גאומטריה אנליטית משוואת ישר שאלון 382 / 803

נושא הגאומטריה אנליטית מפוצל לשני נושאים: הישר והמעגל.
דף זה הוא בנושא הישר, מידע מפורט בנושא המעגל בקישור.

המידע בדף זה הוא מתקדם ונועד עבור תלמידים היודעים את היסודות ומעוניינים לשפר את הידע לקראת הבגרות.
על מנת להצליח להבין ולפתור את התרגילים בדף עליכם לדעת את תשעת הנושאים הבאים:

  1. מציאת משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע.
  2. מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות.
  3. ישרים מקבילים הם בעלי שיפוע שווה.
  4. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
  5. מציאת משוואת ישרים מאונכים לצירים על פי נקודה אחת בלבד הנמצאת עליהם.
  6. נוסחת מרחק בין שתי נקודות.
  7. נוסחה למציאת אמצע קטע.
  8. מציאת נקודת חיתוך של ישר עם הצירים.
  9. מציאת  נקודת חיתוך של שני ישרים.

אם אתם צריכים חזרה על הנושאים הללו אז:
את נושאים 1-5 תוכלו למצוא באופן מרוכז בדף מציאת משוואת ישר או כל נושא בנפרד בקישורים שלמעלה.
נושאים 6-9 מפורטים בקישורים שלמעלה.

עוד באתר:

  1. שאלון 382 / 803 – לימוד נושאים נוספים בשאלון.
  2. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.

הקדמה

אז אתם יודעים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע.
אבל זה לא מספיק עבור הבגרות.
בבגרות שאלות לא מנוסחות בצורה של "מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (3,1) ושיפועו 2".
הניסוחים בבגרות מעורפלים.
תצטרכו להשתמש בנוסחה של משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע, אבל לא יבקשו ממכם לעשות זאת בצורה ישירה.

בבגרות מופיעים ניסוחים שונים, ויש להישען על תכונות של צורות על מנת לפתור את השאלות.
בדף זה אנסה להכיר לכם את הניסוחים השונים ואת התכונות השימושיות שעליכם להכיר על מנת לפתור שאלות.

צורות וניסוחים בשאלות ברמת בגרות

נלמד מה המשמעות של:

  1. משולש שווה שוקיים.
  2. ריבוע / מלבן.
  3. חישוב שטח משולש, כיצד לעשות זאת כאשר יש 2 קודקודים הנמצאים על אחד הצירים.
  4. משולש ישר זווית.
  5. נקודה הנמצאת על הצירים.
  6. המלצה כללית וחשובה לפתרון תרגילים.

בדף משולבים סרטוני וידאו הכוללים את אותם הסברים וחלק מהדוגמאות שיש בטקסט. לרוב קל יותר להבין את הוידאו.

1. נתון: משולש שווה שוקיים

הסבר על התכונות החשובות של משולש שווה שוקיים בהקשר של גאומטריה אנליטית

המשמעות היא:

  1. אם ידוע לנו השיפוע של התיכון לבסיס ניתן למצוא את השיפוע של צלע הבסיס.
  2. על הבסיס יש 3 נקודות משמעותיות: שני הקודקודים ונקודת האמצע אליה מגיע התיכון. אם אנחנו יודעים 2 מתוך שלושת הקודקודים ניתן למצוא את השלישי.

שני הדברים שמופיעים למעלה יופיעו בכמעט כל שאלה הכוללת משולש שווה שוקיים. יש עוד שתי תכונות של משולש שווה שוקיים המופיעות פחות בשאלות:

  1. השוקיים שוות, יש לזה משמעות אם למשל יבקשו מאיתנו לחשב היקף משולש.
  2. מכוון שהרבה פעמים נדע את 2 קודקודי הבסיס וגם את נקודת המפגש של הגובה עם הבסיס קל יחסית לחשב שטח משולש.

