סדרות 581 5 יחידות

בתחילת הדף קישורים לדפים באתר בנושא סדרות.
לאחר מיכן פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

סדרה חשבונית

הדף הרביעי בנושא סכום סדרה חשבונית חשוב יותר מהאחרים וכולל בעצמו עוד מספר קישורים.

  1. שיעור ראשון: איך מוכיחים שסדרה היא סדרה חשבונית.
  2. שיעור שני: נוסחת האיבר הכללי.
  3. שיעור שלישי: כלל הנסיגה.
  4. שיעור רביעי: סכום סדרה חשבונית (דף הכולל מספר קישורים נוספים).

סדרה הנדסית

  1. שיעור ראשון: סדרה הנדסית.
  2. שיעור שני: סכום סדרה הנדסית.
  3. שיעור שלישי: סכום סדרה הנדסית אינסופית.

פתרון תרגילים בסדרות מהבגרות

התרגילים לקוחים משאלון 581 (לשעבר 806). השאלה בנושא סדרות היא שאלה מספר 2.

חורף 2019

סעיף א
הרעיון של הפתרון
מכוון שבמשוואה שקיבלנו מופיעים גם הסכום וגם הערך של האיבר במקום ה an+2 עלינו לחשב את שניהם.
נגדיר
d  – הפרש הסדרה.

האיבר האמצעי נמצא במקום:
2n + 3 + 1) : 2 = n + 2)

נחשב את ערך האיבר במקום ה an+2 על פי נוסחת האיבר הכללי.
an=a1+ (n-1)d
an+2=a1+ (n+1)d

נחשב את סכום 2n+3 איברי הסדרה.
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:

באגף ימין ניתן להוציא 2 מחוץ לסוגריים ולצמצם

נציב את המשוואה הזו
an+2 = a1+ (n+1)d
ונקבל:
(S2n +3 = an +2 * (2n + 3

סעיף א חלק שני
על מנת למצוא את מספר האיברים נבנה משוואה
S2n +3 = 43 * an +2
an +2 * (2n + 3) = 43 * an +2
מכוון ש an +2 שונה מ 0 ניתן לצמצם אותו.
2n + 3 = 43  / -3
2n = 40  / : 2
n = 20

מספר האיברים הוא 2n + 3. לכן מספר האיברים הוא 43.

סעיף ב
עבור סדרת המקומות האי זוגיים
a1 האיבר הראשון.
2d הפרש הסדרה
n+ 2  = 22 מספר האיברים.
לכן סכום המקומות האי זוגיים יהיה:

עבור סדרת המקומות הזוגיים:
a1 + d האיבר הראשון.
2d הפרש הסדרה
n+ 1  = 21 מספר האיברים.
לכן סכום המקומות הזוגיים הוא:

המשוואה היא:

2a1 + 42d)*22  = (2a1 + 42d) *21) +80
44a1+ 924d  = 42a+ 882d + 80
2a1 + 42d = 80
a1 + 21d = 40

האיבר האמצעי הוא האיבר במקום ה 22.
על פי נוסחת האיבר הכללי:
a22 = a1 + 21d
לכן האיבר האמצעי שווה ל 40.

סעיף ב חלק שני
סכום הסדרה גדול פי 43 מהאיבר האמצעי לכן הסכום הוא:
S = 43 * 40 = 1720

סעיף ג
d = -a1
כלומר:
a1 = -d

בסעיף הקודם מצאנו כי:
a1 + 21d = 40
21d – d = 40
20d = 40  / : 20
d = 2
הפרש הסדרה חיובי ולכן הפונקציה עולה.

סעיף ד
בסדרה המקורית 43 איברים.
אנו רואים שכל איבר בסדרה המקורית מתחיל איבר בסדרה החדשה.
מה יהיה האיבר האחרון בסדרה החדשה?
על מנת שהאיבר האחרון יוכל לכלול k איברים הוא צריך להתחיל במקום ה n+ 1 -k
למשל אם k=3.
אז האיבר האחרון יכלול את האיברים 41,42,43.
התשובה היא:

קיץ 2018 מועד ב

סעיף א

ננסה למצוא את הקשר בין an+2 ל an.

