בעיות קיצון עם פונקציה מעריכית

בדף זה שני פתרונות מלאים לבעיות קיצון עם פונקציה מעריכית.

דפים נוספים באותו נושא באתר:

בעיות קיצון

תרגיל 1:

נתונה הפונקציה f (x) = ex והישר 5 – g (x) = 2x .
הישר x = k (המספר k הוא מספר קבוע) חותך את שתי הפונקציות בנקודות A,B.
מצאו את ערך ה- k עבורו המרחק בין הנקודות A,B הוא הקטן ביותר.
(A – נק' החיתוך עם (f(x ).
(B – נק' החיתוך עם (g(x ).

פתרון:

בבעיה מסוג זה , נרצה להביע את המרחק בין הנקודות A,B באמצעות פונקציה של k.
כך נוכל לגזור את הפונקציה על מנת למצוא את נקודת המינימום שלה.
כלומר , ערך ה – k עבורו המרחק מינימלי.

ניתן להסיק מהנתונים כי שיעור ה – x של 2 הנקודות הוא k.
(מפני שאת שתיהן חותך הישר x = k)
לכן המרחק בין הנקודות יהיה הפרש שיעורי ה – y שלהן.
נמצא את שיעורי ה – y ע"י הצבת x = k בפונקציות.
נק' A :
f(k) = ek
נק' B:
g(k) = 2k -5

לכן המרחק בין הנקודות יהיה :
d = ek – (2k -5) = ek – 2k + 5

נגדיר את פונקציית המרחק :
h(x) = ek – 2k + 5.

נגזור את הפונקציה, ונשווה ל – 0,  כדי למצוא את נקודת המינימום שלה :
h ' (k) = ek -2 = 0
נעביר אגף , ונקבל:
ek = 2
נפעיל את הפונקציה ln על שני אגפי המשוואה :
(ln(ek) = ln(2
מחוקי לוגריתמים נקבל:
(k = ln(2
הסבר – לפי חוקי לוגריתמים, מתקיים : 

כלומר , k = ln2 חשודה לקיצון. נצטרך לוודא כי זוהי באמת נקודת המינימום של הפונקציה.
נבדוק האם נקודה זו היא נקודת מינימום, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :
א. (k < ln(2
ב. (k > ln(2
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נסכם בטבלה :

(k = ln(2 היא אכן נקודת מינימום.

לכן ערך ה- k עבורו המרחק מינימלי , הוא : (k = ln(2.

 

 תרגיל 2:
בין הפונקציות ex ו- e-x , וציר x חסמו מלבן.
מצאו את הערך של A עבורו שטח המלבן מקסימלי , וחשבו את שטח המלבן המקסימלי.
(ראה שרטוט)

פתרון:

בבעיה מסוג זה , נרצה להביע את שטח המלבן באמצעות פונקציה של x.
כך נוכל לגזור את הפונקציה על מנת למצוא את נקודת המקסימום שלה.
כלומר , ערך ה – x (במקרה שלנו – A) עבורו השטח מקסימלי.

נניח כי נקודה A בעלת ערך x כלשהו.
את ערך ה-y של הנקודה נמצא ע"י הצבה בפונקציה e-x.
לכן, ערכי נקודה A יהיו (x , e-x).
כפי שניתן לראות בשרטוט , הנקודה A- היא בעלת אותו ערך y ,
ובעלת ערך x הפוך בסימן לנקודה A.
לכן, ערכי נקודה A- יהיו ( x , e-x– ).

כעת נבנה את פונקציית השטח עליה דיברנו בתחילת התרגיל :
שטח מלבן : גובה*רוחב.
במקרה שלנו : גובה  = שיעור ה – y של הנקודות = e-x.
רוחב  = הפרש שיעורי ה-x של הנקודות:
x – (-x) = 2x

לכן פונקציית השטח תהיה : f(x) = 2x * e-x

נגזור את הפונקציה, ונשווה ל – 0,  כדי למצוא את נקודת המקסימום שלה :
0 = f ' (x) = 2e-x – 2x * e-x
נעביר אגפים:
2e-x = 2x * e-x
הפונקציה e-x שונה מ – 0 לכל x.
לכן נחלק ב – e-x. נקבל :
2x = 2
x = 1
לכן x = 1 היא נקודה חשודה לקיצון.
(בשאלה מהסוג הזה , כאשר מבקשים למצוא שטח מקסימלי , נחשוד בה כנקודת מקסימום ,
אבל יש צורך לוודא זאת , בדומה למציאת נקודות קיצון).
כעת נבדוק האם נקודה זו היא נקודת מקסימום, בעזרת תחומי עלייה וירידה של הפונקציה:
נפצל ל – 2 תחומים :
א. x < 1
ב. x > 1
נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום).
נסכם בטבלה :

x = 1 היא אכן נקודת מקסימום.

לכן עבור A = 1 מתקבל שטח המלבן המקסימלי.
את השטח המקסימלי נמצא ע"י הצבת x = 1 בפונקציית השטח (f(x.
f(1) = 2*1 * e-1 = 2/e
הסבר – חוקי חזקות – כאשר יש חזקה שלילית ניתן לכתוב בצורה הבאה :

לסיכום : 
ערך A עבורו מתקבל שטח המלבן המקסימלי הוא A = 1.
השטח המקסימלי  :

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.