בעיות מילוליות, קנייה ומכירה שאלון 382 / 803

בדף זה נלמד כיצד פותרים בעיות קנייה ומכירה כולל אחוזים.
על מנת להצליח אתם צריכים ידע באחוזים וידע בפתרון בבעיות מילוליות נעבור על שני הנושאים.

לדף זה 3 חלקים:

  1. דברים שאתם צריכים לדעת על אחוזים – זה מבוא שמיועד למי שצריך להשלים חומר והוא מסביר נושאים מרכזיים באחוזים.
  2. דברים שאתם צריכים לדעת על משוואות – זה מבוא שמיועד למי שמתקשה בפתרון שאלות מילוליות.
  3. בניית משוואה – בחלק זה נתרגל בניית משוואות לבעיות מילוליות ברמת בגרות. החלק הזה מתאים למי שמרגיש שהוא יודע את החומר.

הנושא של בעיות תנועה פחות חשוב עבור שאלונים 803 / 382.
בדף בעיות תנועה תוכלו ללמוד גם את נושא זה בצורה יסודית.

1. מבוא: דברים שאתם צריכים לדעת על אחוזים

1. יסודות האחוזים הנלמדים בכיתות ו-ח
בסרטון המצורף מידע על שלושת סוגי בעיות האחוזים.
חשוב שתבינו את 2 הסוגים הראשונים, הסוג השלישי הרבה פחות חשוב בהקשר של בעיות קנייה ומכירה.
הבעיות הן בסיסיות מאוד ונלמדות בכיתות ו-ח.

2. כאשר מוצר שמחירו x עולה ב 40% או יורד ב 20%. כיצד רושמים זאת במשוואה?
כאשר מוצר עולה ב 40% מחירו החדש הוא 140% מהמחיר הישן.
המשוואה של העליה ב 40% היא:
1.4x

כאשר מוצר יורד ב 20% מחירו הוא 80% מהמחיר הישן.
המשוואה של הירידה ב 20% היא:
0.8x

3. מחיר מוצר עלה מ 60 שקלים ל 70 שקלים. בכמה אחוזים מחיר המוצר עלה?
זו שאלה בסיסית שלפעמים אנשים מתבלבלים בה. משום שהם מתקשים לענות על שתי שאלות.
מה צריך להפוך לאחוזים?
ומתוך איזה מספר מחשבים את האחוזים?

והתשובות לשאלות הללו הן:
– העלייה היא של 10 שקלים, לכן את המספר 10 צריך להפוך לאחוזים.
– צריך לחשב כמה אחוזים הם 10 מתוך 60, מתוך המחיר המקורי.
16.66%

המשוואה בה אתם צריכים להשתמש על מנת לחשב אחוז רווח היא:

על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

4. כיצד מחשבים הוזלה או התייקרות כפולים

הסבר כיצד לפתור תרגילי הוזלה / התייקרות כפולים באחוזים
הסבר לשאלות תאורטיות ששואלים על הוזלה / התייקרות כפולים

הוזלה והתייקרות כפולים מחשבים כרגיל, רק שמבצעים שתי פעולות.
לדוגמה, מחיר מוצר הוא x.
המוצר עלה ב 20% ולאחר מיכן עלה בעוד 30%. מה המחיר החדש?
x * 1.2 * 1.3 = 1.56x

מחיר מוצר הוא x.
המוצר עלה ב 30% ולאחר מיכן ירד ב 40%. מה המחיר החדש?
x * 1.3 * 0.6 = 0.78x

5. שאלות נוספות להוזלה והתייקרות כפולים
יש שאלות שלפעמים מוסיפים להוזלה והתייקרות כפולים. אלו העיקריות שבהן.

