הסתברות 581 5 יחידות מתמטיקה

לדף זה 3 חלקים:

  1. קישורים שנועדו ללמד את החומר מהיסוד.
  2. 12 מקרים שכדאי להכיר – אלו 12 ניסוחים מיוחדים ומכשולים שאתם יכולים להיתקל בהם בבחינת הבגרות.
  3. פתרונות לתרגילים מהבגרות.

1.קישורים

באתר זה מספר דפים העוסקים בנושאים שונים של הסתברות.
דפי הכנה ברמת 4 יחידות:

  1. שיעור 1: יסודות ההסתברות.
  2. שיעור 2: הסתברות כיתה ט
  3. שיעור 3: הסתברות של שני מאורעות.
  4. שיעור 4: דיאגרמת עץ.
  5. שיעור 5: הסתברות מותנית. וגם (הסתברות מותנית הסבר אישי).
  6. שיעור 6: בעיות הוצאה והחזרה.
  7. שיעור 7: טבלה דו ממדית סיכום. וגם (עץ או טבלה?)
  8. שיעור 8: נוסחת ברנולי (סיכום ברמת 4 יחידות).

דפים ברמת 5 יחידות:

  1. תרגילים בהסתברות 5 יחידות (ללא ברנולי וטבלה).
  2. נוסחת ברנולי 5 יחידות.
  3. טבלה דו ממדית תרגילים מהבגרות.

12 ניסוחים ומכשולים שכדאי להכיר

מופיעים כאן 12 ניסוחים ומכשולים שכדאי להכיר אותם.
5 בניסוחים הראשונים קשורים לחישובי הסתברות וברנולי.
7 הניסוחים שלאחר מיכן קשורים לטבלה דו ממדית.

תרגיל 1 
שחקן כדורסל זורק לסל 4 פעמים.
ההסתברות לקליעה בזריקה בודדת היא 0.6.
מה ההסתברות לקלוע 2 סלים אם ידוע כי בזריקה השלישית הוא פספס?

פתרון
כיצד נתייחס לנתון שהוא פספס בזריקה השלישית?
נתעלם מזריקה זו ונתייחס לשאלה כאילו מבקשים מאיתה שיקלע 2 מתוך 3 זריקות שנותרו.

ניתן לחשב בעזרת ברנולי, אבל לא חובה.
קליעה של 2 מתוך 3 זה אומר פספוס יחיד בזריקה הראשונה או פספס בשנייה או פספוס בשלישית.
עבור שלושת המצבים הללו ההסתברות היא אותה הסתברות.
למשל עבור פספוס בראשון וקליעה בזריקה השנייה והשלישית נחשב:
0.144 = 0.6 * 0.6 * 0.4

ההסתברות המבוקשת היא 3 פעמים ההסתברות הזו:
0.432 = 0.144 * 3
תשובה: ההסתברות היא 0.432.

תרגיל 2
סיכוי צלף לפגוע במטרה הוא 0.1.
כדי שהמשימה תושלם על הצלף לפגוע 3 פעמים במטרה.
מה ההסתברות שהמשימה תושלם בדיוק בניסיון החמישי?

פתרון
על מנת שזה יקרה:
הצלף צריך לפגוע ב 2 מתוך 4 הניסיונות הראשונים ואז לקלוע בפעם החמישית.
נחשב את ההסתברות לקליעה של 2 מתוך 4 ואז נכפיל הסתברות זו בהסתברות לקלוע בפעם החמישית.
אנו מתייחסים לזה כאל שני מאורעות.

בעזרת נוסחת ברנולי נחשב את ההסתברות לפגוע 2 מ 4.
המקדם הבינומי יוצא 6.
לכן ההסתברות ל 2 מ 4 היא:
0.0486 = 0.1²*0.9²* 6

הצלף צריך לפגוע בניסיון החמישי: ההסתברות לכך היא 0.1.
לכן ההסתברות הסופית היא:
p= 0.0486 *0.1 = 0.00486

תרגיל 3
צלף יורה על מטרה שמסומנים עליה 3 מספרים: 5,10,15.
ההסתברות לפגוע במספר 5 היא 0.5. ההסתברות לפגוע במספר 10 היא 0.1. ההסתברות לפגוע במספר 15 היא 0.4.
הצלף יורה 6 פעמים. מה ההסתברות שיפגע 5 פעמים בספרה 5 ועוד פעם אחת במספר 10?

פתרון
מה מיוחד בשאלה הזו?
בדרך כלל כאשר יש מספר ניסויים רב אני משתמשים בנוסחת ברנולי.
אבל נוסחת ברנולי מתאימה למצב שבו יש הסתברות שווה בכול הניסיונות.
בנוסחת ברנולי יש שתי אפשרויות בלבד, הצלחה או כישלון.
בשאלה זו יש 3 אפשרויות. כאשר 2 מיהן יכולות להיות "הצלחה".

