סדרות 581 5 יחידות

דף זה נועד לאלו שכבר יודעים את החומר וצריכים עוד ליטוש על מנת להשתפר.
לכן דף זה לא כולל הסברים יסודיים כיצד פותרים שאלות בנושא סדרות מתמטיות.
הדף כולל מידע על מכשולים שהופיעו בבחינות הבגרות של השנים האחרונות ותרגילים פתורים מבחינות הבגרות.
(אם אתם מעוניינים בהסברים יסודיים תוכלו למצוא אותם בדפים: סדרה חשבונית,  סכום סדרה חשבונית, סכום סדרה הנדסית, סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת).

מכשולים שהופיעו בבחינות הבגרות בשנים האחרונות

מציאת סכום של סדרה "לא ברורה"

סדרה "לא ברורה" היא סדרה שלא ניתן להוכיח שהיא חשבונית או הנדסית ולכן לא ניתן להשתמש בנוסחאות הסכום של הסדרות הללו.
על מנת לחשב סכום של סדרה כזו עלינו למצוא את הקשר בין הסדרה הלא ברורה לבין סדרה שהיא חשבונית / הנדסית.
על מנת לעשות זאת פעלו לפי השלבים הבאים:

  1. זהו בשאלה ביטוי הדומה לביטוי הקיים בסדרה הלא ברורה.
  2. פתחו את הביטוי הזה כך שתוכלו להגדיר את הסדרה הלא ברורה באמצעות סדרה הנדסית / חשבונית.
  3. השתמשו בנוסחה של סכום סדרה חשבונית / הנדסית + התאמות על מנת לחשב את הסכום של הסדרה "הלא ברורה".

דוגמה מתוך בחינת הבגרות של חורף 2017:

נתון bn היא סדרה הנדסית שנוסחת האיבר הכללי שלה היא bn  = 3n-1.
כמו כן ידוע bn = (1/an) +2

השאלה: מצאו את הסכום של הסדרה:
d = 1/a1+1/a2+ …+ 1/an

פתרון
על מנת למצוא את הסכום עלינו למצוא את הקשר בין הביטוי d לבין הסדרה ההנדסית bn.
ניתן לראות כי המשוואה bn = (1/an) +2 כוללת ביטוי דומה לזה שמופיע ב d

כאשר נפתח את המשוואה נקבל:
bn = (1/an) +2
bn -2 = 1/an
כלומר:
b1 -2 = 1/a1
b2 -2 = 1/a2
b3 -2 = 1/a3
אנו רואים כי סכום הסדרה d = 1/a1 + ….+ 1/an הוא סכום הסדרה bn פחות 2n.

סכום הסדרה ההנדסית bn הוא:
Sn = (3n -1) / 2
לכן סכום הסדרה d = 1/a1 + ….+ 1/an הוא:
Sbn = 0.5(3n -1)-2n – תשובה סופית.

הערה: קיימות שתי דרכים נוספות למציאת סכום "סדרה לא ברורה":

  1. אם מדובר בסכום של מספר איברים סביר – נניח עד 15-20 איברים יתכן שיהיה קל לחשב כמה שווה כל איבר ואז לעשות סכום של האיברים שמצאנו.
  2. להוכיח שזו סדרה חשבונית / הנדסית ואז ניתן להשתמש בנוסחאות הסכום של הסדרות הללו (למשל קיץ 2016 סעיף ד).

על מנת להגדיר סדרה עלינו להשתמש בקשר של סדרות אחרות אליה

דוגמה מתוך סעיף א בבגרות של קיץ 2017 מועד א.

נתון: an =((2n+1) (2n-1)) / 2n
an = bn-cn
b6 = 64
c3 = 0.125
צ"ל: מצאו את האיבר הכללי של הסדרה bn.

פתרון
על מנת לפתור את השאלה עלינו להשתמש ב c3 = 0.125 וגם ב an = bn-cn על מנת לחשב את b3.
לאחר שנדע את b3, b6 השאלה למעשה פתורה.

נשתמש ב c3 על מנת לדעת מי הוא b3.
נמצא את a3.
a3 = (23+1) * (23-1) / 23 = 9*7/8 = 63/8= 7.875

b3 = a3+c3 = 1/8 + 63/8 = 64/8 = 8
b6 / b3 = q³ = 64/8 = 8
q=2

b3 = b1
8 = 4b1
b1 = 2
תשובה: b1 = 2. q=2.

