חקירת פונקציות טריגונומטריות

דף זה מלמד חקירת פונקציות טריגונומטריות ברמת 4 יחידות.

  1. שיעור 1: גזירת פונקציות טריגונומטריות.
  2. שיעור 2: נקודות קיצון.
  3. שיעור 3: מציאת משיק.
  4. שיעור 4: מציאת אסימפטוטות.
  5. שיעור 5: אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית.
  6. שיעור נוסף: משוואות טריגונומטריות.

בהמשך הדף 2 נושאים:

  1. חקירה מלאה של פונקציות טריגונומטריות כהכנה לבגרות.
  2. פתרון תרגילים מהבגרות.

חקירה מלאה של פונקציות טריגונומטריות

בחלק זה נחקור שתי פונקציות טריגונומטריות.

תרגיל 1

f(x) = tg x – √3
בתחום : 

פתרון

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר  cosx = 0, כלומר כאשר  x = π/2 , x = -π/2.
    אלו הן נקודות אי – ההגדרה של הפונקציה.

2. נק' חיתוך עם הצירים:
   ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
נבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים tg(x) = √3.
זה מתקיים עבור x = π/3.
   לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא (0 , π/3).
ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
   f(0) = 0 – √3 = -√3
לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (3√-,0).

3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:

נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
f ' (x) = 1/cos²x > 0
לכל x בתחום מתקיים שהנגזרת חיובית.
      לכן , הפונקציה עולה בכל התחום, ואין נקודות קיצון.

4. אסימפטוטות :
א. אנכיות : אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
ראינו כי כאשר x שואף ל – π/2 או ל – π/2- , המכנה של (tg(x שואף ל – 0.
המונה של (tg(x ישאף למספר שאינו 0.
לכן כאשר x שואף ל – π/2 או ל – π/2-  ,  הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן הישרים x = -π/2 , x = π/2 הם אסימפטוטות אנכיות.
ב
. אופקיות :אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים כאשר x שואף לאינסוף
(או מינוס אינסוף).
במקרה שלנו  , כאשר x שואף לאינסוף, גבול הפונקציה אינו קיים.
לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 

תרגיל 2

פתרון
**נחקור רק את התחום 

  1. תחום הגדרה:
    הפונקציה אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס.
    כלומר, כאשר :  sinx = cosx.
    sin(π/4) = cos(π/4) = √2 / 2
    sin(5π/4) = cos(5π/4) = -√2 / 2
    לכן משוואה זו מתקיימת (בתחום הנ"ל) עבור x = π/4 , x = 5π/4.
    לכן נקודות אי – ההגדרה של הפונקציה הן : x = π/4 , x = 5π/4.
  2. נק' חיתוך עם הצירים:
    ציר x : נקודת חיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר f(x) = 0.
    במקרה שלנו, לא קיים x בתחום עבורו מתקיים f(x) = 0.
    לכן, אין נקודות חיתוך עם ציר x.
    ציר y:  על מנת לקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-y, נציב x = 0 בפונקציה.
    f(0) = 2/-1 = -2
    לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (2-,0).
  3. נקודות קיצון + תחומי עלייה וירידה:
    נבדוק מתי מתקיים : f ' (x) = 0.
    הנגזרת מתאפסת כאשר cosx = – sinx.
    בתחום שלנו, משוואה זו מתקיימת עבור x = 3π/4 , x = 7π/4.
    לכן הנקודות x = 3π/4 , x = 7π/4 חשודות לקיצון.
    כעת נבדוק האם נקודות אלו הן נקודות קיצון, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
    נפצל ל – 3 תחומים :
    א. 
    ב.
    ג.
    נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
    (ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
    נסכם בטבלה :
    לכן, נקודת מינימום : (2√, 3π/4).
    נקודת מקסימום : (2√- , 7π/4).
    *נציין כי לא התייחסנו לנקודות בהן הנגזרת אינה מוגדרת.
    יש צורך להתייחס לנקודות אלו.
    במקרה שלנו , נקודות אלו הן נקודות אי ההגדרה של הפונקציה, לכן הן אינן מעניינות.
    ייתכנו תרגילים בהם נקודות אלו יהיו קריטיות ויהיה צורך להתייחס אליהן.4. אסימפטוטות :
    א. אנכיות : 
    אסימפטוטה אנכית תתקבל כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
    ראינו כי כאשר x שואף ל – π/4 או ל – 5π/4 , המכנה שואף ל – 0.
    המונה הוא מספר קבוע ללא תלות ב -x.
    לכן כאשר x שואף ל – π/4 או ל – 5π/4  ,  הפונקציה שואפת לאינסוף.
    לכן הישרים x = π/4 , x = 5π/4 הם אסימפטוטות אנכיות.
    ב.
    אופקיות : אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסויים כאשר x שואף לאינסוף
    (או מינוס אינסוף).
    במקרה שלנו  , כאשר x שואף לאינסוף, גבול הפונקציה אינו קיים.
    לכן אין אסימפטוטות אופקיות.

