4 סוגים של בעיות תנועה עם פגישה לתלמידי 5 יחידות

לרוב שאלות בעיות תנועה בבגרות 5 יחידות הן שאלות הכוללות "פגישה" וגם "המשך תנועה לאחר הפגישה".

בדף זה נחלק את הבעיות הללו ל 4 סוגים ונסביר מה הוא המפתח לפתרון כל סוג.

החלקים של דף זה הם:

  1. 4 הסוגים של בעיות פגישה.
  2. 6 תרגילים עם פתרונות מלאים.
  3. פתרונות מלאים לשאלות מהבגרות.

הדף מיועד לתלמידי 5 יחידות הקרובים ברמתם לרמה הנדרשת בבגרות.
אם אתם לא שם וצריכים חזרה תוכלו למצוא אותה בדף בעיות תנועה הכולל קישורים לדפים מסוגים שונים.

הערה
הסוגים שתלמדו כאן ובמיוחד סוגים 1-2 הם סוגים נפוצים של בעיות ובוודאי תתקלו בהם בשיעורי הבית ואולי גם במתכונת או בבגרות.

אם זאת ניכר שמשרד החינוך עושה מאמץ לגוון בשאלות הבגרות ושתי שאלות הבגרות האחרונות היו שונות.
בבגרות קיץ 2018 מועד א נשאלה שאלה המבוססת על סוג 2 שתלמדו כאן אך הוסיפו לה קושי וזו שאלה מעניינת שאני ממליץ לכולם ללמוד ולקרוא יותר מפעם אחת.
בבגרות קיץ 2019 מועד ב נשאלה שאלה שהיא לא שאלת "פגישה" והיא הייתה קלה יחסית.

4 סוגים של בעיות פגישה

סוג 1: לאחר הפגישה אחד או שני כלי הרכב חוזרים לנקודה ממנה יצאו

כאשר אחד מכלי הרכב חוזר לאחר הפגישה לנקודה ממנה הוא יצא אנו יכולים לכתוב כי הדרך הלוך והדרך חזור שלו שוות.
בדרך כלל בשאלות הללו נוכל לחשב רק הדרך רק באחד משני הכיוונים אבל נצטרך להשתמש בביטוי המייצג את הדרך בשני הכיוונים.

בשרטוט זה כלי הרכב הירוק והשחור נפגשו. הירוק חזר לנקודת המוצא והשחור המשיך לנקודה B.
לכן האורך של קטעים 1,2,3 שווים.

דוגמה
מכונית יצאה מאשדוד לחיפה ומשאית יצאה מחיפה לאשדוד.
מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית.
שני כלי הרכב נפגשו כעבור שעתיים.
לאחר פגישה המכונית המשיכה לחיפה באותה מהירות ואילו המשאית חזרה לחיפה במהירות הנמוכה ב 10 קמ"ש ממהירותה ההתחלתית.
המכונית הגיעה לחיפה 64 דקות לפני המשאית.
חשבו את מהירות המכונית ומהירות המשאית.

הרעיון של הפתרון
המשפט "המכונית הגיעה לחיפה 64 דקות לפני המשאית" הוא המשפט המתאר את המשוואה.
והוא אומר שהמשוואה תראה כך:

פתרון
נגדיר
v  מהירות המשאית בקמ"ש.
v + 30  מהירות המכונית בקמ"ש.

הדרך שעברה המשאית עד הפגישה היא:
2v
וזו גם הדרך של המכונית והמשאית לאחר הפגישה.

לכן זמן נסיעת המשאית לאחר הפגישה הוא:

זמן הנסיעה של המכונית לאחר הפגישה הוא:

ידוע כי המכונית נסעה 64 דקות פחות.
64 דקות בשעות הם:

ולכן המשוואה היא:

כאשר נכפיל במכנה המשותף שהוא
v+ 30) (v – 10) * 15)
נקבל משוואה ריבועית שפתרונה יהיה
v = 60

שימו לב
בשאלה זו לא השתמשנו בנקודת הפגישה עצמה כמשוואה.
וזה בגלל שלא היה מידע על הדרך כולה. אם למשל היינו יודעים כי הדרך כולה הייתה 700 ק"מ היינו כותבים:
2v + 2(v +30) = 700
או שהיו כותבים שהמכונית עברה דרך כפולה מהמשאית אז היינו כותבים:
(2v * 2 = 2(v + 30
בגלל שלא היה לנו מידע מסוג זה המשוואה היחידה שבנינו היא לגבי מה שהיה אחרי.

