טריגונומטריה במרחב

דף זה הוא דף כללי עבור טריגונומטריה במרחב.
לתלמידי 4 יחידות מתמטיקה ו 3 יחידות מתמטיקה יש דפים נפרדים ומתאימים יותר:
טריגונומטריה במרחב 3 יחידות.
טריגונומטריה במרחב 4 יחידות.

לדף זה 4 חלקים:

  1. מושגי יסוד בטריגונומטריה של המרחב.
  2. חישוב נפח.
  3. זיהוי נכון של זווית בין ישר למישור.
  4. הכרה של הגופים הבסיסיים – תיבה, מנסרה משולשת ופירמידה.

טריגונומטריה במרחב מושגי יסוד

היטל

על מנת למצוא היטל של ישר (AB) על מישור נוריד מקצה הישר גובה אל המישור (BC) ונחבר את הקצה השני של הישר (A) עם הגובה.
בדוגמה שלמטה הישר AC (באדום) הוא היטלו של הישר AB על המישור DEFGG.

שרטוט היטל על מישור

הישר AC (באדום) הוא היטלו של הישר AB על המישור DEFG.

זווית בין ישר למישור

זווית בין ישר למישור היא הזווית שבין ישר לבין היטלו של הישר על המישור.
בשרטוט שלמעלה הזווית היא BAC∠.

ישר ניצב למישור

ישר האנך לשני ישרים במישור העוברים דרך עקבו הוא אנך למישור.
אם ישר מאונך למישור הוא מאונך לכל הישרים במישור העוברים דרך נקודת החיתוך שלו עם המישור.

כלומר אם הישר הכחול מאונך לשני הישרים האדומים אז הישר הכחול מאונך למישור ולכל ישר אחר במישור העובר דרך הנקודה O.

אם הישר הכחול מאונך לישרים האדומים הוא מאונך למישור.

אם הישר הכחול מאונך לישרים האדומים הוא מאונך למישור.

משפט נוסף

ישר במישור המאונך לישר שאינו במישור מאונך גם להיטלו של הישר על המישור.

משפט הפוך: ישר המאונך להיטל של ישר על המישור מאונך לישר.

ישר המאונך להיטל מאונך לישר וליהפך

אם AB מאונך ל BD אז הוא מאונך ל BC.
ואם AB מאונך ל BC אז הוא מאונך ל BD.

חישוב נפח

כיצד מחשבים נפח?
נפח שווה לשטח הבסיס כפול הגובה. בגופים בהם שני הבסיסים שווים, כמו תיבה ומנסרה ישרה ומשולשת הנוסחה נשארת כך.
בגופים בהם החלק העליון מסתיים "בשפיץ" כמו פירמידה יש לחלק את התוצאה ב 3.

שטח פנים – שטח פנים הוא סכום כל השטחים של הפיאות והבסיסים של הגוף.

שטח מעטפת – שטח מעטפת הוא סכום כל השטחים של פיאות הגוף – ללא הבסיסים.

זיהוי נכון של זוויות בין ישר למישור

תיבה

הזווית של אלכסון התיבה עם הבסיס

הזווית שבין אלכסון התיבה C'A לבין מישור הבסיס ABCD היא הזוויות C'AC

הזווית שבין אלכסון התיבה C'A לבין מישור הבסיס ABCD היא הזוויות C'AC

הזווית שבין אלכסון התיבה C'A לבין מישור הבסיס ABCD היא הזוויות C'AC.
מדוע זה כך?
משום ש C'C הוא אנך למקצועות התיבה BC ו DC ולכן הוא אנך לכול המישור ABCD.
נובע מכך ש AC הוא ההיטל של C'A על מישור הבסיס.

