חקירת פונקציית טריגונומטריות

דף זה נועד עבור תלמידי 4 יחידות לימוד שכבר יודעים את היסודות בנושא חקירת פונקציות טריגונומטריות.
בדף זה תמצאו מידע על מכשולים שראיתי שקיימים בבחינות הבגרות + פתרונות של בחינות הבגרות האחרונות.
הסברים "מהיסוד" על פונקציות טריגונומטריות תמצאו בדפים הבאים:

 

הנגזרות הטריגונומטריות הבסיסיות הן:
sin ' x = cos x.
cos ' x = – sin x.

1. קשיים ומכשולים שנתקלתי בהם בבחינות הבגרות

לדעת לפתור משוואה טריגונומטרית

הדבר הכי בסיסי. עליכם לדעת שלמשוואה כמו sin x = 0.5 יש יותר מפתרון אחד ולדעת כיצד להגיע אל הפתרונות הללו בתחום ההגדרה של הפונקציה שאתם חוקרים.

זכרו לסמן זוויות ברדיאנים.

יש שני סוגים של נקודות קיצון

כאשר מבקשים ממכם למצוא "נקודות קיצון" עליכם לחשוב ולמצוא את נקודות הקיצון המקומיות וגם את אלו שבקצוות גם אם המילים "מקומיות", "בקצוות" אינן מופיעות בשאלה.

כדאי להשתמש בנגזרת השנייה למציאת סוג הקיצון

יותר מהיר וקל למצוא את סוג הקיצון על ידי הנגזרת השנייה מאשר על ידי טבלה.
טיפ: כיצד אני זוכר שנגזרת שנייה שלילית זה מקסימום? אני זוכר שזה "הפוך" כלומר דבר שלילי לא נותן לי מינימום "כמצופה" אלא מקסימום. ונגזרת שנייה חיובית לא נותנת לי מקסימום אלא מינימום.

לדעת לזהות נקודת קיצון בקצוות על פי הסביבה שלה

בנקודת קיצון בקצוות אין לנו את הנגזרת השנייה על מנת לזהות את סוג הקיצון.
גם במקרה שאנו מוצאים כי אלו נקודות קיצון מוחלטות קל לזהות את הסוג.
אבל אם הם לא קיצון מוחלט?
במקרה זה עלינו לזהות על פי נקודה בסביבה הקרובה ובתנאי שהפונקציה רציפה מהנקודה שבחרנו ועד הנקודה החשודה כקיצון וגם אין נקודות קיצון אחרות בניהן.
לדוגמה בקיץ 2017 התקבלו 2 נקודות קיצון מקומי ועוד 2 שחשודות כקיצון בקצוות. הפונקציה רציפה ומוגדרת בכול תחום ההגדרה.
(0,4) – חשוד כקיצון בקצוות.
(4.5107, 0.166₶) מקסימום.
(1.7733, 5₶/6) מינימום.
(2.28, ₶) – חשוד כקיצון בקצוות.

הנקודה (4.5107, 0.166₶) נמצאת סמוך ל (0,4) אבל ערך ה y שלה נמוך יותר לכן היא נקודת מינימום.
הנקודה (2.28, ₶) נמצאת סמוך ל (1.7733, 5₶/6) אבל ערך ה y שלה גדול יותר לכן זו נקודת מקסימום.

אתם צריכים לזכור לסמן נקודה על ידי x וגם y

לפעמים יבקשו ממכם את נקודת החיתוך עם הצירים או את נקודות הקיצון. לרוב נעבוד על מנת למצוא את ערך ה X בנקודה. אבל צריך לזכור שאם לא נמצא לאחר מיכן את ערך ה Y התשובה לא תהיה שלמה.

חישוב אינטגרל יכול להיות חלק מהשאלה

מבין שלושת הבחינות (קיץ 2017, חורף 2017, קיץ 2016) בשתיים מבניהן היה חישוב שטח על ידי אינטגרל חלק מהשאלה.

2. פתרונות לתרגילים מהבגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון בעיות מהבגרות. את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2017 חקירת פונקציה ואינטגרל

f( x) =2x + 4cos x

א. נקודת חיתוך עם ציר ה y.
נציב x=0.
f( 0) =2*0 + 4cos 0= 4*1=4
(0,4) היא נקודת החיתוך עם ציר ה y.

ב. נקודות קיצון.
בהתחלה נמצא את נקודות הקיצון המקומיות ולאחר מיכן נוסיף להן את נקודות הקיצון שבקצוות.
f ' (x) = 2-4sin x
2-4sin x =0
4sinx =2
sin x=0.5
x=₶/6, x=5₶/6

נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
f " (x) = -4cosx
x=₶/6 נמצאת ברביע הראשון ופונקציית הקוסינוס חיובית ברביע זה. לכן הנגזרת השנייה שלילית וזו נקודת מקסימום.
x=5₶/6 נמצאת ברביע השלישי ופונקציית הקוסינוס שלילית ברביע זה. לכן הנגזרת השנייה חיובית וזו נקודת מינימום.

נמצא את ערך הפונקציה בנקודות הללו:
f( x) =2x + 4cos x
f( ₶/6) =2*₶/6 + 4cos (₶/6) = 2₶/6 +3.46=4.5107
f( 5₶/6) =2*5₶/6 + 4cos (5₶/6) = 10₶/6 – 3.46 = 1.7733

נמצא את ערך הפונקציה בנקודות הקצה x=0 ו x=₶.
f( 0) =2*0 + 4cos 0 = 4
f( ₶) =2*₶ + 4cos ₶ = 2₶-4=2.28
הנקודות הן:
(0,4)
(4.5107, ₶ לחלק ב 6) מקסימום.
(1.7733, 5₶/6) מינימום.
(2.28, ₶)

הפונקציה מוגדרת (רציפה) בכול התחום בין 0 ל ₶. לכן הנקודה (0,4) שנמצאת משמאל לנקודת מקסימום היא נקודת מינימום. והנקודה (2.28, ₶) שנמצאת מימין לנקודת מינימום היא מקסימום.

ג. סקיצה של הפונקציה

סקיצה של הפונקציה f( x) =2x + 4cos x

סקיצה של הפונקציה f( x) =2x + 4cos x

ד. אינטגרל.

עלינו לחשב את השטח שיוצרת הפונקציה עם ציר ה x בין ₶ לחלק ב 6 ו 5₶/6. זה השטח הירוק בשרטוט.

שטח האינטגל

2x + 4cos dx = x² +4sin x∫
לאחר שנציב את הערכים המתאימים במשוואה נקבל כי השטח המבוקש הוא 6.57 יחידות ריבועיות.
(איני יכול לכתוב את הפתרון המלא בגלל מגבלות ההקלדה באתר).

חורף 2017 חקירת פונקציה ואינטגרל

קיץ 2016

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.