בעיות מינימום מקסימום 581 5 יחידות

השלבים לפתרון בעיות מינימום מקסימום:

  1. בחירת משתנה ובנייה של פונקציה המתארת את הגודל ששואלים עליו.
  2. גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת ל 0.
  3. בודקים האם הנקודה שמצאנו בסעיף 2 היא מינימום או מקסימום. והאם זה מתאים למה שביקשו מאיתנו בשאלה.
  4. לרוב נדרש לעשות דבר נוסף; למשל לחשב מה הוא הערך המקסימלי או המינימלי שניתן לקבל.

כרגע דף זה כולל שאלת הכנה אחת לבגרות ופתרונות מלאים של 3 בגרויות.

תרגיל 1 (שאלת הכנה)

בין הישר  y = -2x + 10  והפונקציה f(x) = 2√x חסום מלבן.
מצאו את הנקודות היוצרות את המלבן עם השטח המקסימלי.
מצאו את שטח המלבן ששטחו מקסימלי.

פתרון
(לשאלה זו יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).

שלב 1: הגדרת משתנה ובאמצעותו את הנקודות היוצרות את המלבן.
נניח כי הנקודה המבוקשת A נמצאת על הפונקציה  f(x) = 2√x.
נגדיר:
xA  – ערך ה- x של הנקודה על הפונקציה  f(x) = 2√x היוצרת שטח מלבן מקסימלי.
yA =  2√xA   ערך ה y בנקודה A.
(A (xA, 2√xA

נניח כי הנקודה המבוקשת B נמצאת על הישר y = -2x + 10
נסמן: xB  – ערך ה- x של הנקודה על הישר y = -2x + 10  היוצרת שטח מלבן מקסימלי.
לכן מתקיים: yB = -2xB + 10
צלעות המלבן מקבילות זו לזו. ומכוון שצלע אחת נמצאת על ציר ה x, אז הצלע AB מקבילה לציר ה x.
לכן ערך ה Y בנקודות A ו- B שווה.
לכן: yB = 2√xA

קיבלנו שני ערכים שונים ל – yB , נשווה ביניהם על מנת לקבל את xB כפונקציה של xA:

2xB + 10 = 2√xA
נעביר אגפים:
2xB = 10 – 2√xA
נחלק ב -2:
xB = 5 – √xA
(B (5 – √xA,  2√xA

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת:

אנו רוצים למצוא את שטח המלבן המקסימלי. לכן הפונקציה תהיה שטח המלבן.
שטח מלבן = גובה * רוחב.
הגובה הוא שיעור ה – y של 2 הנקודות שמצאנו (כי הבסיס נמצא ב y = 0)
הבסיס הוא הפרש שיעורי ה – x של הנקודות. כלומר , xB – xA.

לכן:
(f(xA) = 2√xA * (xB – xA
נציב את xB שמצאנו:
(f(xA) = 2√xA * (5 – √xA – xA
נפתח סוגריים:
f(xA) = 10√xA  – 2xA – 2xA1.5

** בהמשך התרגיל נרשום x במקום xA , לשם הנוחות בלבד.

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:


נכפול ב – x√ :
3x – 2√x + 5 = 0-

נסמן : t = √x
ולכן: x = t2

נציב במשוואה:
3t2 – 2t + 5 = 0-

כעת נפתור לפי הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית:

נציב את המקדמים:

לכן:
t1 = 10/-6 = -1.666
אבל , נזכור כי t = √x , ולכן t שלילי אינו מוגדר. (שורש הוא אי שלילי בהגדרתו).

t2 = -6 / -6  = 1
זהו t שמתאים לתחום ההגדרה, ולכן הפתרון המתאים.
נציב בחזרה x = t2 :
x = 12 = 1

לכן x = 1  היא הנקודה החשודה שנותנת לנו שטח מלבן מקסימלי.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.

נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה:

כאשר מציבים x = 1 מקבלים נגזרת שנייה שלילית.
לכן  x = 1 היא נקודת מקסימום.

לכן עבור xA = 1 מתקבל מלבן בעל שטח מקסימלי.

הנקודה השנייה:
מצאנו כבר את הקשר בין 2 הנקודות:
xB = 5 – √xA
נציב xA = 1 :
xB = 5 – √1 = 5 -1
xB = 4

ביקשו לתת בתשובה את הנקודות , ולכן נמצא גם את שיעורי ה – y שלהן:
xA נמצאת על הפונקציה f(x) = 2√x. לכן:
yA = 2√xA = 2√1
yA = 2

אנו כבר יודעים ששיעורי ה – y של הנקודות זהים. לכן:
yB = 2

תשובה: זוג הנקודות הנותנות מלבן חסום בעל שטח מקסימלי הן : (2 , 4) , (2 , 1).