האם יש חשיבות לסדר העליה והירידה?
כלומר האם מחיר של מוצר שעלה ב 10% ולאחר מיכן עלה בעוד 50% יהיה שונה ממחיר מוצר שעלה ב 50% ואז עלה בעוד 10%?
תשובה
אין חשיבות לסדר, המחיר יהיה אותו מחיר.
x * 1.5 * 1.1 = 1.65x
וכאשר נהפוך את הסדר:
x * 1.1 * 1.5 = 1.65x

כאשר מחיר מוצר עולה ויורד באותו אחוז האם המחיר הסופי גבוה או נמוך יותר מהמחיר ההתחלתי?
למשל אם המחיר ההתחלתי הוא x. והמחיר עלה ב 30% ואז ירד ב 30%.
תשובה
המחיר תמיד יהיה נמוך יותר.
נבצע את החישוב.
x*1.3 * 0.7 = 0.91x
0.91x זה מחיר הנמוך ב 9% מהמחיר המקורי שהיה x.

אם במקום עלייה במחיר מוצר של 40% נעלה אותו ב 30% ואז ב 10%. האם זה ישנה את התוצאה הסופית?
תשובה
כן זה ישנה.
כאשר נפצל עלייה אחת לשתי עליות זה יגרום לכך שהעליה המפוצלת תהיה גדולה יותר.
ואם נפצל ירידה אחת לשתי ירידות זה יגרום לכך שהירידה המפוצלת תהיה קטנה יותר.

לדוגמה, עליה של 40% לעומת עליה של 30% ו 10%.
x * 1.4 = 1.4x
x * 1.3 * 1.1 = 1.43x
העלייה המפוצלת גדולה יותר.

לדוגמה, ירידה של 50% לעומת ירידה של 30% ואז ירידה של 20%.
x*0.5 = 0.5x
x * 0.7 * 0.8 = 0.56x
הירידה המפוצלת קטנה יותר.

2.  מבוא: דברים שאתם צריכים לדעת על משוואות

בעיות קנייה ומכירה

1. להגדיר שני דברים באמצעות משתנה אחד.

נסו לבנות משוואה מהמשפטים הבאים.

  1. בחנות יש פי 2 יותר כוסות מאשר צלחות. סך הכל בחנות 45 כוסות וצלחות.
  2. בכיתה יא1 יש 5 תלמידים יותר מב יא2. בשתי הכיתות ביחד יש 69 תלמידים.
  3. באוטובוס א יש 20% פחות תלמידים מבאוטובוס ב. בשני האוטובוסים יש 76 תלמידים.

פתרונות

  1. x מספר הצלחות בחנות.
    2x מספר הכוסות בחנות.
    x + 2x = 45
  2. x  מספר התלמידים ב יא2.
    x + 5 מספר התלמידים ב יא1.
    x + x+ 5 = 69
  3. x מספר התלמידים באוטובוס ב.
    0.8x  מספר התלמידים באוטובוס א.
    0.8x + x = 76

הערה לגבי 3: אם כתבתם: x  מספר התלמידים באוטובוס א.
2x מספר התלמידים באוטובוס ב זו טעות.

2. להכיר את המשוואה הבסיסית של קנייה ומכירה.

בעיות קנייה ומכירה

סכום המכירה = הסכום שבו נמכר פריט * מספר הפריטים שנמכרו

סכום הקנייה = הסכום שבו נקנה פריט * מספר הפריטים שנקנו

למשל, כתבו ביטוי אלגברי המציג את המשפטים הבאים:

  1. קניתי 20 פריטים במחיר x שקלים לכל פריט. כמה שילמתי על הקנייה?
  2. מכרתי 25 פריטים במחיר x + 10. כמה קיבלתי עבור המכירה?
  3. מכרתי ב 800 שקלים x פריטים. בכמה מכרתי פריט אחד?
  4. מחיר פריט שקניתי היה x+ 3 שקלים. סך הכל שילמתי 250 שקלים עבור הפריטים כמה פריטים קניתי?

פתרונות

  1. 20x
  2. x+10) *25)
  3. פתרון
  4. הפריטים שנקנו

3. יש שאלות שניתן לפתור עם שתי משתנים או משתנה אחד

שאלות כמו: בגן יש פרחים אדומים ולבנים. סך הכל יש 30 פרחים בגן.
הגדירו את מספר הפרחים האדומים והלבנים באמצעות משתנה או משתנים.