 פתרונות לתרגילים מהבגרות

בהמשך הדף הצעה לפתרון בעיות מהבגרות. את שאלוני הבגרות עצמם ניתן למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2018 שאלה 3

(f ' (x) = 2sin(2x

(בתחום : )

א. נקודות הקיצון של (f(x:
נפתור את המשוואה f ' (x) = 0
2sin(2x) = 0
sin(2x) = 0
פתרון כללי למשוואה:
2x = π*k , כאשר  …,k = 0,1,2

הפתרונות שבתחום שלנו:
– עבור k = 0:
x1 = 0
– עבור k = 1:
x2 = π/2
-עבור k = 2:
x3 = π

אלו הנקודות החשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון (ומה סוגן) בעזרת טבלה:

הערה: עבור נקודות הקצה, יש לבדוק רק את הצד שנמצא בתחום, ולפיו לקבוע את סוג הנקודה.
(אם, למשל, משמאל לנקודה הפונקציה יורדת – אזי היא נקודת מינימום).

תשובה (שיעורי ה -x של נקודות הקיצון):
מקסימום:
   x = π/2
מינימום:   x = 0 , x = π.

ב. מציאת הפונקציה (f(x:

על מנת למצוא פונקציה קדומה, נשתמש באינטגרל לא מסוים.
כלומר:
f(x) = ∫ f ' (x) dx 
 f ' (x) dx = ∫ 2sin(2x) dx = -cos(2x) + c ∫

על מנת למצוא את הקבוע , נשתמש בנתון: גרף הפונקציה (f(x עובר בנקודה (2- , 0).
כלומר , f(0) = -2
נציב:
cos(2*0) + c = -2-
c – 1 = -2
c = -1

לכן, תשובה:
f (x) = – cos(2x) – 1

ג. נקודות חיתוך עם ציר x:
נפתור את המשוואה f(x) = 0:
cos(2x)-1 = 0-
cos(2x) = -1
פתרון המשוואה:
2x = π + 2πk
בתחום שלנו, הפתרון: (עבור k = 0)
x = π/2

תשובה: נקודת החיתוך עם ציר x היא: (0 , π/2).

ד. סקיצה של הפונקציה:

ה.

השטח הכלוא נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

נשים לב כי השטח הדרוש נמצא מתחת לציר x, ולכן קיבלנו מספר שלילי.
שטח הוא תמיד מספר חיובי, ולכן ניקח את המספר בערכו המוחלט.

תשובה: השטח המוגבל שווה ל – π יחידות ריבועיות.

חורף 2018 תרגיל 3

חקרו את הפונקציה
(f (x) = 3sin (x – 0.5π

בתחום:

א.
1. נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x :  נפתור את המשוואה : f(x) = 0.
3sin(x – π/2) = 0
sin(x – π/2) = 0
פתרון כללי למשוואה :
x – π/2 = 0 + π*k
x = π/2 + π*k
(כאשר  …,k = -1,0,1,2)

הפתרונות (בתחום שלנו):
1. עבור k  = 0 :
x = π/2
2. עבור  k = -1 :
x = -π/2

ציר y: נציב x = 0 בפונקציה:
(f(0) = 3 * sin(0 – π/2
(f(0) = 3*sin(-π/2
sin(-π/2) = -1
לכן:
f(0) = -3

לכן, נקודות החיתוך הן:
ציר x:
(π/2 , 0) , (-π/2 , 0)
ציר y:
(3- , 0)

2. נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ' (x) = 3*cos(x – π/2) = 0
cos(x – π/2) = 0
פתרון כללי למשוואה:
x – π/2 = π/2 + π*k
x = π + π*k
(כאשר  …,k = -2,-1,0,1,2)

הפתרונות (בתחום שלנו):
1. עבור k  = 0 :
x = π
2. עבור  k = -1 :
x = 0
3. עבור k = -2 :
x = -π

אלו הנקודות החשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון (ואם כן, את סוג הנקודה), בעזרת טבלה:

הערה: עבור נקודות הקצה, יש לבדוק רק את הצד שנמצא בתחום, ולפיו לקבוע את סוג הנקודה.
(אם, למשל, מימין לנקודה הפונקציה יורדת – אזי היא נקודת מקסימום)

תשובה:
מקסימום:
(π , 3) , (-π , 3)
מינימום: (3- , 0)

ב. סקיצה של הפונקציה:

ג. השטח המוגבל אותו אנו נדרשים לחשב:

השטח המוגבל נתון ע"י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

תשובה לסעיף ג':
השטח הכלוא שווה ל – 3 יחידות ריבועיות.

קיץ 2017 חקירת פונקציה ואינטגרל

f( x) =2x + 4cos x

א. נקודת חיתוך עם ציר ה y.
נציב x=0.
f( 0) =2*0 + 4cos 0= 4*1=4
(0,4) היא נקודת החיתוך עם ציר ה y.

