גיאומטריה 581 5 יחידות

בדף זה שני חלקים.

בחלק הראשון 10 טיפים לפתרון שאלות בגיאומטריה.
בחלק השני פתרונות מלאים לשאלות מהבגרות.

10 טיפים ודרכים לפתרון שאלות בגיאומטריה

1.כאשר נתון קוטר במעגל סמנו אותו גם כשני רדיוסים

כלומר סמנו את האות R במקום המתאים.
למה לעשות זאת? בשאלות מסוג זה הרבה פעמים נוצרים משולשים שווי שוקיים / שווה צלעות על ידי הרדיוסים. אם לא תסמנו את הרדיוסים בסימון המתאים יתכן שלא תזהו את המשולשים הללו.

סיבה נוספת היא שממרכז הקוטר (מרכז המעגל) יכול לצאת קטע אמצעים במשולש / טרפז וזה יהיה לנו ברור יותר אם נסמן את חלקי הקוטר ב R.

דוגמה לכך היא השאלה מקיץ 2017 מועד א. בה רשמו כי CB הוא קוטר ולאחר מיכן היה צריך להשתמש גם בקטע אמצעים בטרפז וגם במשולשים שווי שוקיים שיצרו הרדיוסים.

נתון כי BC הוא קוטר. אבל כאשר נסמן BO=CO=R נוכל לזהות בקלות רבה יותר כי OE הוא קטע אמצעים בטרפז וגם את משולש OEC כמשולש שווה שוקיים. ואת שתי הדברים הללו יש לעשות על מנת לפתור את השאלה.

נתון כי BC הוא קוטר.
אבל כאשר נסמן BO=CO=R נוכל לזהות בקלות רבה יותר כי OE הוא קטע אמצעים בטרפז וגם את משולש OEC כמשולש שווה שוקיים.
ואת שתי הדברים הללו יש לעשות על מנת לפתור את השאלה.

2. כאשר נתון קוטר במעגל חפשו את הזווית ההיקפית הנשענת עליו

ואם אין זוויות היקפית הנשענת עליו בדקו האם אתם צריכים לבנות אחת כזאת כבניית עזר.
בכמעט כל שאלה שמופיע בה קוטר מופיע גם המשפט "זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות"

3. אם מופיע בשאלה נתון שלא השתמשתם בו, אז לא תצליחו לפתור את השאלה עד שלא תשתמשו בנתון זה

למשל אם מופיעה בשאלה המילה "משיק" ועדיין לא השתמשתם בתכונה זו כפתרון סביר שלא תצליחו לפתור את השאלה עד שלא תבינו כיצד להשתמש בתכונות של "המשיק". במקרה זה עליכם להריץ במוח את כל המשפטים המדברים על משיק ולראות באיזה משפט אתם יכולים להשתמש בשאלה זו.

4. אם מוספים לכם קווים תוך כדי התרגיל עליכם לשרטט אותם

לפעמים בסעיף ג של השאלה יגידו לכם שמעבירים קו נוסף בשרטוט ואתם בגלל שתהיו עמוסים או שתחשבו שאתם מסוגלים להבין את המשמעות של הקו הזה גם בלי לשרטט אותו "תדלגו" על שרטוט הקו.
אז אל תעשו את זה. ואם מוסיפים לכם קו במהלך התרגיל עצרו שנייה כדי לשים אותו בשרטוט. משום שהשאלות אינן קלות ועליכם לראות את כל השרטוט במדויק מול העיניים.

5. צרו שתי משוואות שצד אחד של המשוואה קיים בשתיהן

(ואז הפכו אותן למשוואה אחת).
אם אתם צריכים להוכיח ש x=y
אז תמצאו כי:
x=z
y=z
ולכן x=y.

בהרבה מהשאלות שבהם אתם צריכים להוכיח משהוא בסגנון של: AC*AD=FG*CD עליכם למצוא זוג צלעות שניתן ליצור לו משוואה עם צד ימין של המשוואה (FG*CD) ועם צד שמאל (AC*AD).
למשל:
AC*AD=TR * DF
TR * DF=FG*CD
ולכן: AC*AD=FG*CD
דוגמה מתוך שאלה בבגרות: חורף 2017 שאלה 4 סעיף ג

בגרות חורף 2017 גיאומטריה 581

צריך להוכיח כי R* BD = r * CE.
(R הוא רדיוס המעגל הגדול ו r הוא רדיוס המעגל הקטן).
ידוע כי: O1D ΙΙ O2E
וגם BD ΙΙ CE

פתרון

  1. r/ R = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש AEO2).(זו ההגדרה הראשונה).
  2. BD / CE = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש ΔACE). (זו ההגדרה השנייה).
  3. r/ R = BD / CE (זה השוויון שנוצר משתי ההגדרות).
    r*CE = R * BD – מש"ל.

