גיאומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות

גיאומטריה היא ענף שונה בתחום המתמטיקה בגלל:

  1. שיש צורך לזכור כ- 100 משפטים בעל פה.
  2. אין דרך קבועה לפתור את התרגילים וכל תרגיל הוא קצת שונה.

בדף זה מספר קישורים וטיפים שיעזרו לכם להתמודד עם החומר הזה.

  1. שיעור ראשון: משולש.
  2. שיעור שני: מרובעים.
  3. שיעור שלישי: מעגל.
  4. שיעור רביעי: משפטים בגיאומטריה.

כל קישור מהקישורים שלמעלה כולל קישורים לדפים נוספים.
למשל הדף מרובעים כולל קישורים למידע על דלתון, טרפז, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע ועוד.

בהמשך הדף תמצאו מידע על 15 נתונים סמויים בגיאומטריה שאתם צריכים לשים אליהם לב.
ולאחר מיכן פתרונות מלאים לשאלות מהבגרות.

15 נתונים סמויים בשאלות בגיאומטריה

הנתונים הסמויים הם בנושאים:

  1. קוטר וזוויות במעגל.
  2. משיק למעגל.
  3. טרפז חסום במעגל, קווים מקבילים במעגל.
  4. מיתרים.

טיפים בנושא קוטר וזוויות במעגל

1. כאשר נתון קוטר עליכם לסמן אותו על ידי פעמיים R.
כי פעמים רבות נוצרים על ידי הרדיוסים משולשים שווה שוקיים.

משולש AOC הוא שווה שוקיים.

אם ידוע ש- AB הוא קוטר אז לזמן אותו כ- 2R.

אם ידוע ש- AB הוא קוטר אז לזמן אותו כ- 2R.

2. כשיש קוטר לחפש זווית זווית היקפית הנשענת עליו.
ואם אין יתכן שכדאי לעשות בניית עזר שתצור כזו.

3.
כשיש זווית של 90 מעלות במעגל.
לא רק לסמן את הזווית אלא גם לזכור שיש קוטר ולסמן כשני רדיוסים.

ברוב השאלות בהן מוזכרת המילה קוטר, יש גם זווית היקפית הנשענת על הקוטר. ואם לא כנראה שאנו צריכים לשרטט בניית עזר.

ברוב השאלות בהן מוזכרת המילה קוטר, יש גם זווית היקפית הנשענת על הקוטר. ואם לא כנראה שאנו צריכים לשרטט בניית עזר.

4. ישר העובר מנקודה על המעגל אל נקודה אחרת על המעגל דרך מרכז המעגל הוא קוטר.

אחת המיומנויות של כותבי שאלות היא לתת לכם נתון מבלי שתשימו לב שקיבלתם אותו.
כאשר אומרים לכם ש"מיתר עובר דרך מרכז המעגל" אז המיתר הזה הוא קוטר.
ועליכם לסמן אותו כ- R ו- R. ולחפש זוויות היקפית הנשענת עליו.

מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

5. תמיד לחפש זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.

נתון מעגל עם מיתרים רבים. צריך לסרוק את היקף המעגל ולנסות לזהות מקרים בהם זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת

נתון מעגל עם מיתרים רבים. צריך לסרוק את היקף המעגל ולנסות לזהות מקרים בהם זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת

6. שימו לב שנקודת מרכז המעגל היא אמצע הקוטר.
נקודה זו יכולה להשתלב עם קטע אמצעים במשולש.
או עם "במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר".
או ביצרת משולש שווה שוקיים על ידי העברת חוצה זווית / גובה אל נקודת מרכז המעגל.

לכן אם בשרטוט O היא נקודת מרכז המעגל.
ו AD = DC אז הישר OD הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

מרכז מעגל היוצר קטע אמצעים במשולש

אם O היא נקודת מרכז המעגל.
וגם אם  CO הוא חוצה זווית
אז AC = BC.

חוצה זווית למרכז המעגל יוצר משולש שווה שוקיים

טיפים בנושא משיק למעגל

6. העברת רדיוס ממרכז המעגל לנקודת ההשקה היא פעולה שכיחה.

אם נתון משיק למעגל ואין רדיוס המגיע אליו רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר אחד כזה. רדיוס יוצר עם המשיק זווית של 90 מעלות.

אם נתון משיק למעגל ואין רדיוס המגיע אליו רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר אחד כזה. רדיוס יוצר עם המשיק זווית של 90 מעלות.