לדוגמה:
AB = BC.
משוואת BD היא: y = 2x -1
הנקודה (A (2,1

  1. מצאו את משוואת AC.
  2. מצאו את הנקודה C.
  3. הנקודה (B (4, 7. חשבו את שטח המשולש.
שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

לתרגיל זה נסביר את דרך הפתרון, ללא פתרון מלא:

משוואת הישר AC.
ידועה לנו הנקודה (A (2,1, לכן מה שחסר לנו הוא שיפוע.
AC ⊥ BD  לכן שיפוע AC הוא 0.5-.
עכשיו נמצא את משוואת AC על פי נקודה ושיפוע.
y = – 0.5x  + 2

הנקודה C.
עלינו למצוא את הנקודה D על מנת שנוכל למצוא את הנקודה C.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של הישרים AC ו BD אנו יודעים את המשוואות שלהם לכן ניתן למצוא את נקודת החיתוך.
2x – 1 = – 0.5x + 2
2.5x = 3
x = 1.2
(D(1.2, 1.4

עכשיו בעזרת הנוסחה לאמצע קטע ניתן למצוא את C.
(C(0.4, 1.8

חישוב שטח משולש ABC
עלינו לחשב את אורכו של BD ואורכו של AC בעזרת הנוסחה למרחק בין נקודות.
BD = √80
AC = √32
שטח המשולש: 25.29 יחידות ריבועיות.

תרגיל נוסף בנושא משולש שווה שוקיים
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB = AC).
AD הוא הגובה לבסיס.
ידועות הנקודות (C (1,0)    B(4,2.

  1. מצאו את משוואת הגובה לבסיס BD.
שרטוט התרגיל

שרטוט התרגיל

לתרגיל זה נסביר את דרך הפתרון, ללא פתרון מלא:

מציאת משוואת הישר AD

  1. נמצא את שיפוע BD על פי 2 נקודות (0.66)
  2. נמצא את הנקודה D על ידי חישוב אמצע BC. הנקודה (D (2.5, 1
  3. נמצא את משוואת הישר על AD על פי נקודה ושיפוע. y = 0.66x – 0.66

2. נתון: מלבן או ריבוע

הסבר על התכונות החשובות של ריבוע בהקשר של גאומטריה אנליטית

כותבי שאלות אוהבים להשתמש בריבוע, כי יש בו הרבה דברים מקבילים / מאונכים / שווים באורכם.
המלבן כולל הרבה מתכונות הריבוע לכן נזכיר אותו כאן ובהמשך נוסיף את התכונות שקיימות רק בריבוע ולא במלבן.

למלבן וריבוע יש כמה משמעויות:

1.מידע על שיפוע צלע אחת בריבוע / מלבן מאפשר לדעת את השיפוע של הכל שאר הצלעות.
כי צלעות נגדיות מקבילות ולכן שיפוען שווה.
צלעות סמוכות מאונכות ולכן שיפוען 1-.

למשל
בריבוע ABCD שיפוע הצלע AB הוא 4.
מצאו את שיפוע שאר צלעות הריבוע.

שרטוט התרגיל

פתרון
CD מקביל ל AB לכן שיפועו 4.
BC ו AD מאונכים ל AB לכן השיפוע שלהם ¼ -.

2. כאשר נותנים קודקוד כלשהו של הריבוע / מלבן ואת נקודת מפגש האלכסונים ניתן לחשב את ערכו של הקודקוד הנוסף הנמצא על האלכסון.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים בריבוע, מלבן ובכול סוג אחר של מקבילית היא אמצע האלכסון.
לכן כאשר יודעים שניים מתוך השלוש (קודקוד, קודקוד נוסף הנמצא על אותו אלכסון, נקודת מפגש האלכסונים) ניתן למצוא את השלישי בעזרת הנוסחה למציאת אמצע קטע.

אם יודעים שתיים מתוך שלושת הנקודות 1,2,3 ניתן למצוא את השלישית בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.

אם יודעים שתיים מתוך שלושת הנקודות 1,2,3 ניתן למצוא את השלישית בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.

תרגיל
בריבוע ABCD ידועים הקודקוד   (D(-3, -1 ונקודת מפגש האלכסונים (M (-2, 1  חשבו את הקודקוד B.

שרטוט התרגיל ריבוע

פתרון
נניח שהנקודה B היא  (B (XB, YB.
נחשב את הערכים של הנקודה B על פי הנוסחה לאמצע קטע

xb – 3 = -4  / + 3
xb = -1


yb -1 = 2  / +2
yb = 3

תשובה: (B(-1, 3

שאלה דומה אבל קצת אחת
נתון משולש ישר זווית ושווה שוקיים ABC (זווית B = 90∠) (הצלעות AB = BC).
קודקודי המשולש הם: (A (2,0)  B(4,3)   C(6,0
מעבירים ישר BD המאונך לישר AC כך שהמרובע ABCD הוא ריבוע.
מצאו את הנקודה D.