מצאנו כי קיים יחס קבוע בין שני איברים המרוחקים שני מקומות אחד מהשני. לכן סדרת המקומות הזוגיים והאי זוגיים הן סדרות הנדסיות.
ההוכחה שעשינו תופסת לכל n, לא הגבלנו את ההוכחה ל n זוגי או אי זוגי.

סעיף ב חלק ראשון
נתון לנו

a3 = a1*c = -1
a5 = -1*c = -c
a7 = -c * c = -c²

נעבור לסדרת המקומות הזוגיים:

מכך ניתן למצוא את a2

a4 = a2*c = c
a6 = a4*c = c²

לסיכום שבעת האיברים הם:


a2 = 1
a3 = a1*c = -1
a4 = a2*c = c
a5 = -1*c = -c
a6 = a4*c = c²
a7 = -c * c = -c²

סעיף ב חלק שני
סכום שבעת האיברים הוא:

סעיף ב חלק שלישי
נחשב את סדרת המקומות הזוגיים ואת סדרת המקומות האי זוגיים ונחבר אותן.
בסדרת המקומות האי זוגיים n איברים.
בסדרת המקומות הזוגיים n-1 איברים.

הנוסחה לסכום סדרה הנדסית היא:

סכום סדרה הנדסית

סכום המקומות האי זוגיים והזוגיים ביחד הוא:
(משמאל האי זוגיים, מימים הזוגיים)

נשים לב ש:

לכן נקבל:

ניצור במונה מכנה משותף של c.
לאחר מיכן נוציא מינוס מכנה משותף במכנה על על מנת שנוכל לצמצם.

מצאנו כי הסכום של 2n-1 איברים עוקבים הוא

ולכן הוא אינו תלוי ב n.

סעיף ג
נציב את הנוסחה של an+1 אל הנוסחה של bn ונקבל:

לכן bn+1 שווה ל:

נבדוק מה היא מנת החלוקה של איברים עוקבים.

מצאנו כי מנת איברים עוקבים היא מספר קבוע, ולכן זו סדרה הנדסית.

סעיף ג חלק שני
נתון כי c > 0.
הסדרה תהיה סדרה יורדת כאשר

וזה קורה כאשר c >1 (זו התשובה לסעיף).

סעיף ג חלק שלישי
על מנת לחשב את סכום הסדרה עלינו למצוא את b1.
נוסחת האיבר הכללי היא:

ולכן האיבר הראשון הוא:

נציב בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית ונקבל את התשובה:

קיץ 2018 מועד א

סעיף א
סכום סדרה הנדסית מתכנסת ניתן על ידי הנוסחה:
סכום סדרה הנדסית אינסופית
ובסדרה הנדסית מתכנסת q > -1 וגם q < 1.
לכן בסדרה הנדסית מתכנסת המכנה תמיד חיובי.

אם כך הדבר היחידי שגורם לסכום להיות שלילי הוא a1 < 0.
התשובה היא ג.

סעיף ב
נביע את T,R באמצעות q,a1 וכך נוכל להגיע אל התשובה.

עבור סדרת המקומות האי זוגיים
a1' = a1
q' = q²
לכן סכום איברי המקומות האי זוגיים הוא:

עבור סדרת המקומות הזוגיים:
a1" = a1q
q" = q²
לכן סכום המקומות הזוגיים הוא:

נציב את הערכים של T,R בנוסחה:
T + pR = 0

p*q + 1 = 0  /-1
p*q = -1  / : q
p = -1/q

סעיף ג
הסדרה b היא סדרה מתכנסת אם p הוא מספר בין 1- ל 1.
אנו יודעים כי q הוא מספר בתחום הזה.
לכן  הביטוי p = -1/q גדול מ 1 או קטן מ 1-.
לכן זו לא סדרה מתכנסת.

סעיף ד
בסעיף ב מצאנו:
p*q = -1
q = -1 / p
אם p שלילי אז q חיובי.

כמו כן מצאנו בסעיף א ש a1 < 0

נבצע את פעולת החיסור
an+1 – an
ואם התוצאה חיובית אז
an+1 > an

(an+1 – an = a1qn – a1qn-1 = a1qn-1(q -1
הביטוי a1qn-1 הוא שלילי כי a1 שלילי ו q חיובי.
הביטוי q -1 שלילי כי q < 1.
מכפלת שני ביטויים שליליים היא חיובית ולכן הוכחנו ש:
an+1 – an > 0
ולכן זו בדרה עולה.