7. אם יש שני מעגלים משיקים ולא משורטט משיק משותף סיכוי טוב שאתם צריכים להוסיף אותו על ידי בניית עזר.

שני מעגלים משיקים דורשים ישר המשיק לשניהם על מנת להתקדם בשאלה. אם אין אחד כזה אז זו בניית עזר שאתם צריכים לבנות.

שני מעגלים משיקים דורשים ישר המשיק לשניהם על מנת להתקדם בשאלה. אם אין אחד כזה אז זו בניית עזר שאתם צריכים לבנות.

לאחר הבנייה תוכלו להשתמש במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה".

8. צורה החוסמת מעגל היא צורה המשיקה למעגל.

צורה החוסמת מעגל היא צורה המשיקה למעגל

בשני המקרים נוכל להשתמש במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה".
כאשר מרובע חוסם את המעגל נוכל להשתמש גם במשפט "במרובע החוסם מעגל סכום הצלעות הנגדיות שווה זה לזה".

9. במשולש חוסם מעגל אם יודעים את הגודל של שלושת צלעות המשולש ניתן גם לדעת את אורך כל אחד מהקטעים המשיקים.

עושים זאת על ידי בחירת 3 משתנים (כמתואר בשרטוט) ופתרון של 3 משוואות עם 3 נעלמים.

טרפז וקווים מקבילים במעגל

10. טרפז חסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.
זה משפט שאתם צריכים להוכיח על מנת להשתמש בו.
אבל כשאתם מכירים את ההוכחה היא קלה מאוד

טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים

ההוכחה מתבססת על כך שהזוויות a הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
ולכן המיתרים שעליהם הן נשענות שווים. הוכחה מפורטת יותר בדף טרפז חסום במעגל.

11. חיבור למרובע של מיתרים שווים במעגל יוצר טרפז
זה המשפט ההפוך למשפט הקודם.
כלומר אם AB = DC אז AD מקביל ל BC

אם AD מקביל ל- BC אז AB = CD

אם AD מקביל ל- BC אז AB = CD

מיתרים במעגל

12. שני מיתרים נחתכים במעגל תמיד יצרו משולשים דומים.

הזוויות הירוקות הן היקפיות הנשענות על אותה קשת. הזוויות האדומות קודקודיות שוות. לכן המשולשים דומים.

הזוויות הירוקות הן היקפיות הנשענות על אותה קשת. הזוויות האדומות קודקודיות שוות. לכן המשולשים דומים

13. מיתרים יכולים ליצור מרובע החסום במעגל מבלי שיגידו "מרובע חסום במעגל".

יתכן שבשאלה יתארו מיתרים ולא מרובע. אבל המיתרים הללו יצרו מרובע.
צריך לשים לב לכך כי במקרה של מרובע ניתן להשתמש במשפט "סכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא 180 מעלות".

מרובע החסום במעגל

14. שני מיתרים צמודים ושווים באורכם יוצרים עם מרכז המעגל משולשים חופפים (צ.צ.צ) חפיפה זו יכולה לשמש אותנו למציאת גדלים של זוויות.

אם ידוע ש- AB = BC

אם ידוע ש- AB = BC

אז כאשר נחבר את קצוות המיתרים עם מרכז המעגל נקבל שני משולשים חופפים. OAB ו OCB

אז כאשר נחבר את קצוות המיתרים עם מרכז המעגל נקבל שני משולשים חופפים. OAB ו OCB

המשולשים חופפים על פי צ.צ.צ.
החפיפה תשמש אותנו לרוב למציאת גדלים של זוויות או הוכחה ששתי זוויות שוות זו לזו.

שני דברים לסיום:
אם אומרים מילה או נתון לא ניתן להתעלם ממנו וצריך לחפש משפטים הקשורים אליו.
אין נתונים מיותרים בשאלות.

דבר נוסף שקורה הרבה מאוד בשאלות בגיאומטריה הוא שהנתון שמצאתם בסעיף הקודם הכרחי על מנת לפתור את הסעיף הנוכחי. לכן אם אתם תקועים נסו לחשוב על "כיצד מה שמצאתי בסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הנוכחי".

עוד באתר:

תרגילים פתורים מהבגרות בגיאומטריה

קיץ 2018 שאלה 4

סעיף א:
נגדיר AMC = 2a∠ ולכן על פי הנתונים ABD = a∠.

המטרה שלנו תהיה להוכיח שזווית CBA שווה גם כן ל a. אם נצליח לעשות זאת אז נובע מכך ש BA הוא חוצה זווית.

