הסתברות 581 5 יחידות מתמטיקה

באתר זה מספר דפים העוסקים בנושאים שונים של הסתברות:

  1. שיעור 1: הסתברות כיתה ח (הסתברות של מאורע יחיד).
  2. שיעור 2: הסתברות כיתה ט (הסתברות של שתי מאורעות, דיאגרמת עץ).
  3. שיעור 3: דיאגרמת עץ.
  4. שיעור 4: טבלה דו ממדית.
  5. שיעור 5: נוסחת ברנולי.
  6. שיעור 6: הסתברות מותנית.

דף זה יוצא מתוך נקודת הנחה שאתם יודעים את הנושאים הללו.

בדף 3 חלקים:

  1. תרגילים עם ניסוחים מיוחדים – ניסוחים שאולי עוד לא פגשתם ושאתם צריכים להכיר.
  2. תרגילי הכנה לבגרות.
  3. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

תרגילים

תרגילים עם ניסוחים מיוחדים

מצורפים 3 תרגילים בהם יש ניסוח מיוחד, יתכן שלא פגשתם את הניסוחים הללו וכדאי שתפגשו.

תרגיל 1
שחקן כדורסל זורק לסל.
ההסתברות לקליעה בזריקה בודדת היא 0.6.
מה ההסתברות לקלוע 2 סלים אם ידוע כי בזריקה השלישית הוא פספס?

פתרון
כיצד נתייחס לנתון שהוא פספס בזריקה השלישית?
נתעלם מזריקה זו ונתייחס לשאלה כאילו מבקשים מאיתה שיקלע 2 מתוך 3 זריקות שנותרו.

ניתן לחשב בעזרת ברנולי, אבל לא חובה.
קליעה של 2 מתוך 3 זה אומר פספוס יחיד בזריקה הראשונה או פספס בשנייה או פספוס בשלישית.
עבור שלושת המצבים הללו ההסתברות היא אותה הסתברות.
למשל עבור פספוס בראשון וקליעה בזריקה השנייה והשלישית נחשב:
0.144 = 0.6 * 0.6 * 0.4

ההסתברות המבוקשת היא 3 פעמים ההסתברות הזו:
0.432 = 0.144 * 3
תשובה: ההסתברות היא 0.432.

תרגיל 2
סיכוי צלף לפגוע במטרה הוא 0.1.
כדי שהמשימה תושלם על הצלף לפגוע 3 פעמים במטרה.
מה ההסתברות שהמשימה תושלם בדיוק בניסיון החמישי?

פתרון
על מנת שזה יקרה:
הצלף צריך לפגוע ב 2 מתוך 4 הניסיונות הראשונים ואז לקלוע בפעם החמישית.
נחשב את ההסתברות לקליעה של 2 מתוך 4 ואז נכפיל הסתברות זו בהסתברות לקלוע בפעם החמישית.
אנו מתייחסים לזה כאל שני מאורעות.

בעזרת נוסחת ברנולי נחשב את ההסתברות לפגוע 2 מ 4.
המקדם הבינומי יוצא 6.
לכן ההסתברות ל 2 מ 4 היא:
0.0486 = 0.1²*0.9²* 6

הצלף צריך לפגוע בניסיון החמישי: ההסתברות לכך היא 0.1.
לכן ההסתברות הסופית היא:
p= 0.0486 *0.1 = 0.00486

תרגיל 3
צלף יורה על מטרה שמסומנים עליה 3 מספרים: 5,10,15.
ההסתברות לפגוע במספר 5 היא 0.5. ההסתברות לפגוע במספר 10 היא 0.1. ההסתברות לפגוע במספר 15 היא 0.4.
הצלף יורה 6 פעמים. מה ההסתברות שיפגע 5 פעמים בספרה 5 ועוד פעם אחת במספר 10?

פתרון
מה מיוחד בשאלה הזו?
בדרך כלל כאשר יש מספר ניסויים רב אני משתמשים בנוסחת ברנולי.
אבל נוסחת ברנולי מתאימה למצב שבו יש הסתברות שווה בכול הניסיונות.
בנוסחת ברנולי יש שתי אפשרויות בלבד, הצלחה או כישלון.
בשאלה זו יש 3 אפשרויות. כאשר 2 מיהן יכולות להיות "הצלחה".