הזווית של אלכסון הפיאה עם הבסיס

הזווית של אלכסון הפיאה C'B עם מישור הבסיס ABCD היא הזווית C'BC

הזווית של אלכסון הפיאה C'B עם מישור הבסיס ABCD היא הזווית C'BC

הזווית של אלכסון הפיאה C'B עם מישור הבסיס ABCD היא הזווית C'BC.
מדוע זה כך?
בסעיף הקודם הראינו כי C'C הוא אנך למישור ABCD.
נובע מכך ש BC הוא ההיטל של C'B על מישור הבסיס.
ולכן הזווית שבין BC לישר C'B היא הזווית המבוקשת.

פירמידה מלבנית או ריבועית

הזווית שבין מקצוע הפירמידה לבסיס

חשוב לזכור שבפירמידה ישרה  גובה הפירמידה נוגע בבסיס הפירמידה במרכז המעגל החוסם את הבסיס.
במקרה של ריבוע או מלבן זו גם נקודת המפגש של האלכסונים.

הזווית שבין מקצוע הפירמידה DS לבין מישור בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית SDO

הזווית שבין מקצוע הפירמידה DS לבין מישור בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית SDO

הזווית שבין מקצוע הפירמידה DS לבין מישור בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית SDO.
מדוע זה כך?
SO הוא גובה הפירמידה ולכן הוא גובה (מאונך) לכל ישר במישור הבסיס, כולל DO.
ולכן DO הוא ההיטל של של DS על מישור הבסיס.
ולכן הזווית שבין DO ל DS היא הזווית שבין DS למישור הבסיס ABCD.

פירמידה ישרה ומשולשת

בפירמידה ישרה ומשולשת גובה הפירמידה נוגע בפירמידה במרכז המעגל החוסם את הבסיס. שהיא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

זווית שבין מקצוע הפירמידה לבסיס הפירמידה

דומה מאוד למה שראינו בפירמידה שבסיסה ריבוע.

הזווית שבין מקצוע הפאה SC לבין בסיס הפירמידה ABC היא SCO.

הזווית שבין מקצוע הפאה SC לבין בסיס הפירמידה ABC היא SCO.

הזווית שבין מקצוע הפאה SC לבין בסיס הפירמידה ABC היא SCO.
מדוע זה כך?
גובה הפירמידה SO מאונך לכל ישר על בסיס הפירמידה ולכן מאונך גם ל CO.
לכן CO הוא ההיטל של CS על מישור הבסיס.
לכן הזווית שבין CS לבין CO היא הזווית שבין CS למישור הבסיס.

גופים שצריך להכיר

אעבור על 4 גופים בהנדסת המרחב שיש לדעת.
בשני בחינות הבגרות האחרונות שנעשו ברמת 4 יחידות השאלות היו על פירמידה ישרה שבסיסה מלבן.

פירמידה ישרה שבסיסה מלבן

פירמידה מלבנית וישרה

פירמידה מלבנית וישרה

גובה הפירמידה המלבנית הישרה מאונך לבסיס בנקודת מפגש האלכסונים של הבסיס.
זה משפט חשוב ונעשה בו שימוש רב בפתרון תרגילים.

נפח הפירמידה הוא שטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.

הזווית שבין מקצוע פיאת הפירמידה לבין בסיס הפירמידה היא הזווית שבין מקצוע פיאת הפרמידה לאלכסון המלבן. למשל SAC∠.
זו שאלה שחוזרת על עצמה הרבה.

פירמידה ישרה שבסיסה משולש

פירמידה משולשת וישרה היא פירמידה שבסיסה משולש והמקצועות שווים זה לזה.

פירמידה משולשת וישרה

נפח הפירמידה הוא שטח הבסיס כפול גובה הפירמידה.

מנסרה ישרה ומשולשת

מנסרה משולשת וישרה

מנסרה משולשת וישרה

נפח מנסרה : מכפלת שטח הבסיס בגובה המנסרה. V= S*H.

תיבה

הגדרות ותכונות התיבה כפי שפורטו בדף

הגדרות ותכונות התיבה

נפח תיבה הוא מכפלת שטח הבסיס בגובה. כלומר אורך X רוחב X גובה.

עוד באתר:

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.