הסתברות 4 יחידות סיכום

לדף הזה שני תפקידים:

  1. למי שעדיין לא יודע את החומר לתת קישורים בהם הוא יכול ללמוד את החומר.
  2. למי שמרגיש שהוא ברמת בגרות לסכם את החומר.

קישורים

  1. שיעור 1: יסודות ההסתברות.
  2. שיעור 2: הסתברות כיתה ט
  3. שיעור 3: הסתברות של שני מאורעות.
  4. שיעור 4: דיאגרמת עץ.
  5. שיעור 5: הסתברות מותנית. וגם (הסתברות מותנית הסבר אישי).
  6. שיעור 6: בעיות הוצאה והחזרה.
  7. שיעור 7: טבלה דו ממדית. וגם (עץ או טבלה?)  וגם (תרגילים).
  8. שיעור 8: נוסחת ברנולי.
  9. שיעור 9: פתרון תרגילים מהבגרות.

עוד באתר:

סיכום

עברתי על שאלות הבגרות בשנים 2015-2019.
וחילקתי את הסעיפים המופיעים בשאלות לסוגים של שאלות.
הסוגים מופיעים כאן עם הפתרון שלהם.

הנושאים של נוסחת ברנולי וגם טבלה דו ממדית הם נושאים קשים לסיכום קצר. לכן לכל אחד מיהם יש סיכום בנפרד

אלו נושאים ראיתי בבחינות?

  1. הוצאה והחזרה 6 תרגילים. קיץ 2018 שני המועדים. קיץ 2016 מועד ב. חורף 2016. קיץ 2015. חורף 2015 (קשה).
  2. דיאגרמת עץ 3 תרגילים. קיץ 2019,  קיץ 2017 מועד ב, קיץ 2015 מועד ב.
  3. טבלה 3 תרגילים. קיץ 2019 מועד ב,  חורף 2019, קיץ 2016.
  4. הסתברות של שני מאורעות 2 תרגילים. חורף 2018,  קיץ 2017.
  5. בעיות נוספות 1 תרגיל.  חורף 2017

שימו לב:
בכול אחת משאלות הבגרות יש סעיף אחד לפחות בנושא נוסחת ברנולי וסעיף בנושא הסתברות מותנית.

1.מציאת ההסתברות על פי יחס

בערך ב 1/2 משאלות הבגרות שבדקתי ההסתברות אינה נתונה אלא יש למצוא אותה בעזרת חישוב יחס.

דוגמה 1
לבית הספר יש המגיעים ברגל ויש המגיעים בהסעה.
מספר המגיעים ברגל גדול פי 2 ממספר המגיעים בהסעה.
דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא מגיע בהסעה?

פתרון
המפתח לפתרון שאלות מהסוג הזה הוא שסכום ההסתברויות של אלו ההולכים ברגל ואלו המגיעים בהסעה הוא 1.
לכן נגדיר:
x  ההסתברות לדגום תלמיד המגיע בהסעה.
לכן:
2x  ההסתברות לדגום תלמיד המגיע ברגל.
המשוואה היא:
x + 2x = 1
3x = 1
x = 0.33

תשובה: ההסתברות לדגום תלמיד המגיע בהסעה היא 0.33.

  • בעיות יחס אם אתם לא מבינים את הגדרת המשתנים בשאלה זו היכנסו לקישור וצפו בסרטון הראשון שבדף.

דוגמה 2 (בקיצור).
לבית הספר יש המגיעים ברגל ויש המגיעים בהסעה.
היחס בין אלו המגיעים ברגל לאלו בהסעה הוא 2:3.
דוגמים תלמיד. מה ההסתברות שהוא מגיע ברגל?

פתרון
נגדיר
2x  ההסתברות לדגום תלמיד המגיע בהסעה.
לכן:
3x  ההסתברות לדגום תלמיד המגיע ברגל.
המשוואה:
2x + 3x = 1
5x = 1
x = 0.2
תשובה: ההסתברות לדגום תלמיד המגיע ברגל הוא 0.6.