לכן נפתור תרגיל מסוג זה "בעזרת ההיגיון":
יש 6 דרכים בהם הצלף יכול לפגוע 5 פעמים בספרה 7.

בפעם החסרה הוא צריך לפגוע ב 10.
דבר שההסתברות שלו היא 0.1
לכן המשוואה הפותרת את התרגיל הוא:
p = 6*0.55*0.1 = 0.01875

תרגיל 4
בכיתה חיפאית 0.2 מהתלמידים מגיעים ממורדות הכרמל והשאר מגיעים ממעלי הכרמל.
0.75 מאלו שמגיעים ממעלי הכרמל נוסעים באוטובוס לבית ספר והשאר מגיעים ברגל.
מספר התלמידים המגיעים ברגל ממורד הכרמל הוא רבע ממספר התלמידים המגיעים באוטובוס ממעלי הכרמל.
שאר התלמידים ממורד הכרמל מגיעים באוטובוס.

  1. אם דוגמים תלמיד ממורד הכרמל, מה ההסתברות שהוא מגיע ברגל?

פתרון
מה מיוחד בניסוח של שאלה זו?
אנו רגילים שבענפים התחתונים של דיאגרמת עץ נותנים לנו את הקשר אל הענפים הנמצאים מעל.
אבל בשאלה זו נותנים לנו קשר בין שני ענפים תחתונים.

הנתון המיוחד בשאלה זו הוא שענף 4 הוא 1/4 מענף 1.

לכן על מנת למצוא את ענף 4 נחשב את ענף אחד.
0.6 = 0.75 * 0.8

ההסתברות לתלמיד ההולך ברגל ומגיע ממורדות הכרמל היא:
0.15 = 4 : 0.6

נגדיר:
x – אם אדם מגיע ממורדות הכרמל אז זו ההסתברות שהוא הולך ברגל.
לכן המשוואה של ענף 4 היא:
0.2x = 0.15
x = 0.75

וזו גם התשובה לשאלה ששאלו אותנו: אם דוגמים תלמיד ממורד הכרמל ההסתברות שהוא הולך ברגל היא 0.75.

תרגיל 5 (ברנולי)
צלף יורה 4 פעמים למטרה. ידוע כי ההסתברות לפגוע 4 פעמים במטרה קטנה פי 9.333 מההסתברות לפגוע בדיוק 3 פעמים במטרה.

  1. מה הסתברות לפגוע במטרה? (הניחו כי ההסתברות לפגוע שונה מ 0).
  2. מה ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת במטרה?
  3. אם ידוע כי הצלף פספס לכול היותר פעם אחת. מה ההסתברות שהוא פגע בכול 4 היריות?

פתרון

נגדיר p כהסתברות לפגוע במטרה בירייה בודדת.
p4 זו ההסתברות לפגוע במטרה 4 פעמים.
(4p³(1-p זו ההסתברות לפגוע במטרה 3 פעמים (על פי נוסחת ברנולי, וניתן להגיע לכך גם בהגיון).
המשוואה היא:
4p³(1-p) = 9.333p4
4-4p = 9.333p
4=13.333p
p = 0.3
תשובה: ההסתברות לפגוע במטרה בירייה בודדת היא 0.3.

סעיף ב.
"לפחות פעם אחת" זה אומר 1,2,3,4 פעמים. ההסתברות המשלימה, והקלה יותר לחישוב, היא לפגוע 0 פעמים.
0.74= 0.2401   זו ההסתברות לפספס 4 פעמים.
ההסתברות המשלימה היא:
1-0.2401 = 0.7599
תשובה: ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא 0.7599.

סעיף ג.
זו שאלה בהסתברות מותנית.
"פספס לכול היותר פעם אחת" זה אומר שהוא פגע 3 או 4 פעמים.
0.34 = 0.0081  זו ההסתברות לפגוע 4 פעמים.
0.3³*0.7*4 = 0.0756 זו ההסתברות לפגוע 3 פעמים.
p = 0.0081 / 0.0756 = 0.107
תשובה: 0.107.

נושאים הקשורים לטבלה דו מימדית

נעבור על הנושאים הבאים:

  1. ניסוחים או מצבים מיוחדים בטבלה.
  2. מאורעות תלויים ובלתי תלויים בטבלה.
  3. עבודה עם משתנים בטבלה.

תרגיל 6: חישוב של הסתברות של יותר משורה או טור בטבלה
בארגז פירות יש פירות מתוקים או לא מתוקים ומהצבעים לבן, אדום, צהוב.
ההסתברות לדגום כל פרי מוצגת בטבלה הבאה.