  1. MA = MC שניהם רדיוסים. לכן משולש AMC הוא משולש שווה שוקיים.
  2. MCA = 90- a∠  סכום זוויות במשולש AMC הוא 180 מעלות וגם "מול צלעות שוות במשולש נמצאות זוויות שוות" או "במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו".

במשולש BAC
3. BAC = 90∠ זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות.
4. CBA = 180 – 90 – (90- a) = a∠ סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.

ABD = ∠CBA = a∠   ולכן BA הוא חוצה זווית.

סעיף ב: 

נוכיח כי שני המשולשים CMA, CBD הם משולשים שווה שוקיים.
ומכוון שזווית הבסיס שלהם MCA היא זווית משותפת אז שתי זוויות הבסיס שוות ואלו משולשים דומים.

במשולש CMA.
MAC = ∠ MCA∠  מול צלעות שוות במשולש נמצאות זוויות שוות.

במשולש CBD
1. BA הוא חוצה זוויות וגם גובה (על פי ההוכחה בסעיף א וגם BAC∠ היא זוויות היקפית הנשענת על קוטר ולכן גודל 90 מעלות).
ולכן משולש CBD הוא משולש שווה שוקיים כי "אם במשולש חוצה זווית הוא גם גובה אז המשולש שווה שוקיים".
2. MCA = ∠BDC∠

נובע מכך:
MCA = ∠MCA∠  זווית משותפת לשני המשולשים.
BDC = ∠ MAC∠
CBD ∼ CMA משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ג:

נוכיח כי A וגם M הם אמצעי צלעות במשולש.

  1. A היא אמצע DC כי במשולש שווה שוקיים DBC הישר BA הוא חוצה זוויות ובמשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון.
  2. M היא אמצע BC כי מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר AB.
  3. לכן MA הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע במשולש ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.

סעיף ד:
שטח המשולש CBD הוא:

מכוון שנתון שמשולש ABM הוא משולש שווה צלעות.
ומכוון MB = MA = R אז גם BA = R.

עכשיו צריך להגדיר את DC באמצעות R.

הוכחנו כי משולש CBD הוא שווה שוקיים.
BA הוא גובה לבסיס ולכן גם תיכון.
CD = 2CA (משוואה 1).

בעזרת משפט פיתגורס נגדיר את CA באמצעות R במשולש BAC.
במשולש BAC על פי משפט פיתגורס:
CA² = BC² – BA² = (2R)² – R² = 3R²
CA = √3 R

שטח משולש CBD הוא:
SCBD = 0.5(DC * BA) = 0.5 * √3 R * R= 0.866R²

 

קיץ 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2017

א. נוכיח כי AEB = ∠BDC∠
נגדיר AEB=β∠
CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.
FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.
AEB = ∠BDC = β∠

ב. הוכחה ש: AEB ≅ BDC

  1. DC=BE – נתון.
  2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
  3. BCD = ∠ABC=90∠
  4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

ג. הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

  1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
  2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בים ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

  1. נגדיר את אורך EC כ X ס"מ.
  2. CB=4CE=4X
    EB= CB+CE=5X
  3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
    GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

חורף 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל

פתרון מלא

א. נעביר אלכסון בדלתון AC.
1. ACB=30∠ האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
2. A =180 -∠c=120∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.
3. CAB=60∠ – האלכסון הראשי בדלתון הוא חוצה זווית.
4. B=180-60-30=90∠ – סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
5. D=180-∠B=180-90=90∠ – סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל הוא 180 מעלות.

2. (חלק שני של סעיף א)
1. AC – הוא קוטר. (אם במעגל זווית היקפית (D∠) שווה ל 90 מעלות אז היא נשענת על קוטר).
2.   AB = 0.5AC =0.5*2R = R
במשולש ישר זווית ABC שבו זווית ACB=30∠ הצלע שמול זווית ה 30 מעלות שווה למחצית מהיתר.
3. AB=OA=OB=R – משולש AOB הוא משולש שווה צלעות.

סעיף ב
1. AB=AD – נתון.
2. AB=BO=OD=R – מצאנו בסעיף הקודם + OD הוא רדיוס.
3. ABOD – הוא מעוין שכל צלעותיו שוות לרדיוס.

סעיף ג
על פי משפט פיתגורס במשולש ABC.
BC² + 5²=10²
BC²+ 25 =100
BC²=75
BC=√75

סעיף ד
עלינו להראות כי משולש BCD הוא שווה צלעות (כל זוויות שוות 60).
1. BC=DC – נתון.
2. C=60∠ – נתון.
3. BDC=∠DBC∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים BDC שוות זו לזו.
4.   BDC=∠DBC= (180-60)/2=60∠ – סכום הזוויות במשולש BDC הוא 180 מעלות.
5. משולש ABO ומשולש BCD הם משולשים דומים על פי משפט ז.ז משום שבשתי המשולשים כל הזוויות שוות ל 60 מעלות.