לכן נפתור תרגיל מסוג זה "בעזרת ההיגיון":
יש 6 דרכים בהם הצלף יכול לפגוע 5 פעמים בספרה 5.

בפעם החסרה הוא צריך לפגוע ב 10.
דבר שההסתברות שלו היא 0.1
לכן המשוואה הפותרת את התרגיל הוא:
p = 6*0.55*0.1 = 0.01875

תרגיל 4
בכיתה חיפאית 0.2 מהתלמידים מגיעים ממורדות הכרמל והשאר מגיעים ממעלי הכרמל.
0.75 מאלו שמגיעים ממעלי הכרמל נוסעים באוטובוס לבית ספר והשאר מגיעים ברגל.
מספר התלמידים המגיעים ברגל ממורד הכרמל הוא רבע ממספר התלמידים המגיעים באוטובוס ממעלי הכרמל.
שאר התלמידים ממורד הכרמל מגיעים באוטובוס.

  1. אם דוגמים תלמיד ממורד הכרמל, מה ההסתברות שהוא מגיע ברגל?

פתרון
מה מיוחד בניסוח של שאלה זו?
אנו רגילים שבענפים התחתונים של דיאגרמת עץ נותנים לנו את הקשר אל הענפים הנמצאים מעל.
אבל בשאלה זו נותנים לנו קשר בין שני ענפים תחתונים.

הנתון המיוחד בשאלה זו הוא שענף 4 הוא 1/4 מענף 1.

לכן על מנת למצוא את ענף 4 נחשב את ענף אחד.
0.6 = 0.75 * 0.8

ההסתברות לתלמיד ההולך ברגל ומגיע ממורדות הכרמל היא:
0.15 = 4 : 0.6

נגדיר:
x – אם אדם מגיע ממורדות הכרמל אז זו ההסתברות שהוא הולך ברגל.
לכן המשוואה של ענף 4 היא:
0.2x = 0.15
x = 0.75

וזו גם התשובה לשאלה ששאלו אותנו: אם דוגמים תלמיד ממורד הכרמל ההסתברות שהוא הולך ברגל היא 0.75.

תרגילי הכנה לבגרות

5 תרגילים.
התרגילים ברמת בגרות אך קצרים משאלות בגרות אמיתיות. כל תרגיל כאן יכול להיות 1-2 סעיפים בשאלת בגרות.
התרגילים בודקים ידע מגוון רחב של נושאים בהסתברות.

תרגיל 1
בכד 10 כדורים. מתוכם x אדומים והשאר צהובים.
מוצאים שני כדורים עם החזרה.
ידוע כי ההסתברות לקבל שני אדומים גדולה פי 16 מלקבל שני צהובים.
כמה כדורים אדומים וכמה צהובים בכד.

פתרון
ההסתברות להוציא שני אדומים היא:

ההסתברות להוציא שני צהובים היא:

המשוואה שלנו היא:

ניתן לפתוח סוגריים על ידי נוסחאות הכפל המקוצר.
אבל ניתן גם להשתמש בחוקי חזקות ולפתור בדרך הזו:

הפתרון הוא x =8
תשובה: יש 8 כדורים אדומים ו- 2 צהובים.

תרגיל 2
על מדף שתי קופסאות שבכול אחת יש 9 כדורים אדומים ו 6 כדורים כחולים.
לילך הוציאה מספר שווה של כדורים אדומים וכדורים כחולים מהקופסה הראשונה.

זורקים קובייה. אם יצא מספר גדול או שווה ל 5 מוצאים שני כדורים מהקופסה השנייה.
אם בקובייה יוצא מספר קטן מ 5 מוצאים שני כדורים מהקופסה הראשונה.

בתהליך זה ההסתברות להוציא פעמיים אדום היא פי 2.25 מלהוציא פעמיים כחול.
חשבו כמה כדורים מכל צבע הוציאה לילך (תרגיל זה ייפתר עד לבניית המשוואה וללא האלגברה שלאחריה).

פתרון
נגדיר:
x  מספר הכדורים בכול צבע שהוציאה לילך.

