תרגילים פתורים מהבגרות גיאומטריה 481

בדף זה פתרונות לתרגילים מהבגרות בנושא גיאומטריה שאלון 481.
12 פתרונות לשנים 2016 – 2019.

בפתרונות יש דגש על הסבר מה היא דרך המחשבה שהייתה אמורה להביא אותכם לפתרון. אבל לא הפתרונות יש פתרון מלא של משוואות או נימוקים כפי שהם צריכים להיכתב בבגרות.

קייץ 2019 שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
קו המחשבה המוביל לפתרון הוא: כיצד למצוא זוויות מתחלפות או מתאימות שוות על מנת להוכיח שהישרים מקבילים?
משתמשים במשפט "רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה" ולכן OEA גודלה 90. ואז יש לנו זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות או זוויות מתאימות שוות.

סעיף ב
קו המחשבה צריך להיות: "מה הקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הזה?".
בסעיף הקודם הוכחנו שהישרים מקבילים ובסעיף זה נוכיח בעזרת הישרים המקבילים כי הזוויות שוות.
OEC = OCE  כי   OE = OC שתי הצלעות הן רדיוסים שווים.
OEC = ACE זוויות מתחלפות שוות ומכך מגיעים לתשובה.

סעיף ג
זווית CEB שווה 90 כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר.
בסעיף הקודם הוכחנו
OCE = ACE
המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ד 1
קו המחשבה הוא "הצלעות הנתונות והמבוקשות הם חלק מהצלעות של המשולשים הדומים, לכן נבנה משוואה בעזרת דמיון משולשים" הסבר מפורט כאן.

EC² = AC * BC = 64
EC = 8

סעיף ד 2
קו המחשבה צריך להיות: "מה הקשר בין הסעיף הקודם לסעיף הזה?".
והקשר הוא שלאחר שמצאנו את EC אנו יודעים את שני הניצבים במשולש CEB ניתן לחשב את הקוטר בעזרת משפט פיתגורס.
EB הוא רדיוס, מחצית הקוטר שמצאנו.

קייץ 2019 מועד ב שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
הזווית ההיקפית A נשענת על קוטר ולכן גודלה 90.
D = B שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר.
דמיון משולשים על פי ז.ז

סעיף ב
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לי".
והסעיף הקודם עוזר בכך ש: ACB = NCD הם זוויות מתאימות שוות.
לכן CN הוא חוצה זווית.
CN הוא גובה וחוצה זוויות במשולש ולכן המשולש שווה שוקיים.

סעיף ג
כיוון המחשבה צריך להיות  "בניית משוואה עם הצלעות המבוקשות על פי דמיון המשולשים."
ובנוסף לחשוב איך זה שהוכחנו בסעיף הקודם את המשולש שווה שוקיים עוזר כאן.
בעזרת דמיון המשולשים נבנה את המשוואה הכוללת את הצלעות שיש במשוואה המבוקשת.

AC*DC = BC *NC
נזכור כי בסעף הקודם מצאנו:
AC = DC
לכן
AC² = BC *NC

סעיף ד
BC = 2R = 10
CD = AC = 4
מציבים את שני אלה במשוואה הקודמת ומוצאים את NC.

חורף 2019 שאלה 4

הפתרון של שאלה זו הוא הנחייה לפתרון ולא פתרון מלא.
סעיף א
AFB = 90 זווית היקפית הנשענת על קוטר.
BAC = 90 זווית בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה שווה ל 90.
בנוסף זווית B היא זווית משותפת לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב
בעזרת דמיון המשולשים ויחס הדמיון נבנה משוואה הכוללת את הצלעות שנתנו לנו את גודלם ואת הצלע המבוקשת.
כמו כן נשים לב כי:
CB = FC + FB = 25

AB² = FB * CB = 9 *25 = 225
AB =15

סעיף ג
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לי".
בעזרת משפט פיתגורס במשולש ABF נמצא את AF.
AF = 12
ואז נחשב את שטח המשולש:
S = 0.5 * 12 * 16 = 96

סעיף ד
כן.
AFC = CAB = 90
C זווית משותפת.

קיץ 2018 שאלה 4

סעיף א:
על מנת להוכיח ש BA הוא חוצה זווית עלינו להוכיח כי:
ABD = CBA.
לכן נגדיר:
ABD = a∠
וננסה להוכיח כי גם CBA = a.

  1. AMC = 2a∠ כי AMC = 2ABD על פי הנתונים.
  2. BMA = 180 – 2a זוויות צמודות.
  3. MA = MB שניהם רדיוסים במעגל ולכן משולש MAB הוא שווה שוקיים.
  4. MBA = MAB = a במשולש MAB זוויות הבסיס שוות ומשלימות את זוויות BMA ל 180 מעלות.

