גיאומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות

גיאומטריה היא ענף שונה בתחום המתמטיקה בגלל:

  1. שיש צורך לזכור כ- 100 משפטים בעל פה.
  2. אין דרך קבועה לפתור את התרגילים וכל תרגיל הוא קצת שונה.

על מנת לעזור לכם לזכור את 100 המשפטים יצרתי עם דף עם סרטוני וידאו הכולל הסברים וטיפים לזכירת המשפטים.
ממליץ במיוחד על הטיפים בנושא משפטי מקבילית, מעוין, טרפז.

על מנת להתמודד עם זה שאין דרך מובנית לפתרון תרגילים יצרתי דוגמאות למצבים נפוצים וכיצד להתמודד איתם.
את חלק מהמצבים הנפוצים תוכלו למצוא בדף זה בצורה של רשימת טיפים.

מצבים נוספים וחשובים תוכלו למצוא בקישורים של הדפים:
מקבילית,    מעוין,   טרפז,    קטע אמצעים במשולש,    קטע אמצעים בטרפז,    משפט תאלס,   דמיון משולשים.

טיפים לפתרון תרגילים בגיאומטריה

הטיפים הם בנושאים:

  1. קוטר וזוויות במעגל.
  2. משיק למעגל.
  3. טרפז חסום במעגל, קווים מקבילים במעגל.
  4. מיתרים.

טיפים בנושא קוטר וזוויות במעגל

1. כאשר נתון קושר עליכם לסמן אותו על ידי פעמיים R.
כי פעמים רבות נוצרים על ידי הרדיוסים משולשים שווה שוקיים.

משולש AOC הוא שווה שוקיים.

אם ידוע ש- AB הוא קוטר אז לזמן אותו כ- 2R.

אם ידוע ש- AB הוא קוטר אז לזמן אותו כ- 2R.

2. כשיש קוטר לחפש זווית זווית היקפית הנשענת עליו. ואם אין יתכן שכדאי לעשות בניית עזר שתצור כזו.

ברוב השאלות בהן מוזכרת המילה קוטר, יש גם זווית היקפית הנשענת על הקוטר. ואם לא כנראה שאנו צריכים לשרטט בניית עזר.

ברוב השאלות בהן מוזכרת המילה קוטר, יש גם זווית היקפית הנשענת על הקוטר. ואם לא כנראה שאנו צריכים לשרטט בניית עזר.

3. כשיש זווית של 90 מעלות במעגל. לא רק לסמן את הזווית אלא גם לזכור שיש קוטר ולסמן כשני רדיוסים.

כשידוע על זווית של 90 מעלות במעגל, לא להסתפק בסימון הזווית בלבד אלא גם לסמן את הקוטר כשני רדיוסים

כשידוע על זווית של 90 מעלות במעגל, לא להסתפק בסימון הזווית בלבד אלא גם לסמן את הקוטר כשני רדיוסים

4. ישר העובר מנקודה על המעגל אל נקודה אחרת על המעגל דרך מרכז המעגל הוא קוטר.

אחת המיומנויות של כותבי שאלות היא לתת לכם נתון מבלי שתשימו לב שקיבלתם אותו.
כאשר אומרים לכם ש"מיתר עובר דרך מרכז המעגל" אז המיתר הזה הוא קוטר.
ועליכם לסמן אותו כ- R ו- R. ולחפש זוויות היקפית הנשענת עליו.

מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

5. תמיד לחפש זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.

נתון מעגל עם מיתרים רבים. צריך לסרוק את היקף המעגל ולנסות לזהות מקרים בהם זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת

נתון מעגל עם מיתרים רבים. צריך לסרוק את היקף המעגל ולנסות לזהות מקרים בהם זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת

טיפים בנושא משיק למעגל

6. העברת רדיוס ממרכז המעגל לנקודת ההשקה היא פעולה שכיחה.