ההסתברות למספר שווה או גדול מ 5 בזריקת קובייה היא:
1/3 = 2/6
ההסתברות למספר קטן מ 5 היא:
2/3 = 4/6
נחשב את ההסתברות לקבל אדום במצב זה:

הביטוי מצד שמאל הוא ההסתברות להוציא אדום מהקופסה השנייה (5 או יותר בקובייה). הביטוי מצד ימין הוא ההסתברות להוציא אדום מהקופסה הראשונה.

נחשב את ההסתברות להוציא כחול במצב זה:

הביטוי מצד שמאל הוא ההסתברות להוציא כחול מהקופסה השנייה (5 או יותר בקובייה). הביטוי מצד ימין הוא ההסתברות להוציא אדום מהקופסה הראשונה.

המשוואה שלנו היא:

אם היינו ממשיכים ופתורים את המשוואה היינו מקבלים x = 3.

תרגיל 3
לאיציק יש בארון הנעליים מספר זוגות נעליים. אחת מהזוגות היא הנעל האלגנטית אותה הוא אוהב במיוחד. ארון הנעליים של איציק נמצא במקום חשוך.
ב 24% מהמקרים השכן ממול מדליק אור שמגיע לביתו של איציק כך הוא יכול לראות את הנעליים ולבחור בנעל האלגנטית באופן ודאי.
בשאר המקרים הוא בוחר זוג נעליים באופן מקרי.
אם ידוע כי ההסתברות שאיציק יוציא את הנעל האלגנטית הוא 0.43. כמה זוגות נעליים יש בארון של איציק?

פתרון
נגדיר:
x  מספר הנעליים שיש בארון
לכן ההסתברות לבחור נעל מתאימה בחושך היא:

ההסתברות לבחור נעל לא מתאימה בחושך היא:

נשרטט דיאגרמת עץ עבור השאלה.

דיאגרמת עץ עבור השאלה

ההסתברות להוציא את הנעל המתאימה היא 0.43.
וזו הסתברות שהיא הסכום של ענפים 1,3.

לכן המשוואה היא:

פתרון המשוואה הזו היא x = 4.
תשובה: לאיציק 4 זוגות נעליים בארון הנעליים.

תרגיל 4
ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע בזריקתו הראשונה או אם הזריקה הקודמת שלו נכנסה היא 0.6.
אם השחקן החטיא בזריקתו הקודמת ההסתברות שלו לקלוע היא 0.2.
ידוע כי שחקן החטיא עכשיו בזריקתו.

  1. מה ההסתברות שהזריקה שיזרוק בעוד שתי זריקות תיכנס לסל?
  2. מה ההסתברות שבשתי הזריקות הבאות הוא יקלע פעם אחת ויפספס פעם אחת? (ללא חשיבות לסדר).
  3. אם ידוע כי בשתי הזריקות השחקן השיג תוצאה זהה. מה ההסתברות שהוא פספס את שתי הזריקות?

פתרון

נבנה דיאגרמת עץ המתארת את השאלה. כאשר נקודת המוצא שלנו היא לאחר הפספוס הראשון.

שרטוט התרגיל

סעיף א
ההסתברות לקליעה בפעם השנייה מתקבלת בשני מסלולים. מסלול 1 (יקלע, יקלע) ומסלול 3 (יפספס, יקלע) סכום ההסתברויות שלהם הוא:
0.2*0.6 + 0.8*0.2 = 0.28
תשובה: ההסתברות לקלוע בפעם השנייה היא 0.28.

סעיף ב.
ההסתברות הזו היא סכום המסלולים 2 (יקלע, יפספס) ו 3 (יפספס, יקלע). סכום ההסתברויות שלהם הוא:
0.2*0.4 + 0.8*0.2 = 0.24.

סעיף ג.
ההסתברות להשיג תוצאה זהה היא ההסתברות המשלימה לזו שמצאנו בסעיף ב.
1-0.24 = 0.76.
ההסתברות לפספס בשתי הזריקות:
0.8*0.8= 0.64
לכן ההסתברות המבוקשת היא:
0.64/0.76 = 0.842
תשובה: אם ידוע ששתי הזריקות השיגו תוצאה זהה אז ההסתברות שהוא פיספס את שתיהן היא 0.842

תרגיל 5
צלף יורה 4 פעמים למטרה. ידוע כי ההסתברות לפגוע 4 פעמים במטרה קטנה פי 9.333 מההסתברות לפגוע בדיוק 3 פעמים במטרה.

