נפח תיבה

נוסחה לנפח תיבה

נפח התיבה הוא המכפלה של שלושת ממדי התיבה: אורך x רוחב x גובה.
a * b *h.
שטח הפנים של תיבה  הוא סכום השטחים של ששת מלבני התיבה.
2ab+2ah+2bh.
שטח המעטפת כולל את ארבעת המלבנים שנמצאים בצדדים (ללא הבסיסים).
2ah+2bh.

תרגילים

תרגילים 1-8 הם תרגילים לבית הספר היסודי.
מתוכם תרגילים 1-4 הם תרגילי חובה שאני ממליץ לכולם לפתור ואילו תרגילים 5-8 הם הרחבות שיתכן שתפגשו בשיעורים / מבחנים ויתכן שלא.

תרגילים 9-14 הם תרגילים לתלמידי כיתה ז ומעלה.

נושאים ותרגילים הקשורים לתיבה אך לא לנפח תיבה נמצאים בדף תיבה.

4 תרגילים יסודיים. לתלמידי בית הספר היסודי

תרגיל 1: חישוב נפח

בתיבה האורך הוא 4 ס"מ, הרוחב 2 ס"מ והגובה 5 ס"מ.
חשבו את נפח התיבה.

שרטוט התרגיל

פתרון
40 = 4*2*5
תשובה: נפח התיבה 40 סמ"ק.

תרגיל 2: חישוב נפח תיבה ריבועית

תיבה ריבועית היא תיבה שבסיסה ריבוע ולא מלבן כמו בתיבה רגילה.
ההבדל בין ריבוע למלבן הוא שבריבוע הצלעות שוות זו לזו ואילו במלבן אורך הצלעות שונות.

בתיבה ריבועית אורך צלע הבסיס הוא 3 ס"מ וגובה התיבה 4 ס"מ.
חשבו את נפח התיבה.

שרטוט תרגיל, נפח תיבה

פתרון

מכוון שצלע אחת של הריבוע היא 3 ס"מ גם הצלע השנייה בריבוע היא 3 ס"מ.
לכן ממדי התיבה הם 3,3,4.
נפח התיבה הוא:
36 = 3*3*4
תשובה: 36 סמ"ק.

תרגיל 3: נתון נפח תיבה מצאו את הגודל שחסר

נפח תיבה הוא 60 סמ"ק.
אורך מקצוע אחד של התיבה הוא 10 ס"מ ואורך ומקצוע שני 2 ס"מ.
מצאו את אורך המקצוע השלישי של התיבה.

נפח תיבה, שרטוט תרגיל

פתרון
אנו יכולים לכתוב כך:
60 = ____ * 10 *2
60 = ____ * 20
תשובה: המספר החסר הוא 3. לכן אורך המקצוע השלישי הוא 3 ס"מ.

תרגיל 4: 6 שאלות קצרות

  1. מה ההבדל בין תיבה מלבנית, תיבה ריבועית ולקובייה?
  2. כאשר חוצים תיבה ל 2. האם סכום הנפחים של שתי התיבות שנוצרו שווה לנפח של התיבה המקורית?
  3. כמה תיבות שהנפח שלהן 2 סמ"ק ניתן להכניס לתיבה שנפחה 60 סמ"ק?
  4. כאשר מגדילים את גובה התיבה פי 2 כיצד משתנה הנפח?
  5. כאשר מגדילים את גובה התיבה פי 2 ואת אורך התיבה פי 3. כיצד משתנה הנפח?
  6. שלושת הגדלים המגדירים תיבה הם 6,10,12. מה גודלם של שלושת מלבני התיבה?

פתרון

  1. בתיבה מלבנית 3 ממדים שונים בגודלם: אורך, רוחב, גובה. בתיבה ריבועית האורך והרוחב שווים בגודלם ולכן רק שני מספרים מגדירים את גודל התיבה. בקובייה האורך, הרוחב והגובה שווים ולכן רק מספר אחד מגדיר את גודל הקובייה.
  2. נפח של תיבה (או כל גוף אחר) לא משתנה כאשר מחלקים אותו ומחברים את הנפחים של מה שחילקו.
  3. 60:2=30. ניתן להכניס 30 תיבות שנפחן 2 סמ"ק בתיבה שנפחה 60 סמ"ק.
  4. נפח התיבה יגדל פי 2. קיים יחס ישר בין נפח התיבה לגובה התיבה.
  5. נפח התיבה יגדל פי 6.
  6. הגדלים הם הם 6,10,12. ובתיבה כל זוג מספרים צריך להופיע ביחד פעם אחת. לכן (6,10)  (6,12)   (10,12).

תרגיל 5: הציעו גדלים לתיבה על פי נפח נתון

כתבו 2 אפשרויות לגדלי תיבה שנפחה הוא 40 סמ"ק.

