גיאומטריה אנליטית שאלון 382 / 803 3 יחידות

בגיאומטריה אנליטית נתקלתם כבר בשאלון 801. ההבדל העיקרי בשאלון זה הוא המעגל – שנוסף.
לדעתי עליכם להשקיע את רוב האנרגיה שלכם בנוגע למעגל.

החומר התאורטי של גיאמטריה אנליטית שאלון 801 נמצא בקישור והוא כולל:

  1. סיכום הדרכים למציאת משוואת ישר.
  2. סיכום הדרכים למציאת שיפוע.
  3. מציאת נקודת חיתוך עם הצירים
  4.  מציאת משוואת ישר.
  5.  אמצע של קטע.
  6. מרחק בין שתי נקודות.
  7.  ישרים המקבילים לצירים.

בנוסף עליכם להכיר את התכונות של של הצורות: מקבילית, מלבן, ריבוע, מעוין. תרגילים על מרובעים בגיאומטריה אנליטית בקישור.
חזרה קצרה על תכונות הצורות.

מקבילית

1. כל זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות.

  • מקבילית – מידע מלא (מומלץ רק עם אתם רוצים ללמוד נושא אחר מגיאומטריה אנליטית).

סיכום תכונות המקבילית

מלבן

1. שתי צלעות נגדיות מקבילות.
2. צלעות מאונכות.
3. האלכסונים שווים באורכם וחותכים אחד את השני לחלקים שווים.

  • מלבן – מידע מלא (מומלץ רק עם אתם רוצים ללמוד נושא אחר מגיאומטריה אנליטית).

סיכום תכונות המלבן כפי שפורטו למעלה

מעוין

1. כל זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות.
2. האלכסונים חוצים זה את זה.
3. האלכסונים מאונכים זה לזה.

הערה: אלכסוני המעוין אינם שווים באורכם זה לזה.

  • מעוין – מידע מלא (מומלץ רק עם אתם רוצים ללמוד נושא אחר מגיאומטריה אנליטית).

סיכום תכונות המעוין

ריבוע

1. הצלעות שוות באורכם.
2. האלכסונים שווים באורכם, מאונכים וחוצים זה את זה.

  • ריבוע – מידע מלא (מומלץ רק עם אתם רוצים ללמוד נושא אחר מגיאומטריה אנליטית).
סיכום תכונות הריבוע

סיכום תכונות הריבוע

טרפז

  1. בסיסי הטרפז מקבילים זה לזה.
  • טרפז – מידע מלא (מומלץ רק עם אתם רוצים ללמוד נושא אחר מגיאומטריה אנליטית).

מעגל גיאמטריה אנליטית

למעגל יש שתי תכונות עיקריות; נקודת מרכז המעגל ואורך הרדיוס שלו. בעזרת שתי התכונות הללו ניתן לזהות באופן ודאי מעגל.

משוואת המעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו R היא:

x-a)2+(y-b)2=R2)

תיאוריה שצריך לדעת – תרגילים בסיסיים במעגל

תרגילים אלו יוודאו שאתם מבינים את החומר התאורטי הבסיסי בכול הקשור למעגל.

תרגיל 1: זיהוי מרכז המעגל ורדיוסו במשוואת מעגל

נתון מעגל שמשוואתו:
x-3)2 +(y+4)2 =16)
מצאו את מרכז המעגל ואת אורך הרדיוס.

פתרון
מרכז המעגל הוא (4- ,3).
אורך הרדיוס הוא 16√ = 4.

תרגיל 2: מציאת משוואת מעגל על ידי מרכזו ונקודה שעליו

על מנת לפתור תרגיל מסוג זה עליכם להציב את ערכי הנקודה במשוואת המעגל.

מצאו משוואת מעגל שמרכזו (4.2) ועובר דרך הנקודה (7,5).

פתרון
משוואת המעגל היא:
x-4)2+(y-2)2=R2)
נציב את ערכי הנקודה (7,5) במשוואת המעגל.
²(7-4)+²(5-2)=R2
18=32+32=R2
הרדיוס הוא 18√. ומשוואת המעגל היא
(x-4)2+(y-2)2=18)

הערה: ניתן לפתור את התרגיל בדרך נוספת (ודומה מאוד) על ידי חישוב המרחק שבין נקודה שעל המעגל למרכז המעגל – מרחק זה הוא רדיוס המעגל.

תרגיל 3: מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים

בדיוק כמו במשוואת ישר, על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X מציבים Y=0 במשוואת המעגל. ועל מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y מציבים X=0 במשוואת המעגל.

נתונה משוואה המעגל
x-2)2+(y-1)2=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון
נציב X=0 על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.
y-1)2 + (0-2)²=40)
Y2-2y+1 +4 =40 / -40
Y2-2Y-35=0
הפתרונות הם Y=7  ו-  Y= -5.
לכן נקודות החיתוך עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)2+(0 -1)2=40)
X2-4x+4+1=40  /-40
x2-4x-35=0
הפתרונות הם: 8.244=X
או x= -4.244.