  1. מה ההסתברות לדגום פרי לא מתוק או אדום?
  2. ידוע כי דגמו פרי לא מתוק או אדום. מה ההסתברות שהפרי לבן?
לבןאדוםצהוב
מתוק0.10.30.150.55
לא מתוק0.20.10.150.45
0.30.40.3

פתרון
סעיף א
ההסתברות לדגום לא מתוק היא 0.45.
להסתברות זו יש להוסיף את "אדום וגם מתוק" שהיא 0.3.
0.75 = 0.3 + 0.45
תשובה: 0.75 זו ההסתברות לדגום אדום או מתוק.

סעיף ב
זו שאלת הסתברות מותנית.
מתוך ההסתברות ל "אדום או לא מתוק" ההסתברות ללבן היא 0.2.
לכן, על פי נוסחת ההסתברות המותנית נקבל:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

P =  0.2 : 0.75 = 0.266
תשובה: אם ידוע שדגמו "לא מתוק או אדום" ההסתברות שדגמו לבן היא 0.266.

תרגיל 7: היכרות עם מצב מיוחד בטבלה
בחלק זה נדבר על מצב מיוחד. את המסקנה שנקבל ממצב מיוחד זה אתם צריכים להוכיח בכול פעם שתרצו להשתמש בו.
זה לא משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

שימו לב כי אם בטבלה המלבנים הללו שווים

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.3
נכשל במתמטיקה0.3

אז חייב להתקיים
(P (A) = P (B
כלומר ההסתברות לעובר באנגלית חייבת להיות שווה להסתברות לעובר במתמטיקה.

ולמה זה כך?
נגדיר:
P (A∩B) = x
במקרה זה הטבלה תראה כך:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקהx0.3x + 0.3
נכשל במתמטיקה0.3
x + 0.3

ונקבל:
P (A) = P (B)  = x + 0.3

שימו לב שגם שאם שני המלבנים הללו שווים אז מתקיים:
(¯P (A) = P (B

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.3
¯B נכשל במתמטיקה0.3

מוכיחים זאת על ידי הגדרה:
P (A∩B¯) = x
ואז הטבלה נראית כך:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.3
¯B נכשל במתמטיקהx0.3x + 0.3
x + 0.3

תלות ואי תלות בין מאורעות בטבלה דו ממדית

נושא זה הוא לרוב נושא מבלבל – בגלל הניסוחים שלו.
אני ממליץ לכם ללמוד אותו כשאתם רעננים ומוכנים ללמידה קשה.

נזכיר: מאורעות בלתי תלויים אלו הם מאורעות שאם אנו יודעים שמאורע אחד התרחש אז הוא לא משפיע על ההסתברות שהשני התרחש.

בשפה מתמטית נכתוב שהמאורעות A,B הם לא תלויים אם:
(P (A / B) = P(A
הנוסחה למאורעות תלויים היא:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
כאשר נציב בה את הנוסחה הראשונה נקבל:
(P (A ∩ B) = P (A ) * P (B

לסיכום
על מנת להוכיח שמאורעות בלתי תלויים אנו נראה שאחת משתי הנוסחאות נכונה:
(P (A / B) = P(A
(P (A ∩ B) = P (A ) * P (B

בנושא אי תלות וטבלה יכולים לשאול אותכם 3 שאלות.
לדעתי 2 השאלות האחרונות מתאימות לרמת 5 יחידות בלבד.

  1. יגידו לכם שהמאורעות בלתי תלויים ויבקשו ממכם לבנות טבלה.
  2. יציגו לכם טבלה חלקית ויבקשו ממכם להשלים אותה כך שהמאורעות יהיו בלתי תלויים.
  3. יציגו לכם טבלה מוכנה וישאלו האם המאורעות בלתי תלויים.

1.ידוע שהמאורעות בלתי תלויים השלימו טבלה

כאשר בשאלה אומרים לנו שיש אי תלות בין המאורעות A,B אז אנו נשתמש בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A ) * P (B
לעומת מקרה של תלות בין המאורעות A,B שבו אנו משתמשים בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B

דוגמה
ההסתברות לעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.7.
ההסתברות לעבור את המבחן באנגלית היא 0.8.
שתי ההסתברויות הללו הן בלתי תלויות.
בנו טבלה והשלימו אותה.

פתרון
נגדיר:
P (A) = 0.8  עובר באנגלית.
P (B) = 0.7  עובר במתמטיקה.

זו הטבלה שניתן לבנות עוד לפני שביצענו חישוב כלשהו.