דרך אחת היא להשתמש בשני משתנים:
x  מספר הפרחים האדומים.
y  מספר הפרחים הלבנים.
והמשוואה תהיה:
x + y = 30.

דרך אחרת היא להשתמש במשתנה אחד.
x  מספר הפרחים האדומים.
מספר הפרחים הלבנים

דוגמה נוספת.
בכיתה 36 תלמידים. בנות ובנים.
הגדירו את מספר הבנות והבנים באמצעות משתנה או משתנים.

פתרון באמצעות שני משתנים:
x  מספר הבנות.
y   מספר הבנים.
x + y = 36

פתרון באמצעות משתנה אחד:
x   מספר הבנות
מספר הבנים

3. בניית משוואות לשאלות ברמת בגרות

לפתרון בעיות יש 3 שלבים:

  1. הגדרת משתנים.
  2. בניית משוואה או משוואות.
  3. אלגברה – פתרון של המשוואה או משוואות.

בחלק זה של הדף נתרגל את שלבים 1 ו 2. כלומר נבנה משוואות לשאלות אך לא נפתור אותן.

תרגילים 1-2 הם תרגילים קלים ברמת בגרות וכוללים רק סעיף אחד.
תרגילים 3-4 הם תרגילים עם יותר סעיפים או קשים יותר.
תרגילים 5-6 תרגילים קשים יותר אבל עדיין ברמת בגרות.

תרגיל 1

מחיר כדורגל נמוך ב 30% ממחיר כדורסל (בשקלים).
יורם קנה 2 כדורי רגל ו 2 כדורי סל ושילם עליהם 272 שקלים.

  1. מה מחיר הכדורגל ומה מחיר הכדורסל?

פתרון

x  מחיר הכדורסל  בשקלים.
0.7x  מחיר הכדורגל בשקלים.

2x  המחיר ששולם עבור כדורי הסל.
1.4x  המחיר ששולם עבור כדורי הרגל.

המשוואה היא:
2x + 1.4x = 272
בשני צדדי המשוואה מופיע הסכום ששולם עבור 4 הכדורים.
אם היינו ממשיכים לפתרון מלא של התרגיל היינו מקבלים ש x = 80 (מחיר הכדור סל) ומחיר הכדורגל 56 שקלים.

תרגיל 2

מחיר מכנס הוא פי 3 ממחיר חולצה בשקלים.
במכירת סוף העונה מחיר החולצה ירד ב 20% ומחיר המכנס ירד ב 30%.
איציק קנה 4 מכנסיים ו 2 חולצות בסוף העונה ושילם 500 שקלים.

  1. מה מחיר המכנסיים ומה מחיר החולצה לפני הנחת סוף העונה? (בנו משוואה  150, 50).

פתרון

x   מחיר רגיל של חולצה.
3x   מחיר רגיל של מכנסיים.

0.8x  מחיר חולצה בסוף עונה.
3x * 0.7 = 2.1x   מחיר מכנסיים בסוף עונה.

0.8x * 2 = 1.6x    המחיר ששולם עבור 2 חולצות.
2.1x * 4 = 8.4x   המחיר ששולם עבור 4 מכנסיים.

המשוואה היא:
8.4x + 1.6x = 500
שני הצדדים מייצגים את המחיר ששולם.
אם היינו ממשיכים לפתרון מלא היינו מקבלים x = 50 (מחיר חולצה) ומחיר מכנסיים 150 שקלים.

תרגיל 3

מחיר של עץ גדול ב 50 שקלים ממחיר של תבלין.
דני קנה 4 תבלינים ו 3 עצים ושילם 220 שקלים.

  1. כמה עולה עץ וכמה עולה תבלין? (בנו משוואה)
  2. מחיר קקטוס באביב הוא y. בחורף מחיר הקקטוס ירד ב 20%. לקראת סוף החורף המשתלה החליטה להוריד את מחיר הקקטוס ב 10% נוספים. כתבו משוואה המתארת את מחיר הקקטוס החדש.
  3. אם המשתלה הייתה מורידה את מחיר הקקטוס ב 30% בבת אחת. האם מחירו היה גבוה או נמוך יותר מהמחיר שמצאתם בסעיף ב?

