גיאומטריה אנליטית 4 יחידות פתרון בגרויות

בדף זה הצעה לפתרון של בגרויות בגיאומטריה אנליטית שאלון 481.

במהלך פתרון התרגילים יתכן ותצטרכו להשתמש במשפטים בגיאומטריה על מנת לפתור את התרגילים, אלו הם המשפטים הבולטים שעושים בהם שימוש:

  1. רדיוס המעגל מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
  2. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה באורכם.
  3. אם זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר במעגל (ולהפך).

את השאלונים עצמם תוכלו למצוא בחיפוש באינטרנט.

קיץ 2018

פתרון מקוצר

  1. מוצאים את הנקודה E על ידי הנוסחה לאמצע קטע.
  2. ערך ה y בנקודה C הוא 0. רק ערך ה x  חסר לנו. נבנה משוואה עם נעלם אחד של EB = EC  (הנוסחה למרחק בין שתי נקודות).
  3. ערך ה x בנקודה K שווה לערך ה x בנקודה K (כי BF מאונך לציר ה x). נמצא את משוואת CE על פי שתי נקודות ונציב את ערך ה x של הנקודה K על מנת למצוא את ערך ה y של הנקודה K.
    בנוסף ניתן למצוא את הנקודה F ואז את המרחק KF.
  4. מצאנו את KF, כל שנותן לנו הוא לחשב את הגובה אל KF היוצא מהנקודה E. אורך הגובה הוא הפרש ערכי ה x של הנקודות E ו K.

פתרון מלא

סעיף א: מציאת הנקודה E.
E היא אמצע הקטע AB לכן נשתמש בנוסחה לאמצע קטע.

(E (3,2

סעיף ב: מציאת הנקודה C.
הנקודה C נמצאת על ציר ה x. לכן ערך ה y של C הוא 0.
רק ערך ה x בנקודה c חסר לנו.
נמצא את המרחק BE בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
לאחר מיכן נגדיר את ערך ה x של הנקודה c כמשתנה ונמצא אותו בעזרת אותה נוסחה.
(E (3,2)  B (7,4
לכן המרחק d בין הנקודות הוא:
d² = (7-3)² + (4-2)² = 4² + 2² = 20

נגדיר את הנקודה C כ:
(C (x, 0
המרחק שלה מהנקודה (B (7,4 הוא 20√.
לכן על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות:
x – 7)² + (0 – 4)² = 20)
x – 7)² + 16 = 20)
x – 7)²  = 4 )
למשוואה זו שתי פתרונות:
x – 7 = 2
x = 9
או
x – 7 = -2
x = 5
בשאלה אומרים "ערך ה x בנקודה c גדול מערך ה x בנקודה B"
לכן התשובה x = 9 היא הנכונה.
(C (9, 0

סעיף ג: מציאת הנקודה k ואת אורך הקטע kf.


BF הוא אנך לציר ה x ולכן שומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
בנקודה (B (7,4 ערך ה x הוא 7, ולכן גם בנקודה k ערך ה x הוא 7.

על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה K נמצא את משוואת הישר CE.
נשתמש במציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות.

נציב את ערכי הנקודה (C (9, 0 והשיפוע m = -0.333 בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
בצורה הזו נמצא את משוואת הישר CE.
(y-y1=m(x-x1
y – 0 = -0.333 (x – 9
y = -0.333x + 3   (זו משוואת הישר).

הנקודה k נמצאת על הישר CE וערך ה x שלה הוא הוא 7.
נציב במשוואת CE.
y = -0.333 * 7 + 3 = -2.333 + 3 = 0.666
הנקודה (K (7, 0.666

הנקודה f.
נמצאת על ציר ה x, לכן ערך ה y שלה הוא 0.
הישר BF מאונך לציר ה x ולכן שומר על ערך x שווה לכל אורכו.
ערך ה x בנקודה f הוא 7, בדיוק כמו בנקודה B.
(F (7,0

המרחק KF.
המרחק בין  (K (7, 0.666 ל (F (7,0 הוא על ציר ה y בלבד ושווה ל:
0.666 = 0 – 0.666

סעיף ג2: חישוב שטח המשולש EKF.
את אורך הצלע KF אנו יודעים (0.666).
על מנת לחשב את שוטח המשולש עלינו לחשב את אורך הגובה המגיע אל KF.
גובה זה יוצא מהנקודה E.
ומכוון KF מקביל לציר ה y, הגובה אל KF מקביל לציר ה x והגובה שומר על ערך y קבוע.
אורך הגובה תלוי רק בשינו ערכי ה x בתחילתו וסופו.
בנקודה E ערך ה x הוא 3, ועל הישר הוא 7.
לכן:
KF = 7 – 3 = 4.