2.ניסוח: לפחות / לכל הפחות

שימו לב למילים לפחות או לכל הפחות (שיש להם את אותה משמעות).
ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע לסל היא 0.6.
שחקן זורק לסל 4 פעמים.
מה ההסתברות שיקלע לפחות פעם אחת לסל?

פתרון
כאשר אומרים "לפחות פעם אחת" אלו אפשרויות טובות לנו?
קליעה פעם אחת / שתי פעמים / שלוש פעמים / ארבע פעמים (אלו 4 הסתברויות שונות שצריך לחשב, כל אחת מיהן בעזרת נוסחת ברנולי).

איזו הסתברות לא טובה לנו?
ההסתברות שהוא יקלע 0 פעמים.

לכן במקום לחשב את כל 4 ההסתברויות שטובות לנו אנו נחשב את ההסתברות הבודדת שאינה טובה לנו.
זו ההסתברות המשלימה למה שאנו צריכים.

ההסתברות שהשחקן יפספס בניסיון בודד היא 0.4.
ההסתברות שהשחקן יפספס 4 פעמים היא:
0.0256 = 0.44

ההסתברות שהשחקן יקלע לפחות פעם אחת היא:
0.9744 = 0.0256 – 1

3.ניסוח: לכל היותר 

"לכל היותר" הוא עוד ניסוח שאתם צריכים לדעת איך לעבוד איתו. גם ניסוח זה מוביל הרבה פעמים (אך לא תמיד) לחישוב הסתברות משלימה.

דוגמה
ההסתברות ששחקן יקלע לסל בזריקה היא 0.7.
השחקן זורק לסל 3 פעמים.
מה ההסתברות שיקלע לכל היותר פעמיים?

פתרון
"לכל היותר פעמיים" זה אומר שהוא יכול לקלוע 0 או 1 או 2 פעמים.
הדבר שיחידי שאינו כלול בהסתברות זו הוא שהוא יקלע 3 פעמים.
לכן נחשב את ההסתברות לקליעה 3 פעמים, שזו ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת.

ההסתברות שיקלע 3 פעמים היא:
0.343 = 0.7³
ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המשלימה:
0.657 = 0.343 – 1

4.שימוש במשתנה למציאת הסתברות

דוגמה
קלע יורה אל המטרה.
ההסתברות שיקלע ב 3 יריות רצופות הוא 0.512.
מה ההסתברות שיקלע פעם אחת?

פתרון
נגדיר:
x  ההסתברות שיקלע פעם אחת.
המשוואה היא:
x³ = 0.512
נוציא שורש שלישי ל 0.512 ונקבל:
x = 0.8
ניתן להוציא שורש שלישי על ידי התרגיל:
0.5120.333 = x

5.שימוש במשתנה למציאת הסתברות בבעיות הוצאה והחזרה

דוגמה 1
בקופסה 4 כדורים צהובים ושאר הכדורים אדומים.
מוצאים שני כדור ולאחריו עוד כדור ללא החזרה.
ההסתברות ששני הכדורים אדומים היא 1/15 (אחד חלקי חמש עשרה).
מצאו כמה כדורים אדומים יש בקופסה לפני שהוציאו כדורים.

פתרון
אנו לא יודעים כמה כדורים אדומים יש בקופסה לכן נגדיר:
x  מספר הכדורים האדומים שיש בקופסה לפני תחילת ההוצאה.

x + 4 הוא סך כל הכדורים שיש בקופסה בהתחלה.
לכן ההסתברות להוציא אדום בפעם הראשונה היא:

וההסתברות להוציא בפעם השנייה אדום, לאחר שכדור אדום אחד יצא היא:

לכן המשוואה היא:

מכפילים במכנה המשותף שהוא
x + 4) (x +3) * 15)
ומקבלים:
(15x(x-1) = (x + 4) ( x+ 3
15x² – 15x = x² +3x + 4x + 12
14x²- 22x – 12 = 0
בעזרת נוסחת השורשים נפתור את המשוואה ונקבל:
x = 2  או x = -0.48

מכוון שמספר הכדורים האדומים צריך להיות מספר חיובי ושלם הפתרון המתאים לשאלה הוא x = 2.
תשובה: מספר הכדורים האדומים בקופסה לפני ההוצאה הוא 2.