בשאלות אחרות יכולים לא לתת לנו את המידע לגבי הזמן (2 השעות) שנתנו לנו כאן. ולהוסיף לנו מידע כמו שכתוב למעלה כך שנוכל לבנות משוואה.

סוג 2: כאשר באים בכיוונים מנוגדים וממשיכים הלאה
הדרך שאחד עובר עד הפגישה שווה לדרך שהשני עובר לאחר הפגישה

הניסוח של המצב הזה קצת מסורבל, ולא עושים בו הרבה שימוש.
אבל לפעמים הוא הכרחי למציאת פתרון.

שרטוט הדרך

הנקודה הכחולה היא נקודת הפגישה.
חצים 1,2 מסמנים את תנועה המשאית, חצים 3,4 מסמנים את תנועת המכונית.

המשוואות שאנו יכולים לבנות במקרה הזה הן:
המרחק שהמשאית עברה בחץ 1 שווה למרחק שהמכונית עברה בחץ 4.
המרחק שהמשאית עברה בחץ 2 שווה למרחק שהמכונית עברה בחץ 3.

דוגמה
מכונית ומשאית נסעו זו מול זו.
מהירות המכונית הייתה גדולה ב 20 קמ"ש ממהירות המשאית.
שני כלי הרכב נפגשו לאחר 4 שעות.
שני כלי הרכב המשיכו ליעדם והמכונית הגיעה ליעד 1 שעות ו 48 דקות לפני המשאית.
מצאו את מהירות המכונית ומהירות המשאית.

פתרון
נגדיר
v מהירות המשאית בקמ"ש.
v + 20 מהירות המכונית בקמ"ש.

הדרך שהם עברו עד הפגישה:
4v  הדרך של המשאית.
4v + 80  הדרך של המכונית.

זמנים לאחר הפגישה
לאחר הפגישה המשאית נסעה מרחק של
4v + 80
ולכן הזמן שהייתה על הכביש לאחר הפגישה הוא

לאחר הפגישה המכונית נסעה מרחק של
4v
ולכן הזמן שהייתה על הכביש לאחר הפגישה

ידוע שהמכונית נסעה פחות 1 שעות ו 48 דקות.
נהפוך את הזמן הזה לשעות:

לכן המשוואה תהיה:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא:
v(v +20) *5

נקבל משוואה ריבועית וכאשר נפתור אותה נקבל
v = 80.

סוג שלישי: שתי פגישות

כלי רכב בכיוונים מנוגדים, נפגשים, ממשיכים ונפגשים שוב לאחר שכל אחד הגיע ליעדו

מכונית יצאה מתל אביב לאילת ומשאית יצאה מאילת לתל אביב.
מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית.
שני כלי הרכב נפגשו כעבר 4 שעות והמשיכו בדרכם.
המכונית הגיעה לאילת ומיד חזרה לתל אביב.
המשאית הגיעה לתל אביב ומיד חזרה לאילת.
שני כלי הרכב נפגשו שוב.
כמה זמן עבר מתחילת הנסיעה ועד הפגישה השנייה?

פתרון
הנתון:
"מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית" אינו עוזר לפתרון השאלה וניתן על מנת לבלבל אותכם.

הרעיון של הפתרון הוא זה:
עד הפגישה הראשונה שני כלי הרכב עברו ביחד את הדרך כולה ועשו זאת תוך 4 שעות.
עד הפגישה השנייה שני כלי הרכב עברו את כל הדרך 3 פעמים. ומכוון שנסעו באותה מהירות הם גם צריכים לעשות זאת בזמן כפול.
לכן מהפגישה הראשונה ועד הפגישה השנייה עברו עוד 8 שעות.

ניתן לראות זאת בתרשים:
(החצים המקווקווים מתארים את התנועה לאחר הפגישה.
האדום – מכונית,  הירוק – משאית).

סוג 4: שני כלי רכב נוסעים באותו כיוון וכלי הרכב
שמנסים להשיג אותו משנה את המהירות 

בשאלות מסוימות שני כלי רכב יצאו מאותה נקודה ובזמנים שונים.
אחד מכלי הרכב משני את מהירותו כל הזמן.
במקרה כזה יש לבדוק כל קטע בנפרד ולראות האם הם נפגשו בקטע הזה.