שטח המשולש הוא:
S = (4 * 0.666) : 2 = 1.333
תשובה: שטח המשולש הוא 1.333 יחידות ריבועיות.

שרטוט משולש EKF והגובה היוצא מהנקודה E.

שרטוט משולש EKF והגובה היוצא מהנקודה E.

קיץ 2018 מועד ב

פתרון מקוצר

  1. מוצאים את הנקודה A שהיא נקודת מפגש לשני ישרים המקבילים לצירים. מציבים את הנקודה A במשוואת המעגל וכך מוצאים את רדיוס המעגל (או מחשבים את המרחק בין M ל A, המרחק הוא רדיוס המעגל).
  2. הנקודה C היא נקודת החיתוך של המעגל עם ציר ה y. לכן נציב x = 0 במשוואת המגעל ונמצא אותה. נמצא את משוואת BC על פי שתי נקודות.
  3. המרובע ABCM מורכב משני משולשים ישרי זווית וחופפים (בגלל ששני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה ובגלל שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
    נחשב את האורך של BA, האורך של MA הוא הרדיוס. נחשב את שטח משולש BAM ונכפיל פי 2.
  4. הגודל של זווית BMC הוא 90. לכן BC הוא קוטר המעגל החוסם (כי אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר).

פתרון מלא

סעיף א: מציאת משוואת המעגל.
על מנת לדעת את משוואת המעגל אנו צריכים לגעת את נקודת מרכז המעגל ואת הרדיוס.
את נקודת מרכז המעגל אנו יודעים  (m (4,1.
את הרדיוס ניתן לחשב אם נדע נקודה על המעל, וניתן לדעת את הנקודה A.

הנקודה A נמצאת על הישר y=6 ולכן ערך  y שלה הוא 6.
הישר MA מאונך לישר y = 6 ולכן MA מקביל לציר ה y ושומר על ערך x קבוע לכל אורכו.
ערך ה x בנקודה A הוא 4 ולכן 4 הוא גם ערך ה x הנקודה m.
(A (4,6

נציב את הנקודה A במשוואת המעגל.
x-a)²+(y-b)²=R²)
R² = (4 – 4)² + (6 – 1)² = 5²
R² = 5²

תשובה: משוואת המעגל היא x-4)²+(y-1)²=5²)

סעיף ב: מציאת משוואת הישר BC
עלינו למצוא את הנקודה C.
אנו יודעים שהנקודה C נמצאת על ציר ה y ולכן ניתן להציב x = 0 במשוואת המעגל ולמצוא אותה.
y – 1)² + (0 – 4)² = 5²)
y – 1)² + 16 = 25)
y – 1)²  = 9)
למשוואה כזו יש שני פתרונות:
y – 1 = 3
y = 4
או
y – 1 = -3
y = -2
אנו רואים שהנקודה C נמצאת מתחת לציר ה x ולכן הפתרון המתאים הוא y = -2.
(C (0, -2

מציאת הנקודה B.
הנקודה B נמצאת על הישר y = 6. לכן ערך ה y שלה הוא 6.
שני משיקים היוצאים למעגל מאותה נקודה שווים באורכם BA = BC.
נניח שהנקודה היא (B(x, 6 ונבנה משוואת מרחק בין שתי נקודות.
BA = BC
(A (4,6) ,  C (0, -2
x – 4)² + (6-6)² = (x – 0)² + (6 + 2)²)
x² – 8x + 16 = x² + 64   / -x² – 64
8x = -48  / : 8
x = – 6
הנקודה (B(-6, 6

מציאת משוואת הישר BC.
(B(-6, 6)  C (0, -2
נמצא את השיפוע.

נציב m = -1.333 ו (C (0, -2 במשוואה:
(y-y1=m(x-x1
(y + 2 = -1.333 (x – 0
y + 2 = -1.333x  / -2
y = -1.333x -2
תשובה: משוואת הישר BC היא y = -1.333x -2.

סעיף ג: חישוב שטח המרובע ABCM.

שני המשולשים BAM,  BCM הם משולשים ישרי זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
סכום שטחי המשולשים הללו הוא שטח מרובע ABCM.

נחשב את אורכי הניצבים של המשולשים הללו
R = AM = AC = 5
BA = BC שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

מצאנו שאורכי הניצבים במשולשים שווה ולכן שטחם שווה.
נחשב שטח משולש אחד ונכפיל פי 2, כך נמצא את שטח המרובע.
(A (4,6)  B(-6, 6
על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות
BA² = (-6 – 4)² + (6 – 6)² = 10² = 100
BA = 10
MA = 5 (רדיוס במעגל).

