חקירת פונקציות טריגונומטריות 5 יחידות

בדף זה תמצאו קישורים למידע בסיסי בנושא חקירת פונקציות טריגונומטריות ואת פתרון בחינת הבגרות האחרונה ברמת 5 יחידות.

  1. משוואות טריגונומטריות.
  2. חקירת פונקציות טריגונומטריות 4 יחידות.
  3. בגרות במתמטיקה 5 יחידות הסברים ותרגילים לנושאים נוספים.

פתרון שאלות מהבגרות 5 יחידות

בהמשך הדף הצעה לפתרון שאלה בבחינות הבגרות במתמטיקה שאלון 581 (806).
את שאלון הבגרות עצמו ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2018 מועד א שאלה 7

א. נסמן: (h(x) = 1/f(x.
נגזור את (h(x: (נגזרת של מנה)

הנגזרת תמיד מוגדרת, מכיוון שנתון f(x) ≠ 0.
המכנה תמיד חיובי, ולכן המונה קובע את סימן הנגזרת.
לגבי המונה:
– כאשר f ' (x) > 0 , כלומר (f(x עולה, אזי (h ' (x שלילית, כלומר (h(x יורדת.
– כאשר f ' (x) < 0 , כלומר (f(x יורדת, אזי (h ' (x חיובית, כלומר (h(x עולה.
מש"ל.

ב.

לא קיים x עבורו g(x) = 0. נימוק:
הערך המינימלי שהפונקציה sin2x יכולה לקבל הוא 0.
ואז, על מנת שיתקיים g(x) = 0 , הפונקציה cosx צריכה לקבל את הערך 2-.
דבר זה לא ייתכן, מכיוון שהפונקציה cosx חסומה, והערך המקסימלי שהיא יכולה לקבל הוא 1.
לכן לא קיים x כזה.

ג.
1. על מנת לבדוק את זוגיות הפונקציה, נבדוק האם מתקיים: (g(-x) = g(x
g(-x) = sin2(-x) + cos(-x) + 2
(כידוע: (cos(-x) = cos(x – מכיוון שקוסינוס היא פונקציה זוגית.
(sin(-x) = -sin(x  – מכיוון שסינוס היא פונקציה אי זוגית.)
g(-x) = (-sinx)2 + cosx + 2
מכיוון שמעלים בריבוע, נעלם המינוס שלפני הסינוס, ומקבלים:
(g(-x) = sin2x + cosx + 2 = g(x

ולכן (g(x היא פונקציה זוגית.

2. המחזור של הפונקציות הטריגונומטרית sin ו -cos הוא 2π.
כלומר, הן "מעתיקות" את עצמן בכל 2π יחידות.
לכן, כאשר מוסיפים 2π ל-x , הפונקציות יקבלו את אותו ערך בדיוק.
ובצורה פורמלית:
(cos(x + 2π) = cos(x
(sin(x + 2π) = sin(x

ולכן מתקיים:
(g(x) = g(x + 2π

3. נקודות קיצון: (בתחום  )
g ' (x) = 2sinx*cosx – sinx = 0
נוציא גורם משותף:
sinx*(2cosx – 1) = 0
–  sinx = 0
x1 = 0 , x2 = π
–  cosx = 1/2
   x3 = π/3

נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת טבלה:

לכן התשובה:
מקסימום: (3.25 , π/3)
מינימום: (3 , 0) , (1 , π)

4. סקיצה:
ראינו כי (g(x בעלת מחזור של 2π. לכן אנו יכולים להסיק מהטבלה הנ"ל פרטים לגבי שאר התחום.
בנוסף, (g(x פונקציה זוגית, ולכן ישנה סימטריה סביב ציר y. (ציר y מהווה "מראה").

ד.