מקרה קצת שונה הוא כאשר אומרים לנו כמה כדורים יש בקופסה אבל לא אומרים לנו כמה כדורים יש מכל סוג.

דוגמה
בקופסה 10 כדורים צהובים או אדומים.
כאשר מוצאים שני כדורים ללא החזרה ההסתברות להוציא שני כדורים צהובים היא 1/15.
כמה כדורים צהובים בקופסה?

פתרון
נגדיר:
x  מספר הכדורים הצהובים בקופסה.
לכן מספר הכדורים האדומים הוא:

המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 90 ונקבל:
x (x -1) = 6
x² – x = 6
x² – x – 6 = 0

הפתרונות של המשוואה הריבועית הזו הם:
x =3  או  x = -2
מכוון שמספר הכדורים הוא מספר חיובי הפתרון המתאים לשאלה הוא x = 3.
תשובה: מספר הכדורים הצהובים שבקופסה בהתחלה הוא 3.

6.הסתברות של שתי מאורעות (לא מהקלות)

דוגמה
זורקים 2 קוביות ומסובבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שסכום המספרים על הקוביות יהיה גדול מ 5 ואילו הסביבון יפול על האותו פ.

פתרון
עבור סכום הגדול מ 5 בשתי הקוביות יש הרבה אפשרויות.
נוח יותר לחשב את ההסתברות לקבל סכום של 5 או פחות.
האפשרויות לקבל 5 או פחות הן:
1,1
1,2
1,3
1,4
2,1
2,2
2,3
3,2
קיבלנו 8 אפשרויות.
סך כל האפשרויות לצירופים בזריקת שתי קוביות ללא חשיבות לסדר המספרים הוא:
36 = 6²
לכן מספר הצירופים שדרכו ניתן לקבל יותר מ 5 הוא:
28 = 8 – 36
וההסתברות לכך היא 28/36.

ההסתברות לקבל "פ" בסביבון היא 1/4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תשובה: 7/36.

7.הסתברות של שתי מאורעות: שאלות "ניקוד"

אדם זורק קובייה פעמיים.
אם המספר המתקבל בקובייה הוא 6 אז הוא מקבל 2 נקודות.
אם המספר גדול או שווה ל 4 אך לא 6 הוא מקבל נקודה 1.
אם המספר קטן מ 4 האדם לא מקבל ניקוד.

  1. מה ההסתברות שהאדם יזכה בדיוק בשתי נקודות?
  2. אם ידוע שהאדם זכה בשתי נקודות. מה ההסתברות שהוא קיבל פעם אחת 6?
  3. 5 משתתפים במשחק (כל אחד זרק פעמיים) מה ההסתברות שבדיוק שני אנשים קיבלו שתי נקודות.

פתרון
סעיף א
יש שתי אפשרויות לקבל 2 נקודות.
לקבל 6 ומספר קטן מ 4 או מספר קטן מ 4 ולאחר מיכן 6.
או
לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5.
נחשב כל אחת מההסתברויות הללו:

ההסתברות לקבל 6 ולאחר מיכן לקבל מספר קטן מ 4 היא:
1/6  זו ההסתברות לקבל 6.
3/6 זו ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:
1/12 = 3/36 = (3/6) * (1/6)
ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4 בזריקה הראשונה ולאחר מיכן 6 שווה להסתברות שחישבנו.

1/6 = 2/12  זו ההסתברות לקבל 2 כאשר באחת הזריקות נקבל 6.