ב. נקודות קיצון.
בהתחלה נמצא את נקודות הקיצון המקומיות ולאחר מיכן נוסיף להן את נקודות הקיצון שבקצוות.
f ' (x) = 2-4sin x
2-4sin x =0
4sinx =2
sin x=0.5
x=₶/6, x=5₶/6

נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
f " (x) = -4cosx
x=₶/6 נמצאת ברביע הראשון ופונקציית הקוסינוס חיובית ברביע זה. לכן הנגזרת השנייה שלילית וזו נקודת מקסימום.
x=5₶/6 נמצאת ברביע השלישי ופונקציית הקוסינוס שלילית ברביע זה. לכן הנגזרת השנייה חיובית וזו נקודת מינימום.

נמצא את ערך הפונקציה בנקודות הללו:
f( x) =2x + 4cos x
f( ₶/6) =2*₶/6 + 4cos (₶/6) = 2₶/6 +3.46=4.5107
f( 5₶/6) =2*5₶/6 + 4cos (5₶/6) = 10₶/6 – 3.46 = 1.7733

נמצא את ערך הפונקציה בנקודות הקצה x=0 ו x=₶.
f( 0) =2*0 + 4cos 0 = 4
f( ₶) =2*₶ + 4cos ₶ = 2₶-4=2.28
הנקודות הן:
(0,4)
(4.5107, ₶ לחלק ב 6) מקסימום.
(1.7733, 5₶/6) מינימום.
(2.28, ₶)

הפונקציה מוגדרת (רציפה) בכול התחום בין 0 ל ₶. לכן הנקודה (0,4) שנמצאת משמאל לנקודת מקסימום היא נקודת מינימום. והנקודה (2.28, ₶) שנמצאת מימין לנקודת מינימום היא מקסימום.

ג. סקיצה של הפונקציה

סקיצה של הפונקציה f( x) =2x + 4cos x

סקיצה של הפונקציה f( x) =2x + 4cos x

ד. אינטגרל.

עלינו לחשב את השטח שיוצרת הפונקציה עם ציר ה x בין ₶ לחלק ב 6 ו 5₶/6. זה השטח הירוק בשרטוט.

שטח האינטגל

2x + 4cos dx = x² +4sin x∫
לאחר שנציב את הערכים המתאימים במשוואה נקבל כי השטח המבוקש הוא 6.57 יחידות ריבועיות.
(איני יכול לכתוב את הפתרון המלא בגלל מגבלות ההקלדה באתר).

חורף 2017 חקירת פונקציה ואינטגרל

סעיף א.
f(x)=acos x + 0.5sin 2x +1
נקודת המפגש של הישר והפונקציה היא x= -0.5₶
ערך ה y של הפונקציה והישר בנקודה זו הוא:
f((-0.5₶)=acos (-0.5 ₶)+ 0.5sin (-₶) +1 = 1
נקודת המפגש היא ( -0.5₶, 1)
נחשב את השטח שיוצרת הפונקציה:

שטח המשולש שנוצר על ידי הישר עם ציר ה x הוא:
S=(0.5₶ * 1):2=0.25₶
נחסר את השטחים ונשווה אותם לנתון:
a-0.5+0.5₶- 0.25₶=0.25₶ + 0.5
a=1
תשובה: a=1.

סעיף ב
f(x)= cos x + 0.5sin 2x +1
F'(x) =-sin x + cos 2x= 1- 2sin²x –sinx=0
2sin²x+sin x-1=0
נציב sin x=t.
2t²+t-1=0
t= 0.5 או t=-1.
Sin x =0.5

בתחום ההגדרה הפתרונות הם:

Sin x = -1
x=-0.5₶ + 360k
בתחום ההגדרה הפתרון הוא x=-0.5₶.
אך אנו רואים שאין נקודת קיצון כאשר X שלילי (אלא נקודת פיתול).
x= ₶/6 – על פי הגרף זו נקודת מקסימום.
x= 5₶/6 – על פי הגרף זו נקודת מינימום.

סעיף ג
לפונקציה 3 נקודות בהם השיפוע הוא 0 לכן יש לה 3 משיקים המקבילים לציר X.

קיץ 2016

(F'(x)=g(x
g(x) = 1+2cos 2x

נקודות החיתוך מתקבלות כאשר g(x) =0
1+2cos 2x= 0
2cos 2x=-1
cos 2x=-0.5
2x = 120 +360k
x=60 +180k
x=0.33₶  – בתחום ההגדרה.
או
2x=-120 + 360k
x=-60+180k
x=0.66₶  – בתחום ההגדרה.

סעיף א חלק ב – נקודות קיצון
g(x) = 1+2cos 2x
g'(x)=-4sin2x
-4sin2x=0
sin 2x=0
2x = 0 +180k
x=0 + 90k
בתחום המבוקש ערכי ה X החשודים כקיצון הם:
x= 0, 90, 180

נמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הללו:
g(0) = 1 +2cos 0=3
g(90) = 1 +2cos 180=-1
g(180) = 1 +2cos 360=3
תשובה: הנקודות 0,3 ו 180,3 הן נקודות מקסימום.
הנקודה 1-, 90 היא נקודת מינימום.

סעיף א חלק ג 
זו סקיצת הפונקציה

סקיצה של הפונקציה

סעיף ב.
על פי גרף הפונקציה ניתן לראות כי ערך הנגזרת שלילי כאשר

וזה בדיוק התחום שבו שיפוע המשיק שלילי.

עוד באתר:

  1. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.