  1. תחום הגדרה:
    נשים לב כי   (h(x) = 1 / g(x.
    בסעיף ב' ראינו כי g(x)≠ 0 לכל x.
    לכן המכנה של הפונקציה (h(x אינו מתאפס,
    ולכן תחום ההגדרה הוא לכל x.
  2. סקיצה:
    נסיק מסקנות מסעיף א' – כאשר (g(x עולה , (h(x יורדת – וגם להפך.
    בנוסף, שיעורי ה – x של נקודות הקיצון זהים בין הפונקציות, ההבדל הוא בסוג נקודות הקיצון.

חורף 2018 שאלה 6

חקרו את הפונקציה

בתחום: 

א.
1. תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של פונקציית השורש – הביטוי שבתוך השורש מוכרח להיות אי שלילי (כלומר או חיובי או אפס).
במקרה שלנו, השורש נמצא במכנה, ולכן כאשר הביטוי שבתוך השורש מתאפס הפונקציה אינה מוגדרת.
כלומר – הביטוי שבתוך השורש מוכרח להיות חיובי.
cos(x) > 0
הפונקציה cos חיובית בתחום :   –  זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

2. אסימפטוטות:
cos(x) = 0 עבור x = π/2  וגם  x = -π/2.
לכן, כאשר x שואף לערכים אלו, המכנה ישאף ל – 0, ואילו המונה ישאף למספר קבוע שאינו 0.
לכן הפונקציה תשאף לאינסוף – כלומר, אלו אסימפטוטות אנכיות.

תשובה: הישרים   x = π/2  ,  x = -π/2  הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.

3. תחומי עלייה וירידה:
ראשית, נבדוק האם לפונקציה יש נקודות קיצון:
(שימו לב כי זוהי נגזרת של מנה בשילוב של פונקציה מורכבת – יש שורש במכנה).

הביטוי שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.

נכפול את המשוואה ב – 2*cosx√:
2cos2x + sin2x = 0
למשוואה זו אין פתרון, מכיוון שאנו מחברים שני ביטויים שבהכרח חיוביים (כי מועלים בריבוע),
אזי התוצאה אינה יכולה להיות אפס.

לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

נציב נקודה כלשהי בנגזרת על מנת לבדוק האם הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.
(אין נקודות אי הגדרה בתוך התחום, ולכן הפונקציה בהכרח רציפה , ולא יהיו שינויים בסימן הנגזרת).
f ' (0) = 1 > 0

תשובה: הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

4. סקיצה:

ב.

בתחום:  

  1. תחום הגדרה:
    בדומה לתחום ההגדרה בסעיף א', גם כאן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה חיובי.
    sinx > 0  בתחום :    –  זהו תחום ההגדרה.
  2. על מנת להוכיח זאת, נפתח את הביטוי : (f(x – π/2-  , ונראה כי הוא שווה ל – (g(x.

    – (sin(x היא פונקציה אי זוגית, ולכן sin(-x) = -sinx
    – (cos(x היא פונקציה זוגית, ולכן cos(-x) = cosx

    מש"ל.
    – השתמשנו בזהויות:
    (cos(π/2 -x) = sin(π/2
    (sin(π/2 -x) = cos(π/2
  3. סקיצה:

מהמשוואה שהוכחנו בסעיף הקודם נוכל להסיק כי (g(x תהיה מוזזת ימינה ב – π/2 ביחס ל – (f(x.
בנוסף, מכיוון שסימנן הפוך (אחת היא מינוס של השניה) , (g(x תהיה הפוכה ביחס לציר x.

ג.

מתקיים:  (f(-x) = -f(x.
לכן, הפונקציה (f(x היא פונקציה אי – זוגית.

גבולות האינטגרל הנתון הם סימטריים ביחס לציר y (כלומר במרחק שווה מציר y).
מכיוון שהפונקציה אי – זוגית, שני השטחים משני צידי ציר y יהיו שווים לחלוטין.
ההבדל ביניהם הוא שאחד מעל ציר x (חיובי) והשני מתחתיו (שלילי).
לכן הם יבטלו אחד את השני, וערך הביטוי יהיה 0.

הדגמה בעזרת הסקיצה:
ניתן לזהות מהגרף כי שני השטחים זהים פרט להיותם בצדדים שונים של ציר x.

