin (a+β ועלינו לחפש בשרטוט דרך להכניס את האיבר למשוואה.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

בשרטוט אנו יכולים לראות שהדרך הקלה להכניס את האיבר היא להשתמש במשפט הסינוסים במשולש CBT.
משום ש (sin (a+β) = sin (180-a-β.

דרך שנייה: צרו שתי משוואות שצד אחד של המשוואה קיים בשתיהן

בדרך זו השתמשתי מספר פעמים בשאלות בגיאומטריה ויתכן שבעתיד תדרשו לה גם בשאלות בטריגונומטריה.

בשאלות בסגנון של הוכיחו: AC*AD=FG*CD עליכם למצוא זוג צלעות שניתן ליצור לו משוואה עם צד ימין של המשוואה (FG*CD) ועם צד שמאל (AC*AD).
למשל:
AC*AD=TR * DF
TR * DF=FG*CD
ולכן: AC*AD=FG*CD
דוגמה מתוך שאלה בבגרות: חורף 2017 שאלה 44 סעיף ג

בגרות חורף 2017 גיאומטריה 581

צריך להוכיח כי R* BD = r * CE.
(R הוא רדיוס המעגל הגדול ו r הוא רדיוס המעגל הקטן).
ידוע כי: O1D ΙΙ O2E
וגם BD ΙΙ CE

פתרון

  1. r/ R = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש AEO2).(זו ההגדרה הראשונה).
  2. BD / CE = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש ΔACE). (זו ההגדרה השנייה).
  3. r/ R = BD / CE (זה השוויון שנוצר משתי ההגדרות).
    r*CE = R * BDD – מש"ל.

עוד באתר:

פתרון תרגילים בטריגונומטריה מהבגרות

התרגילים לקוחים משאלון 581. השאלה בטריגונומטריה היא שאלה מספר 5.
את השאלה והשאלון ניתן למצוא באינטרנט.

חורף 2019

סעיף א
נשים לב כי
ABF = β + ∠CBF
נחפש זווית היקפית השווה ל CBF.
זו תהיה הזווית CAF כי זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות זו לזו
CAF = 0.5α כי אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.

ABF = β + 0.5α∠

סעיף א חלק שני
על פי משפט הסינוסים במשולש AFB
AF / sin (∠ABF) = 2R
AF = 2R * sin (∠ABF) = 2Rsin (β + 0.5α)

סעיף ב
במשולש AFB
DAF = 0.5a∠ אלכסון המעוין הוא חוצה זווית.

הגדרת הזוויות במשולש ADF
AFD = 0.5a∠ זה משולש שווה שוקיים (כי צלעות המעוין שוות זו לזו). ולכן זוויות הבסיס במשולש שוות.
ADF = a∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש.

על פי משפט הסינוסים במשולש ADF

נשתמש בזהות:
sin (180 – a) = sin a
ונקבל:

סעיף ג
נוכיח כי האלכסון DE חוצה את המעוין לשני משולשים חופפים ולכן המשולשים הללו שווה שטח.
לכן שטח המעוין הוא פעמיים השטח של אחד מהמשולשים.

הוכחת החפיפה:
AD = FD,  AE = EF צלעות המעוין שוות זו לזו.
DE צלע משותפת.
DAE ≅ DFE על פי צ.צ.צ. ולכן אלו משולשים שווה שטח.
לכן נחשב את השטח של אחד המשולשים ונכפיל פי 2. כך נקבל את השטח של המעוין כולו.

כמו כן:
ABF = β + 0.5α = 90∠ זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.
לכן:

שטח מעוין DAEF הוא כפול משטח משולש DAE.
לכן שטח המעוין הוא:

מכוון שהתשובה צריכה להינתן עם של של 0.5a נשנה את הזווית במונה ל 0.5a על ידי הזהות:
sin a = 2sin 0.5a cos 0.5a

סעיף ד
הסבר לדרך הפתרון
בשאלה זו ביקשו מאיתנו למצוא את β אבל אין משוואה פשוטה שניתן לבנות עם זווית β.
לכן נבנה משוואה הכוללת את a ואז נשתמש בנתון:
β + 0.5α = 90

במעגל החסום במעוין נקודת מרכז המעגל נמצאת בנקודת המפגש של חוצה הזוויות.