SBMA = (10 * 5) : 2 = 25
שטח המרובע כפול:
50 = 2 * 25.
תשובה: שטח המרובע ABCM הוא 50 יחידות ריבועיות.

סעיף ד: חישוב רדיוס החוסם את משולש BCM.
BCM = 90∠
לכן BM הוא קוטר המעגל החוסם (אם זוויות היקפית בת 90 מעלות נשענת על מיתר במעגל אז מיתר זה הוא קוטר).

נחשב את אורך BM, חצי מהאורך הזה הוא אורכו של הרדיוס.
(B(-6, 6), M (4,1
BM² = (6 – 1)² + (-6 – 4)² = 5² + 10²
BM² = 125
BM = √125
תשובה: אורך הרדיוס הוא
5.59 = 125√* 0.5

קיץ 2017

פתרון קצר

1.נמצא את שיפועי הרדיוסים MB ו MC על פי שתי נקודות.
הישרים AB ו AC מאונכים לרדיוסים ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-. כלומר ניתן למצוא את שיפועי AB, AC.
מוצאים את משוואת הישרים AB, AC על פי שיפוע ונקודה.
מוצאים את הנקודה A על פי מפגש של שני ישרים.

2. את AM מוצאים על פי מרחק בין שתי נקודות.
גודל הזווית B הוא 90 מעלות. על פי המשפט "אם זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר". לכן MA הוא קוטר המעגל החוסם, ולכן אמצע MA הוא נקודת מרכז המעגל.
חצי מאורך MA הוא רדיוס המעגל.
הנקודה C: על מנת לדעת אם הנקודה C נמצאת על המעגל נציב את ערכיה במשוואת המעגל ונראה האם משוואת המעגל מתקיימת.

פתרון מלא

כמו בכול השאלות שבהם יש משיק למעגל גם שאלה זו נשענת על המשפט "המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה".
וזה אומר שמכפלת השיפועים של המשיק ושל הרדיוס היא 1-.

נמצא את שיפוע הרדיוס MC.
(M (3,-4)   C (10,-5
1/7- = (10-3)  / (4+ 5-)
לכן שיפוע AC הוא 7.
נמצא את משוואת AC על פי נקודת ההשקה ושיפוע.
(y-y1 = m(x-x1
(y+5 = 7(x-10
y+5 = 7x -70 / -5
y=7x-75   – זו משוואת AC.

נמצא את שיפוע הרדיוס MB.
(M (3,-4)   B (-2,1
1- = (3- 2-) / (1+4)
לכן שיפוע AB הוא 1.
נמצא את משוואת AB על פי השיפוע ונקודת ההשקה.
(y-y1 = m(x-x1
(y – 1 = 1(x+2
y-1 =x+2 / +1
y=x+3  – זו משוואת AB.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים:
y=x+3
y=7x-75
7x-75 = x+3  / -x+75
6x = 78 /:6
x=13.
נמצא את ערך ה Y של הנקודה A.
y=x+3 = 13+3=16
תשובה: (A(13,16

ב) נשתמש בנוסחה למרחק בין שתי נקודות על מנת למצוא את אורך AM.
(A(13,16)  M (3,-4
d² = (13-3)² + (16+4)² = 100+400=500
d=√500
המרחק בין הנקודות A ו C הוא 500√ = 22.36 יחידות.

חלק שני:
מכוון שזווית ABM=90∠ אז AM קוטר המעגל (אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתר אז המיתר הוא קוטר).
לכן מרכז המעגל החוסם את משולש ABM נמצא באמצע הקטע AM.
נחשב את אמצע AM.
(A(13,16)  M (3,-4
8 = 2 / (13+3)  – זה ערך ה X של מרכז המעגל.
6 = 2 / (4 – 16) – זה ערך ה Y של מרכז המעגל.
מרכז המעגל הוא הנקודה (8,6).

אנו גם יודעים כי אורך הקוטר MA שווה ל 500√ = 22.36 לכן אורך הרדיוס או מחצית.
r=22.36:2 = 11.18
r²=125
לכן משוואת המעגל החוסם את משולש ABM היא:
x-8)² +(y-6)² = 125)

חלק שלישי:
נציב את הנקודה (C (10,-5 במשוואת המעגל ונראה אם היא מקיימת אותה.
125=121 +4 = ²(5-6-) + ²(10-8)
מצאנו כי הנקודה C מקיימת את משוואת המעגל ולכן נמצאת עליו.

חורף 2017 שאלה 2

פתרון קצר

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר הוא אמצע AB. את הרדיוס ניתן למצוא על ידי מציאת מרחק הנקודה A או B ממרכז המעגל.