כדאי ליצור מכנה משותף בתוך כל ביטוי כאשר מחלקים שני ביטויים

לפעמים נדרש לחלק בין שני ביטויים – כאשר עושים זאת כדי ליצור מכנה משותף לכל ביטוי וביטוי.
הסיבה שכדאי לעשות זאת היא שכך יותר קל לצמצם מכנים.

דוגמה:
an = (5/bn) +2
an+1  = (2-q) / bn
an+1 / an = ?
לפני שאנו ממבצעים את פעולת החילוק כדאי לנו לבצע את הפעולה הבאה על an:
an = (5/bn) +2 = (5+2bn) / bn

(דוגמה נוספת לכך מהבגרות ניתן למצוא בחורף 2017 סעיף א).

בגרות במתמטיקה 5 יחידות, הסברים ותרגילים לחומר הלימוד.

פתרון תרגילים בסדרות מהבגרות

התרגילים לקוחים משאלון 581 (לשעבר 806). השאלה בנושא סדרות היא שאלה מספר 2.
את שאלון הבגרות תוכלו למצוא על ידי חיפוש שם השאלון באינטרנט.

קיץ 2017 מועד א

על מנת לדעת פרטים על הסדרה bn עלינו לדעת ערכים של שני איברים שלה. לכן נשתמש ב c3 על מנת לדעת מי הוא b3.
נמצא את a3.
a3 = (23+1) * (23-1) / 23 = 9*7/8 = 63/8= 7.875

b3 = a3+c3 = 1/8 + 63/8 = 64/8 = 8
b6 / b3 = q³ = 64/8 = 8
q=2

b3 = b1
8 = 4b1
b1 = 2
תשובה: b1 = 2. q=22.

חלק שני.
c1 = b1-a1
נמצא את a1.
a1 = (21+1) * (21-1) / 21 =1.5
c1 = 2-1.5=0.5

c3 / c1 = q² = 0.125 / 0.5 = 0.25
q² =  0.25
q=0.5
תשובה: q=0.5, c1 = 0.55.

סעיף ב
an = bn – cn נתון.
cn = bn– an
קיבלנו כי כל איבר בסדרה cn שווה להפרש האיברים המתאימים בסדרות bn, an  לכן סכום ההפרשים בסדרות bn, an שווה לסכום הסדרה cn.

סעיף ג: בגלל מגבלות הכתיבה באתר אכתוב את האי שוויון כשני אי שוויון וגם.
0.9 < Bn – An וגם 1 > Bn – An
על פי סעיף ב ניתן לכתוב:
0.9 <  Cn וגם 1 > Cn

נציב את הערכים q=0.5, c1 = 0.5 בנוסחה לסכום סדרה הנדסית:
(Sn = (0.5(0.5n-1) / 0.5-1 = – (0.5n-1
נפתור עכשיו את שני האי שוויונים:
0.5n-1)<1)-
1-0.5n <1
0.5n<0-
אי שוויון זה מתקיים לכל nn חיובי ושלם.

0.5n-1)>0.9)-
1-0.5>0.9
0.5n<0.1
נבדוק טכנית מתי זה קורה:
0.5³ = 0.125 >0.1
0.54 = 1/16 >0.1
כאשר ה n גדל הערכים של 0.5n קטנים והאי שוויון מתקיים עבור n>4 וזו התשובה הסופית.
אי שוויון זה מתקיים כאשר n>4

חורף 2017

(an+1 = an / (4an+3
bn = (1/an) +2 = (2an+1) / an

bn =2+(4an+3) / an
bn+1 = 2+(4an+1+3) / an+1 = (6an+1+3) / an+1
נציב את (an+1 = an / (4an+3 במשוואה.
bn+1 = 6an / (4an+3) +3 / an / (4an+3) = 6an+3 / an
bn+1 / bn = (6an+3 / an) / (2an+1) / an) = (6an+3) / (2an+1) = 3

מצאנו כי לסדרה bn מנה קבועה (3) שאינה תלויה ב n ולכן זו סדרה הנדסית.

סעיף ב

נמצא את b1.
b1 = 1/-1 +2=1
הנוסחה של bn על פי הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית:
bn = 1*3n-1 = 3n-1

ננסה למצוא את הקשר בין הסדרה  d = 1/a1 + ….+ 1/an לבין bn.
אנו יודעים כי  bn = (1/an) +2
bn -2 = 1/an
כלומר:
b1 -2 = 1/a1
b2 -2 = 1/a2
b3 -2 = 1/a3
אנו רואים כי סכום הסדרה d = 1/a1 + ….+ 1/an הוא סכום הסדרה bn פחות 2n.