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.7
נכשל במתמטיקה0.3
0.80.2

מכוון שאמרו לנו שההסתברויות בלתי תלויות אנו יכולים לבצע את החישוב:
(P (A ∩ B) = P (A ) * P (B
P (A ∩ B) = 0.8 * 0.7 = 0.56
נשלים את המלבן הבא בטבלה:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.560.7
נכשל במתמטיקה0.3
0.80.2

ומכאן אנו יכולים להשלים את הטבלה כולה:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.560.140.7
נכשל במתמטיקה0.240.060.3
0.80.2

2.מוצגת טבלה חלקית השלימו אותה כך שהמאורעות יהיו בלתי תלויים

נתונה טבלה.
בטבלה מוצגים מספר תלמידים שנכשלו  או עברו במבחנים במתמטיקה ואנגלית.
השלימו את השורה "נכשל במתמטיקה" כך שלא תהיה תלות בין "עובר מתמטיקה" לבין "עובר אנגלית"

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה15520
נכשל במתמטיקה16

פתרון
נגדיר x נכשל במתמטיקה.

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה15520
נכשל במתמטיקהx16

ואז נשתמש בנוסחה:
(P (A / B) = P(A

x = 12
ומכאן ניתן להשלים את בניית המשוואה.

3.נתונה טבלה, האם המאורעות שבה הם בלתי תלויים

הטבלה הבאה מציגה מספרים של תלמידים (לא הסתברויות) אשר ניגשו למבחן באנגלית ומתמטיקה.
האם "עובר במתמטיקה" הוא מאורע תלוי ב "עובר באנגלית"?

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה18826
נכשל במתמטיקה10616
2814

פתרון
על מנת שהמאורעות יהיו בלתי תלויים צריך להתקיים:
(P (A / B) = P(A

זו משוואה לא נכונה, לכן הטבלה מיצגת מאורעות תלויים.

דרך 2 לפתרון
נראה האם הנוסחה של מאורעות בלתי תלויים מתקיימת בטבלה:
(P (A ∩ B) = P (A ) * P (B

שימוש במשתנים בטבלה

בחלק מהתרגילים נשתמש במשתנים על מנת לבנות טבלה.
שימו לב
יש שתי אפשרויות עיקריות לבחירת משתנים.

1.הגדרת משתנה שהוא מלבן פנימי בטבלה.
למשל:
P (A∩B) = x

2.הגדרת משתנה שהוא סכום של טור או שורה בטבלה
למשל:
P (A) = y
זה הסוג היותר קשה להבנה, שימו לב לדוגמה בהמשך.

A
Bx
y

דוגמה 1
ההסתברות לעבור את המבחן באנגלית היא 0.8.
ההסתברות לעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.7.
ידוע כי ההסתברות לדגום תלמיד שעבר את המבחן במתמטיקה וגם את המבחן באנגלית גדולה פי 3 מההסתברות לדגום תלמיד שכבר את המבחן באנגלית אבל נכשל במבחן במתמטיקה.
בנו טבלה המתאימה לנתוני השאלה.

פתרון
זו הטבלה הבסיסית

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.7
¯B נכשל במתמטיקה0.3
0.80.2

עכשיו נשתמש במשפט: "ההסתברות לדגום תלמיד שעבר את המבחן במתמטיקה וגם את המבחן באנגלית גדולה פי 3 מההסתברות לדגום תלמיד שכבר את המבחן באנגלית אבל נכשל במבחן במתמטיקה".
P (A∩B¯) = 3x
ולכן
P (A∩B) = x

נציב את הנתונים הללו בטבלה:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה3x0.7
¯B נכשל במתמטיקהx0.3
0.80.2

המשוואה היא
3x + x = 0.8
x = 0.2
ומכאן ניתן להשלים את הטבלה כולה.

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.60.10.7
¯B נכשל במתמטיקה0.20.10.3
0.80.2

 

דוגמה 2
ההסתברות לעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.7.
ההסתברות להיכשל במתמטיקה אם עברת את המבחן באנגלית היא 0.25.
ידוע כי ההסתברות להיכשל באנגלית ולעבור במתמטיקה שווה להסתברות להיכשל באנגלית ולהיכשל במתמטיקה.
כתבו טבלה המתאימה לנתוני הבעיה.

רמז לפתרון
אנו יודעים את ההסתברות ל "עובר במתמטיקה" אבל לא יודעים את ההסתברות ל  "עובר באנגלית".
לכן עלינו לבחור את ההסתברות הזו כמשתנה.

פתרון
על מנת להשתמש במשפט "ההסתברות להיכשל במתמטיקה אם עברת את המבחן באנגלית היא 0.25".
עלינו לבחור את ההסתברות ל "עובר באנגלית כמשתנה".
x  ההסתברות לעבור את המבחן באנגלית.