דוגמה
הולך רגל יצא מחיפה צפונה במהירות של 6 קמ"ש במשך 3 שעות. שעה נוספת הלך במהירות 7 קמ"ש. ולאחר מיכן המשיך במהירות 8 קמ"ש למשך 4 שעות.
שעתיים אחריו יצא רוכב אופניים במהירות 10 קמ"ש.
מצאו תוך כמה זמן מיציאת הולך הרגל ישיג רוכב האופניים את הולך הרגל.

פתרון
שלב א: נמצא באיזה קטע הם נפגשו
בקטע הראשון של הולך הרגל הוא עבר 18 ק"מ מנקודת ההתחלה. ואילו רוכב האופניים עבר 10. לכן רוכב האופניים לא השיג בקטע זה.

בקטע השני הולך הרגל הגיע ל 25 ק"מ מנקודת ההתחלה ורוכב האופניים ל 20 ק"מ.

בקטע השלישי הולך הרגל הגיע ל 57 ק"מ ואילו רוכב האופניים ל 60. לכן הם נפגשו בקטע זה.

שלב ב: מציאת נקודת הפגישה המדויקת מתחילת הקטע השלישי
נגדיר:
t  הזמן מתחילת הקטע השלישי ועד שנפגשו.
בתחילת הקטע השלישי רוכב האופניים היה 5 ק"מ מאחורי הולך הרגל.
לכן רוכב האופניים היה צריך לעבור 5 ק"מ יותר מהולך בזמן t.
והמשוואה היא:
10t = 8t + 5
t = 2.5
רוכב האופניים השיג את הולך הרגל 2.5 שעות לאחר תחילת הקטע השלישי שהם 6.5 שעות מיציאת הולך הרגל אל הדרך.

תרגילים

מצורפים 6 תרגילים כהכנה לבגרות ולאחר מיכן עוד תרגילים מהבגרות עצמה.
תרגילים 1-2 הם תרגילים דומים, לאחד פתרון כתוב ולשני פתרון וידאו.
תרגילים 3-4 הם תרגילים דומים, לאחד פתרון כתוב ולשני פתרון וידאו.
לתרגיל 5 יש פתרון כתוב ופתרון וידאו.
תרגיל 6 הוא תרגיל שונה מהאחרים ויש לו פתרון כתוב ופתרון וידאו.

בנוגע לשאלות מהבגרות עצמה
השאלה מבגרות 2018 מועד א היא שאלה מיוחדת ואני ממליץ לכולם לפתור אותה.

תרגיל 1: אחד משיג את השני וממשיכים באותו כיוון

משאית נסעה מעיר א לעיר ב מרחק של 480 ק"מ.
1/2 שעה לאחר מיכן יצאה מכונית אשר השיגה את המשאית כעבור 1 שעה (מאז שהמכונית יצאה). כלי הרכב המשיכו בדרכם והמכונית הגיעה 1.5 שעות לפני שהמשאית הגיעה ליעד.
מצאו את מהירויות המשאית והמכונית.

פתרון
הרעיון
כאשר אנו קוראים את השאלה אנו צריכים לזהות שתי משוואות:
1.משוואה ראשונה היא נקודת הפגישה. בנקודה זו אנו יודעים שהדרך ששני כלי הרכב  עברו היא דרך שווה.
2. משוואה שנייה היא נקודת ההגעה של המכונית ליעד. בנקודה זו אנו יודעים על קשר בין זמני הנסיעה של המכוניות.

הגדרת משתנים 
אנחנו צריכים את המהירויות של שני כלי הרכב.
ואין קשר קל בין המהירויות הללו. לכן נגדיר את המהירויות בעזרת שני משתנים.
x מהירות המשאית בקמ"ש.
y מהירות המכונית בקמ"ש.

משוואה ראשונה
במועד הפגישה הראשונה המשאית נסעה 1.5 שעות והמכונית נסעה 1 שעות. הדרך ששני כלי הרכב עברו הייתה שווה לכן המשוואה הראשונה היא:
1.5x = 1y

משוואה שנייה
כאשר מסתכלים על כל הדרך הזמנים של המכוניות הם:
480 לחלק ב x: הזמן של המשאית.
480 לחלק ב y: הזמן של המכונית.
סך הכל המכונית נסעה שעתיים פחות מהמשאית.
לכן המשוואה השנייה היא:

480 לחלק ב x שווה ל 480 לחלק ב y ועד 2

כאשר נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים נקבל:
x=80,  y=120.
תשובה: מהירות המשאית היא 80 קמ"ש. מהירות המכונית היא 120 קמ"ש.