ABD = ∠CBA = a∠   ולכן BA הוא חוצה זווית.

סעיף ב:
קו המחשבה צריך להיות " איך הסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הזה".

  1. AMC = 2a זו הייתה הגדרה שלנו.
  2. CBD = ABD = ∠CBA = 2a
  3. C זווית משותפת.
  4. CBD ∼ CMA משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ג
כיוון המחשבה " M הוא אמצע BC כי הוא מרכז המעגל ו BC הוא קוטר.
נותר להוכיח כי A הוא אמצע DC, כלומר צריך להוכיח ש BA הוא תיכון"
נוכל להוכיח זאת אם נוכיח כי CBD הוא משולש שווה שוקיים.
וזה ברור שזה כך כי CMA המשולש הדומה לו הוא משולש שווה שוקיים.

דרך ראשונה להוכחה כי CMA הוא משולש שווה שוקיים.

  1. BAC = 90 כי זו זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  2. BA הוא גובה וחוצה זווית לכן משולש CBD הוא משולש שווה שוקיים.
  3. A הוא אמצע BC כי במשולש שווה שוקיים CBD הגובה הוא תיכון.
  4. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

דרך שנייה להוכחה כי המשולש CMA הוא שווה שוקיים

  1. MCA = MAC = D זוויות מתאימות בין משולשים דומים.
  2. משולש CMA הוא שווה שוקיים כי מול זוויות שוות במשולש נמצאות צלעות שוות.
  3. A הוא אמצע DC כי במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית BA הוא גם תיכון.
  4. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

סעיף ד:
שטח המשולש CBD הוא:

מכוון שנתון שמשולש ABM הוא משולש שווה צלעות.
ומכוון MB = MA = R אז גם BA = R.

עכשיו צריך להגדיר את DC באמצעות R.

הוכחנו כי משולש CBD הוא שווה שוקיים.
BA הוא גובה לבסיס ולכן גם תיכון.
CD = 2CA (משוואה 1).

בעזרת משפט פיתגורס נגדיר את CA באמצעות R במשולש BAC.
במשולש BAC על פי משפט פיתגורס:
CA² = BC² – BA² = (2R)² – R² = 3R²
CA = √3 R

שטח משולש CBD הוא:
SCBD = 0.5(DC * BA) = 0.5 * √3 R * R= 0.866R²

דרך נוספת להגדרת CA היא לבנות משוואה בעזרת דמיון המשולשים CBD ∼ CMA.

קיץ 2018 מועד ב

הפתרון של שאלה זו הוא הנחיות לפתרון ולא פתרון מלא
סעיף א

כיוון המחשבה צריך להיות "סעיפי א בשאלות לרוב נפתרים על ידי משפט, מה המשפט המתאים לשאלה זו"?

  1. ABE = FED  זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר.
  2. FED = CDE זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. ABE = CDE  נובע מ 1,2.

סעיף ב

  1. ABE = CDE הוכחנו בסעיף הקודם.
  2. E זווית משותפת
  3. CDE ∼ ABE על פי ז.ז

סעיף ג
המשפט אומר "ניתן לחסום מרובע במעגל אם סכום הזוויות הנגדיות שלו הוא 180 מעלות"
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם שהוא דמיון משולשים עוזר לנו?"

נגדיר את שלושת הזוויות במשולש CDE כ X,Y,Z ובאמצעות התכונות של זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות ובאמצעות זוויות מתאימות בין משולשים דומים נמצא את 4 זוויות המרובע ABCD ונוכיח כי סכום זוויות נגדיות במרובע הוא 180 מעלות.

סעיף ד
כיוון המחשבה צריך להיות "נבנה משוואה הכוללת את הצלעות המבוקשות בעזרת דמיון משולשים שמצאנו בסעיף ב".

ED * AB = CD * EB
ED * 3EB = 4*12
3EB² = 48
EB² = 16
EB = 4  או  EB = -4
מכוון שגודל של צלע הוא מספר חיובי אז התשובה היחידה  היא EB = 4.

חורף 2018 שאלה 4

סעיף א
דרך ראשונה להוכחה

  1. OB = OA שניהם רדיוסים ולכן משולש OAB הוא משולש שווה שוקיים.
  2. E הוא אמצע AB כי OE הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים AOB.
  3. O היא אמצע AC כי זו נקודת מרכז המעגל ו AC הוא הקוטר.
  4. OE הוא קטע אמצעים במשולש ACB כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע לאמצע צלע שנייה במשולש הוא קטע אמצעים.