  1. מה הסתברות לפגוע במטרה? (הניחו כי ההסתברות לפגוע שונה מ 0).
  2. מה ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת במטרה?
  3. אם ידוע כי הצלף פספס לכול היותר פעם אחת. מה ההסתברות שהוא פגע בכול 4 היריות?

פתרון

נגדיר p כהסתברות לפגוע במטרה בירייה בודדת.
p4 זו ההסתברות לפגוע במטרה 4 פעמים.
(4p³(1-p זו ההסתברות לפגוע במטרה 3 פעמים (על פי נוסחת ברנולי, וניתן להגיע לכך גם בהגיון).
המשוואה היא:
4p³(1-p) = 9.333p4
4-4p = 9.333p
4=13.333p
p = 0.3
תשובה: ההסתברות לפגוע במטרה בירייה בודדת היא 0.3.

סעיף ב.
"לפחות פעם אחת" זה אומר 1,2,3,4 פעמים. ההסתברות המשלימה, והקלה יותר לחישוב, היא לפגוע 0 פעמים.
0.74= 0.2401   זו ההסתברות לפספס 4 פעמים.
ההסתברות המשלימה היא:
1-0.2401 = 0.7599
תשובה: ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא 0.7599.

סעיף ג.
זו שאלה בהסתברות מותנית.
"פספס לכול היותר פעם אחת" זה אומר שהוא פגע 3 או 4 פעמים.
0.34 = 0.0081  זו ההסתברות לפגוע 4 פעמים.
0.3³*0.7*4 = 0.0756 זו ההסתברות לפגוע 3 פעמים.
p = 0.0081 / 0.0756 = 0.107
תשובה: 0.107.

פתרונות לשאלות מהבגרות

חורף 2019

שאלה זו נפתרת בעזרת טבלה דו ממדית.

נגדיר
A הצלחה במתכונת.
B הצלחה בבגרות.

נתון:
P (B¯) = 0.2
P (B / A) = 0.9
לכן:
P (B) = 0.8
אין לנו מידע על ההסתברות של A לכן נגדיר אותה כמשתנה:
P (A) = t
P (A ∩ B) = P (B / A) * P(A) = 0.9t

אלו הנתונים הראשוניים שלנו:

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרות0.9t0.8
נכשל בגרות0.2
t

בעזרתם ניתן לבנות את כל הטבלה:

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרות0.9t0.8
נכשל בגרות0.1t0.2
t

נתון לנו ש
(P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A
0.1t = 0.8 – 0.9t  / +0.9
t = 0.8

לכן הטבלה תראה כך.

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרות0.720.080.8
נכשל בגרות0.080.120.2
0.80.2

סעיף א חלק ראשון
ההסתברות שתלמיד יעבור גם את בחינות המתכונת וגם את בחינות הבגרות היא:
0.9t = 0.9 *0.8 = 0.72
מספר התלמידים הוא 250. לכן מספר התלמידים הוא:
180 = 250 * 0.72

סעיף א חלק שני

סעיף א חלק שלישי

ההסתברות לבחור שני תלמידים כאלו היא:
0.36 = 0.6 * 0.6

סעיף ב
על שנת 2018 אנו יודעים:
(P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A
נגדיר:
P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A) = k
ונבנה טבלה עבור שנת 2018:

A עבר מתכונותנכשל במתכונת
B עבר בגרותa-kka
נכשל בגרותk
a

(בשחור אלו הנתונים, באדום אלו המסקנות שהסקנו מהנתונים).

(P (A ∩ B) = P (A) * P(B
a-k = a*a
k = a – a²

קיץ 2018 מועד א

נגדיר:
מתוך אלו שלא נעזרו ההסתברות x היא להיכשל.

נבנה דיאגרמת עץ לתרגיל:

על מנת להשתמש במשפט "מספר התלמידים שלא נעזרו בחבריהם ולא עברו את המבחן קטן פי 5 ממספר התלמידים שנעזרו בחבריהם ועברו את המבחן".
נחשב את מספר התלמידים שנעזרו בחבריהם ועברו את המבחן (ענף 4).

p = 0.37 * 35/37 = 0.35
זו ההסתברות של ענף 4.