6. לזכור את הקשר שבין גדלי מיתרים לגדלי זוויות במעגל

בקשר שבין זוויות לזוויות נעשה שימוש רב ולכן לרוב מחפשים וזוכרים אותו (על פי המשפטים "זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים" וגם "זווית מרכזית כפולה בגודלה מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת")

הקשר שבין זוויות לצלעות הוא פחות שימושי ולכן לפעמים מתעלמים ממנו.
יש לעשות שימוש בקשר זה כאשר אנו מחפשים גודל של צלע – למשל על מנת ליצור חפיפת משולשים.
המשפט בו נעשה שימוש לצורך זה הוא " מיתרים שווים נשענים על זוויות היקפיות שוות".

7. כאשר נותנים לכם יחס בשאלה עליכם להגדיר משתנה

כאשר אומרים לכם AB=2AC זה אומר שעליכם לבחור באחת מהצלעות כמשתנה ולהגדיר באמצעותה כמה שיותר נתונים בשאלה.
אותו דבר לגבי נתונים על יחס בין זוויות.

גם כאשר בשאלה מבקשים למצוא יחס. למשל "מצאו את היחס AB:AC" גם אז עליכם להגדיר משתנה ובאמצעותו למצוא את AB,AC.

8. נתון על יחס בין שטחי משולשים כולל בתוכו לרוב מידע סמוי

כאשר אומרים לכם שהיחס בין שטחי משולשים הוא .. לרוב עליכם לחפש את אחד משני הדברים הבאים:

1. האם למשולשים הללו יש גובה משותף או צלע משותפת? אם יש להם אחד כזה זה אומר שמה שאינו משותף שומר על פרופורציות שטחי המשולשים.

היחס בין שטח משולש ABE לשטח משולש CBE שוו ליחס AE:CE בגלל ש BO הוא גובה משותף לשניהם

היחס בין שטח משולש ABE לשטח משולש CBE שוו ליחס AE:CE בגלל ש BO הוא גובה משותף לשניהם

2. האם קיים דמיון משולשים בשאלה? בעזרת דמיון משולשים נוכל להפוך את היחס בין שטחי משולשים ליחס בין צלעות.

בניות עזר שכדאי להכיר

 9. רדיוס אל נקודת ההשקה של משיק

כאשר נתון לכם משיק למעגל לפעמים כדאי להעביר רדיוס אל נקודת ההשקה, להשתמש במשפט "רדיוס המעגל מאונך למשיק למעגל בנקודת ההשקה" ולראות האם זה מקדם אותכם אל הפתרון.

דוגמה לכך הייתה בשאלה מחורף 2017 הרדיוסים O1D, O2E לא היו חלק מהשרטוט המקורי והיה צורך לשרטט אותם כבניית עזר על מנת להגיע לפתרון.

בגרות חורף 2017 גיאומטריה 581

10. הוספת רדיוסים במעגל ליצירת משולשים שווה שוקיים / שווה צלעות

לפעמים צריך להוסיף בניית עזר של רדיוסים על מנת ליצור משולשים שווה שוקיים או משולשים שווה צלעות ולהשתמש בנתונים שניתן להפיק מהמשולשים הללו.

11. העברת גובה, חוצה זווית תיכון במשולש שווה שוקיים

כאשר נתקלים במשולש שווה שוקיים, וזה קורה הרבה, צריך לחשוב אם העברת גובה / חוצה זווית / תיכון מקרבת אותכם אל פתרון השאלה.

12. בטרפז, העברת ישר המקביל לשוקיים

בבניית העזר הזו לא נתקלתי בבגרות אבל זו בניית עזר ידועה שנמצאת בהרבה שאלות פשוטות יותר. אולי יום אחד יחליטו להשתמש בה גם בבגרות.

בטרפז ניתן להעביר ישר המקביל לשוק, ואז נוצרת מקבילית (על פי המשפט "מרובע שיש בו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית"). בטרפז שווה שוקיים נוצרת מקבילית וגם משולש שווה שוקיים.

כאשר מעבירים קו מקביל לשוק בטרפז נוצרת מקבילית (ABCE). כאשר הטרפז הוא שווה שוקיים נוצר גם משולש שווה שוקיים (ADE)

כאשר מעבירים קו מקביל לשוק בטרפז נוצרת מקבילית (ABCE).
כאשר הטרפז הוא שווה שוקיים נוצר גם משולש שווה שוקיים (ADE)

עוד באתר:

קיץ 2017

  1. נגדיר זווית FCE=a∠.
  2. DEF=∠FCE = a∠  זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת עליה.
  3. OEA = 90∠    רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  4. OE מקביל ל CD: אם זוויות מתאימות שוות בין ישרים אז הישרים מקבילים.
  5. OEC = ∠FCE = a∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו
  6. OC=0E  רדיוסים שווים זה לזה.
  7. OCE = ∠OEC= a∠   במשולש OCE מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות.
  8. BCD = ∠OCE + ∠OEC = 2a∠
  9. BCD = 2∠DEF∠  נובע מ 2  ו 8.