תרגיל 2: פתרון תרגיל דומה בוידאו

תרגיל זה הוא תרגיל דומה לתרגיל מספר 1.

תרגיל 3: אחד מול השני

המרחק בין שני מושבים הוא 10 ק"מ. הדס ומיכל הלכו זו לקראת זו ונפגשו כעבור שעתיים. מיכל עוברת 3 ק"מ במשך זמן הקצר ב 30 דקות מהזמן שמיכל עוברת מרחק זה.
חשבו את מהירות ההליכה של הדס ומיכל.

פתרון
הרעיון
כאשר אנו קוראים את השאלה צריך לזהות שתי משוואות.
1.בנקודת הפגישה סכום הדרכים שהם עברו שווה ל 10 ק"מ.
2. עבור המרחק של 3 קילומטר אנו יודעים את הקשר שבין הזמנים שהן עוברות אותו.

הגדרת משתנים
אנחנו צריכים את המהירויות של שתיהן.
ואין קשר קל בין המהירויות הללו. לכן נגדיר את המהירויות בעזרת שני משתנים.
x המהירות של מיכל בקמ"ש.
y  המהירות של הדס בקמ"ש.

משוואה ראשונה
סכום המרחקים ששניהם עברו כעבור שעתיים הוא 10 ק"מ. לכן המשוואה הראשונה היא:
2x+2y= 10.

משוואה שנייה
3 לחלק ב x הוא הזמן שלוקח למיכל לעבור 3 ק"מ.
3 לחלק ב y הוא הזמן שלוקח להדס לעבור 3 ק"מ.
לכן המשוואה השנייה היא:

כאשר נפתור את שתי המשוואות נקבל:
x=3, y=2.
תשובה: 3 קמ"ש זו המהירות של מיכל.
2 קמ"ש זו המהירות של הדס.

תרגיל 4: פתרון תרגיל דומה בוידאו

התרגיל הזה הוא תרגיל הדומה לתרגיל מספר 3.

תרגיל 5: אחד משיג את השני וחוזר אחורה

הולך רגל הלך מירושלים לתל אביב במהירות קבועה.
3 שעות לאחר שהולך הרגל התחיל בדרכו יצא אחריו מירושלים רוכב אופניים במהירות של 15 קמ"ש.
הולך הרגל ורוכב האופניים נפגשו ורוכב האופניים חזר לירושלים במהירות של 12 קמ"ש ואילו הולך הרגל המשיך לתל אביב במהירות קבועה.
הולך הרגל הגיע לתל אביב 2.5 לאחר שרוכב האופניים חזר לירושלים.
המרחק בין תל אביב לירושלים הוא 60 קילומטר.
מצאו את מהירות הולך הרגל.

פתרון
הרעיון
1.נקודת הפגישה היא משוואה ראשונה.
2.זמן ההגעה הוא משוואה שנייה.
3.כאשר גוף עושה דרך הלוך ושוב משתמשים בכך שהדרך הלוך שווה לדרך חזור.

הגדרת משתנים
נקודת הפגישה של הולך הרגל והמכונית היא משוואה.
עלינו לבחור משתנים שיעזרו לנו לבנות את המשוואה.
המשתנים הם:
v  מהירות הולך הרגל בקמ"ש.
t הזמן שהלך הולך הרגל עד שפגש ברוכב האופניים בשעות.
t – 3 זמן הנסיעה של רוכב האופניים עד שפגש בהולך הרגל.