נשתמש במשפט "ההסתברות להיכשל במתמטיקה אם עברת את המבחן באנגלית היא 0.25".
ועל פי הנוסחה:
(P (A ∩ B¯) = P (B¯ / A) * P (A
P (A ∩ B¯) = 0.25x
כך תראה הטבלה עם הנתונים היסודיים הללו.

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.75x0.7
¯B נכשל במתמטיקה0.25x0.3
x

נשלים את הטבלה:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.75x0.7
¯B נכשל במתמטיקה0.25x0.3
x

על מנת לבנות משוואה נשתמש במשפט:
"ידוע כי ההסתברות להיכשל באנגלית ולעבור במתמטיקה שווה להסתברות להיכשל באנגלית ולהיכשל במתמטיקה".
לכן המשוואה היא:

x = 0.8
ולאחר שמצאנו את x אנו יכולים לכתוב טבלה מספרית.

פתרונות לשאלות מהבגרות

עברתי על 15 בחינות הבגרות האחרונות בשנים 2015-2019.
הבחינות הללו היו בנושאים הבאים:

  1. טבלה: קיץ 2019 מועד ב,   חורף 2019,  קיץ 2018 (או עץ).  קיץ 2016 (טבלה עם חישוב מקדים).
  2. בניית משוואה בעזרת ברנולי:  קיץ 2018 מועד ב, קיץ 2017,  חורף 2017. קיץ 2016 מועד ב. קיץ 2015 מועד ב.
  3. אחר: קיץ 2019,  חורף 2018, קיץ 2017 מועד ב. חורף 2016. קיץ 2015. חורף 2015

קיץ 2019

סעיף א 1
ההסתברות שנטע תנצח במשחק כולו היא:
ההסתברות שנטע תנצח 3 פעמים ( ברנולי של 3 מתוך 4 והתוצאה 8/81).
ועוד ההסתברות שנטע תנצח 4 פעמים (מחשבים בעזרת התרגיל (1/81) = 4 (1/3))
ההסתברות שנטע תנצח:
1/9 = 9/81 = 8/81 + 1/81
תשובה: 1/9.

סעיף א 2
ההסתברות שיהיה תיקו היא ההסתברות שנטע תנצח 2 מתוך 4 משחקים.
מחשבים בעזרת ברנולי ומקבלים 8/27.

סעיף ב
ההסתברות הזו מורכבת משתי הסתברויות.
ההסתברות שנטע תנצח 3 או 4 משחקים מתוך 4 המשחקים הראשונים (1/9).
והאפשרות השנייה היא שבארבעת המשחקים יהיה תיקו (8/27) ולאחר מיכן נטע תנצח 2 מתוך ה 3 או 3 מתוך 3.

תיקו ואז ניצחון של 2 מתוך 3:
= (2/9) * (8/27)
תיקו ואז ניצחון ב 3 מתוך 3
= (1/27) * (8/27)

סך הכל ההסתברויות הן:
(137/729) = (56/729) + (1/9)
זו ההסתברות שנטע תנצח.

סעיף ג (הסתברות מתנית)
1/9  ההסתברות לנצח ביום הראשון.
8/9 ההסתברות להפסיד ביום הראשון.
137/729  ההסתברות לנצח ביום השני
592/729  ההסתברות להפסיד ביום השני.

נחשב את שתי הדרכים שבהם נטע תנצח ביום אחד
מחשבים את ההסתברות שנטע תנצח ביום הראשון ותפסיד בשני.
0.09 = (592/729) * (1/9)
ההסתברות שתפסיד בראשון ותנצח בשני:
0.167 = (137/729) * (8/9).

לכן ההסתברות מבוקשת היא:

קיץ 2019 מועד ב

מספר הכדורים בקופסה הם:
40 = 12 + 20 + 8

נחשב את ההסתברות לצבעים השונים.
ההסתברות לכחול:
0.3 = 12/40
הסתברות לאדום:
0.5 = 20/40
הסתברות לצהוב:
0.2 = 8/40

נחשב את ההסתברות ל 0 או 1
ההסתברות ל 1 היא:
0.7 = 28/40
0.3 = 12/40

כמו כן כתוב " 1/4 מהכדורים שרשום עליהם מספר 1 הם צהובים".
אז אם יש 28 כדורים שרשום עליהם 1 אז מספר הכדורים שרשום עליהם מספר 1 והם גם צהובים הוא 7.

כמו כן נגדיר:
x  ההסתברות לדגום כדור כחול שרשום עליו 0.
4x  ההסתברות לכדור אדום שרשום עליו 1.