ההסתברות לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5 היא:
2/6  זו ההסתברות לקבל 4 או 5 פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל פעמיים היא:
1/9 = 4/36 = 2/6 * 2/6

ההסתברות לקבל 2 היא סכום ההסתברויות שחישבנו:
5/18 = 1/9 + 1/6
תשובה: ההסתברות לקבל שתי נקודות היא 5/18.

סעיף ב
זו הסתברות מותנית.
0.277 = 5/18  זו ההסתברות לקבל 2 נקודות בכול הדרכים יחד.
0.1666 = 1/6  זו ההסתברות לקבל 6 בקובייה וגם לקבל שתי נקודות.

תשובה: אם ידוע שאדם קיבל 2 אז ההסתברות שהוא קיבל 6 באחת מזריקות הקובייה הוא 0.6

8.שאלות על הסתברות עץ

יש בעיקרון 4 סוגים נפוצים של שאלות על עץ

  1. חישוב הסתברות של ענף יחיד.
  2. חישוב הסתברות של שני ענפים.
  3. חישוב הסתברות מותנית.
  4. חישוב חלק חסר בעץ.

מצורף שרטוט של דיאגרמת עץ.
השרטוט מתאר בנים ובנות והאם הם הולכים או רצים בדרך חזרה לביית מבית הספר.
לאחר השרטוט מופיעות השאלות.

1.דוגמים אדם אחד. מה ההסתברות שזו בת שרצה?
צריכים לחשב את את ההסתברות של ענף 3.
0.12 = 0.3 * 0.4

2.דוגמים אדם אחד. מה ההסתברות שהוא רץ הביתה?
זו ההסתברות של ענף 3 שכבר חישבנו וההסתברות של ענף 2.
0.06 = 0.1 * 0.6
ההסתברות של ענף 2 ועוד ענף 3 היא:
0.18 = 0.12 + 0.06

3.דוגמים אדם אחד וידוע שהוא רץ מה ההסתברות שהוא בן?
הסבר לנושא הסתברות מותנית תוכלו לקבל בדף הסתברות מותנית כיצד אני מבין את זה וגם בדף הסתברות מותנית תרגילים.
כאן רק נכתוב את הפתרון:
ההסתברות לאדם רץ היא 0.18 (חישבנו בסעיף 2).
ההסתברות לבן רץ היא 0.06 (חישבנו בסעיף 1).

לכן ההסתברות לבן רץ מתוך כל קבוצת הרצים היא:

4. דיאגרמת עץ עם משתנים.
עבור דיאגרמת העץ המופיעה מטה, חשבו את הסתברות המסומנת ב x אם ידוע כי ההסתברות לדגום בת שרצה היא 0.04.
הגדירו את הסתברות זו גם במילים.

פתרון
בת שרצה זו ההסתברות של ענף מספר 3.
לכן המשוואה שלנו היא:
x * 0.4 = 0.04
x = 0.1

במילים נגיד כך: אם ידוע שנבחרה בת, ההסתברות שהיא רצה היא 0.1.

בסוף הדף תרגילים נוספים, קשים ונדירים יותר בנושא דיאגרמת עץ.

11.טבלה דו ממדית

12.נוסחת ברנולי

את נוסחת ברנולי קשה לסכם בקצרה, את הסיכום נביא בדף נוסחת ברנולי.
כאן נביא סרטון בולט בלבד.

תרגילי נוספים להכנה לבגרות

מצורפים 7 תרגילי נוספים להכנה לבגרות.
התרגילים חוזרים על מה שלמדתם בסעיפים קודמים.
התרגילים הם ברמת בגרות אבל קצרים יותר. כל תרגיל הוא 1-2 סעיפים בשאלת בגרות.

התרגילים מכסים מגוון רחב מאוד של סוגי שאלות שיכולים לשאול אותכם. כל תרגיל הוא אחר.

תרגיל 1
בסל יש 6 כדורים אדומים ומספר כדורים צהובים.
כאשר מוצאים שני כדורים עם החזרה ההסתברות להוציא שני אדומים היא 0.4444.
כמה כדורים צהובים יש בסל?