דרך שנייה להוכחה

  1. B= 90  זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות.
  2. B = OEA כי OE מאונך ל AB.
  3. OE | | BC אם זוויות מתאימות שוות בין שני ישרים אז הישרים מקבילים.
  4. O היא אמצע AC כי זו נקודת מרכז המעגל ו AC הוא הקוטר.
  5. OE הוא קטע אמצעים במשולש ACB כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים.

סעיף ב
כיוון המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לנו?" ובנוסף "במעגל הרבה מוכיחים שמיתרים שווים בעזרת זוויות שוות הנשענות עליהם"

בסעיף הקודם למדנו כי:
E היא אמצע AB כי OE הוא קטע אמצעים.
כמו כן:
OB = OA שניהם רדיוסים

לכן:
BOF = AOF כי במשולש שווה שוקיים AOB הישר OE הוא תיכון ולכן גם חוצה זווית.
AF = FB זוויות מרכזיות שוות נשענות על מיתרים שווים.

סעיף ג (קשה יחסית)

  1. OBC הוא משולש שווה שוקיים כי OB,OC הם רדיוסים.
  2. BOC = 180 – 60 – 60 = 60 סכום זוויות במשולש BOC הוא 180.
  3. משולש BOC הוא שווה צלעות שבו כל צלע שווה ל R כי שלושת זוויותיו גודלן 60.
  4. מרובע FOCB הוא מקבילית כי צלעות FO,BC הן שוות ומקבילות.
  5. מרובע FOCB הוא מעוין כי OF = OC = R ואם שתי צלעות סמוכות במקבילית שוות אז המרובע הוא מעוין.

קיץ 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2017

א. נוכיח כי AEB = ∠BDC∠
נגדיר AEB=β∠
CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.
FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.
AEB = ∠BDC = β∠

ב. הוכחה ש: AEB ≅ BDC

  1. DC=BE – נתון.
  2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
  3. BCD = ∠ABC=90∠
  4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

ג. הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

  1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
  2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

  1. נגדיר את אורך EC כ X ס"מ.
  2. CB=4CE=4X
    EB= CB+CE=5X
  3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
    GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

קייץ 2017 מועד ב

סעיף א 1
המשפט המתאים למרובע החסום במעגל הוא "במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180"

  1. נגדיר  CBD = x.
  2. לכן FEC = 180 – x  במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
  3. FED = x  סכום זוויות צמודות הוא 180.
  4. FED = CBD = x מש"ל.

סעיף א 2
כיוון המחשבה שצריך להיות לנו "הוא איך הסעיף הקודם עוזר לנו?"

  1. BCD הוא משולש שווה שוקיים כי צלעות המעוין BC, CD שוות זו לזו.
  2. EDF = CBD = x  זווית בסיס במשולש שווה שוקיים BCD שוות זו לזו.
  3. FED = EDF = x  נובע מ 2 ו 4.
  4. FED משולש שווה שוקיים כי מול זוויות שוות יש צלעות שוות.

סעיף ב
בסעיפים הקודמים הוכחנו:

  1. FED = CBD = x
  2. FDE זווית משותפת.
  3. לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג
יחס הדמיון בין המשולשים הדומים הוא:
DB / DE = 3

לכן יחס שטחי המשולשים הוא:
9 = 3²
לכן שטח משולש DBC הוא:
18 = 9 * 2

במעוין האלכסון יוצר שני משולשים חופפים:
BCD ≅ BAD על פי צ.צ.צ

משולשים חופפים שווים בשטחם.
שטח המעוין מורכב משטחי שני המשולשים.
לכן שטח המעוין הוא:
S = 18 * 2 = 36
סמ"ר.

חורף 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל

פתרון מלא

א. נעביר אלכסון בדלתון AC.
1. ACB=30∠ האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
2. A =180 -∠c=120∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.
3. CAB=60∠ – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
4. B=180-60-30=90∠ – סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
5. D=180-∠B=180-90=90∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.

2. (חלק שני של סעיף א)
1. AC – הוא קוטר. (אם במעגל זווית היקפית (D∠) שווה ל 90 מעלות אז היא נשענת על קוטר).
2.   AB = 0.5AC =0.5*2R = R
במשולש ישר זווית ABC שבו זווית ACB=30∠ הצלע שמול זווית ה 30 מעלות שווה למחצית מהיתר.
3. AB=OA=OB=R – משולש AOB הוא משולש שווה צלעות.

סעיף ב
1. AB=AD – נתון.
2. AB=BO=OD=R – מצאנו בסעיף הקודם + OD הוא רדיוס.
3. ABOD – הוא מעוין שכל צלעותיו שוות לרדיוס.