סעיף ב

  1. OC=OB: שני רדיוסים.
  2. OE קטע אמצעים בטרפז ABCD: אם ישר בטרפז יוצא מאמצע צלע ומקביל לבסיס (הוכחנו ב 4 סעיף קודם) אז הוא קטע אמצעים בטרפז.
  3. AE=ED: נובע מ 2.
  4. CDA = ∠BAE=90∠ : זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים בטרפז ישר זווית.
  5. BEA = ∠BCE = a∠ : זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר.
  6. ΔABE≅ΔDFE: משולשים חופפים על פי ז.צ.ז . נובע מ (3,4,5).

סעיף ג

  1. OE = (AB + DC): 2 = (DF+DC) :2: קטע אמצעים בטרפז שווה לסכום הבסיסים לחלק ב 2.
    וגם AB=DFF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. BC = 2R = 2OE = DF+DC

חורף 2017

שני מעגלים המשיקים בניהם ויוצאים אליהם משיקים משותפים.

שרטוט התרגיל, גיאומטריה 581 חורף 2017

סעיף א: הוכחה ש BDEC טרפז שווה שוקיים.

  1. AE=AC – משיקים היוצאים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה.
  2. AB=AD – משיקים היוצאים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה.
  3. AC / AB = AD / AE – נובע מ 1 ו 2.
  4. DB ΙΙ EC – המשפט ההפוך למשפט תאלס. אם קטעים יוצרים על שוקי זווית קטעים פרופורציונלים אז הם ישרים מקבילים.
  5. DE ו BC אינם מקבילים משום שהם נפגשים בנקודה A.
  6. BDEC טרפז – אם במרובע זוג ישרים מקבילים וזוג ישרים שאינו מקביל אז המרובע הוא טרפז. (נובע מ 4 ו 55).
  7. BC=AC-AB = AE-AD=DE – שוויון וחיסור קטעים שווים.
  8. BDEC טרפז שווה שוקיים – נובע מ 6 ו 7.

סעיף ב: HG קטע אמצעים בטרפז.

  1. HD=HF – שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה (H) שווים זה לזה.
  2. HE=HF – שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה (H) שווים זה לזה.
  3. HE=HD – כלל המעבר, נובע מ 1 ו 2.
  4. GF=GB – שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה (G) שווים זה לזה.
  5. GF=GC – שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה (G) שווים זה לזה.
  6. GB=GC – כלל המעבר, נובע מ 4 ו 5.
  7. HG קטע אמצעים בטרפז – ישר היוצא מאמצע צלע בטרפז ומגיע אל אמצע הצלע השנייה הוא קטע אמצעים בטרפז.

סעיף ג: הוכחה ש R* BD = r * CE.

  1. O2E=R, O1D=r.
  2. HEO2=90∠ – זווית בין ישר למשיק שווה ל 90 מעלות.
  3. 90=ADO1∠ – זווית בין ישר למשיק שווה ל 90 מעלות.
  4. O1D ΙΙ O2E – אם זוויות מתאימות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
  5. r/ R = AD / AE – על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש AEO2).
  6. BD / CE = AD / AE –  על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס (במשולש ΔACE).
  7. r/ R = BD / CE
    r*CE = R * BD – מש"ל.

קיץ 2016 מועד א שאלה 4

קיץ 2016 מועד א גיאומטריה שרטוט התרגיל

סעיף א. הוכחה ש ΔEAB ∼ ΔEDF

  1. CEB= ∠AEB=x∠ – נתון + הגדרה לצורך נוחות.
  2. ABE= ∠CEB=∠AEB=x∠  – זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים + נובע מ 1.
  3. CE=2DE=6a – נתון.
  4. FD=3a = DE – התיכון לייתר במשולש ישר זווית ΔCFE שווה למחצית היתר.
  5. DFE=∠DEF=x∠ – במשולש ΔDFE מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות.
  6. ΔEAB ∼ ΔEDF – נובע מ 2,5 על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.