אם נתון משיק למעגל ואין רדיוס המגיע אליו רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר אחד כזה. רדיוס יוצר עם המשיק זווית של 90 מעלות.

אם נתון משיק למעגל ואין רדיוס המגיע אליו רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר אחד כזה. רדיוס יוצר עם המשיק זווית של 90 מעלות.

7. אם יש שני מעגלים משיקים ולא משורטט משיק סיכוי טוב שאתם צריכים להוסיף אותו על ידי בניית עזר.

שני מעגלים משיקים דורשים ישר המשיק לשניהם על מנת להתקדם בשאלה. אם אין אחד כזה אז זו בניית עזר שאתם צריכים לבנות.

שני מעגלים משיקים דורשים ישר המשיק לשניהם על מנת להתקדם בשאלה. אם אין אחד כזה אז זו בניית עזר שאתם צריכים לבנות.

לאחר הבנייה תוכלו להשתמש במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה".

8. צורה החוסמת מעגל היא צורה המשיקה למעגל.

צורה החוסמת מעגל היא צורה המשיקה למעגל

בשני המקרים נוכל להשתמש במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה".
כאשר מרובע חוסם את המעגל נוכל להשתמש גם במשפט "במרובע החוסם מעגל סכום הצלעות הנגדיות שווה זה לזה".

9. במשולש חוסם מעגל אם יודעים את הגודל של שלושת צלעות המשולש ניתן גם לדעת את אורך כל אחד מהקטעים המשיקים.

עושים זאת על ידי בחירת 3 משתנים (כמתואר בשרטוט) ופתרון של 3 משוואות עם 3 נעלמים.

טרפז וקווים מקבילים במעגל

10. טרפז חסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.
זה משפט שאתם צריכים להוכיח על מנת להשתמש בו.
אבל כשאתם מכירים את ההוכחה היא קלה מאוד

טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים

ההוכחה מתבססת על כך שהזוויות a הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
ולכן המיתרים שעליהם הן נשענות שווים. הוכחה מפורטת יותר בדף טרפז חסום במעגל.

11. חיבור של מיתרים מקבילים במעגל יוצר צלעות שוות.
זה המשפט ההפוך למשפט הקודם.
הוא נובע מכך שכאשר מחברים מיתרים מקבילים יוצרים טרפז, שכמו שהוכחנו בסעיף הקודם הוא טרפז שווה שוקיים.

אם AD מקביל ל- BC אז AB = CD

אם AD מקביל ל- BC אז AB = CD

מיתרים במעגל

12. שני מיתרים נחתכים במעגל תמיד יצרו משולשים דומים.

הזוויות הירוקות הן היקפיות הנשענות על אותה קשת. הזוויות האדומות קודקודיות שוות. לכן המשולשים דומים.

הזוויות הירוקות הן היקפיות הנשענות על אותה קשת. הזוויות האדומות קודקודיות שוות. לכן המשולשים דומים

13. מיתרים יכולים ליצור מרובע החסום במעגל מבלי שיגידו "מרובע חסום במעגל".

יתכן שבשאלה יתארו מיתרים ולא מרובע. אבל המיתרים הללו יצרו מרובע.
צריך לשים לב לכך כי במקרה של מרובע ניתן להשתמש במשפט "סכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא 180 מעלות".

מרובע החסום במעגל

14. שני מיתרים צמודים ושווים באורכם יוצרים עם מרכז המעגל משולשים חופפים (צ.צ.צ) חפיפה זו יכולה לשמש אותנו למציאת גדלים של זוויות.

אם ידוע ש- AB = BC

אם ידוע ש- AB = BC

אז כאשר נחבר את קצוות המיתרים עם מרכז המעגל נקבל שני משולשים חופפים. OAB ו  OCB

אז כאשר נחבר את קצוות המיתרים עם מרכז המעגל נקבל שני משולשים חופפים. OAB ו OCB

המשולשים חופפים על פי צ.צ.צ.
החפיפה תשמש אותנו לרוב למציאת גדלים של זוויות או הוכחה ששתי זוויות שוות זו לזו.