פתרון
נגדיר
x מספר הכדורים הצהובים.
x + 6 הוא מספר בסל.
ההסתברות להוציא אדום בהוצאה בודדת היא:

ההסתברות להוציא אדום פעמיים היא ההסתברות להוציא אדום פעם אחת בריבוע.
וזה שווה ל 0.4444.
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 6)²)
ונקבל:

נוח לחלק ב 0.444 את המשוואה לפני שפותחים סוגריים.
נקבל:
x + 6)² = 81)
x + 6 = 9
או
x + 6 = -9  (חשוב לא לשכוח לרשום).
x = 3   או   x = -15
x הוא מספר כדורים ולכן חייב להיות חיובי.
התשובה היא
x = 3
זה מספר הכדורים הצהובים שבסל.

תרגיל 2
בקופסה 3 כדורים צהובים ו 4 אדומים.
מוציאים 3 כדורים אחד לאחר השני ללא החזרה.

  1. מה ההסתברות להוציא 3 צהובים?
  2. מה ההסתברות להוציא שני צהובים? (אם חשיבות לסדר).
  3. מה ההסתברות להוציא לפחות כדור אדום אחד?

פתרון
סעיף א: הסתברות ל 3 צהובים
3/7 ההסתברות לצהוב בפעם הראשונה.
לאחר ההוצאה הראשונה נשארנו בקופסה עם 2 צהובים מתוך 6 כדורים.
2/6  ההסתברות לצהוב בפעם השנייה.
1/5 ההסתברות לצהוב בפעם השלישית.

ההסתברות לקבל צהוב בכול שלושת הפעמים היא מכפלת שלושת ההסתברויות.
0.0285 = 1/5 * 2/6 * 3/7

סעיף ב: הסתברות לשני צהובים
על מנת שיהיו 2 צהובים אנו יכולים לקבל:
אדום ראשון
או אדום שני
או אדום שלישי.

ההסתברות לאדום ראשון היא:
0.114 = 2/5 * 3/6 * 4/7

ההסתברות לאדום שני היא:
0.114 = 2/5 * 4/6 * 3/7

ההסתברות לאדום שלישי היא:
0.114 = 4/5 * 2/6 * 3/7

ההסתברות לשני צהובים היא סכום ההסתברויות הללו:
0.342 = 0.114 * 3
תשובה: ההסתברות לשני צהובים היא 0.342

סעיף ג: ההסתברות ללפחות 1 אדום
לפחות אדום אחד זה אומר:
1 אדום
או 2 אדום
או 3 אדום

וזה חישוב ארוך…

נשים לב שההסתברות היחידה שאינה טובה לנו היא 0 אדומים.
לכן נחשב אותה והיא תהיה ההסתברות המשלימה שלנו.

את ההסתברות ל 3 צהובים, שזה כמו 0 אדומים, חישבנו בסעיף א. 0.0285.
ההסתברות שאנו צריכים היא המשלימה:
0.9715 = 0.0285 – 1
תשובה: 0.9715.

תרגיל 3
בקופסה 9 כדורים מתוכם 4 אדומים.
מוצאים 3 כדורים ללא החזרה.

  1. מה ההסתברות שלכל היותר 2 מתוכם יהיו אדומים?
  2. ידוע שלכל היותר יצאו 2 אדומים. מה ההסתברות שיצאו 0 אדומים?

פתרון
סעיף א
מה המשמעות של "לכל היותר 2"?
0 אדומים זה טוב.
1 אדומים זה טוב.
2 אדומים זה טוב.
3 אדומים זה הדבר היחידי שאינו טוב. הדבר היחידי שלא נכנס לתוך הקבוצה של "לכל היותר 2".

לכן יש לנו אפשרות לחשב את 3 ההסתברויות של 0,1,2 אדומים.
או לחשב את ההסתברות המשלימה של 3 אדומים.
וזה מה שנעשה.