  1. נמצא את יחס הדמיון של ΔEAB ו ΔEDF.
    ED / EA =3a / 4a = 3/4
    יחס הדמיון בין המשולשים הוא 3:4.
  2. יחס השטחים בין המשולשים הוא יחס הדמיון בריבוע ²(3/4) = (9/16).
    כלומר 9SEAB= 16SEDF.
    SEDF= (9/16) SEAB
  3. נוכיח כי SCEF= 2SEDF
    למשולשים  ΔEDF ו ΔFDC יש צלע באותו אורך (CD=DE) והגובה היורד אל צלע זו מקודקוד F הוא גובה משותף (ושווה ואורכו). מכוון ששטח משולש הוא מכפלת צלע בגובה אליה לחלק ב 2 אז שטח המשולשים שווה ומתקיים: SCEF= 2SEDF.
  4. SEDF=0.5 SCEF= (9/16) SEAB
    SCEF =(18/16)SEAB=(9/8)SEAB
    SCEF = (9/8)SEAB – תשובה סופית.

סעיף ג

  1. נוכיח ΔBFG ∼ ΔEFD
    DEF=∠FBG∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
    EDF=∠FGB∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
    ΔBFG ∼ ΔEFD על פי משפט דמיון ז.ז.עכשיו נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים:
  2. EF/EB=3/4 – צלעות מתאימות בין משולשים דומים. יחס הדמיון הוא 3:4.
    3EB=4EF
  3. EB=EF+FB
  4. (4EF = 3(EF+FB
    4EF = 3EF +3FB
    EF=3FB.
  5. יחס הדמיון הוא כיחס הצלעות לכן 3:1 הוא יחס הדמיון.
  6. יחס השטחים הוא ריבוע יחס בדמיון לכן שטח משולש ΔBFG קטן פי 9 משטח משולש ΔEFD.

 

קיץ 2016 מועד ב שאלה 4

המרובע ABLK בר חסימה במעגל.
המרובע KLCD בר חסימה במעגל.

קיץ 2016 מועד ב טריגונומטריה שרטוט התרגיל

סעיף א. הוכחה ש AB ΙΙ BC.

  1. נגדיר: AKL =a ∠
  2. LBA = 180 – a∠ – במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  3. DKL = 180-a∠ – סכום זוויות צמודות הוא 180.
  4. LCD = 180 – a∠ – במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  5. LCD= ∠LBA∠ – נובע מ 2, 4.
  6. AB ΙΙ BC – אם זוויות מתאימות שוות זו לזו אז הישרים הם מקבילים.

סעיף ב. האם מרובע ABCD יכול להיות חסום במעגל?
נתונים נוספים: PA=3, PB=4, שטח משולש ΔABP = S, שטח מרובע ABCD=24S.

נניח כי המרובע ABCD יכול להיות חסום במעגל ונראה אם זה "מסתדר" עם שאר נתוני השאלה.

  1. LCD = 180 – a∠ – זו הגדרה שרירותית שעשינו קודם לכן.
  2. DAB=a∠ – במרובע ABCD החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  3. PAB=180-a – סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  4. PBA=∠LCD=180-a∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  5. PA=PB – נובע מ 3,4 – במשולש ΔPBA מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.
    אבל זה לא נכון משום שבנתוני השאלה כתוב: PA=3, PB=4. לכן:

מרובע ABCD אינו יכול להיות חסום במעגל.

סעיף ג. PD=?

  1. CDK = ∠BAP∠ – זוויות מתאימות שוות בין קווים מקבילים.
  2. P∠ – זווית משותפת למשולשים ΔPAB ו ΔPDC.
  3. ΔPAB ∼ΔPDC – על פי משפט ז.ז.
  4. SPDC = SPAB + SABCD = 24s+ s=25s
  5. שטח משולש ΔPDC גדול פי 25 משטח משולש ΔPAB.
    יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא 25√ = 5.
  6. PD = PA*5=3*5=15 ס"מ – צלעות במשולשים דומים מתייחסות זו לזו כיחס הדמיון.

ד. להיעזר בדמיון משולשים להביע באמצעות S את שטח המרובע KLCD.
נתון נוסף BL=5 ס"מ.

  1. נגדיר C=β∠
  2. LKD =180- β∠ – במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות.
  3. C=∠LKA =β∠ -זוויות צמודות משלימות ל 180 מעלות.
  4. P∠ – זווית משותפת למשולש ΔPDC ומשולש ΔPLK.
  5. ΔPDC ∼ ΔPLK.- על פי משפט דמיון ז.ז. נובע מ 3  ו 4.
  6. PL/PD = 9/15=3/5=0.6 – זה יחס הדמיון בין המשולשים.
  7. יחס השטחים הוא 0.6²=0.36.
  8. SPCD *0.36 =SPLK
    25S*0.36=9S=SPLK
  9. SKLCD = SPCD – SPLK = 25s-9s=16s
    SKLCD =16s

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.