קיץ 2016 תרגיל 4

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

סעיף א
1. AOD=2*∠ACD=2a∠ – זווית מרכזית שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
2. ACD=∠DCB=a∠ – על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות.
3. ACO=∠ACD+∠DCB=2a∠
4. ACO=∠AOD∠ – נובע מ 1 ו 3.
חלק שני של סעיף א:
1. OA=OC – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACO=∠OAC=2a∠ – במשולש שווה שוקיים ACO זווית הבסיס שוות.
3. AOD=∠OAC=2a∠
4. AC ║ DO – אם זוויות מתחלפות שוות בין קווים אז הקווים הם מקבילים.

סעיף ב
1. AO=OD=R – רדיוסים במעגל.
2. ODA=∠DAO∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ODA שוות זו לזו.
DAO=(180-2a)/2=90-a∠ – נובע מסעיף 2 ומכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

חלק שני של סעיף ב
כרגע ידוע כי AC ║ DO.
אם נוכיח גם כי AD ║ CO אז המרובע יהיה מקבילית על פי המשפט שמרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מתי AD ║ CO? כאשר DAO=∠AOC∠ משום שאלו זוויות מתחלפות.

נמצא את AOC∠.
1. AO=OC=R – רדיוסים שווים במעגל.
2. ACB=2a∠ – מצאנו בחלק השני של סעיף א.
3. ACB=∠OAC=2a∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
4. AOC=180-4a∠ – סכום הזוויות במשולש AOC שווה ל 180 מעלות.
5. על מנת ש: DAO=∠AOC∠ צריך להתקיים:
180-4a=90-a
90=3a
30=a
תשובה: על מנת שמרובע ACOD יהיה מקבילית 30=a.

קיץ 2016 מועד ב שאלה 4

נתונים:

ABCD טרפז שווה שוקיים החסום במעגל.
DC קוטר במעגל.
E נמצאת על המשך האלכסון BD.
EC משיק למעגל.

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2016 מועד ב

 

פתרון

סעיף א. נדרש להוכיח ΔDAC ∼ ΔECD

  1. DCB=90∠  – רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. DAC=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל 90 מעלות.
  3. DCA= ∠EDC∠ – זווית היקפיות הנשענות על מיתרים שווים (שוקיים בטרפז שווה שוקיים) שוות בגודלן.
  4. ΔDAC ∼ ΔECD – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.  חישוב רדיוס המעגל.
DE=36, AC=25

  1. r – רדיוס המעגל. DC=2r
  2. נשים לב שקוטר המעגל (2r) הוא צלע בשני המשולשים. על פי יחס הדמיון:
    DE/ DC = DC/ AC
    DC² = AC*DE
    2r)² = 36*25)
    4r²=900 /:4
    r²=225
    r=15
    הרדיוס הוא 15 ס"מ.

סעיף ג. חישוב שטח משולש ΔDAC

  1. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔDAC
    DC² = AD² + AC²
    30² = AD² + 25²
    900 = 625 + AD²
    275 = AD²
    AD= √275
  2. שטח המשולש הוא:
    2 / (275√ * 25)
    207.289
    תשובה: שטח משולש  ΔDAC הוא 207.289 סמ"ר.

חורף 2016

שרטוט התרגיל בגיאומטריה. חורף 2016 4 יחידות

נתונים:
משולש שווה שוקיים ΔABC (הצלעות AB=AC).
DA=AB.
EA משיק בנקודה A.

א. להוכיח כי AE הוא קטע אמצעים במשולש ΔBDC.

  1. נגדיר: ABC=a∠.
  2. BCA=∠ABC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות זו לזו.
  3. EAC=∠ABC∠ – זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  4. EAC=∠BCA∠ – נובע מ 2 ו 3.
  5. EA ΙΙ FB  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  6. AE הוא קטע אמצעים ב ΔBDC  – אם ישר יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש אז הוא קטע אמצעים.

ב. להוכיח ש CD⊥BC.

  1. במשולש ΔBDC הישר CA הוא תיכון לייתר וגם CA=0.5BD.
  2. ΔDCB הוא משולש ישר זווית C=90∠ – משולש שבו התיכון לייתר שווה למחצית היתר הוא משולש ישר זווית.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.