משוואה ראשונה: נקודת הפגישה
הדרך שהולך הרגל עבר עד הפגישה:
vt.
הדרך שרוכב האופניים עבר עד הפגישה
t-3) * 15)
בנקודת הפגישה המרחק שעברו רוכב האופניים והולך הרגל שווה.
vt = (t-3) * 15

משוואה שנייה: הזמן שעבר לאחר הפגישה
ידוע לנו שלאחר הפגישה רוכב האופניים נסע 1/2 שעה פחות מהולך הרגל.
מידע זה יעזור לנו לבנות משוואה של זמנים.
המשוואה תראה כך:

עכשיו אנו צריכים למצוא את הזמנים של הולך הרגל ורוכב האופניים לאחר הפגישה.
הולך הרגל
הדרך שעבר לאחר הפגישה היא:

מהירות הולך הרגל לאחר הפגישה היא v.
לכן הזמן לאחר הפגישה הוא:

רוכב האופניים
עבר את אותו המרחק לפני ואחרי הפגישה
t – 3)15)
מהירות רוכב האופניים בחזור היא 12 קמ"ש.
הזמן שרוכב האופניים נסע לאחר הפגישה הוא:

ידוע שלאחר הפגישה רוכב האופניים נסע חצי שעה פחות.
לכן נוסיף 2.5 לזמן רוכב האופניים על מנת שיהיה שווה לזמן הולך הרגל.

כאשר נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים נקבל
t = 5  הזמן מיציאת הולך הרגל ועד הפגישה הוא 5 שעות.
v = 6 מהירות הולך הרגל היא 6 קמ"ש.

דרך נוספת
דרך אחרת לבנות את המשוואה השנייה היא להתייחס לדרך כולה.
3. המשוואה השנייה מתייחסת לדרך כולה.

זה הזמן בשעות שלקח להולך הרגל לעבור את הדרך כולה.

נשתמש בכך שהדרך הלוך והדרך חזור של רוכב האופניים היא אותה דרך.
t-3) * 15)   זו הדרך בקילומטרים.
זמן הדרך הלוך הוא:
t – 3
זמן הדרך חזור הוא:

סך כל זמן הנסיעה של רוכב האופניים הוא:

ידוע כי רוכב האופניים הגיע 2.5 שעות מוקדם יותר.
וגם יצא 3 שעות מאוחר יותר.
לכן בסך הכל היה 5.5 שעות פחות על הכביש.

לכן נוסיף לזמן הנסיעה שלו 5.5 על מנת שיהיה שווה לזמן הכולל של הולך הרגל.

תרגיל 6: מכונית משיגה אחרת כאשר המהירות משתנה

שאלה שהופיעה יותר מפעם אחת בבחינות הבגרות דרשה למצוא מתי מכונית אחת משיגה אחרת אבל המהירות של אחת המכוניות אינה קבועה.
בשאלו אלו יש לבדוק עבור כל מהירות בנפרד האם מכונית אחת השיגה אחרת.

שאלה לדוגמה:

משאית יצאה מעיר א לעיר ב. היא נסעה שעה אחת במהירות 60 קמ"ש. שעתיים במהירות 80 קמ"ש ושלוש שעות במהירות 100 קמ"ש.
שעה וחצי לאחר שיצאה המשאית יצאה גם מכונית  מעיר א לעיר ב במהירות של 120 קמ"ש.
מצאו מתי ואיפה המכונית תשיג את המשאית.

פתרון

הרעיון של הפתרון
שאלה זו נפתרת בשני שלבים:
1.מציאת הקטע שבו המכונית משיגה את המשאית. כל שינוי מהירות של המשאית הוא קטע אחר. נוח למצוא זאת בעזרת טבלה אך זו לא חובה.
2. מציאת המיקום המדויק בקטע בו המכונית משיגה את המשאית.

הפתרון עצמו
נבנה טבלה שבה נחשב את המיקום המשאית והמכונית בסיום כל קטע שעוברת המשאית (בכול נקודה שבה המשאית משנה את המהירות).
נשים לב שהמכונית יוצאת בזמן אחר מהמשאית.
לכן זמן נסיעתה בקטע הראשון הוא 0 וזמן נסיעתה בקטע השני הוא 1.5 שעות (ולא שעתיים כמו המשאית).

 משאית (מיקום בסיום הקטע)מכונית (מיקום בסיום הקטע)
קטע ראשון60 = 60 * 10
קטע שני220 = 60 + 2 * 80180 = 1.5 * 120
קטע שלישי520 = 220 + 3 * 100540 = 180 + 3 * 120

 

מצאנו שעד סוף הקטע הראשון המשאית עבר מרחק גדול יותר מהמכונית. לכן המכונית עדיין לא השיגה את המשאית.
עד סוף הקטע השני המשאית עברה מרחק גדול מהמכונית.
רק בקטע השלישי המכונית עברה מרחק גדול מהמשאית ולכן המכונית השיגה את המשאית בקטע זה.