פתרון

x  מחיר תבלין בשקלים.
x + 50 מחיר עץ בשקלים.

4x  מחיר 4 תבלינים.
x + 50)*3)   מחיר 3 עצים.

המשוואה היא:
4x + 3(x+50) = 220
שני צדדי המשוואה הם המחיר ששולם.
אם היינו ממשיכים לפתרון מלא היינו מקבלים x = 10 (מחיר תבלין) ומחיר עץ 60 שקלים.

סעיף ב: מחיר קקטוס לאחר הוזלה של 20% ו 10%.
0.72y

סעיף ג: לעומת הורדה של 30%
כאשר מחיר קקטוס הוא y והוא יורד ב 30% המחיר שלו הוא:
0.7y

0.72y  >  0.7y
לכן הורדה חד פעמית של 30% במחיר הקקטוס תגרום למחיר נמוך יותר ביחס לירידה של 20% ו 10%.

תרגיל 4

בחנות יש רק כיסאות ושולחנות, סך הכל 40 רהיטים.
מחיר כיסא הוא 160 שקלים ומחיר שולחן גבוה ממנו ב 70%.
מחיר כל הכיסאות והשולחנות בחנות הוא 7520 שקלים.
כמה כיסאות וכמה שולחנות בחנות?

פתרון
160  מחיר כיסא
272 = 1.7 * 160   מחיר שולחן.

ניתן לבנות משוואה עם שני נעלמים או נעלם אחד.
נתחיל בנעלם אחד.
x  מספר הכיסאות
מספר השולחנות

160x המחיר ששולם עבור הכיסאות.
המחיר ששולם עבור השולחנות

המשוואה היא:
160x + 272(40-x) = 7520
שני צדדי המשוואה הם מחיר השולחנות והכיסאות. אם היינו ממשיכים לפתרון מלא היינו מקבלים x = 30.

פתרון בעזרת שני נעלמים
x  מספר הכיסאות.
y  מספר השולחנות.

הסכום ששולמו:
160x  המחיר ששולם עבור הכיסאות.
272y

המשוואות הן:
x + y = 40
160x + 272y = 7520

תרגיל 5 (תרגיל עם פתרון מלא)

במשתלה מגדלים פרחים ושיחים.
המשתלה קונה פרח ב 20 שקלים ושיח ב 30.
כאשר המשתלה מוכרת את הצמחים היא מוכרת פרח במחיר הגבוה ב 50% ממחיר הקנייה ושיח ב 40% יותר ממחיר הקנייה.
המשתלה מכרה 50 פרחים ושיחים במחיר כולל של 1920 שקלים.

  1. כמה פרחים וכמה שיחים מכרה המשתלה.
  2. מה אחוז הרווח של המשתלה?

פתרון
נפתור את השאלה עם שני נעלמים ולאחר מיכן עם נעלם אחד.

30 = 1.5 * 20  מחיר המכירה של הפרחים.
42 = 1.4 * 30  מחיר המכירה של השיחים.

x   מספר הפרחים שנמכרו.
y   מספר השיחים שנמכרו.

30x   הסכום ששולם עבור הפרחים.
42y   הסכום ששולם עבור השיחים.

המשוואות הן:
30x + 42y = 1920
x + y = 50

נפתור את שתי המשוואות בעזרת שיטת ההצבה:

נציב את זה במשוואה הראשונה ונקבל:
30x + 42(50-x) = 1920
30x + 2100 – 42x = 1920   /-2100
12x  =-180  / : -12-
x = 15
תשובה: נמכרו 15 פרחים ו 35 שיחים.

סעיף 2: אחוז הרווח של המשלה

כיצד מחשבים אחוז רווח?

על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

(אם הנושא לא ברור הסתכלו למעלה בדף בפרק "דברים שאתם צריכים לדעת על אחוזים" בסעיף מספר 3).