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה

נשים לב כי שאלו אותנו גם מהו שטח המלבן ששטחו מקסימלי.
לכן נציב בנוסחה לשטח מלבן את הבסיס והגובה שמצאנו:
בסיס = 3 (ההפרש בין שיעורי ה – x)
גובה = 2  (שיעור ה – y)

Smax = 2*3 = 6


גרף הפונקציה f(x) = 10√x  – 2x – 2x1.5   ונקודת המקסימום שלה

2. קשיים שעלו בשאלות מבגרות בשנים קודמות

קיץ 2017 שאלה א

בשאלה זו ביקשו למצוא את השטח המקסימלי של משולש KLM הנוצר על ידי נקודה כלשהי K הנמצאת על גרף הפונקציה f (x) = -x²+2x+8 והנקודה M שעבורה x=1 והנקודה L שבה ערך ה x שווה לערך ה x בנקודה K.
זה השרטוט שהיה מצורף לשאלה.

שרטוט התרגיל

הפונקציה לחישוב שטח המשולש היא:
2 / (Sklm = (x-1) * (-x²+2x+8

ומה הקושי?
הקושי הוא לזהות שמכוון ש K היא נקודה כלשהי על הגרף צריך לבנות פונקציה נפרדת עבור המצב שבו ערך ה X של הנקודה K הוא קטן מ 1 ואז המשולש נראה כך:

שרטוט המשולש כאשר ערך ה X בנקודה K קטן מ 1

הפונקציה המתאימה לחישוב שטח משולש זה היא:
2 / (Sklm = (1-x) * (-x²+2x+8

ללמוד נושאים נוספים עבור בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3. פתרון שאלות מהבגרות

קיץ 2018 מועד א שאלה 8

 

א.
ראשית נוכיח דמיון משולשים בין CDE ל – LKE :
1. הזוויות ELK ו – EDC הן זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים ולכן שוות.
2. הזווית DEC משותפת לשני המשולשים.
לכן לפי משפט זווית-זווית, המשולשים דומים.

כעת נבצע בניית עזר, כך ש EF הגובה במשולש KLE, ו – EG הגובה במשולש CDE.

בעקבות דמיון המשולשים,  יחס הצלעות והגבהים בין המשולשים שווה. כלומר:

מתקיים: FG = 6, מכיוון שהצלע מקבילה לצלעות הריבוע.
לשם הנוחות, נסמן: EF = y.
לכן: EG = y + 6.

נציב הכל במשוואה הנ"ל:

נבצע כפל בהצלבה:
6y = xy + 6x
y(6 – x) = 6x

ב.
זוהי בעיית קיצון.
מטרתנו היא להביע את סכום שטחי המשולשים כפונקציה של x.
את הפונקציה הזו אנו נגזור וכך נמצא את ה – x עבורו הסכום מינימלי.

נמצא את שטחי המשולשים:

ניתן להביע את שטח שני המשולשים האחרים ע"י חיסור שטח הטרפז משטח הריבוע:

לכן הפונקציה המבטאת את סכום שטחי המשולשים:

נגזור על מנת למצוא את נקודת המינימום:


נשווה את המונה ל – 0 :
6x2 + 72x – 108 = 0-
נחלק ב- 6- :
x2 – 12x + 18 = 0

זו משוואה ריבועית, נפתור בעזרת נוסחת השורשים:

נשים לב כי x מסמן צלע שבוודאות קטנה מצלע הריבוע שאורכה 6.
לכן : x = 6 – 3√2

נוודא שזו אכן נקודת מינימום ע"י מבחן הנגזרת השנייה:
(המכנה תמיד חיובי, לכן נוכל לגזור רק את המונה)
f " (x) = -12x + 72
f " (6 – 3√2) = 50.91 > 0
הנגזרת השנייה בנקודה זו חיובית, לכן זו אכן נקודת מינימום.

תשובה: ערך ה -x עבורו סכום שטחי המשולשים מינימלי הוא: 
x = 6 – 3√2

 

חורף 2018 שאלה 8

f(x) = 1/x3

ראשית, נשרטט סקיצה המכילה את כל נתוני השאלה, כך השאלה תהיה יותר ברורה.

א. זוהי בעיית קיצון. שואלים אותנו לגבי אורכי הניצבים במשולש AOB.
מטרתנו היא להביע את סכום אורכי הניצבים במשולש כפונקציה של t.
לכן ראשית נמצא את שיעורי הנקודות A ו-B (כתלות ב- t).