שרטוט התרגיל

נעביר את רדיוס אל נקודת ההשקה של המעוין (הרדיוס OP).
משולש OPA הוא משולש ישר זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
בנוסף אנו יודעים:

  1. OP = 0.6R (נתון)
  2. AO = 0.5AF = 0.5*2R = R אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
  3. OAP = 0.5a אלכסוני המעוין חוצים את הזווית.

לכן:
sin 0.5a = 0.6R/R = 0.6
0.5a = 36.87
a = 73.74

נציב במשוואה:
β + 0.5α = 90
β + 36.87 = 90
β = 53.13

קיץ 2018

נשרטט את התרגיל

סעיף א
נגדיר:
C = a∠
לכן:
A = 90 -a∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש ABC.

נבנה עכשיו שתי משוואות עם שני נעלמים.
במשולש BMC על פי משפט הסינוסים

במשולש BMA על פי משפט הסינוסים

משתי המשוואות שהגענו אליהן נבנה משוואה אחת עם משתנה אחד.

a = 36.86
C = 36.86,   ∠A = 53.13∠

סעיף א חלק שני
על פי משפט הסינוסים במשולש BMA
2R = 8 : sin 53.13 = 10
R = 5

על פי משפט הסינוסים במשולש BMC
2R = 8 : sin 36.86 = 13.33
R = 6.66

סעיף ב

O2M = O2B = 6.66
O1M = O1B = 5
(השוויונות נובעים מכך שהצלעות הללו הן רדיוסים במעגל).
המרובע O1BO2D הוא דלתון כי מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים הוא דלתון.

סעיף ב חלק שני
אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
נניח כי נקודת מפגש האלכסונים היא P.
BP = MP =4 כי האלכסון הראשי בדלתון (O1O2) חוצה ומאונך לאלכסון המשני (BM).

נשתמש במשפט פיתגורס בשני המשולשים:
O1 P² = 5² – 4² = 9
O1 P = 3

O2P² = 6.66² – 4² = 28.3556
O2P = 5.32

O1O2 = 3+ 5.32 = 8.32
תשובה: אורך הקטע הוא 8.32.

קיץ 2018 מועד ב

שרטוט התרגיל

חלק ראשון הגדרת זוויות

  1. C = ∠B = 2β∠
  2. AEB =∠C = 2β∠ זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.
  3. BDC =∠ADE=180 – 3β∠  על סכום זוויות במשולש BDC וזוויות קודקודיות.
  4. ADB = 3β זוויות צמודות משלימות ל 180 מעלות.
  5. EAD = β על פי סכום זוויות במשולש EAD.

סיכום נושא הזוויות בשרטוט

חלק שני הגדרת צלעות.
נגדיר מספר צלעות באמצעות הצלע AB וכך נחשב את השטחים.
מי שרוצה יכול להגדיר AB = X וכך לבנות משוואות.

שטח משולש ABC הוא:
0.5AB*AB * sin (180 – 4β) = 0.5AB² * sin 4β

במשולש ADB על פי משפט הסינוסים

AE = AB*sin β / sin 2β

במשולש ADB על פי משפט הסינוסים

AD = AB sin β / sin 3β

היחס בין שטחי המשולשים הוא:

סעיף ב
BE = R נתון
במשולש ABE על פי משפט הסינוסים

BE = 2R * sin 3β
2R * sin 3β = R
sin 3β = 0.5
3β = 30
או 3β = 150
β = 10
או
β = 50
מכוון שגודל שתי זוויות הבסיס במשולש ABC הוא 4β התשובה השנייה נפסלת.
β = 10

נציב בנוסחה שקיבלנו בסעיף א ונמצא את היחס.

סעיף ג
הרעיון של הפתרון הוא שניתן לבטא את CP באמצעות a.
ואז במשולש CPO נבטא את OP שהוא הרדיוס באמצעות a.