נגדיר את סכום הסדרה ההנדסית bn.
Sn = (3n -1) / 2
לכן סכום הסדרה d = 1/a1 + ….+ 1/an הוא:
Sbn = 0.5(3n -1)-2n – תשובה סופית.

סעיף ג

עלינו לחשב את סכום הסדרה:
k = 1/a1 -1/a2+1/a3 – 1/a4….+1/an-1 -1 1/an
אם נציב bn -2 = 1/an במקום איברי הסדרה נקבל:
(k =(b1-2)- (b2-2) +(b3-2) – (b4-2)…+(bn-1-2)- (bn-2
ניתן לראות שכאשר פותחים סוגריים אנו נשארים עם הביטוי:
k = b1 – b2+b3– b4 + … +bn-1 – bn
שימו שכל מספרי ה 2 מתבטלים בגלל שידוע שמספר איברי הסדרה הוא זוגי. אם המספר היה אי זוגי היינו נשארים עם 2 אחד.
הסדרה שמצאנו היא סדרה הנדסית שבה q=-3 ו a1=1. הסכום של סדרה זו הוא:
S =((-3)n-1) / -4
מכוון ש n זוגי ניתן לרשום גם:
S =((3)n-1) / -4

קיץ 2016 מועד א

a4+ a8 + a12 + a16 = 224
נשתמש בנוסחה לאיבר הכללי על מנת להגדיר משוואה זו רק באמצעות a1, d.
a4 = a1+ 3d
a8 = a1+ 7d
a12 = a1+ 11d
a16 = a1+ 15d
a4+ a8 + a12 + a16 = 4a1 + 36d= 224
a1 + 9d)4 = 224)
a1 + 9d = 56  – זו משוואה 1.
נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית על מנת לחשב את סכום 19 האיברים.
sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2
(s19 = (2a1 + (19-1)d) * 19/2 = 9.5 (2a1+ 18d
a1+ 9d)19)
נציב את משוואה 1 בביטוי זה:
s19 = 19*56 = 1064
תשובה: s19  = 1064.

סעיף ב.
sn = n*an
נגדיר את שני צידי המשוואה בעזרת a1, d.
((2a1 + (n-1)d) * n/2 = n(a1+d(n-1)
a1 +0.5dn-0.5d = a1 + dn -d
0.5d(n-1)=0
n-1= 0  לא יתכן כי בסדרה קיים a16
0.5d = 0
d=0

סעיף ג.
אנו יודעים כי:
a1 + 9d = 56
a1 + 0 = 56
a1  = 56

סעיף ד.
bn+1 – bn = an + sn
צריך למצוא את הסכום של:
(b2– b1) – (b3-b2) + (b4-b3) …  + (b20 – b19)
על מנת לחשב את הסכום עלינו להוכיח כי bn היא סדרה חשבונית.
אנו יודעים כי sn = n*an
(bn+1 – bn = an +n*an = an (1+n
נחסר בין שני איברים סמוכים בסדרה bn על מנת להראות שההפרש הוא מספר קבוע.
(bn+1 – bn – (bn-bn-1 =
אנו יודעים כי:
(bn+1 – bn  = an (1+n
bn-bn-1 = an-1 * n

(an (1+n) – (an-1 * n
בסדרה an הפרש הסדרה הוא 0 ולכן an= an-1=56
an (1+n) – (an-1 * n = 56 + 56n-56n=56
מצאנו כי הפרש הסדרה הוא מספר קבוע ולכן זו סדרה חשבונית שהפרשה הוא 56.
נמצא את האיבר הראשון בסדרה (n=1):
b2-b1 = an (1+n)=56*2=112

נציב a1=112, d=56, n=19 בנוסחה לסכום סדרה חשבונית.
Sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2
Sn = (2*112 + 18*56) * 9.5 = 11,704

דרך נוספת לחישוב סכום הסדרה היא להשתמש בכך שאנו יודעים שיש בסדרה 19 איברים:
(b2– b1) – (b3-b2) + (b4-b3) …  + (b20 – b19)
ולכן ניתן לחשב כל אחד מיהם ספציפית:
t1 = b2-b1 = an (1+n)=56*2=112
t2 =  b3-b2 = a2 (1+2)=56*3=168
וכך הלאה, כל איבר גדול מקודמו ב 56.
לכן 19 האיברים הם:
112+168+224+280…. = 11,704.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.