סעיף ג
על פי משפט פיתגורס במשולש ABC.
BC² + 5²=10²
BC²+ 25 =100
BC²=75
BC=√75

סעיף ד
עלינו להראות כי משולש BCD הוא שווה צלעות (כל זוויות שוות 60).
1. BC=DC – נתון.
2. C=60∠ – נתון.
3. BDC=∠DBC∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים BDC שוות זו לזו.
4.   BDC=∠DBC= (180-60)/2=60∠ – סכום הזוויות במשולש BDC הוא 180 מעלות.
5. משולש ABO ומשולש BCD הם משולשים דומים על פי משפט ז.ז משום שבשתי המשולשים כל הזוויות שוות ל 60 מעלות.

קיץ 2016 תרגיל 4

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

סעיף א
1. AOD=2*∠ACD=2a∠ – זווית מרכזית שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
2. ACD=∠DCB=a∠ – על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות.
3. ACO=∠ACD+∠DCB=2a∠
4. ACO=∠AOD∠ – נובע מ 1 ו 3.
חלק שני של סעיף א:
1. OA=OC – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACO=∠OAC=2a∠ – במשולש שווה שוקיים ACO זווית הבסיס שוות.
3. AOD=∠OAC=2a∠
4. AC ║ DO – אם זוויות מתחלפות שוות בין קווים אז הקווים הם מקבילים.

סעיף ב
1. AO=OD=R – רדיוסים במעגל.
2. ODA=∠DAO∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ODA שוות זו לזו.
DAO=(180-2a)/2=90-a∠ – נובע מסעיף 2 ומכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

חלק שני של סעיף ב
כרגע ידוע כי AC ║ DO.
אם נוכיח גם כי AD ║ CO אז המרובע יהיה מקבילית על פי המשפט שמרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מתי AD ║ CO? כאשר DAO=∠AOC∠ משום שאלו זוויות מתחלפות.

נמצא את AOC∠.
1. AO=OC=R – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACB=2a∠ – מצאנו בחלק השני של סעיף א.
3. ACB=∠OAC=2a∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
4. AOC=180-4a∠ – סכום הזוויות במשולש AOC שווה ל 180 מעלות.
5. על מנת ש: DAO=∠AOC∠ צריך להתקיים:
180-4a=90-a
90=3a
30=a
תשובה: על מנת שמרובע ACOD יהיה מקבילית 30=a.

קיץ 2016 מועד ב שאלה 4

נתונים:

ABCD טרפז שווה שוקיים החסום במעגל.
DC קוטר במעגל.
E נמצאת על המשך האלכסון BD.
EC משיק למעגל.

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2016 מועד ב

 

פתרון

סעיף א. נדרש להוכיח ΔDAC ∼ ΔECD

  1. DCB=90∠  – רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. DAC=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל 90 מעלות.
  3. DCA= ∠EDC∠ – זווית היקפיות הנשענות על מיתרים שווים (שוקיים בטרפז שווה שוקיים) שוות בגודלן.
  4. ΔDAC ∼ ΔECD – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.  חישוב רדיוס המעגל.
DE=36, AC=25

  1. r – רדיוס המעגל. DC=2r
  2. נשים לב שקוטר המעגל (2r) הוא צלע בשני המשולשים. על פי יחס הדמיון:
    DE/ DC = DC/ AC
    DC² = AC*DE
    2r)² = 36*25)
    4r²=900 /:4
    r²=225
    r=15
    הרדיוס הוא 15 ס"מ.

סעיף ג. חישוב שטח משולש ΔDAC

  1. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔDAC
    DC² = AD² + AC²
    30² = AD² + 25²
    900 = 625 + AD²
    275 = AD²
    AD= √275
  2. שטח המשולש הוא:
    2 / (275√ * 25)
    207.289
    תשובה: שטח משולש  ΔDAC הוא 207.289 סמ"ר.

חורף 2016

שרטוט התרגיל בגיאומטריה. חורף 2016 4 יחידות

נתונים:
משולש שווה שוקיים ΔABC (הצלעות AB=AC).
DA=AB.
EA משיק בנקודה A.

א. להוכיח כי AE הוא קטע אמצעים במשולש ΔBDC.

  1. נגדיר: ABC=a∠.
  2. BCA=∠ABC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות זו לזו.
  3. EAC=∠ABC∠ – זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  4. EAC=∠BCA∠ – נובע מ 2 ו 3.
  5. EA ΙΙ FB  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  6. AE הוא קטע אמצעים ב ΔBDC  – אם ישר יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש אז הוא קטע אמצעים.

ב. להוכיח ש CD⊥BC.

  1. במשולש ΔBDC הישר CA הוא תיכון לייתר וגם CA=0.5BD.
  2. משולש שבו התיכון לייתר שווה למחצית היתר הוא משולש ישר זווית.
  3. ΔDCB הוא משולש ישר זווית C=90∠

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.