גיאומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות

גיאומטריה היא ענף שונה בתחום המתמטיקה בגלל:

  1. שיש צורך לזכור כ 100 משפטים בעל פה.
  2. אין דרך קבועה לפתור את התרגילים וכל תרגיל הוא קצת שונה.

למרות זאת שמתי לב לשלושה דברים שחוזרים על עצמם בשאלות בבגרות:

  1. אם מופיע קוטר במעגל חפשו היטב את הזווית ההיקפית הנשענת על הקוטר על מנת להשתמש במשפט "זווית היקפית הנשענת כל קוטר שווה ל 90 מעלות".
    אם לא מצאתם זווית היקפית כזאת יתכן שהדרך לפתרון עוברת דרך בניית עזר היוצרת זווית כזו.
  2. כאשר יש מעגל כל הזמן חפשו זוויות היקפיות ומרכזיות הנשענות על אותה קשת.
  3. דבר נוסף שקורה הרבה מאוד בשאלות בגיאומטריה הוא שהנתון שמצאתם בסעיף הקודם הכרחי על מנת לפתור את הסעיף הנוכחי. לכן אם אתם תקועים נסו לחשוב על "כיצד מה שמצאתי בסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הנוכחי".

קישורים לדפי גיאומטריה באתר

לימוד הגיאומטריה מורכב מ 2 חלקים – לימוד המשפטים בעל פה ותרגול בעיות.

בנושא לימוד המשפטים אלו הדפים שקיימים באתר:

  1. משפטים בגיאומטריה – כל המשפטים.
  2. מעגל משפטים.
  3. משפטי דמיון.
  4. משולש משפטים.
  5. מקבילית משפטים.
  6. מעוין משפטים.
  7. משפט תאלס.

דפים הכוללים מידע על צורות:

  1. מקבילית.
  2. מעוין.
  3. מלבן.
  4. ריבוע.
  5. טרפז.
  6. מעגל.
  7. דלתון.

עוד באתר:

  • שאלון 481 – נושאים נוספים המופיעים בבחינה.

 

 

תרגילים פתורים מהבגרות בגיאומטריה

קיץ 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2017

א. נוכיח כי AEB = ∠BDC∠
נגדיר AEB=β∠
CGE=90- β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש CEG.
FGD =∠CGE= 90 – β∠  – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
BDC = β∠  – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש FGD.
AEB = ∠BDC = β∠

ב. הוכחה ש: AEB ≅ BDC

  1. DC=BE – נתון.
  2. AEB = ∠BDC = β∠ – מצאנו בסעיף א.
  3. BCD = ∠ABC=90∠
  4. AEB ≅ BDC  משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז

ג. הוכחה ש: GCE ∼ ABE.

  1. BEA = ∠CEG∠   – זווית משותפת.
  2. ECG = ∠ABE=90∠  – זוויות מתאימות בים ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. GCE ∼ ABE  – משולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז

מציאת היחס GC / AB

  1. נגדיר את אורך EC כ X ס"מ.
  2. CB=4CE=4X
    EB= CB+CE=5X
  3. יחס צלעות מתאימות בין משולשים דומים שווה זה לזה לכן:
    GC / AB = EC / EB = X/5X = 1/5

תשובה: היחס הוא 1:5.
הערה: במקום בדמיון משולשים היה ניתן בהרחבה הראשונה של משפט תאלס:
GC / AB = CE / EB = X/ 5X = 1/5.

חורף 2017 שאלה 4

שרטוט התרגיל

קיץ 2016 תרגיל 4

שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

קיץ 2016 מועד ב

שאלה 4

נתונים:

ABCD טרפז שווה שוקיים החסום במעגל.
DC קוטר במעגל.
E נמצאת על המשך האלכסון BD.
EC משיק למעגל.

שרטוט התרגיל גיאומטריה קיץ 2016 מועד ב

 

פתרון

סעיף א. נדרש להוכיח ΔDAC ∼ ΔECD

  1. DCB=90∠  – רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. DAC=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל 90 מעלות.
  3. DCA= ∠EDC∠ – זווית היקפיות הנשענות על מיתרים שווים (שוקיים בטרפז שווה שוקיים) שוות בגודלן.
  4. ΔDAC ∼ ΔECD – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

סעיף ב.  חישוב רדיוס המעגל.
DE=36, AC=25

  1. r – רדיוס המעגל. DC=2r
  2. נשים לב שקוטר המעגל (2r) הוא צלע בשני המשולשים. על פי יחס הדמיון:
    DE/ DC = DC/ AC
    DC² = AC*DE
    2r)² = 36*25)
    4r²=900 /:4
    r²=225
    r=15
    הרדיוס הוא 15 ס"מ.

סעיף ג. חישוב שטח משולש ΔDAC

  1. על פי משפט פיתגורס במשולש ΔDAC
    DC² = AD² + AC²
    30² = AD² + 25²
    900 = 625 + AD²
    275 = AD²
    AD= √275
  2. שטח המשולש הוא:
    2 / (275√ * 25)
    207.289
    תשובה: שטח משולש  ΔDAC הוא 207.289 סמ"ר.

חורף 2016

שרטוט התרגיל בגיאומטריה. חורף 2016 4 יחידות

נתונים:
משולש שווה שוקיים ΔABC (הצלעות AB=AC).
DA=AB.
EA משיק בנקודה A.

א. להוכיח כי AE הוא קטע אמצעים במשולש ΔBDC.

  1. נגדיר: ABC=a∠.
  2. BCA=∠ABC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות זו לזו.
  3. EAC=∠ABC∠ – זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
  4. EAC=∠BCA∠ – נובע מ 2 ו 3.
  5. EA ΙΙ FB  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  6. AE הוא קטע אמצעים ב ΔBDC  – אם ישר יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש אז הוא קטע אמצעים.

ב. להוכיח ש CD⊥BC.

  1. במשולש ΔBDC הישר CA הוא תיכון לייתר וגם CA=0.5BD.
  2. ΔDCB הוא משולש ישר זווית C=90∠ – משולש שבו התיכון לייתר שווה למחצית היתר הוא משולש ישר זווית.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.