נמצא את משוואת הישר המשיק:
השיפוע בנקודה x = t הוא ערך הנגזרת בנקודה זו.
f ' (x) = -3/x4
f ' (t) = -3/t4
לכן:   m = -3/t4.
יש לנו גם נקודה שנמצאת על הישר – נקודת ההשקה: (t, 1/t3).
נציב בנוסחה למשוואת ישר:
(y – 1/t3 = -3/t4(x – t
y = -3x/t4 + 3/t3 + 1/t3
y = -3x/t4 + 4/t3

נקודה A היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר x. לכן על מנת למצוא את נקודה A, נציב y = 0:
3x/t4 + 4/t3 = 0-
3x/t4 = 4/t3
(x = (4/t3)/(3/t4
x = 4t / 3
לכן שיעורי נקודה A הם: (0, 4t/3)

נקודה B היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר y, לכן על מנת למצוא אותה נציב x = 0.
y = 4/t3.
לכן : (B : (0 , 4/t3

כעת נגדיר את הפונקציה המייצגת את אורכי הניצבים:
f(t) = OA + OB
f(t) = 4t/3 + 4/t3

נגזור על מנת למצוא נקודות קיצון:
f ' (t) = 4/3 – 12/t4 = 0
נכפול ב – 3t4 :
4t4 = 36
t4 = 9
t = √3
(נתון כי t הוא בין 1 ל-5, לכן אינו יכול להיות שלילי).

נבדוק האם זוהי אכן נקודת מינימום בעזרת טבלה:

זוהי אכן נקודת מינימום.

לכן, שיעור ה- x של נקודת ההשקה, עבורו סכום ניצבי המשולש מינימלי, הוא: x = √3.

ב. לא מצאנו עוד נקודות קיצון לפונקציה שהגדרנו.
נסיק מכך כי נקודת המקסימום נמצאת באחת מקצוות התחום.
נבדוק זאת בעזרת טבלה:

שתי הקצוות הן נקודות מקסימום.
אך נשים לב כי עבור t = 5 ערך הפונקציה גדול יותר, ולכן זוהי נקודת המקסימום שאנו מחפשים.

לכן, שיעור ה – x של נקודת ההשקה, עבורו סכום ניצבי המשולש מקסימלי, הוא x = 5.

קיץ 2017 מועד א שאלה 8

נתון f (-t)=0 , f(2t) =0.
נציב t- ו 2t במשוואת הפונקציה ונפתור שתי משוואות עם שני נעלמים (t,c).
f (x) = -x²+2x+c
f (-t) =0 = -(-t)²-2t+c
t²-2t+c=0-
f (2t) =0 = -(2t)²+2*2t+c
4t²+4t+c=0-
t²-2t+c=0-
נחסר את המשוואות:
3t²+6t=0-
3t (2-t)=0
t=0 או t=2
נתון t>0 ולכן t=2
נציב את הערך של t באחת המשוואות ונקבל את c.
t²-2t+c=0-
c-4-4=0
c=8
תשובה: t=2, c=8

סעיף ב:
ערך ה x בנקודה m הוא ערך ה x של קודקוד הפרבולה.
f (x) = -x²+2x+c
x = -2 / -2=1
נניח כי הנקודה k היא: (x , -x²+2x+8)
כאשר x>1 שטח המשולש המבוקש הוא:
2 / (Sklm = (x-1) * (-x²+2x+8
נגזור את הפונקציה למציאת נקודות קיצון:
2/ (s ' = 1(-x²+2x+8)+ (-2x+2)(x-1) / 2 = (-x²+2x+8-2x²+2x+2x-2) /2 = (-3x²+6x+6
6+6x-3x²=0
2+2x-x²=0
x²-2x-2=0
נפתור על ידי נוסחת השורשים ונקבל:
x=1+√3
x=1-√3
נמצא את הנגזרת השנייה ונציב בה:
s " = 2x – 2
s" (1+√3) >0 – לכן זו נקודת מינימום.
s" (1-√3) <0  – לכן זו נקודת מקסימום.

מכוון שערך ה x בנקודה k יכול להיות קטן או גדול מ 1 (שזה ערך ה x של הנקודה m) עלינו לבנות פונקציה שבה  x<1. במקרה זה הדבר היחידי שהיה משתנה בפונקציה המקורית לחישוב שטח המשולש (2 / (Sklm = (x-1) * (-x²+2x+8) הוא שבמקום x-1 היינו צריכים לכתוב את הביטוי ההפוך והפונקציה הייתה הפוכה בסימן לפונקציה הנוכחית.
במקרה זה היינו מקבלים x=1-√3 נקודת מקסימום.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

2 thoughts on “בעיות מינימום מקסימום 581 5 יחידות

  1. זהר

    הסבר מעולה!!!!!!!!! תודה רבה רבה! עזרת לי כל כך!!!!
    ההסבר כל כך מדויק ובאמת שנהנתי ללמוד!!(:
    ממש ממש תודה!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.