פתרון
אנו זקוקים לשלושה מספרים שמכפלתם היא 40.
1,1,40
1,2,20
2,5,4

תרגיל 6: הקשר בין נפח תיבה לנפח גליל ונפח פירמידה

  1. אם שטח הבסיס של תיבה וגליל הוא 8 סמ"ר. הגובה של שני הגופים הוא 5 ס"מ. מה היחס בין הנפח של התיבה והגליל?
    הציעו דרך לשנות את מבנה התיבה כך שנפח התיבה יהיה פי 2 מנפח הגליל.
  2. שטח בסיס תיבה ושטח בסיס פירמידה הוא 20 סמ"ר וגובה התיבה וגובה הפירמידה הוא 10 ס"מ. מה היחס בין נפח התיבה לנפח הפירמידה?

פתרון

1.נפח תיבה שווה ל: שטח הבסיס X הגובה. (40 = 8*5)
נפח גליל שווה ל : שטח הבסיס X הגובה. (40 = 8*5)
ומכוון שהגדלים הללו בגליל ובתיבה שווים אז גם הנפח שלהם שווה.

אם נגדיל פי 2 את גובה התיבה (או את שטח הבסיס) פי 2 אז נפח התיבה יהיה גדול פי 2 מנפח הגליל.

2. נפח תיבה שווה ל: שטח הבסיס X הגובה. (200 = 20 * 10)
נפח פירמידה שווה ל : שטח הבסיס X הגובה לחלק ב 3. (66.66 = 3 : (20 * 10))
ומכוון שהנוסחה לחישוב השטח היא כמעט זהה רק שבפירמידה מחלקים את התוצאה ב 3.
לכן נפח התיבה גדול פי 3 מנפח הפירמידה.

 

תרגיל 7: שילוב של חישוב שטח פנים ושטח מעטפת

בתיבה אורך התיבה הוא 10 ס"מ. רוחב התיבה הוא 5 ס"מ וגובה התיבה הוא 2 ס"מ.
חשבו את נפח התיבה, שטח המעטפת ושטח הפנים.

שרטוט התרגיל

פתרון
נפח התיבה
v=10*5*2=100
תשובה: נפח התיבה הוא 100 סמ"ק.

שטח מעטפת
שטח המעטפת הוא שטח 4 המלבנים שאינם בסיסי התיבה. שאלה זו גודלם:
2*5  ו 10*2.
40+20=(10*2)2 + (5*2)2
60=20+40
תשובה: שטח מעטפת התיבה הוא 60 סמ"ר.

שטח הפנים
שטח הפנים  שווה לשטח ששת המלבנים המרכיבים את התיבה.
כלומר לשטח המעטפת + שטח שני המלבנים המרכיבים את הבסיס.
גודל המלבן המרכיב את הבסיס: 10*5
=(10*5)*2
100 = 2*50.
160 = 100+ 60
תשובה: שטח הפנים הוא 160 סמ"ר.

תרגיל 8: חישוב נפח תיבה על פי הפריסה שלה

נתונה פריסה של תיבה. חשבו את נפח התיבה. אורכי מקצועות התיבה נתונים בס"מ.

חישוב נפח של תיבה שהמקצועות שלה הם 6,4,2.5 ס"מ

פתרון

תיבה מוגדרת על ידי 3 ממדים (אורכי צלעות) ותמיד עלינו לחפש אותם על מנת לחשב את נפח התיבה.
אורכי הצלעות הם 6, 4, 2.5.
נפח התיבה:
60 = 6* 2.5* 4
תשובה: נפח התיבה 60 סמ"ק.

תרגילים לכיתה ז ומעלה

תרגילים לחטיבת הביניים

תרגיל 9

גודל צלעות בסיס תיבה הם 4 ו 5 ס"מ. הגובה הוא 6 ס"מ.

  1. מה הנפח המקסימלי של קובייה שניתן לחסום בתוך התיבה?
  2. שופכים 40 סמ"ק מים לתוך התיבה. עד לאיזה גובה יגיעו המים?

(אין קשר בין הסעיפים).

פתרון

גודל צלע הקובייה החסומה הוא כמו אורך הצלע הקצרה ביותר בתיבה 4.
לכן נפח התיבה הוא:
64 = 4³
תשובה: נפח הקובייה 64 סמ"ק.

חלק שני:
יש שתי דרכים לפתור את השאלה.
דרך אחת היא לחשב את נפח התיבה ואז למצוא איזה חלק זה 40 סמ"ק מתוך הנפח.

דרך שנייה היא להתייחס לבעיה כאל שאלה שבה גודל צלעות הבסיס הם 4 ו 5 ס"מ, הנפח הוא 40 סמ"ק. ושואלים מה הגובה.

פתרון בדרך הראשונה
נחשב את נפח התיבה:
V = 4*5*6 = 120
120 סמ"ק.
כמות המים היא 40 סמ"ק.
3 = 120:40
כלומר המים מגיעים לשליש מגובה התיבה.
2 = 6:3.
תשובה: המים מגיעים לגובה 2 ס"מ.

פתרון בדרך השנייה
הנפח הוא 40 סמ"ק וגודל צלעות הבסיס הן 4 ו 5.
40 = ___ * 4*5
(הביטוי ____ מיצג את גובה התיבה).
40 = ___ * 20
המספר החסר הוא 2.
תשובה: המים מגיעים לגובה 2 ס"מ.