ההסתברות להוציא 3 אדומים היא:

ההסתברות להוציא לכל היותר 2 אדומים היא ההסתברות המשלימה למה שמצאנו:
0.952 = 0.0476 – 1
תשובה: ההסתברות להוציא לכל היותר 2 היא 0.952.

סעיף ב
זו שאלה בהסתברות מותנית.
ידוע כי "יצא לכל היותר 2 אדומים" זה אומר שכל מרחב ההסתברויות שלנו הוא 0.952.
מתוכו האפשרות "הטובה" היא שיצא 0.
ההסתברות ל 0 אדומים היא:

גודל העולם שלנו הוא 0.952 מתוכו ההסתברות "הטובה" היא 0.119 לכן ההסתברות המבוקשת היא:
0.125 = 0.952 : 0.119

חישוב בעזרת נוסחאות יראה כך:
זו הנוסחה הבסיסית של הסתברות מותנית:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

הנוסחה להסתברות מותנית

B זו האפשרות של לכל היותר 2 אדומים.
A ההסתברות ל 0 אדומים.
(P (A/B זו ההסתברות המבוקשת.
P (B) = 0.952
P (A ∩ B) = 0.119

על פי הנוסחה:
P (A/B) = 0.125 = 0.952 : 0.119

תרגיל 4
אדם זורק קובייה ומסובב רולטה. על הרולטה רשומים המספרים 1,2,4
ההסתברות ל 4 על הרולטה היא 0.4, והסתברות ל 2 גדולה פי 5 מההסתברות ל 1.

  1. חשבו את ההסתברות ל 1 וההסתברות ל 2 בסיבוב הרולטה.
  2. מה ההסתברות שהאדם יקבל סך הכל 9 או יותר בזריקת הקובייה וסיבוב הרולטה.
  3. החליפו לאדם את הרולטה והרולטה החדשה כוללת את אותם מספרים אבל ההסתברות לקבל 9 או יותר היא 0.194. חשבו את ההסתברות לקבל 4 ברולטה החדשה.

פתרון
סעיף א: חישוב ההסתברות ל 1  ו- 2
נגדיר:
x ההסתברות ל 1.
5x  ההסתברות ל 2.

סכום שתי ההסתברויות הללו הוא:
0.6 = 0.4 – 1
לכן המשוואה שלנו היא:
x + 5x = 0.6
6x = 0.6  / : 6
x = 0.1

ההסתברות ל 1 היא 0.1 וההסתברות ל 2 היא 0.5.

סעיף ב: ההסתברות ל 9 או יותר
אין אפשרות לקבל 9 אם מקבלים ברולטה 2.
לכן ברולטה חייב להתקבל 4.
בקובייה יכול להתקבל 5 או 6.
ההסתברות ל 5 או 6 היא 2/6.

ההסתברות לגם 4 ברולטה וגם 5 או 6 בקובייה היא:
0.133 = 0.4 * 2/6
תשובה: 1.33

סעיף ג: ההסתברות לקבל 4
מכוון שהמספרים ברולטה לא השתנו האדם עדיין חייב לקבל 4 ברולטה ו 5-6 בקובייה.
נגדיר:
x ההסתברות לקבל 4 ברולטה.
ההסתברות לקבל 9 תהיה:
x * 2/6 = 0.198
x= 0.6

תרגיל 5 (דיאגרמת עץ פשוטה, הסתברות מותנית)
בדיאגרמת העץ הבאה נתונים ההסתברויות לבחור כלב / חתול ובצבע לבן / חום.

  1. מה ההסתברות לדגם חיה לבנה?
  2. ידוע כי דגמו חיה חומה מה ההסתברות שהיא כלב?

פתרון
סעיף א: ההסתברות לדגום חיה לבנה
ההסתברות לדגום חיה לבנה היא סכום ההסתברויות של ענפים 2,4.