*הערה: השתמשנו בסעיף זה בהוכחה מתמטית מסורבלת לדבר פשוט.
יתכן שבודק הבחינה היה מקבל גם את ההוכחה המילולית הבאה.
a1 < 0
q הוא מספר חיובי הקטן מ 1 ולכן תוצאת המכפלה:
a1qn קטנה ככול ש n גדול יותר.

קיץ 2017 מועד א

על מנת לדעת פרטים על הסדרה bn עלינו לדעת ערכים של שני איברים שלה. לכן נשתמש ב c3 על מנת לדעת מי הוא b3.
נמצא את a3.
a3 = (23+1) * (23-1) / 23 = 9*7/8 = 63/8= 7.875

b3 = a3+c3 = 1/8 + 63/8 = 64/8 = 8
b6 / b3 = q³ = 64/8 = 8
q=2

b3 = b1
8 = 4b1
b1 = 2
תשובה: b1 = 2. q=22.

חלק שני.
c1 = b1-a1
נמצא את a1.
a1 = (21+1) * (21-1) / 21 =1.5
c1 = 2-1.5=0.5

c3 / c1 = q² = 0.125 / 0.5 = 0.25
q² =  0.25
q=0.5
תשובה: q=0.5, c1 = 0.55.

סעיף ב
an = bn – cn נתון.
cn = bn– an
קיבלנו כי כל איבר בסדרה cn שווה להפרש האיברים המתאימים בסדרות bn, an  לכן סכום ההפרשים בסדרות bn, an שווה לסכום הסדרה cn.

סעיף ג: בגלל מגבלות הכתיבה באתר אכתוב את האי שוויון כשני אי שוויון וגם.
0.9 < Bn – An וגם 1 > Bn – An
על פי סעיף ב ניתן לכתוב:
0.9 <  Cn וגם 1 > Cn

נציב את הערכים q=0.5, c1 = 0.5 בנוסחה לסכום סדרה הנדסית:
(Sn = (0.5(0.5n-1) / 0.5-1 = – (0.5n-1
נפתור עכשיו את שני האי שוויונים:
0.5n-1)<1)-
1-0.5n <1
0.5n<0-
אי שוויון זה מתקיים לכל nn חיובי ושלם.

0.5n-1)>0.9)-
1-0.5>0.9
0.5n<0.1
נבדוק טכנית מתי זה קורה:
0.5³ = 0.125 >0.1
0.54 = 1/16 >0.1
כאשר ה n גדל הערכים של 0.5n קטנים והאי שוויון מתקיים עבור n>4 וזו התשובה הסופית.
אי שוויון זה מתקיים כאשר n>4

חורף 2017

(an+1 = an / (4an+3
bn = (1/an) +2 = (2an+1) / an

bn =2+(4an+3) / an
bn+1 = 2+(4an+1+3) / an+1 = (6an+1+3) / an+1
נציב את (an+1 = an / (4an+3 במשוואה.
bn+1 = 6an / (4an+3) +3 / an / (4an+3) = 6an+3 / an
bn+1 / bn = (6an+3 / an) / (2an+1) / an) = (6an+3) / (2an+1) = 3

מצאנו כי לסדרה bn מנה קבועה (3) שאינה תלויה ב n ולכן זו סדרה הנדסית.

סעיף ב

נמצא את b1.
b1 = 1/-1 +2=1
הנוסחה של bn על פי הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית:
bn = 1*3n-1 = 3n-1

ננסה למצוא את הקשר בין הסדרה  d = 1/a1 + ….+ 1/an לבין bn.
אנו יודעים כי  bn = (1/an) +2
bn -2 = 1/an
כלומר:
b1 -2 = 1/a1
b2 -2 = 1/a2
b3 -2 = 1/a3
אנו רואים כי סכום הסדרה d = 1/a1 + ….+ 1/an הוא סכום הסדרה bn פחות 2n.

נגדיר את סכום הסדרה ההנדסית bn.
Sn = (3n -1) / 2
לכן סכום הסדרה d = 1/a1 + ….+ 1/an הוא:
Sbn = 0.5(3n -1)-2n – תשובה סופית.