עכשיו עלינו לחשב מתי בקטע השלישי המשאית השיגה את המכונית.
אנו רואים שבתחילת הקטע השלישי המכונית נמצאת 40 קילומטר לאחר המשאית לכן המכונית תעבור 40 קילומטר יותר עד הפגישה.
כמו כן אנו יודעים את המהירויות של המכונית והמשאית.

נגדיר:
t הוא הזמן שעבר בשעות מהרגע שהמשאית הגבירה את מהירותה ל 100 קמ"ש ועד שמכונית פגשה בה.
100t הדרך בק"מ שעברה המשאית.
120t הדרך בק"מ שעברה המכונית.
המרחק בתחילת הקטע השלישי בין המכונית למשאית היה 40 ק"מ לכן הדרך שעברה המכונית ארוכה ב 40 ק"מ מהדרך שעברה המשאית.

המשוואה היא:
120t = 100t +40 / -100t
20t = 40  /:20
t = 2

תשובה סופית
סך הכול זמן הנסיעה של המשאית הוא:
5 = 2 +2 +1
סך הכל מרחק הנסיעה של המשאית הוא:
420 = 2 * 100 + 220
תשובה: המכונית תשיג את המשאית 5 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרכה. 420 ק"מ מנקודת ההתחלה.

עוד באתר:

פתרונות לתרגילים מהבגרות

 קיץ 2018 מועד א

פתרון
הרעיון של הפתרון:
אנו יודעים כמה זמן כלי רכב אחד עבר קטע.
אם נדע מה היחס בין מהירות הרכב השני לרכב זה אז נוכל לדעת כמה זמן לכך לרכב השני לעבור את אותו הקטע.

הגדרת משתנים
t  הזמן שעבר מהיציאה ועד הפגישה בשעות
v המהירות של אמיר.
u  המהירות של משה.

עד הפגישה
vt  המרחק שעבר אמיר עד הפגישה.
ut  המרחק שעבר משה עד הפגישה.

לאחר הפגישה.
אמיר
אמיר עובר את המרחק ut (מה שעבר משה).
המרחק הוא גם 2v.
המשוואה
2v = ut  (משוואה 1)

משה
משה עובר את המרחק vt (מה שעבר אמיר).
המרחק הוא גם 8u
המשוואה:
8u = vt
t = 8u / v  (משוואה 2).

נציב את משוואה 2 במשוואה 1.
2v = u * 8u / v
2v² = 8u²
v² = 4u²
v = 2u
מכוון שמהירויות הם גדלים חיוביים הפתרון v = -2u נפסל.

מצאנו שהמהירות של אמיר כפולה מהמהירות של משה.
לכן אם למשה לכך 8 שעות לעבור את הדרך שאמיר עבר עד הפגישה למשה לקח 4 שעות לעבור את אותה דרך.

תשובה: אמיר ומשה נפגשו בשעה 10.

סעיף ב
v היא מהירותו של אמיר.
אנו יודעים שאמיר רכב 4 שעות עד הפגישה ו 2 שעות לאחר הפגישה. סך הכל 6 שעות
הוא רכב במהירות v ולכן הדרך שעבר היא 6v.
6v זו הדרך בין שתי הנקודות.

חלק שני
אנו יודעים כי זמן נסיעתה של יסמין הוא 2-8 שעות.
הזמן המהיר ביותר הוא 2 שעות. במקרה זה מהירותה היא:
6v : 2 = 3v
הזמן האיטי ביותר הוא 8 שעות. במקרה זה מהירותה היא:
6v : 8 = 0.75v

לכן מהירותה של יסמין גדולה מ 0.75v  וקטנה מ 3v.

קיץ 2017 מועד א

x  המהירות של נוגה בקטע הראשון והאיטי בקמ"ש.
2X המהירות בקטע השני בקמ"ש.
4X המהירות בקטע השלישי בקמ"ש.
8X המהירות בקטע הרביעי בקמ"ש.
8X=40 / :8
X=5
10 קמ"ש בקטע השני, 20, קמ"ש בקטע השלישי.
נגדיר: Y אורכו של המסלול בקמ"ש.
כל מקטע מארבעת הקטעים אורכו 0.25Y.
הזמן שלקח לנגה לעשות את המסלול כולו הוא 3.755 שעות.