שרטוט התרגיל

פתרון
המטרה שלנו תהיה למצוא את נקודת מפגש האלכסונים (M).
ולאחר מיכן להשתמש בנוסחה לאמצע קטע על מנת למצוא בעזרת הנקודות B,M את הנקודה D.
נציג פתרון מקוצר לבעיה.

נקודת מפגש האלכסונים נמצאת באמצע AC.
(M (4,0
הנקודה M היא גם האמצע של BD.
נמצא את D בעזרת הנקודות B,M.
(D (4,-3

תכונות של ריבוע

1.בריבוע ובמעוין אך לא במלבן האלכסונים מאונכים זה לזה.
לכן בריבוע מכפלת שיפועי האלכסונים היא 1-.

המשמעות:

אם נותנים לנו את נקודת מפגש האלכסונים וקודקוד כלשהו של הריבוע ניתן למצוא את שתי משוואות האלכסונים.

אם נתונות הנקודות D,M ניתן לחשב את משוואות הישרים BD, AC

אם נתונות הנקודות D,M ניתן לחשב את משוואות הישרים BD, AC

כיצד עושים זאת?

  1. הנקודות D,M נמצאות על האלכסון BD. לכן ניתן למצוא את משוואת BD על פי שתי נקודות.
  2. AC ⊥ BD לכן מכוון שאנו יודעים את השיפוע של BD ניתן למצוא את השיפוע של AC.
  3. עבור AC אנו יודעים את השיפוע ואת הנקודה M שעליו. לכן ניתן למצוא את משוואת AC על פי שיפוע ונקודה.

בדוגמה דיברנו על מקרה שאנו יודעים קודקוד ואת נקודת מפגש האלכסונים.
לעומת זאת, אם אנחנו יודעים שני קודקודים הנמצאים על אותו אלכסון? (למשל A ו C או B ו D בשרטוט למעלה)

גם במקרה זה ניתן למצוא את אותם דברים, כי אם אנו יודעים שני קודקודים על אותו אלכסון ניתן לחשב את נקודת מפגש האלכסונים M ואז להמשיך בדרך שהוסברה כמה שורות מעל.

2. כאשר נתונים שני קודקודים סמוכים בריבוע ניתן לחשב את ההיקף ושטח הריבוע.
כאשר נתונים שני קודקודים ניתן לחשב את אורך הצלע על ידי חישוב מרחק בין שתי נקודות ובעזרת אורך הצלע לחשב היקף או שטח ריבוע.

3. האלכסונים בריבוע יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים.
הדבר נובע מכך שאלכסוני הריבוע שווים זה לזה וגם חוצים זה את זה.
לכן אם מעבירים גובה היוצא מנקודת מפגש האלכסונים נותן לכם משולש שווה שוקיים עם גובה, כולל כל התכונות שדיברנו עליהן למעלה בדף.
בנוסף נוצר טרפז, ויתכן שתהיה שאלה עליו.

בריבוע ובמלבן האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. ME הוא גובה במשולש שווה שוקיים וגם יוצר טרפז EMCB

בריבוע ובמלבן האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שוקיים. ME הוא גובה במשולש שווה שוקיים וגם יוצר טרפז EMCB

3. חישוב שטח משולש כאשר 2 מהקודקודים נמצאים על אחד הצירים או על ישר המקביל לצירים

כיצד לחשב שטח משולש כאשר שניים מהקודקודים נמצאים על אחד מהצירים

בחלק מהשאלות יבקשו מאיתנו לחשב שטח משולש.
בהרבה מהשאלות שתי נקודות יהיו על אחד הצירים או על ישר מקביל לצירים.
ובמקרים הללו קל יותר לחשב את אורך הבסיס והגובה לבסיס על מנת לחשב את שטח המשולש.

תרגיל
קודקודי משולש ABC הם:
(A (-2, 0)  B (3, -4)  C( 1,0
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט המשולש

פתרון
נחשב את אורך הצלע AB ואורך הגובה לצלע היוצא מהנקודה C.
חישוב אורך הצלע AB.
מכוון שערכי ה Y של שתי הנקודות הוא 0 המרחק בניהם הוא רק על ציר ה x.
נחסר את ערכי ה x של שתי הנקודות.
3 = (2-) – 1

חישוב הגובה היוצא מ C.
אורך הגובה / המרחק בין הנקודה C לבין ציר ה x הוא ערך ה y של C כלומר 4-. ובערך מוחלט 4.
לכן שטח המשולש הוא:
6 = 2 / (4 * 3)
6 יחידות ריבועיות.