סעיף ג

עלינו לחשב את סכום הסדרה:
k = 1/a1 -1/a2+1/a3 – 1/a4….+1/an-1 -1 1/an
אם נציב bn -2 = 1/an במקום איברי הסדרה נקבל:
(k =(b1-2)- (b2-2) +(b3-2) – (b4-2)…+(bn-1-2)- (bn-2
ניתן לראות שכאשר פותחים סוגריים אנו נשארים עם הביטוי:
k = b1 – b2+b3– b4 + … +bn-1 – bn
שימו שכל מספרי ה 2 מתבטלים בגלל שידוע שמספר איברי הסדרה הוא זוגי. אם המספר היה אי זוגי היינו נשארים עם 2 אחד.
הסדרה שמצאנו היא סדרה הנדסית שבה q=-3 ו a1=1. הסכום של סדרה זו הוא:
S =((-3)n-1) / -4
מכוון ש n זוגי ניתן לרשום גם:
S =((3)n-1) / -4

קיץ 2016 מועד א

a4+ a8 + a12 + a16 = 224
נשתמש בנוסחה לאיבר הכללי על מנת להגדיר משוואה זו רק באמצעות a1, d.
a4 = a1+ 3d
a8 = a1+ 7d
a12 = a1+ 11d
a16 = a1+ 15d
a4+ a8 + a12 + a16 = 4a1 + 36d= 224
a1 + 9d)4 = 224)
a1 + 9d = 56  – זו משוואה 1.
נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית על מנת לחשב את סכום 19 האיברים.
sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2
(s19 = (2a1 + (19-1)d) * 19/2 = 9.5 (2a1+ 18d
a1+ 9d)19)
נציב את משוואה 1 בביטוי זה:
s19 = 19*56 = 1064
תשובה: s19  = 1064.

סעיף ב.
sn = n*an
נגדיר את שני צידי המשוואה בעזרת a1, d.
((2a1 + (n-1)d) * n/2 = n(a1+d(n-1)
a1 +0.5dn-0.5d = a1 + dn -d
0.5d(n-1)=0
n-1= 0  לא יתכן כי בסדרה קיים a16
0.5d = 0
d=0

סעיף ג.
אנו יודעים כי:
a1 + 9d = 56
a1 + 0 = 56
a1  = 56

סעיף ד.
bn+1 – bn = an + sn
צריך למצוא את הסכום של:
(b2– b1) – (b3-b2) + (b4-b3) …  + (b20 – b19)
על מנת לחשב את הסכום עלינו להוכיח כי bn היא סדרה חשבונית.
אנו יודעים כי sn = n*an
(bn+1 – bn = an +n*an = an (1+n
נחסר בין שני איברים סמוכים בסדרה bn על מנת להראות שההפרש הוא מספר קבוע.
(bn+1 – bn – (bn-bn-1 =
אנו יודעים כי:
(bn+1 – bn  = an (1+n
bn-bn-1 = an-1 * n

(an (1+n) – (an-1 * n
בסדרה an הפרש הסדרה הוא 0 ולכן an= an-1=56
an (1+n) – (an-1 * n = 56 + 56n-56n=56
מצאנו כי הפרש הסדרה הוא מספר קבוע ולכן זו סדרה חשבונית שהפרשה הוא 56.
נמצא את האיבר הראשון בסדרה (n=1):
b2-b1 = an (1+n)=56*2=112

נציב a1=112, d=56, n=19 בנוסחה לסכום סדרה חשבונית.
Sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2
Sn = (2*112 + 18*56) * 9.5 = 11,704

דרך נוספת לחישוב סכום הסדרה היא להשתמש בכך שאנו יודעים שיש בסדרה 19 איברים:
(b2– b1) – (b3-b2) + (b4-b3) …  + (b20 – b19)
ולכן ניתן לחשב כל אחד מיהם ספציפית:
t1 = b2-b1 = an (1+n)=56*2=112
t2 =  b3-b2 = a2 (1+2)=56*3=168
וכך הלאה, כל איבר גדול מקודמו ב 56.
לכן 19 האיברים הם:
112+168+224+280…. = 11,704.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.