נציב את כל הנתונים הללו בטבלה:

כחול 0.3אדום 0.5צהוב 0.2
4x7/400.7 הסתברות ל 1
x0.3 הסתברות ל 0

עכשיו ניתן להשלים את המלבן הבא:

כחול 0.3אדום 0.5צהוב 0.2
4x7/400.7 הסתברות ל 1
x0.3 הסתברות ל 0

ולבנות את המשוואה שתמצא את  x:
4x + 7/40 + 0.3 – x = 0.7
3x = 0.225
x = 0.075

מכאן אנו יכולים להשלים את כל הנתונים בטבלה:

כחול 0.3אדום 0.5צהוב 0.2
0.2250.37/400.7 הסתברות ל 1
0.0750.20.0250.3 הסתברות ל 0

סעיף א: כחול ורשום 1
0.225

סעיף ב (הסתברות מותנית)
ההסתברות של כחול או 1 היא:
0.775 = 0.075 + 0.225 + 0.3 + 7/40
או , ניתן לחשב גם כך:
0.775 = 0.075 + 0.7

מתוך הסתברות זו ההסתברות להוציא 0 היא:
0.075
לכן ההסתברות המבוקשת היא:

סעיף ג
על מנת שדני יצבור 5 נקודות לאחר 6 פעמים עליו לצבור 4 נקודות ב 5 פעמים ובפעם השישית עליו להוציא כדור עם הספרה 1.

בעזרת ברנולי נחשב מה ההסתברות להוציא כדור עם 1 פעמים מתוך 5.
p = 5 * 0.74 * 0.3 = 0.36015
נכפיל הסתברות זו בהסתברות שהכדור השישי יהיה עם המספר 1:
p = 0.7 * 0.36015 = 0.252

חורף 2019

שאלה זו נפתרת בעזרת טבלה דו ממדית.

נגדיר
A הצלחה במתכונת.
B הצלחה בבגרות.

נתון:
P (B¯) = 0.2
P (B / A) = 0.9
לכן:
P (B) = 0.8
אין לנו מידע על ההסתברות של A לכן נגדיר אותה כמשתנה:
P (A) = t
P (A ∩ B) = P (B / A) * P(A) = 0.9t

אלו הנתונים הראשוניים שלנו:

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרות0.9t0.8
נכשל בגרות0.2
t

בעזרתם ניתן לבנות את כל הטבלה:

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרות0.9t0.8
נכשל בגרות0.1t0.2
t

נתון לנו ש
(P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A
0.1t = 0.8 – 0.9t  / +0.9
t = 0.8

לכן הטבלה תראה כך.

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרות0.720.080.8
נכשל בגרות0.080.120.2
0.80.2

סעיף א חלק ראשון
ההסתברות שתלמיד יעבור גם את בחינות המתכונת וגם את בחינות הבגרות היא:
0.9t = 0.9 *0.8 = 0.72
מספר התלמידים הוא 250. לכן מספר התלמידים הוא:
180 = 250 * 0.72

סעיף א חלק שני

סעיף א חלק שלישי

ההסתברות לבחור שני תלמידים כאלו היא:
0.36 = 0.6 * 0.6

סעיף ב
על שנת 2018 אנו יודעים:
(P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A
נגדיר:
P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A) = k
ונבנה טבלה עבור שנת 2018:

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרותa-kka
נכשל בגרותk
a

(בשחור אלו הנתונים, באדום אלו המסקנות שהסקנו מהנתונים).

(P (A ∩ B) = P (A) * P(B
a-k = a*a
k = a – a²

קיץ 2018 מועד א

נגדיר:
מתוך אלו שלא נעזרו ההסתברות x היא להיכשל.

נבנה דיאגרמת עץ לתרגיל:

המשפט "מספר התלמידים שלא נעזרו בחבריהם ולא עברו את המבחן קטן פי 5 ממספר התלמידים שנעזרו בחבריהם ועברו את המבחן".
אומר בעצם שענף 4 גדול פי 5 מענף 1.

נחשב את מספר התלמידים שנעזרו בחבריהם ועברו את המבחן (ענף 4).
p = 0.37 * 35/37 = 0.35
זו ההסתברות של ענף 4.

ההסתברות של ענף 1 קטנה פי 5 והיא:
0.07 = 5 : 0.35

ההסתברות של ענף 1 היא:
0.63x.
לכן המשוואה שלנו היא:
0.63x = 0.07  / :0.63
x = 0.111

עכשיו דיאגרמת העץ שלנו נראית כך:

פתרון סעיף א
ההסתברות של ענף 3 היא:
p = 0.37 * 2/37 = 0.02

ההסתברות להיכשל היא ענף 1 +3.
0.09 = 0.02 + 0.07
אם ידוע שנכשל אז ההסתברות שהוא נעזר היא:
0.22 = 0.9 / 0.2
תשובה: ההסתברות היא 0.22.