 

 

קיץ 2017 שאלה 6

f (x) = 2sin x / cos ³x

חלק 1: תחום הגדרה
הפונקציה מגדרת כאשר המכנה שונה מ 0.
cos ³ x= 0
cos x = 0
x=π/2 +πk (כאשר k הוא מספר טבעי שלם).
הפונקציה מוגדרת כאשר x≠π/2 +πk.

חלק 2: נקודות חיתוך עם הצירים
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה X נציב Y=0
2sin x / cos ³x = 0
2sin x =0
sin x =0
x=πk
(0, πk)

על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נציב x=0
2sin 0 / cos³ 0 = 0
(0, 0)

חלק 3: אסימפטוטת אנכיות.
כאשר x שואף ל x=π/2 +πk ערך המונה שואף ל 0 ואילו המונה שואף למספר חיובי כאשר x=π/2 +2πk ולמספר שלילי כאשר x=3π/2 +2πk.
לכן הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף בנקודות הללו והישרים x=π/2 +πk הם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.

חלק 4: תחומי עליה וירידה
f (x) = 2sin x / cos ³x
נגזרת המכנה היא cos6x והיא חיובית תמיד ולכן לא משפיעה על סימן הנגזרת. לכן אגזור מכאן אגזור את המונה בלבד.
בבחינה כאשר אתם גוזרים את המונה בלבד עליכם לרשום ולסמן זאת בצורה בולטת.
f ' (x) = 2cos x *cos ³x –  3cos²x (-)sinx * 2sin x = 2cos 4x + 6cos²x sin²x  (נגזרת מונה בלבד).
(f ' (x) =  2cos 4x + 6cos²x sin²x=2cos ²x(cos²x+ 3sin²x  (כאשר cos²x=0 הפונקציה אינה מוגדרת. הביטוי שבתוך הסוגריים מורכב משני ביטויים בחזקה זוגית שאינם מתאפסים בו זמנית ולכן הביטוי חיובי תמיד.
לכן הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה והפונקציה עולה בכול תחום ההגדרה  x≠π/2 +πk.

סעיף ב: שרטוט סקיצה

סקיצה של הפונקציה f (x) = 2sin x / cos ³x בתחום ההגדרה

סקיצה של הפונקציה f (x) = 2sin x / cos ³x בתחום ההגדרה

 

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “חקירת פונקציות טריגונומטריות 5 יחידות

  1. עדן

    הי אני בכיתה יא (5 יחידות מתמטיקה)
    דבר ראשון אני פשוט חיבת להגיד ממש תודה תודה תודה! האתר הזה מדהים, יש בו הרבה חומרים שעוזרים לי מאוד!!! וללא מטרות רווח, אני מאוד מעריכה את כל ההשקעה!!!!!!!!!
    ודבר שני יש לי שאלה- אני לא הבנתי איך פותרים את המשוואה:
    y=cos x -cos ^2 x בתחום בין מינוס פאי לפאי

    ממש ממש ממש תודה מראש!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    ( חח יצא לי קצת חנפני אבל זה באמת מה שאני חושבת(: )

    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום עדן.
      תודה על המחמאות.
      התרגיל שלך נפתר על ידי הוצאת גורם משותף, הגורם המשותף הוא cos x.
      ואני מניח שאת צריכה להשוואות את הביטוי ל 0.
      cos x -cos ^2 x = 0
      cos x (1 – cosx) = 0
      יש שתי אפשרויות פתרון:
      cos x =0
      ואז x=90 או x = -90 בתחום.
      או
      cos x = 1
      ואז x= 0, x= 180, x = -180
      (אם שתי הנקודות האחרונות נמצאות בתחום ההגדרה, הפתרון נכתב במעלות).
      על מנת לפתור את התרגיל את היית צריכה לדעת קצת על הערכים הבסיסים של קוסינוס, מתי קוסינוס שווה ל 1 או 0.
      וגם על המחזוריות של קוסינוס, מתי הערכים שלו חוזרים על עצמם.
      מקווה שעזר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.