O היא מרכז המעגל החסום במשולש ונקודת המפגש של חוצה הזווית.
OC, OB חוצה זווית.
OP רדיוס המעגל החסום המאונך למשיק BC.

משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים BO = CO – משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא משולש שווה שוקיים.
BP = CP במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון
CP = 0.5BC (משוואה 1).

במשולש BAC על פי משפט הקוסינוסים:
BC² = a² + a² – 2a²*cos 140 = 2a² + 1.53a² = 3.53a²
BC = 1.878a
נשתמש במשוואה 1 ונקבל:
CP = 0.5 * 1.878a = 0.939a

במשולש OCP
tg 10 = r / 0.939a
r = tg 10 * 0.939a = 0.1655a

קיץ 2017

  1. נגדיר OD=X, OE=Y.
  2. BO = 2OD=2Y, CO = 2OD=2: תיכונים במשולש מחלקים זה את ביחס של  1:2.
  3. COD = ∠BOE∠   זוויות קודקודיות שוות.
  4. SBOE = OE * BO*SIN ∠BOE = Y*2X:2 = 2XY SIN∠BOE
    SCOD = CO*OD* SIN ∠COD = 2XY SIN ∠COD
  5. SBOE = SCOD: נובע מ 3,4.

סעיף ב
על מנת לפתור ננסה להגדיר את שטח משולש AOC בעזרת r והזווית המבוקשת בלבד.
r – רדיוס המעגל.
a = ∠ACE

  1. tan ACE = r / CD
    CD = r / tan ACE
    AC = 2CD = 2r / tan ACE
  2. OD⊥AC: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  3. SAOC = AC * OD:2 = 2r * r / 2tan ACE= r² / tan a
  4. שטח המעגל הוא: πr²
  5.  πr² = r² / tan a
    tan a = 1/π = 0.318
    a = 17.64

סעיף ג

  1. sin 17.64 = OD / OC
    OC = OD / SIN 17.64 = r / 0.303 = 3.3r
  2. OE = 0.5OC = 1.65r

חורף 2017 שאלון 581 תרגיל 5.

חורף 2017 טריגונומטריה שרטוט התרגיל

סעיף א.

  1. BAD=∠CDA∠ – זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
  2. ΔEAD הוא משולש שווה שוקיים – מול זוויות שוות במשולש נמצאות צלעות שוות.
  3. בניית עזר EO – תיכון, גובה וחוצה זווית במשולש שווה שוקיים ΔEAD – במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה וחוצה זווית.
  4. OTB = ∠TOD=90∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  5. משולש ΔOAD הוא משולש שווה שוקיים OA=OB=R.
    OBA=∠OAB=α∠ – זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
    BOA= 180-2α∠  – משלימה ל 18 מעלות ב ΔOAD.
  6. BOT = 2α-90  –  סכום זוויות צמודות על ישר AOD הוא 180 מעלות.
  7. במשולש ΔOTB:
    sin 2a -90 = BT/R
    BT = R sin 2a-90
  8. נוכיח כי ET הוא תיכון ל BC.
    A=∠D=∠ECB=∠EBC∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו + זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
    ΔEBC הוא משולש שווה שוקיים – במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.
    BTE=∠TOD=90∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
    ET הוא תיכון ל BC – במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
  9. BC=2BT=2R sin 2α-90 – נובע מ 7,8.
  10. sin 2a -90 = cos 90- (2a-90) =   cos 180 -2a =cos 2a
    BC=2R cos 2α
כך נראה השרטוט עם בניות העזר

כך נראה השרטוט עם בניות העזר

ב. נסתכל על משולש ΔABD.

  1. 90=ABD∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר.
    לכן BAD<90∠ – היא זווית חדה במשולש ישר זווית.
  2. BAD=∠CDA > ∠BDA∠ – זווית גדולה יותר מחלק של עצמה.
    לכן מכוון ש: BAD + ∠BDA∠ שוות ל 90. ו BAD∠ היא הגדולה מבין השתיים אז BAD>45∠.
    תשובה: a>45 וגם a<90.