סעיף ב
ההסתברות שיעל עברה את המבחן היא:
0.94 = 35/37
ההסתברות שהדס עברה את המבחן היא:
0.89
תשובה: ההסתברות שיעל עברה את המבחן גבוהה מההסתברות שהדס עברה את המבחן.

סעיף ג
זו נוסחת ברנולי.
נחשב את ההסתברות לדגום תלמיד בודד שעבר ולא נעזר (זה ענף 2).
0.56 = 0.89 * 0.63

ההסתברות לבחור 2 מתוך 6 כאשר ההסתברות ל"הצלחה" במאורע יחיד היא 0.56.

p= 0.56² * 0.444 * 15 = 0.176

סעיף ד
0.37 ההסתברות שתלמיד נעזר בחבריו.
0.07 ההסתברות שלא הצליח במבחן וגם נעזר.
0.44 = 0.37 + 0.07

קיץ 2018 מועד ב

סעיף א
על מנת ששחר יצבור בדיוק 60 נקודות עליו לענות נכונה על שאלה אחת מתוך 3.
ההסתברות לענות נכונה היא 0.25.
לכן על פי ברנולי ההסתברות ל 1 מתוך 3 היא:
p = 3 * 0.25 * 0.75² = 0.421875
תשובה: ההסתברות לקבל בדיוק 60 היא 0.421875.

סעיף א חלק 2
על מנת לעבור את המבחן עליו לענות על שאלה אחת / שתי שאלות / שלוש שאלות.
כלומר, כל האפשרויות טובות חוץ מ 0 תשובות נכונות.
לכן נחשב את ההסתברות בעזרת הסתברות משלימה.

ההסתברות ל 0 תשובות נכונות היא:
p =  0.75³ = 0.421875
לכן ההסתברות לעבור את המבחן היא:
0.578125 = 0.421875 – 1

סעיף ב
שאלה זו דומה לסעיף א. רק שההסתברות לענות נכונה היא 1/3.
נחשב בעזרת ברנולי:
p = 3 * (1/3) * (2/3)² = 4/9
תשובה: ההסתברות לעבור היא 4/9

סעיף ג
ההסתברות לענות על תשובה אחת בצורה נכונה היא:

ההסתברות לענות על תשובה בצורה לא נכונה היא:

המשמעות של 60 נקודות היא שאף תשובה לא תהיה נכונה.
המשמעות של 100 נקודות היא ששתי התשובות יהיו נכונות.
שתי ההסתברויות הללו שוות.
לכן המשוואה היא:

מכוון ששתי ההסתברויות הן גדלים חיוביים ניתן להוציא שורש בשני צדדי המשוואה ולקבל:

k = 2

דרך שנייה לפתרון
ההסתברות להצליח היא:

בעזרת ברנולי נחשב את ההסתברות להצליח 2 פעמים או 0 פעמים.
והמשוואה תהיה שאלו הסתברויות שוות.

ההסתברות להצליח 0 פעמים על פי ברנולי:

ההסתברות להצליח 2 פעמים על פי ברנולי:

והמשוואה היא:

והמשך הפתרון הוא כפי שפתרנו קודם.

חורף 2018

נגדיר:
x  מספר הפעמים שהספרה 1 מופיעה בקוביה של גלית.

באלו מקרים מיכל תנצח?
כאשר היא תקבל 4 היא תנצח בכול מקרה.
0.5 זו ההסתברות שמיכל תוציא 4.

כאשר מיכל תוציא 2 וגלית תוציא 1.
ההסתברות שזה יקרה היא:

סכום ההסתברויות הוא 7/12 לכן המשוואה היא:

x + 6 = 7
x = 1
תשובה: על פיאה אחת רשום אחד.

סעיף ב
5/12 זו ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב יחיד.
על מנת שגלית תנצח במשחק עם 5 סיבובים היא צריכה לנצח ב 3 / 4 / 5 סיבובים.
נחשב את ההסתברות בכול אחד מהמקרים בעזרת ברנולי.
התשובה הסופית היא 0.3466.

 

קיץ 2017 מועד א

א. על מנת לפתור סעיף זה יש להשתמש בנוסחת ברנולי.
P – זו ההסתברות לדגום אדם עם קלנועית.
נחשב את המקדם הבינומי של 4 מ 9.
9! = 362,880
5! * 4! = 24*120 = 2880.
126 =2880 / 362,880
126P4(1-P)5  זה הביטוי שנותן את ההסתברות לבחור 4 מ 99.

נחשב את ההסתברות לבחור 6 מ 9.
המקדם הבינומי עבור הסתברות זו הוא:
9! = 362,880
6! * 3! = 4320
84 = 4320 / 362,880
84P6(1-P)3  זה הביטוי שנותן את ההסתברות לבחור 6 מ 9.