שני דברים לסיום:
אם אומרים מילה או נתון לא ניתן להתעלם ממנו וצריך לחפש משפטים הקשורים אליו.
אין נתונים מיותרים בשאלות.

דבר נוסף שקורה הרבה מאוד בשאלות בגיאומטריה הוא שהנתון שמצאתם בסעיף הקודם הכרחי על מנת לפתור את הסעיף הנוכחי. לכן אם אתם תקועים נסו לחשוב על "כיצד מה שמצאתי בסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הנוכחי".

עוד באתר:

  • שאלון 481 – נושאים נוספים המופיעים בבחינה.

תרגילים פתורים מהבגרות בגיאומטריה

קיץ 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2017

א. נוכיח כי AEB = ∠BDC∠
נגדיר AEB=β∠
CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.
FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.
AEB = ∠BDC = β∠

ב. הוכחה ש: AEB ≅ BDC

  1. DC=BE – נתון.
  2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
  3. BCD = ∠ABC=90∠
  4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

ג. הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

  1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
  2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בים ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

  1. נגדיר את אורך EC כ X ס"מ.
  2. CB=4CE=4X
    EB= CB+CE=5X
  3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
    GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

חורף 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל

קיץ 2016 תרגיל 4

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

קיץ 2016 מועד ב

שאלה 4

נתונים:

ABCD טרפז שווה שוקיים החסום במעגל.
DC קוטר במעגל.
E נמצאת על המשך האלכסון BD.
EC משיק למעגל.

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2016 מועד ב

 

פתרון

סעיף א. נדרש להוכיח ΔDAC ∼ ΔECD

  1. DCB=90∠  – רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. DAC=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל 90 מעלות.
  3. DCA= ∠EDC∠ – זווית היקפיות הנשענות על מיתרים שווים (שוקיים בטרפז שווה שוקיים) שוות בגודלן.
  4. ΔDAC ∼ ΔECD – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.  חישוב רדיוס המעגל.
DE=36, AC=25

  1. r – רדיוס המעגל. DC=2r
  2. נשים לב שקוטר המעגל (2r) הוא צלע בשני המשולשים. על פי יחס הדמיון:
    DE/ DC = DC/ AC
    DC² = AC*DE
    2r)² = 36*25)
    4r²=900 /:4
    r²=225
    r=15
    הרדיוס הוא 15 ס"מ.

סעיף ג. חישוב שטח משולש ΔDAC

  1. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔDAC
    DC² = AD² + AC²
    30² = AD² + 25²
    900 = 625 + AD²
    275 = AD²
    AD= √275
  2. שטח המשולש הוא:
    2 / (275√ * 25)
    207.289
    תשובה: שטח משולש  ΔDAC הוא 207.289 סמ"ר.

חורף 2016

שרטוט התרגיל בגיאומטריה. חורף 2016 4 יחידות

נתונים:
משולש שווה שוקיים ΔABC (הצלעות AB=AC).
DA=AB.
EA משיק בנקודה A.

א. להוכיח כי AE הוא קטע אמצעים במשולש ΔBDC.

  1. נגדיר: ABC=a∠.
  2. BCA=∠ABC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות זו לזו.
  3. EAC=∠ABC∠ – זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  4. EAC=∠BCA∠ – נובע מ 2 ו 3.
  5. EA ΙΙ FB  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  6. AE הוא קטע אמצעים ב ΔBDC  – אם ישר יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש אז הוא קטע אמצעים.

ב. להוכיח ש CD⊥BC.

  1. במשולש ΔBDC הישר CA הוא תיכון לייתר וגם CA=0.5BD.
  2. ΔDCB הוא משולש ישר זווית C=90∠ – משולש שבו התיכון לייתר שווה למחצית היתר הוא משולש ישר זווית.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.