נפח גליל, שטח פנים ושטח מעטפת

גליל נוצר על ידי שני מישורים של עיגולים חופפים ומקבילים והנפח המחבר בניהם (זו הגדרה שאינה מדויקת ואינה מתמטית אבל מסבירה מה הוא הגוף).

נפח גליל הוא שטח בסיס העיגול כפול גובה הגליל.
שטח הפנים של הגליל הוא היקף העיגול כפול גובה הגליל. ניתן להבין את נוסחה זו טוב יותר אם פורסים את הגליל ורואים שמתקבל מלבן שבו האורך הוא היקף הבסיס והגובה הוא רוחב המלבן.

נפח גליל, שטח פנים ופריסת גליל

נפח גליל, שטח פנים ופריסת גליל

V=₶R²*h – נפח גליל.
P=2₶R * h – שטח מעטפת.
2₶R² +2₶R * h – שטח פנים.

  • תרגילים מגוונים בנושא נפח גליל תמצאו בקישור.

תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים. מתאימים לבית ספר יסודי.
תרגילים 4-5 הם תרגילים "הפוכים" בהם נתון הנפח וצריך למצוא את הגובה / רדיוס. אלו תרגילים המתאימים לבית ספר יסודי וחטיבת הביניים.
תרגילים 6-11 מתאימים לתלמידי חטיבת הביניים.

תרגילים ראשוניים בנושא נפח גליל
נפח גליל. תרגילים בהם נתון הנפח

תרגיל 1: מציאת הנפח בעזרת הרדיוס והגובה

נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא 5 ס"מ. וגובהו 10 ס"מ.
חשבו את הנפח ושטח הפנים שלו.

שרטוט התרגיל, נפח גליל

פתרון

חישוב נפח
V=₶R²*h
שטח בסיס הגליל הוא:
₶5²
25₶
עכשיו נכפיל את שטח הבסיס בגובה:
250₶=25₶*10
תשובה: נפח הגליל הוא 250₶ סמ"ק.

שטח פנים
נחשב את שטח הבסיס
S = ₶5² = 25₶
נחשב את היקף הבסיס:
p = 2₶5
p = 10₶
היקף בסיס הגליל הוא 10₶ ס"מ.
שטח המעטפת הוא היקף הבסיס כפול הגובה.
100₶ = 10₶*10

שטח הפנים שווה לשטח המעטפת ועוד פעמיים שטח הבסיס
150₶ = 100₶ + 25₶ * 2
תשובה: שטח הפנים הוא 150₶ סמ"ר.

תרגיל 2: כמו תרגיל 1

חשבו את הנפח ואת שטח הפנים של גליל שרדיוסו 10 וגובהו 7 ס"מ.

שרטוט התרגיל

פתרון

חישוב נפח
הנוסחה היא: V=₶R²*h
10² * 7 * ₶ = V
700*3.14 =V=700₶
V=2198.
תשובה: נפח הגליל הוא 2198 סמ"ק.

חישוב שטח פנים
הנוסחה היא:  2₶R² +2₶R * h
7 * 10 * 2₶ + 10² * ₶ * 2
140₶ + 200₶
340₶
1076.6 = 3.14*340
תשובה: שטח הפנים הוא 1076.6 סמ"ר.

תרגיל 3: חישוב נפח על פי שטח הבסיס

שטח הבסיס של גליל הוא 8₶. גובה הגליל הוא 6 ס"מ.
חשבו את נפח הגליל.

שרטוט התרגיל, חישוב נפח גליל

פתרון
כאשר אנו יודעים את שטח בסיס הגליל זה מקצר לנו את הדרך לחישוב הנפח.
נפח = שטח בסיס * גובה
48₶ = 6*8₶

תרגיל 4: מציאת הגובה בעזרת הנפח ושטח הבסיס

נתון כי נפח גליל הוא 24 סמ"ק וכי שטח הבסיס הוא 6 סמ"ר.
חשבו את גובה הגליל.

שרטוט התרגיל, נפח גליל

פתרון

שטח הבסיס כפול הגובה הוא הנפח.
24 = ___ * 6
4=24:6
לכן גובה הגליל הוא 4 ס"מ.

תרגיל 5: נתון נפח הגליל וגובה, מצאו את הרדיוס

נפח גליל הוא 200₶. גובה הגליל הוא 8 ס"מ.
חשבו את רדיוס הגליל.