לכן ההסתברות של ענף 1 היא:
0.07 = 5 : 0.35

עכשיו אנחנו יכולים לחשב את x.
0.63x = 0.07  / :0.63
x = 0.111

עכשיו דיאגרמת העץ שלנו נראית כך:

פתרון סעיף א
ההסתברות של ענף 3 היא:
p = 0.37 * 2/37 = 0.02

ההסתברות להיכשל היא ענף 1 +3.
0.09 = 0.02 + 0.07
אם ידוע שנכשל אז ההסתברות שהוא נעזר היא:
0.22 = 0.9 / 0.2
תשובה: ההסתברות היא 0.22.

סעיף ב
ההסתברות שיעל עברה את המבחן היא:
0.94 = 35/37
ההסתברות שהדס עברה את המבחן היא:
0.89
תשובה: ההסתברות שיעל עברה את המבחן גבוהה מההסתברות שהדס עברה את המבחן.

סעיף ג
זו נוסחת ברנולי.
נחשב את ההסתברות לדגום תלמיד בודד שעבר ולא נעזר (זה ענף 2).
0.56 = 0.89 * 0.63

ההסתברות לבחור 2 מתוך 6 כאשר ההסתברות ל"הצלחה" במאורע יחיד היא 0.56.

p= 0.56² * 0.444 * 15 = 0.176

סעיף ד
0.37 ההסתברות שתלמיד נעזר בחבריו.
0.07 ההסתברות שלא הצליח במבחן וגם נעזר.
0.44 = 0.37 + 0.07

 

קיץ 2017 מועד א

א. על מנת לפתור סעיף זה יש להשתמש בנוסחת ברנולי.
P – זו ההסתברות לדגום אדם עם קלנועית.
נחשב את המקדם הבינומי של 4 מ 9.
9! = 362,880
5! * 4! = 24*120 = 2880.
126 =2880 / 362,880
126P4(1-P)5  זה הביטוי שנותן את ההסתברות לבחור 4 מ 99.

נחשב את ההסתברות לבחור 6 מ 9.
המקדם הבינומי עבור הסתברות זו הוא:
9! = 362,880
6! * 3! = 4320
84 = 4320 / 362,880
84P6(1-P)3  זה הביטוי שנותן את ההסתברות לבחור 6 מ 9.

הביטוי הראשון גדול פי 24 מהראשון לכן המשוואה היא:
84P6(1-P)3 *24 =  126P4(1-P)5
2016P² = 126(1-P)²
16P² = (1-P)² = 1-2P+P²
15P² +2P-1=0
נפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
P=0.2,   האפשרות השנייה המתקבלת היא שלילית ולכן לא יכולה להיות ערך של הסתברות.
תשובה: ההסתברות שלנבחר באקראי יש קלנועית היא 0.22.

ב. יש 4 אפשרויות במרחב המדגם:
ל 3 או 4 או 5 או 6 יש קלנועית. נחשב כל אחת מהאפשרויות.
ל 3 יש:
המקדם הבינומי של 3 מ 6 הוא:
6! = 720
3! * 3! = 36
20 = 36 / 720
T3 = 20 *0.2³ * 0.8³ = 0.08192
ל 4 יש:
המקדם הבינומי של 4 מ 6:
6! = 720.
4! * 2! = 48
15 = 48 / 720
T4 = 15*0.24*0.8² = 0.01536
T5 = 6*0.25*0.8 = 0.01536
T6 = 0.26 = 0.000064
סך כל ההסתברויות במרחב המדגם הוא:
0.08192+ 0.0136 + 0.01536 + 0.000064 = 0.110944
ההסתברות המבוקשת היא:
L = 0.01536 / 0.110944 = 0.13844
תשובה: ההסתברות המבוקשת היא  0.13844

ג. על מנת שזה יקרה צריכים לבחור 2 אנשים על קלנועית מתוך 5 האנשים הראשונים ולאחר מיכן האדם השישי צריך להיות עם קלנועית.
נשתמש בנוסחת ברנולי על מנת למצוא את ההסתברות לבחור 2 מ 5.
המקדם הבינומי הוא:
5! = 120
3! * 2! = 12
10 = 120:12
נציב בנוסחת ברנולי:
10*0.2² * 0.8³
0.2048 =
נכפיל הסתברות זו בהסתברות לבחור אדם שישי עם קלנועית:
0.04096 = 0.2*0.2048
תשובה: ההסתברות היא 0.040966.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.