נבנה משוואה על ידי חיבור הזמנים:
P = 0.25Y * (0.2 + 0.1 + 0.05+ 0.025) = 0.25Y* 0.375 = 3.75
0.25Y = 10
Y=40
תשובה: אורך המסלול הוא 400 ק"מ.

ב. נחשב את המהירות של דניאל:
2 שעות הוא הזמן
20= 40:2
200 קמ"ש.

המקטע הראשון של נוגה היה 10 ק"מ במהירות 5 קמ"ש.
לכן הוא לקח לה 10:5 = 2 שעות.
היא סיימה אותו בשעה 10 שזה אומר שדניאל היה 1/4 שעה בדרך.
הדרך שדניאל עבר בזמן זה:
5= 20*0.25
לכן הם עדיין לא נפגשו.

הזמן שייקח לנגה לעבור את הקטע השני הוא 10:10 = 1 שעה.
דניאל יעבור בזמן זה 20 ק"מ ולכן ישיג את נגה (הוא רק 5 ק"מ מאחוריה).
נניח כי הם נפגשו כעבור t שעות מהזמן שבו נגה מתחילה את הקטע השני.
מכוון שהמרחק בניהם הוא 5 ק"מ המשוואה היא:
10t +5 = 20t /-10t
10t = 5 /:10
t=0.5
הזמן הוא 1/2 שעה מאז שנגה התחילה את המקטע השני ו 2.5 שעות מאז שהתחילה את המסלול.
תשובה: דניאל ונגה יפגשו ב 10:30 כאשר הם יהיו במקטע השני.

קיץ 2017 מועד ב

נגדיר:
x המרחק בין הנקודות A ו B.
v מהירות הזרם בקמ"ש.
v מהירות הרפסודה כאשר היא שטה עם הזרם.
3v  מהירות סירת המנוע נגד הזרם.
5v מהירות סירת המנוע עם הזרם.

ידוע כי הם נפגשו כעבר 3.75 שעות.
לכן המשוואה הראשונה היא:
3.75v + 3.75*3v = x
15v = x

x-35)/ v) הוא הזמן שבו הרפסודה הייתה על המים.
x / 5v  הזמן שבו סירת המירוץ הייתה בדרך הלוך.
x / 3v הזמן שבו סירת המירוץ הייתה בדרך חזור.

המשוואה היא:
x / 3v + x/ 5v = (x-35) / v
כל המכנים כוללים את v לכן ניתן לצמצם אותו.
x/3 + x/5 = x-35
7x / 15 = 35
x=75

15v= x = 75
v=5
תשובה: מהירות הזרם היא 5 קמ"ש. מהירות סירת המנוע במים עומדים היא 20 קמ"ש.

ב.
נגדיר כ t את הזמן בשעות מהרגע שבו יצאה הרפסודה ועד שהיא נפגשה עם סירת המירוץ.
5t זו הדרך שעברה הרפסודה.

סירת המירוץ הייתה 5 שעות בדרך מ B ל A לכן הזמן שבו הייתה מ A ל B הוא t-5.
הדרך שהיא עברה מ A ועד הפגישה היא: t-5) * 25).
המשוואה היא:
5t = (t-5) * 25
5t = 25t – 125 / +125 -5t
20t = 125
t=6.25

תשובה: עברו 6.25 שעות מיציאת הרפסודה ואז לפגישה השנייה שלה עם סירת המירוץ.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “4 סוגים של בעיות תנועה עם פגישה לתלמידי 5 יחידות

  1. טלי

    האם בתרגיל 4 ( דוגמא לעיל) המשוואה לא צריכה להיות :
    120t=100t+20
    ) במקום פלוס 40)?
    שהרי הדרך ארוכה ב 20 ק״מ

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום טלי.
      המשוואה שרשומה בדף היא הנכונה (40 + ).
      כי כאשר כלי הרכב מתחילים את הקטע האחרון (תחילת תנועה ב 100 קמ"ש) המרחק בניהם הוא 40 ק"מ.
      לדעתי את מתבלבלת עם הנושא שאם כלי הרכב היו נוסעים את כל הקטע האחרון המכונית הייתה משיגה ב 20 ק"מ.
      אבל זה לא חשוב, כי השאלה היא עד נקודת הפגישה שהיא לפני שמכונית משיגה את המשאית.
      אני מקווה שברור.
      בהצלחה בהמשך.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.