הביטוי הראשון גדול פי 24 מהראשון לכן המשוואה היא:
84P6(1-P)3 *24 =  126P4(1-P)5
2016P² = 126(1-P)²
16P² = (1-P)² = 1-2P+P²
15P² +2P-1=0
נפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
P=0.2,   האפשרות השנייה המתקבלת היא שלילית ולכן לא יכולה להיות ערך של הסתברות.
תשובה: ההסתברות שלנבחר באקראי יש קלנועית היא 0.22.

ב. יש 4 אפשרויות במרחב המדגם:
ל 3 או 4 או 5 או 6 יש קלנועית. נחשב כל אחת מהאפשרויות.
ל 3 יש:
המקדם הבינומי של 3 מ 6 הוא:
6! = 720
3! * 3! = 36
20 = 36 / 720
T3 = 20 *0.2³ * 0.8³ = 0.08192
ל 4 יש:
המקדם הבינומי של 4 מ 6:
6! = 720.
4! * 2! = 48
15 = 48 / 720
T4 = 15*0.24*0.8² = 0.01536
T5 = 6*0.25*0.8 = 0.01536
T6 = 0.26 = 0.000064
סך כל ההסתברויות במרחב המדגם הוא:
0.08192+ 0.0136 + 0.01536 + 0.000064 = 0.110944
ההסתברות המבוקשת היא:
L = 0.01536 / 0.110944 = 0.13844
תשובה: ההסתברות המבוקשת היא  0.13844

ג. על מנת שזה יקרה צריכים לבחור 2 אנשים על קלנועית מתוך 5 האנשים הראשונים ולאחר מיכן האדם השישי צריך להיות עם קלנועית.
נשתמש בנוסחת ברנולי על מנת למצוא את ההסתברות לבחור 2 מ 5.
המקדם הבינומי הוא:
5! = 120
3! * 2! = 12
10 = 120:12
נציב בנוסחת ברנולי:
10*0.2² * 0.8³
0.2048 =
נכפיל הסתברות זו בהסתברות לבחור אדם שישי עם קלנועית:
0.04096 = 0.2*0.2048
תשובה: ההסתברות היא 0.040966.

קיץ 2016

זאת הטבלה עם הנתונים הפשוטים:

אקיבוץמושבעיר
הצליחו0.7
לא הצליחו0.3
0.20.40.4א

נתון שיש לנו הוא ש 1/8 מנבחני המושבים נכשלו במבחן.
0.4  אלו המושבים.
לכן 1/8 מהמושבים (אלו שנכשלו) הם:
0.05 = 1/8 * 0.4
ואלו שהצליחו הם:
0.35 = 0.4-0.05
נוסיף את הנתונים הללו לטבלה:

אקיבוץמושבעיר
הצליחו0.350.7
לא הצליחו0.050.3
0.20.40.4א

עכשיו נעשה שימוש בנתון השני:
"ההסתברות שנבחן מעיר יצליח במבחן גדולה פי 2.5 מההסתברות של נבחן מקיבוץ והצליח במבחן"
נגדיר:
x ההסתברות של "קיבוץ והצליח במבחן" .
2.5x ההסתברות של "עיר והצליח במבחן".

נשים את הנתונים הללו בטבלה:

אקיבוץמושבעיר
הצליחוx0.352.5x0.7
לא הצליחו0.050.3
0.20.40.4א

אנו יכולים ליצור משוואה:
x + 2.5x + 0.35 = 0.7
3.5x = 0.35
x=0.1

הטבלה המלאה היא:

אקיבוץמושבעיר
הצליחו0.10.350.250.7
לא הצליחו0.10.050.150.3
0.20.40.4א

עכשיו אנו יכולים לענות בקלות יחסית על סעיפי השאלה:

א) 0.3 לא הצליחו בבחינה.
0.15  לא הצליחו בבחינה ואינם מעיר.
p = 0.15 / 0.3 = 0.5

ב) 0.7 הצליחו בבחינה.
0.35 מאלו שהצליחו בבחינה אינם ממושב.
לכן ההסתברות לדגום שאינו ממושב בתנאי שהצליח בבחינה היא:
p = 0.35 / 0.7 = 0.5

חלק שני

  1. נחשב את ההסתברות המשלימה. זו ההסתברות שבחרנו 5 נבחנים שידוע שהצליחו במבחן ואף אחד מיהם אינו ממושב.
  2. 0.5 היא ההסתברות לבחור אדם שאינו ממושב אם ידוע שהאדם הצליח בבחינה.
  3. ההסברות לבחור 5  כאלו היא:
    0.55 = 0.03125
  4. לכן ההסתברות המבוקשת היא:
    1-0.03125 = 0.96875

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.