שרטוט התרגיל, חישובים בגליל

פתרון
הנוסחה לנפח גליל היא:
V=₶R²*h
8₶r² =200₶  / :8₶
r²=25
r=5
תשובה: רדיוס בסיס הגליל הוא 5 ס"מ.

טיפ לזכירת נוסחאות הנפח

תרגיל 6: מלבן חסום בגליל

מלבן חסום בגליל כך שצלעו עוברת דרך מרכז בסיס הגליל.
אורך הצלע AB הוא 6 ס"מ. נפח הגליל הוא 45₶.
חשבו את שטח המלבן.

שרטוט התרגיל, חישובים בגליל

פתרון

הצלע AB היא קוטר במעגל. לכן רדיוס המעגל הוא 3 ס"מ.

על מנת לחשב את שטח המלבן עלינו למצוא את גובה המלבן שהוא גם גובה הגליל.
נשתמש בנוסחת נפח גליל על מנת למצוא את גובה הגליל:
V = 45₶= ₶*3²*h
h=5
שטח המלבן הוא:
30 = 6*5
תשובה: שטח המלבן הוא 30 סמ"ר. (לשים לב שהיחידות הן יחידות שטח).

תרגיל 7: מה תורם יותר לנפח גליל, רדיוס או גובה?

בבית משפחת כהן שני קנקני מים בצורת גליל. קנקן אחד גבוה פי 3 מהקנקן השני אך רדיוסו קטן פי 3 מהקנקן השני. מצאו באיזה קנקן יש כמות מים גדולה יותר.

פתרון

3h  הגובה של הקנקן הראשון.
h הגובה של הקנקן השני.
r הרדיוס של הקנקן הראשון.
3r הרדיוס של הקנקן השני.

נפח הקנקן הראשון:
V=₶r²*h
V= ₶r²*3h = 3₶r²h

נפח הקנקן השני:
V = ₶(3r)²h= 9₶r²h

הקנקן עם הרדיוס הגדול יותר והגובה הנמוך יותר (הקנקן השני) הוא הקנקן בעל הנפח הגדול יותר.
וזה נובע מכך שהרדיוס מועלה בריבוע לעומת הגובה שלא. לכן הרדיוס משפיע יותר.

תרגיל 8

לקנקן מים בצורת גליל שגובהו 25 ס"מ ורדיוס בסיסו הוא 4 ס"מ. מוזגים 150₶ סמ"ק מים.
לאיזה גובה בכלי יגיעו המים?

פתרון

יש שתי דרכים לפתור את השאלה:

  1. לחשב את נפח הקנקן ואז לראות איזה חלק תופסים 150 סמ"ק מנפח הכלי.
  2. להתייחס אל השאלה כשאלה שבה הנפח נתון (150 סמ"ק), הרדיוס נתון (4 ס"מ) ועלינו למצוא את הגובה.

פתרון בדרך 1:

נפח הקנקן הוא:
400₶ = 25*4²₶
החלק של המים הוא:
400₶ / 150₶
3/8
עכשיו נבדוק כמה הם 3/8 מגובה הגליל:
9.375 = 25 * 3/8
תשובה: הגובה שאליו יגיעו המים בכלי הוא 9.375 ס"מ.

פתרון בדרך 2:
₶V=150
R= 4
h = ?

150₶ = ₶4²*h
h= 150 / 16 = 9.375
תשובה: הגובה שאליו יגיעו המים בכלי הוא 9.375 ס"מ.

תרגיל 9: כאשר הגובה או הרדיוס קטנים / גדלים פי…

מה קורה ל:

  1. נפח.
  2. שטח מעטפת.
  3. שטח פנים.

כאשר מגדילים או מקטינים את הגובה או הרדיוס פי 2?

פתרון

נפח
V=₶R²*h – נפח גליל.
הרדיוס משפיע על הנפח בריבוע. לכן כאשר הוא גודל פי 2 הנפח גדל פי 2²=4. כאשר הרדיוס קטן פי 2 הנפח קטן פי 0.5² = 0.25. (קטן פי 4).

הגובה משפיע על על הנפח בצורה ישרה לכן כאשר הגובה גדל פי 2 הנפח גדל פי 2. כאשר הגובה קטן פי 2 הנפח קטן פי 2.

שטח מעטפת
P=2₶R * h
הרדיוס והגובה משפיעים על שטח המעטפת בצורה ישרה. לכן שטח המעטפת גדלה או קטנה פי 2 בהתאם לשינוי בגובה או ברדיוס (שניהם גורמים לשינוי זהה).