ג. שיעור ה x של הנקודה C הוא בעצם אורך הגובה אל הצלע OB.
את האורך של OB אנו יודעים וגם את שטח המשולש, נותר לנו למצוא את הגובה.
ערך ה y של הנקודה C: מציבים את ערך ה x שמצאנו במשוואת המעגל ומוצאים את ערך ה y.

ד. הישר BC מקביל לציר ה y. לכן קל לחשב את אורך BC וגם את אורך הגובה מהנקודה M אל BC.

פתרון מלא

א. כן AB הוא קוטר משום שהזווית ההיקפית שנשענת עליו AOB שווה ל 90 מעלות (זו זווית הנוצרת על ידי הצירים). אם זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על מיתן אז מיתר זה הוא קוטר.

ב. על מנת למצוא את משוואת המעגל עלינו למצוא את מרכז המעגל ואת הרדיוס.
מציאת מרכז המעגל
נמצא את מרכז המעגל על ידי מציאת אמצע הקטע AB.

מרכז המעגל הוא (M( -4,-2

מציאת הרדיוס
הנקודה 0,0 נמצאת על המעגל.
לכן המרחק שלה מהנקודה (M( -4,-2 שווה לרדיוס.
נמצא את המרחק באמצעות הצבה 0,0 במשוואת המעגל.
R²=(-4-0)² + (-2-0)²=16+4=20
R² = 20
משוואה המעגל היא:
x+4)²+(y+2)²=20)

ג. אורך הישר BO הוא 4 (בגלל ששתי הנקודות נמצאות על ציר ה Y והפרש ערכי ה Y שלהם הוא 4).
אם h הוא אורך הגובה לצלע BO אז צריך להתקיים:

אורך הגובה h=8 הוא המרחק על ציר ה X של הנקודה מהישר BO. מכוון שהנקודה C נמצאת ברביע השלישי ערך ה X הוא xc=-8.
על מנת למצוא את ערך ה Y של הנקודה C נציב את ערך ה X במשוואת המעגל:

מכוון שידוע שהנקודה C לא נמצאת על הצירים Y=-4.
(C(-8,-4

ד. 8 יחידות שטח.

קיץ 2016 תרגיל 2

פתרון קצר

א. פותרים שתי משוואות עם שני נעלמים.

ב. מוצאים את השיפוע של MA על פי שתי נקודות.
המשיק מאונך ל MA (כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) ולכן אנו יכולים לדעת את שיפוע המשיק ויש לנו את הנקודה A דרכה עובר המשיק.
נמצא משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

ג. המשיק CA מאונך לרדיוס MA כי משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
נחשב את המרחקים CA, MA ונמצא את שטח משולש ישר זווית.

פתרון מלא

סעיף א
x²+y²=36   (משוואה 1)
x-7.5)²+y²=20.25)
x²-15x+56.25+y²=20.25 (2    (משוואה 2)
א. על מנת למצוא נקודת חיתוך נחסר את משוואה 2 ממשוואה 1.
15x-56.25=15.75 / +56.25
15x=72 /:15
x=4.8
נציב את ערך ה X שקיבלנו במשוואה אחת על מנת למצוא את ערך ה Y.
y² + 4.8²=36 /-23.04
y²=12.96
y=+-3.6
על פי הנתון A ברביע הראשון ולכן:
(A(4.8,3.6
(B(4.8, -3.6

סעיף ב
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה לכן נמצא את שיפוע הרדיוס MA.
(M(7.5 ,0
נשתמש בנוסחה למציאת שיפוע על פי 2 נקודות.

אם שיפוע המשיק הוא a אז מתקיים:

a= 0.75
עכשיו נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע ונקודה A.
(y-3.6=0.75(x-4.8
y-3.6=0.75x-3.6
y=0.75x
תשובה: משוואת המשיק היא y=0.75x.

סעיף ג
נמצא את ערכי נקודה C.
y=0.75x
x²+y²=36
x²+(0.75x)²=36

x²=23.04
x=+-4.8
4.8 זו הנקודה A. לכן עבור C מתקיים X=-4.8.
נמצא את ערך ה Y בנקודה C על ידי הצבה במשוואת הישר.
y=0.75*-4.8=-3.6
(C(-4.8, -3.6

סעיף ג
על מנת לפתור את השאלה עלינו להשתמש בעובדה שהמשיק CA מאונך לרדיוס MA ולכן משולש CMA הוא משולש ישר זווית.
ניתן לחשב את אורכי הצלעות AC ו MA בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות אך אין צורך.
MA הוא רדיוס ואורכו √20.25=4.5
AC עובר דרך מרכז מעגל 1 ולכן הוא קוטר. אורכו 2√36=12
לכן שטח המשולש:

תשובה: שטח משולש CMA הוא 27 יחידות ריבועיות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.