נוסחת ברנולי 5 יחידות

נוסחת ברנולי מופיעה בהרבה מהבחינות ברמת 5 יחידות לימוד. לרוב היא מופיעה בצורה שבה ההסתברות היא משתנה שיש לחשב אותו.
בנוסף יש לרוב סעיף של הסתברות מותנית וסעיף של הסתברות משלימה.

שאלה בסגנון הבגרות תופיע מיד כתרגיל מספר אחד.

לאחר מיכן יופיעו עוד תרגילים המתרגלים ניסוחים ומצבים שונים. לדעתי ההסתברות שהם יופיעו בבחינת הבגרות נמוכה יותר.
אם אתם מעוניינים בהסבר על נוסחת ברנולי ותרגילים נוספים וקלים יותר תמצאו אותם בקישור.

סרטון: פתרון שאלת בגרות וההבדל בין 4 ו 5 יחידות בנושא נוסחת ברנולי

תרגיל 1: שאלה סטנדרטית לבגרות

צלף יורה 6 פעמים למטרה.
ההסתברות שהוא פוגע 2 פעמיים מתוך ה 6 גדולה פי 81 מההסתברות שיפגע 4 פעמים מתוך ה 6.

  1. חשבו את ההסתברות לפגוע בירייה בודדת.
  2. מה ההסתברות של הצלף לפגוע לפחות פעם אחת מתוך 6 היריות.
  3. אם ידוע כי הצלף לא פגע יותר מפעמיים. מה ההסתברות שהוא פגע בדיוק פעמיים?

פתרון

נגדיר p כהסתברות לפגוע פעם אחת.
נחשב את ההסתברות לפגוע 2 מתוך 6 בעזרת נוסחת ברנולי.
נחשב את המקדם הבינומי.
6! = 720
4! * 2! = 48
720/48 = 15 זה המקדם הבינומי.
15p²(1-p)4  ההסתברות ל 2 מתוך 6.

נחשב את ההסתברות ל 4 מתוך 6.
נחשב את המקדם הבינומי.
6!= 720
4! * 2! = 48
720/48 = 15 זה המקדם הבינומי.
²(15p4(1-p ההסתברות ל 4 מתוך 6.

המשוואה היא:
15p4(1-p)² * 81 = 15p²(1-p)4
81p²=(1-p)²
81p²-1+2p – p²=0
80p²+2p-1=0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
p=0.1, p= -0.125
p הוא ערך הסתברותי הגדול מ 0 ולכן p=0.1.
תשובה: ההסתברות שהצלף יפגע בירייה בודדת הוא 0.1.

סעיף ב.
ההסתברות לפגוע פעם אחת היא ההסתברות לפגוע 1 או 2 או 3 או 4 או 5 או 6 פעמים.
לחשב את כל ההסתברויות האלו זה ארוך.
ההסתברות המשלימה היא לפגוע 0 פעמים. נחשב אותה:
0.96 = 0.531441.
ההסברות שאנו מבקשים היא:
1-0.531441 = 0.468559
תשובה: ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא  0.468559.

סעיף ג
ההסתברות לפגוע "לא יותר מפעמיים" היא ההסתברות לפגוע 0 או 1 או 2 פעמים.
מהסעיפים הקודמים אנו יודעים כי:
p(0) = 0.4685599.
p (2) = 15*0.1²(0.9)4 = 0.098415

עכשיו עלינו לחשב את ההסתברות לפגוע פעם אחת.
נחשב את המקדם הבינומי:
6!= 720
5! * 1! = 120
720/120=6 המקדם הבינומי.
p (1) = 6*0.1*0.95 = 0.354294

ההסתברות לפגוע 0 או 1 או 2 היא:
0.4685599 + 0.354294 + 0.098415 = 0.9212689
p (2) = 0.098415
לכן ההסתברות המבוקשת היא:
0.098415/0.9212689 = 0.106825
תשובה: ההסתברות לפגוע פעמיים אם ידוע שפגעו לכול היותר פעמיים היא 0.106825.
הרחבה בנושא הסתברות מותנית תמצאו בקישור.

הסתברות 5 יחידות נושאים נוספים.

תרגיל 2: ברנולי בתוך ברנולי

ההסתברות של צלף לפגוע במטרה היא 0.4.
בכול תחרות בה הצלף משתתף הוא יורה 4 יריות והתחרות נחשבת הצלחה אם הצלף פוגע בכול ארבעת היריות.
הצלף משתתף ב 6 תחרויות. מה ההסתברות שהוא יצליח בלפחות 5 תחרויות.

פתרון
ההסתברות שהצלף "יצליח" בתחרות היא:
0.44 = 0.0256.

עכשיו נשתמש בנוסחת ברנולי על מנת לחשב את ההסתברות להצליח 5 או 6 פעמים.
p=0.0256.
ההסתברות להצליח 6 פעמים היא:
0.02566 = 0.0000000003 (יש כאן 9 אפסים).
ההסתברות להצליח 5 פעמים:
נחשב את המקדם הבינומי.
6!= 720
5!*1! = 120
720/120=6
6*0.02565* 0.744 = 0.0049082199
ההסתברות להצליח 5 או 6 פעמים:
0.0049082199 + 0.0000000003 = 0.0049082202

תרגיל 3: שני ברנולי המתרחשות בו זמנית

שני צלפים מתחרים בשתי תחרויות שונות.
ההסתברות של הצלף הראשון לפגוע בירייה בודדת הוא 0.2 ובתחרות בה הוא משתתף עליו לירות 4 יריות.
ההסתברות של הצלף השני לפגוע בירייה בודדת היא 0.6 ובתחרות שבה הוא משתתף נורות 5 יריות.
מה ההסתברות ששני הצלפים יפגעו כל אחד 3 פעמים?

פתרון
עלינו לחשב בעזרת נוסחת ברנולי את ההסתברות של כל אחד מיהן להצליח 3 פעמים ואז להכפיל את ההסתברויות.

עבור הצלף הראשון:
p=0.2
חישוב המקדם הבינומי.
4! = 24
3! * 1! = 6
24/6=4 (המקדם הבינומי).
ההסתברות היא:
6*0.2³*0.8 = 0.0384.

עבור הצלף השני.
p=0.6
חישוב המקדם הבינומי.
5! = 120
3!*2! = 12
120/12=10 (המקדם הבינומי).
ההסתברות היא:
10*0.4³ * 0.6² = 0.2304

ההסתברות ששתי המאורעות יתרחשו ביחד היא:
0.2304 * 0.0384 = 0.00884736

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.