שטח פנים
2₶R² +2₶R * h
הרדיוס נמצא בחלק אחד בריבוע ועל חלק אחר בצורה ישרה. כלומר ההשפעה לא אחידה ולא ניתן להגיד מה השינוי המדויק שהוא גורם.

הגובה נמצא בחלק אחד אך לא נמצא בחלק אחר. כלומר ההשפעה לא אחידה ולא ניתן להגיד מה השינוי המדויק שהוא גורם.

תרגיל 10: תיבה חסומה בגליל

(לתלמידי כיתה ח ומעלה, כולל משפט פיתגורס).

תיבה מלבנית שאורכי צלעות בסיסה הם 6 ו 8 ס"מ חסומה בתוך גליל שגובהו 5 ס"מ.
חשבו את נפח התיבה ונפח הגליל.
חשבו את נפח החלל הנמצא בין התיבה לבין הגליל.
הערה: מרכז המעגל של בסיס הגליל נמצא בנקודת מפגש אלכסוני המלבן ואלכסוני המלבן חוצים זה את זה.

שרטוט התרגיל נפח גליל ותיבה

פתרון

עבור נפח התיבה יש לנו את כל הנתונים. אורכי צלעותיה הם 6,8,5.
240 = 5*6*8
נפח התיבה 240 סמ"ק.

עבור נפח הגליל עלינו לחשב את רדיוס הבסיס.
אורך רדיוס הבסיס הוא חצי מאורך אלכסון המלבן.
נחשב את אלכסון המלבן בעזרת משפט פיתגורס.
AC² = 6²+8² = 36+64=100
AC=10
R = 0.5AC = 5

נפח הגליל הוא:
₶5²*5= 125₶
392.5
נפח הגליל הוא 392.5 סמ"ק.

חלק שני
הנפח שנמצא בין הגליל לתיבה שווה להפרש הנפחים.
152.5 = 392.5-240
תשובה: נפח השטח שבין הגופים הוא 152.5 סמ"ק.

תרגיל 11: כיצד מילוי של גליל וחרוט נראים בגרף?

משני ברזים שזרימתם שווה וקבועה ממלאים גליל וחרוט במים.

  1. כיצד לדעתכם יראה גרם המתאר את גובה המים בכלים ככול שעובר הזמן? הסבירו את הגרפים.
    (שרטטו כל גרף בנפרד ואל תנסו להשוות את כמות המים בין החרוט לגליל).
  2. כיצד הגרפים היו משתנים אם הגרף היה של כיצד כמות המים משתנה ככול שעובר הזמן?
  3. כיצד הגרפים היו משתנים אם עוד לפני תחילת המילוי היו בגליל ובחרוט מים?
  4. כיצד גרף החרוט היה משתנה אם החרוט היה הפוך? (אם החלק הצר למטה והרחב למעלה).

גליל וחרוט

שרטוט הגרפים בתרגיל

פתרון

רוחב הגליל זהה לכול אורכו ולכן קצב העליה של המים בגליל הוא קבוע.
משוואת ישר היא הגרף המתאר עליה בקצב קבוע.

החרוט רחב בהתחלה והולך ונעשה צר.
לכן ככול שהזמן עובר עליית המים הופכת מהירה יותר וזה מתבטא בקצב עליה מהיר יותר ככול שעובר הזמן.

שרטוט הגרף של גובה המים כפונקציה של הזמן

שרטוט הגרף של גובה המים כפונקציה של הזמן

2. מכוון שהברזים מספקים כמות קבועה ושווה של מים הקצב שבו גדלה כמות המים היא קבועה. והגרף המתאר זאת הוא גרף ישר.

גרף כמות המים כפונקציה של הזמן

גרף כמות המים כפונקציה של הזמן

אם היו מים בכלים עוד לפני תחילת המילוי הגרפים לא היה מתחילים בנקודה 0,0 אלא בנקודה גבוהה יותר על ציר ה y.

אם החרוט היה הפוך קצב עליית המים היה מהיר בהתחלה והופך להיות איטי יותר ככול שעור הזמן.

גרף של גליל שהיו בו מים בתחילת המילוי וגרף מילוי של חרוט הפוך

גרף של גליל שהיו בו מים בתחילת המילוי וגרף מילוי של חרוט הפוך

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.