נחשב את הרווח של המשתלה:
המשתלה שילמה עבור 15 פרחים ו 35 שיחים מחיר של:
1350 = 20 * 15 + 30 * 35
1350 הוא מחיר הקנייה של המשתלה.

המשתלה הרוויחה בעסקה:
570 = 1350 – 1920
570 הוא הרווח של המשתלה.

אחוז הרווח מחושב ביחס למחיר הקנייה.

42.22%

תשובה: אחוז הרווח של המשתלה בעסקה הוא 42.22%.

פתרון של סעיף א עם נעלם אחד

x   מספר הפרחים שנמכרו.
30x  המחיר ששולם עבור הפרחים במכירה.

המשוואה היא:
30x + 42(50-x) = 1920
30x + 2100 – 42x = 1920   /-2100
12x  =-180  / : -12-
x = 15
תשובה: נמכרו 15 פרחים ו 35 שיחים.

תרגיל 6 (שתי משוואות עם שני נעלמים, עם פתרון מלא)

בחברת "טלפון לכל" משלם כל בעל קו x שקלים תשלום חודשי עבור החזקת הקו ו y שקלים עבור כל דקת שיחה.
שני המנויה בחברת "טלפון לכל" דיברה 200 דקות בחודש ושילמה 620 שקלים עבור קו הטלפון בחודש אחד.
בחברת "טלפון רועש" משלם כל בעל קו 10 שקלים פחות תשלום חודשי ביחס לחברת "טלפון לכל" ו 0.5 שקל יותר עבר כל דקת שיחה. מיכה המנוי בחברת "טלפון רועש" דיבר 120 דקות בחודש ושילם 430 שקלים.

  1. מצאו את התשלום החודשי ואת עלות דקת שיחה בחברת "טלפון לכל".

פתרון

זו בעיה בה כבר הגדירו לנו שתי משתנים ואנו רק צריכים לבנות את המשוואות שלהם.
חברת טלפון לכל
x  תשלום חודשי בשקלים
y  תשלום עבור דקת שיחה בשקלים.
המשוואה היא:
x + 200y = 620

חברת טלפון רועש
x – 10   תשלום חודשי בשקלים.
y + 0.5   תשלום עבור דקת שיחה בשקלים.
המשוואה היא:
x – 10 + 120(y + 0.5) = 430

x + 200y = 620
x – 10 + 120(y + 0.5) = 430
x – 10 + 120y + 60 = 430
x + 50 + 120y  = 430   / -50
x + 120y = 380

נפתור את שתי המשוואות בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את משוואה 2 ממשוואה 1 ונקבל.
80y = 240  / :80
y = 4
נציב y= 3 במשוואה הראשונה ונמצא את x.
x + 200 * 3 = 620   / -600
x = 20
תשובה: בחברת טלפון לכל התשלום החודשי הוא 20 שקלים ו 3 שקלים עבור כל דקת שיחה.

עוד באתר:

4. פתרונות מלאים לשאלות מהבגרות

דף זה כולל הצעות לפתרון מלא של שאלה מהבגרות. השאלון עצמו לא נמצא כאן אך ניתן למצוא אותו בקלות ברשת האינטרנט.

קיץ 2017 שאלה 1

נגדיר:
x – מחיר האופניים הרגילים.
x+3000  – מחיר האופניים היקרים.

0.12*(x+300)   – הסכום שבו עלה מחיר אופני השטח.
0.18x  – הסכום שבו ירד מחיר האופניים הרגילים.

הסכומים הללו שווים ולכן המשוואה היא:
(0.18x = 0.12*(x+300
0.18x = 0.12x + 36  /-0.12x
0.06x = 36 /:0.06
x = 600
תשובה: מחיר האופניים הרגילים לפני ההוזלה הוא 6000 שקלים.

ב. 1.12*(x+300) – המחיר החדש של אופני השטח.
1108.8= 1.12 * 900
508.8 = 1108.8-600
תשובה: אופני השטח יקרות ב 508.88 שקלים.

קיץ 2016 שאלה 1

קיץ 2016 מועד ב שאלה 1

חורף 2016 שאלה 1

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.