הסבר מפורט יותר,  מדוע אורך הגובה היוצא מ C הוא ערך ה y של הנקודה C?

  1. נקרא לגובה היוצא מהנקודה D בשם CD.
  2. ערך ה Y של הנקודה D הוא 0, כי הנקודה D נמצאת על ציר ה x.
  3. כל הגבהים אל ציר ה x צריכים להיות מקבילים לציר ה y.
    כלומר משוואת הגובה CD היא מהצורה x = k, כאשר k הוא מספר.
  4. לכן לנקודה D צריך להיות אותו ערך X כמו הנקודה C.
  5. לכן המרחק בין C ל D שהוא אורך הגובה הוא הפרש ערכי ה y של הנקודות.
מדוע אורכו של CD הוא הפרש ערכי ה Y של הנקודות C ו D.

מדוע אורכו של CD הוא הפרש ערכי ה Y של הנקודות C ו D.

דוגמה נוספת לחישוב שטח משולש, הפעם שתי נקודות נמצאות על ישר המקביל לצירים.

תרגיל
קודקודי משולש ABC הם הנקודות
(A (-2, 6)   B(3, 4)  C (-2, 1
חשבו את שטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
האורך של AC הוא:
5 = 1 – 6
הנקודה D אליה מגיע הגובה היוצא מ B היא (D (-2, 4 כי היא נמצאת על AC (ולכן x= -2) וגם נמצאת על הישר y = 4 (ולכן  y =4).
המרחק בין הנקודות (B (3,4) D (-2,4 הוא:
5 = (2-) – 3
לכן שטח המשולש הוא:
12.5 = 2 : (5 * 5)
12.5 יחידות ריבועיות.

תוספת לשאלה.
נתונה הנקודה (2, 10.5) E פי כמה גדול שטח משולש AEC משטח משולש ABC?

שרטוט התרגיל

פתרון
אורך הבסיס AC נשאר כמו שהוא.
מה שמשתנה זה אורך הגובה לבסיס.
המרחק של הנקודה D מהישר AC הוא:
12.5 = (2-) – 10.5
אורך הגובה במשולש ADC גדול פי 2.5 מאורך הגובה במשולש ABC.
2.5 = 5 : 12.5
לכן שטח משולש ADC גדול פי 2.5 משטח משולש ABC.

4. נתון: משולש ישר זווית

המשמעות של משולש ישר זווית היא:

  1. מכפלת השיפועים של שני הניצבים היא 1-.
  2. אם ידוע האורך של שתי צלעות ניתן להשתמש במשפט פיתגורס על מנת למצוא את הצלע השלישית.

5. נתונה נקודה הנמצאת על הצירים.

בשאלות פשוטות נותנים לנו ישר ומבקשים שנמצא עבורו את נקודת החיתוך עם ציר ה x או y.
וזה בעצם לבקש מאיתנו להציב x= 0 או y=0 במשוואת הישר.

בניסוח הדומה לשאלת בגרות אומרים:
בריבוע ABCD הנקודה D נמצאת על ציר ה x ועל הישר CD שמשוואתו y = -x -2.
מצאו את הנקודה D.

כלומר עלינו להסיק שהפתרון הוא מציאת נקודת החיתוך של הישר y = -x -2 עם ציר ה x.

נפתור את השאלה.

שרטוט התרגיל

פתרון
הנקודה D היא נקודת החיתוך של הישר CD עם ציר ה x.
לכן נציב y=0 על מנת למצוא אותה.
x – 2 = 0  / + x-
x = -2
תשובה: הנקודה D היא (0, 2-).

6. המלצה כללית וחשובה לפתרון תרגילים

השאלות בנושא משוואת הישר הן שאלות עם 3-5 סעיפים.
בהרבה מהשאלות על מנת לפתור את סעיף ג תצטרכו להשתמש בסעיף א.
אבל אנחנו שקועים בתרגיל ולרוב מחפשים את הנתונים רק בשאלה המקורית שנתנו לנו.
לכן, רשמו את פתרונות הסעיפים בתחתית השאלה המקורית או / גם על שרטוט השאלה.
כך הם יהיו נגישים לכם והסיכוי שתהיו מודעים למה שפתרתם בסעיפים קודמים יעלה משמעותית.

הרבה בהצלחה.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.