ההסתברות של ענף 2 (חתול לבן):
0.48 = 0.6 * 0.8
ההסתברות של ענף 4 (כלב לבן):
0.06 = 0.3 * 0.2
0.54 = 0.06 + 0.48
תשובה: ההסתברות לדגום חיה לבנה היא 0.54.

סעיף ב: הסתברות מותנה
ההסתברות לחיה חומה היא ההסתברות המשלימה לחיה לבנה.
0.46 = 0.54 – 1
ההסתברות לכלב חום היא:
0.14 = 0.7 * 0.2
הפתרון הוא:
p (x) = 0.14 / 0.46 = 0.304

אם נראה את הפתרון בצורה יותר מפורטת ועם הנוסחה

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

הנוסחה להסתברות מותנית

אז זה יראה כך
B ההסתברות לחיה חומה.
A ההסתברות לכלב.
P (A ∩ B) = 0.14  (ההסתברות לחיה חומה שהיא כלב).
P (B) = 0.46 (ההסתברות לחיה חומה).

P (A / B) = 0.14 / 0.46 = 0.304

תרגיל 6: (דיאגרמת עץ עם משתנים, הסתברות מותנית)
בדיאגרמת העץ הבאה נתונה ההסתברות לבחור בקופסה א או קופסה ב ובכדור צהוב או בכדור אדום.

  1. איזו הסתברות מתאר המשתנה x.
  2. ידוע כי ההסתברות לבחור כדור צהוב היא 0.44. מה גודלו של x.
  3. ידוע כי בחרו כדור צהוב. מה ההסתברות שהוא מקופסה ב?

סעיף א
המשתנה x מבטא את ההסתברות לבחור כדור אדום מתוך קופסה ב.

סעיף ב: מציאת x
"ההסתברות לבחור צהוב" היא סכום ההסתברויות של הענפים 2,4.
ההסתברות של ענף 4 היא:
0.08 = 0.2 * 0.4
ההסתברות של ענף 2 היא:

סכום ההסתברויות של ענפים 2,4 הוא:

תשובה: x = 0.4.

סעיף ג: ידוע כי בחרו כדור צהוב. מה ההסתברות שהוא מקופסה ב
ההסתברות לבחור כדור צהוב משתי הקופסאות היא 0.44
ההסתברות לבחור צהוב מקופסה ב היא 0.36
לכן ההסתברות המבוקשת היא:
p (x) = 0.36 / 0.44 = 0.818

פתרון בעזרת הנוסחה יראה כך:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

הנוסחה להסתברות מותנית

B בחירת צהוב.
A  קופסה ב.
P (A∩B) = 0.36
P (B) = 0.44
P (A / B) = 0.36 / 0.44 = 0.818
תשובה: 0.818.

תרגיל 7 
צלף יורה למטרה 5 פעמים. ההסתברות לקליעה בירייה בודדת היא 0.2.

  1. מה ההסתברות שהוא יקלע 3 יריות?
  2. מה ההסתברות שהוא יפספס את כל 5 היריות?

פתרון
שאלה זו נפתרת בעזרת נוסחת ברנולי.
n  מספר הניסיונות שלנו הוא 5.
k  מספר ההצלחות הנדרש הוא 3.
p  ההסתברות להצליח היא 0.2

נחשב את המקדם הבינומי.

המקדם הבינומי: n! לחלק ב- !(k! (n-k.

נציב בנוסחת ברנולי:
p (x) = 10 * 0.2³*0.8² = 0.0512
תשובה: ההסתברות לקליעת 3 יריות היא 0.0512.

סעיף ב: ההסתברות לפספס את כל היריות
ניתן לחשב זאת בעזרת ברנולי אבל זה יהיה בזבוז זמן.
כאשר מבקשים לקלוע הכל או לפספס הכל ניתן לעשות זאת בעזרת חישוב הסתברות פשוט.

ההסתברות לפספס יריה בודדת הוא 0.8
לכן ההסתברות לפספס 5 ברצף היא:
0.32768 = 5(0.8).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “הסתברות 4 יחידות סיכום

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.