סעיף ג.

  1. נוכיח דמיון משולשים ΔAED ∼ ΔCOD.
    D = ∠A=α∠ – זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
    OD=OC=R.
    OCD=α∠  – במשולש מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות.
    ΔAED ∼ ΔCOD – על פי משפט דמיון ז.ז.
  2. אם יחס השטחים בין המשולשים הוא 9 אז יחס הדמיון הוא 9√ =3.
    יחס הרדיוסים החוסמים הוא כיחס הדמיון לכן:
    r = R/3
    1:3 הוא היחס בין רדיוס משולש ΔCOD למשולש ΔAED.

קיץ 2016 שאלה 5 מועד א

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

  1. EC= 0.5BC=K – נתון.
  2. cos β = EC / AC
    AC = EC / cos β
  3. TC = 0.5AC = K / 2cos βחלק שני של סעיף א.
  4. נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC
    sin (180-a-β) / 2k = sin a / TC
    sin (180-a-β) * K / 2cos β = 2K sin a
    sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
    נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
    sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב.

נסתכל על משולש ΔETC ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC*ECcos β
לצערי בגלל מגבלות של כתיבה באתר איני יכול לכתוב את הפתרון המלא.
פתרון המשוואה נותן:
β = 66.42
את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β.

קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

טרפז חסום במעגל. גדלי הזוויות כמפורט בשרטוט.

שרטוט התרגיל קיץ 2016 טריגונומטריה 5 יחידות

 

סעיף א. DAB∠=?
בסעיף זה יש הרבה עבודה של השלמת זוויות.

  1. BO=AO=R
  2. משולש ΔBOA הוא משולש שווה שוקיים – נובע מ 1.
  3.  OBA=∠OAB=(180-3a) /2= 90-1.5a∠עכשיו נוכיח כי ΔODA≅ ΔOCB
  4. אם נעביר בטרפז אלכסון AC אז:
    ACD=∠CAB∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
    AD=CB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    (זו ההוכחה כי כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים).
  5. BO=AO=OC=OD=R
  6.  ΔODA≅ ΔOCB חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  7. DOA=∠COB∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  8. DOA=∠COB= (360-4a) / 2=180-2a∠  – סכום זווית מרכזיות במעגל הוא 360 מעלות.
  9. OAD= ∠ODA=a∠ – סכום זוויות במשולש OAD שווה ל 180 מעלות.
  10. DAB = ∠OAD + ∠OAB= a + 90-1.5a =90-0.5a∠

סעיף ב. הבע את אורך שוק הטרפז באמצעות R ו a.

  1. במשולש ΔAOD על פי משפט הסינוסים:
    AD / sin 180-2a = R / sin a
    AD = R sin 180-2a / sina=rsin 2a / sina
    AD= R 2sin a cos a / sina
    AD = 2R cos a

סעיף ג. לבטא את AD באמצעות h.
נשרטט את הגובה:

שרטוט הגובה בטרפז

במשולש ΔAED:
sin 90-0.5a = h / AD
AD = h / sin 90-0.5a= h / cos 0.5a

סעיף ד.

שטח משולש ΔCOD שווה ל S=R² sin a / 2  – על פי נוסחת שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.
בעזרת סעיפים ב ו ג נבטא את R באמצעות h.
AD =  h / cos 0.5a = 2R cos a
R = h / 2cos a cos 0,5 a
נציב זאת בנוסחת שטח המשולש שמצאנו:
2* S=sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²
על פי הנתון מתקיים השוויון:
sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²*2 = h² / 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a cos² 0.5a = 1/ 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a  = 1/ 12
12sin a    = 8cos ² a
3sin a    = 2cos ² a
(3sin a = 2(1-sin ²a
2sin ²a +3sin a-2=0
sin a =-2 או sin a = 0.5
sin a =-2 – אינו אפשרי.
sin a =0.5
a=30, 150
האפשרות של a=150 נפסלת בגלל BOA=3a∠ וזווית במשולש לא יכולה להיות שווה 450 מעלות.
תשובה: a=30 מעלות.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.