בעיות מינימום מקסימום 581 5 יחידות

השלבים לפתרון בעיות מינימום מקסימום:

  1. בחירת משתנה ובנייה של פונקציה המתארת את הגודל ששואלים עליו.
  2. גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת ל 0.
  3. בודקים האם הנקודה שמצאנו בסעיף 2 היא מינימום או מקסימום. והאם זה מתאים למה שביקשו מאיתנו בשאלה.
  4. לרוב נדרש לעשות דבר נוסף; למשל לחשב מה הוא הערך המקסימלי או המינימלי שניתן לקבל.

בחלק הראשון של דף זה נתמקד בשלב 1: כיצד בונים פונקציה המתאימה לשאלה. הסיבה שנתמקד דווקא בשלב זה היא שאת שאר השלבים אתם למדתם כבר בתחומי לימוד אחרים.

בחלק השני של הדף יש פתרונות מלאים של שאלות מהבגרות.

חלק ראשון: בניית פונקציה

תרגיל 1

בתוך מלבן ששטחו 200 מ"ר בונים מלבן נוסף כך שמורדים 2 מטרים בכול צד מרוחבו ו 6 מטרים מאורכו.
מה רוחבו של המלבן המקורי שיוצר מלבן קטן יותר עם שטח מקסימלי?

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

פתרון
נגדיר את הגדלים במלבן המקורי:
x – הרוחב של המלבן המקורי.
t 200/x – האורך של המלבן המקורי.

נעבור למלבן החדש:
x-4  הרוחב של המלבן החדש.
6- (t (200/x – האורך של המלבן החדש.

נבנה פונקציה עבור שטח המלבן הקטן:

(f(x) = ((200-X) -6)) * (x-4

על מנת להשלים את התרגיל יש לגזור את הפונקציה ומצוא עבור אלו ערכים של X הפונקציה נמצאת בנקודת מקסימום.

תרגיל 2

מה הוא השיפוע הקטן ביותר של המשיק לפונקציה f (x) = x³ – 2x בתחום x≥5.

פתרון
"הפונקציה" המתארת את שיפוע המשיק היא הנגזרת.
f ' (x) = 3x² – 2
על מנת לדעת מתי לפונקציה זו יש נקודת מינימום עלינו לגזור את (f ' (x ולמצוא עבור איזה x לנגזרת יש ערך מינימלי.

f " (x) = 6x
הערך המינימלי בתוך תחום ההגדרה מתקבל כאשר x=5 לכן זה הערך עבורו שיפוע המשיק מינימלי.
f ' (5) = 3*5² – 2 = 73
תשובה: השיפוע המינימלי הוא 73.

2. קשיים שעלו בשאלות מבגרות בשנים קודמות

קיץ 2017 שאלה א

בשאלה זו ביקשו למצוא את השטח המקסימלי של משולש KLM הנוצר על ידי נקודה כלשהי K הנמצאת על גרף הפונקציה f (x) = -x²+2x+8 והנקודה M שעבורה x=1 והנקודה L שבה ערך ה x שווה לערך ה x בנקודה K.
זה השרטוט שהיה מצורף לשאלה.

שרטוט התרגיל

הפונקציה לחישוב שטח המשולש היא:
2 / (Sklm = (x-1) * (-x²+2x+8

ומה הקושי?
הקושי הוא לזהות שמכוון ש K היא נקודה כלשהי על הגרף צריך לבנות פונקציה נפרדת עבור המצב שבו ערך ה X של הנקודה K הוא קטן מ 1 ואז המשולש נראה כך:

שרטוט המשולש כאשר ערך ה X בנקודה K קטן מ 1

הפונקציה המתאימה לחישוב שטח משולש זה היא:
2 / (Sklm = (1-x) * (-x²+2x+8

ללמוד נושאים נוספים עבור בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3. פתרון שאלות מהבגרות

קיץ 2017 מועד א שאלה 8

נתון f (-t)=0 , f(2t) =0.
נציב t- ו 2t במשוואת הפונקציה ונפתור שתי משוואות עם שני נעלמים (t,c).
f (x) = -x²+2x+c
f (-t) =0 = -(-t)²-2t+c
t²-2t+c=0-
f (2t) =0 = -(2t)²+2*2t+c
4t²+4t+c=0-
t²-2t+c=0-
נחסר את המשוואות:
3t²+6t=0-
3t (2-t)=0
t=0 או t=2
נתון t>0 ולכן t=2
נציב את הערך של t באחת המשוואות ונקבל את c.
t²-2t+c=0-
c-4-4=0
c=8
תשובה: t=2, c=8

סעיף ב:
ערך ה x בנקודה m הוא ערך ה x של קודקוד הפרבולה.
f (x) = -x²+2x+c
x = -2 / -2=1
נניח כי הנקודה k היא: (x , -x²+2x+8)
כאשר x>1 שטח המשולש המבוקש הוא:
2 / (Sklm = (x-1) * (-x²+2x+8
נגזור את הפונקציה למציאת נקודות קיצון:
2/ (s ' = 1(-x²+2x+8)+ (-2x+2)(x-1) / 2 = (-x²+2x+8-2x²+2x+2x-2) /2 = (-3x²+6x+6
6+6x-3x²=0
2+2x-x²=0
x²-2x-2=0
נפתור על ידי נוסחת השורשים ונקבל:
x=1+√3
x=1-√3
נמצא את הנגזרת השנייה ונציב בה:
s " = 2x – 2
s" (1+√3) >0 – לכן זו נקודת מינימום.
s" (1-√3) <0  – לכן זו נקודת מקסימום.

מכוון שערך ה x בנקודה k יכול להיות קטן או גדול מ 1 (שזה ערך ה x של הנקודה m) עלינו לבנות פונקציה שבה  x<1. במקרה זה הדבר היחידי שהיה משתנה בפונקציה המקורית לחישוב שטח המשולש (2 / (Sklm = (x-1) * (-x²+2x+8) הוא שבמקום x-1 היינו צריכים לכתוב את הביטוי ההפוך והפונקציה הייתה הפוכה בסימן לפונקציה הנוכחית.
במקרה זה היינו מקבלים x=1-√3 נקודת מקסימום.

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.