תרגיל 10: תיבה ריבועית, הנפח ידוע חשבו צלע

נפח תיבה ריבועית (תיבה שבסיסה ריבוע) הוא 48 סמ"ק.
אורך גובה התיבה הוא 3 ס"מ.
חשבו את אורך צלע הבסיס.

נפח תיבה, שרטוט תרגיל

פתרון

ניתן לפתור את התרגיל בשתי דרכים. דרך אחת עם משתנה ודרך אחרת ללא.

דרך ללא משתנה
שטח בסיס התיבה כפול הגובה (3) שווה לנפח (48).
48 = ____ * 3
ניתן להסיק שהמספר החסר הוא 16.
אם שטח הריבוע הוא 16 אז אורך צלע הריבוע היא 4 ס"מ. כי 4²=16.

דרך עם משתנה

אם נגדיר את צלע בסיס הריבוע כ X אז שטח הריבוע הוא x².
ולכן נפח התיבה הוא:
3x² = 48
x²=16
x=4

תרגיל 11: תיבה לעומת פירמידה

ידוע כי הגובה בפירמידה ובתיבה שווה. מה צריך להיות הקשר בין שטח בסיס התיבה לשטח בסיס הפירמידה על מנת שנפח התיבה יהיה שווה לנפח הפירמידה?

פתרון

הנוסחה של נפח תיבה היא: שטח בסיס כפול גובה.
הנוסחה של נפח פירמידה היא: שטח בסיס כפול גובה לחלק ב 3.
לכן שטח בסיס הפירמידה צריך להיות גדול פי 3 משטח בסיס התיבה על מנת שהנפחים של הגופים יהיו שווים.

תרגיל 12: גרפים

נתונים תיבה ופירמידה ששטח בסיסם שווה. ממלאים את שני הגופים בעזרת שני ברזים שתפוקתם שווה.

  1. כיצד יראה גרף גובה המים בתיבה? כיצד יראה גרף גובה המים בפירמידה? (שרטוטו כל גרף בפני עצמו ואל תנסו להשוות בין הערכים של הגרפים).
  2. אם בתיבה הייתה כמות מים עוד לפני תחילת המילוי כיצד היה נראה גרף מילוי התיבה?
  3. אם הפירמידה הייתה הפוכה, כיצד היה נראה גרף מילוי הפירמידה?

תיבה ופירמידה

פתרון

1.בתיבה גובה המים עולה בקצב קבוע. גרף המציג עלייה קבועה הוא גרף ישר.
בפירמידה גובה המים עולה מהר יותר ככול שעובר הזמן, בגלל שהפירמידה הופכת צרה יותר וצריך פחות מים כדי למלא חלק מסוים בפירמידה.
לכן גרף גובה המים בפירמידה יהפוך חד יותר ככול שעובר הזמן.

גרף מילוי תיבה ופירמידה

2+3. אם בתיבה מים עוד לפני תחילת המילוי הגרף שלה יתחיל מנקודה גבוהה יותר על ציר ה y ולא בראשית הצירים.
אם הפירמידה הפוכה אז קצב עליית גובה המים יהיה התחלה מהיר ויהפוך לאיטי יותר ככול שיעבור הזמן.

גרף מילוי תיבה ופירמידה הפוכה

 

תרגיל 13: תיבה לעומת גליל

ידוע כי שטח בסיס של גליל גדול פי 2 משטח בסיס של תיבה.
נפח הגליל קטן פי 3 מנפח התיבה.
מה ניתן לומר על הקשר שבין גובה הגליל לגובה התיבה?

שרטוט תיבה לעומת גליל

פתרון

הנוסחה לנפח תיבה וגם לנפח גליל היא שטח הבסיס כפול הגובה.
לכן אם שטח בסיס הגליל גדול פי 2 אך הנפח קטן פי 3 אז גובה הגליל צריך להיות קטן פי 6 מגובה התיבה.

במידה ואתם למדתם משתנים ניתן לפתור זאת כך:
s שטח בסיס התיבה.
2s שטח בסיס הגליל.
v נפח הגליל.
3v נפח התיבה.
h  גובה הגליל.
h2 גובה התיבה.

2s * h = v
s * h = 0.5v
h = 0.5v / s

s * h2 = 3v
h2 = 3v / s

h = 0.5v / s
h2 = 3v / s
ניתן להבין משתי המשוואות הללו כי h2 גדול פי 6 מ h.

 

תרגיל 14: משפט פיתגורס ונפח תיבה

נתונה תיבה ריבועית 'ABDA'B'D שנפחה 250 סמ"ק וגובהה 10 ס"מ.

  1. חשבו את אורך אלכסון הבסיס AC.
  2. חשבו את אורך אלכסון התיבה 'AC.

נפח תיבה שרטוט התרגיל

פתרון

נגדיר את צלע הריבוע כ X. משוואת הנפח שלנו תהיה:
10x²=250
x²=25
x=5

על פי משפט פיתגורס במשולש ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = 5² +5² =25+25=50
AC = √50

על פי משפט פיתגורס במשולש 'ACC.
AC'² = AC² + CC'² = 50 +10²=150
AC= √150

 

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.