לכן נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן: (4.244,0-)  ו –,  (0, 8.244)

תרגיל 4: איך יודעים אם נקודה נמצאת על המעגל / מחוץ למעגל / בתוך המעגל

מציבים את ערך הנקודה במשוואת המעל ואם מתקיים:

x-a)2+(y-b)2=R2)   – אז הנקודה על המעגל.
x-a)2+(y-b)2>R2)  – אז הנקודה מחוץ למעגל.
x-a)2+(y-b)2<R2)    – אז הנקודה בתוך המעגל.

תרגיל לדוגמה:
מצאו איפה הנקודה (1,1) נמצאת  ביחס למעגל שמשוואתו:
x-7)2+(y-6)2 = 45)
=²(1-7)+²(1-6)
=²(-6)2+(-5)
61=36+25

61>45
תשובה: הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.

תרגיל 5 – מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם ישר

תרגיל זה נפתר על ידי הצבה של משוואת הישר במשוואת המעגל.
לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית. כאשר נפתור את המשוואה נועל לקבל:

  1. שני פתרונות  – אז הישר חותך את המעגל בשתי נקודות.
  2. פתרון אחד – הישר והמעגל משיקים.
  3. 0 פתרונות – אין נקודת חיתוך בין הישר והמעגל.

תרגיל לדוגמה:

מצאו את נקודת החיתוך של המעגל והישר הבאים:
(x-5)2+(y-2)2=20)
y=7x+1

פתרון
נציב את משוואת הישר במשוואת המעגל
x-5)2+(7x+1 -2)2=20)
x2-10x+25+(7x-1)2=20
x2-10x+25 + 49x2-14x+1=20 / -20
50x2-24x +6=0 / :2
25x2-12x+3=0
עכשיו נחשב את הדלתא של המשוואה הריבועית על מנת לדעת אם יש לה פתרונות.
156- =122-4*25*3
תשובה: ה"דלתא" של משוואה זו שלילית ולכן אין פתרון למשוואה ואין נקודות חיתוך בין המעגל לישר.

תרגיל 6: הקשר בין קוטר למשוואת המעגל

אם נותנים לנו רק שתי נקודות שהן שתי קצוות קוטר במעגל. כיצד ניתן למצוא את משוואת המעגל?

נקודת מרכז המעגל היא האמצע של הקוטר. לכן אם נמצא את האמצע של שתי הנקודות הללו נמצא את מרכז המעגל.

נושא 7: המשיק למעגל

משיק למעגל הוא ישר שיש לו נקודה אחת משותפת עם המעגל.

כיצד מוצאים משיק למעגל בנקודה?
יש כמה סוגי שאלות בנושא משיק למעגל. בכולם הפתרון מתבסס על כך שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
לכן אם נדע את השיפוע של אחד מיהם נדע גם את השיפוע של השני. משום שמכפלת שיפועים מאונכים היא 1-.

רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה

רדיוס ומשיק מאונכים בנקודת ההשקה

שלבי הפתרון לתרגילים בהם נתונה לנו משוואת המעגל ומבקשים את משוואת המשיק שעליו הם:

  1. מוצאים את שיפוע הרדיוס על פי מרכז המעגל ונקודת ההשקה.
  2. מוצאים את שיפוע המשיק.
  3. מוצאים את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודת ההשקה.

תרגיל לדוגמה:
מצאו את משוואת המשיק למעגל x-4)² + (y-1)²=25) בנקודה (8,4) שעליו.

פתרון
נקודת מרכז המעגל היא (4,1).
נמצא את שיפוע הרדיוס העובר דרך מרכז המעגל ונקודת ההשקה.
M = (4-1) / (8-4) = 3/4=0.75

לכן שיפוע המשיק הוא (a):
a* 0.75= -1
a= -1.333

נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה (נקודת ההשקה).
(y-y1 = a(x-x1
(y-4 = -1.333(x-8
y-4  = -1.333x – 10.666 / +4
y=  -1.333x – 6.66
תשובה: זו משוואת המשיק למעגל y=  -1.333x – 6.66.

  • תרגילים נוספים, חלקם מעבר לנדרש ברמת 3 יחידות בדף משיק למעגל.

מעגל המשיק לצירים

כאשר מעגל משיק לציר ה- X או לישר המקביל לציר ה- X אז לנקודת ההשקה ולמרכז המעגל יש את אותו ערך של X.

כאשר מעגל משיק לציר ה- X או לישר המקביל לציר ה- X אז לנקודת ההשקה ולמרכז המעגל יש את אותו ערך של X.

אותו ערך X למרכז המעגל, ציר ה- X ולמשיק בנקודות ההשקה

כאשר מעגל משיק לציר ה- Y או לישר המקביל לציר ה- Y אז לנקודת ההשקה ולמרכז המעגל יש את אותו ערך של Y.

כאשר מעגל משיק לציר ה- Y או לישר המקביל לציר ה- Y אז לנקודת ההשקה ולמרכז המעגל יש את אותו ערך של Y.

אותו ערך Y למרכז המעגל, לציר ה- Y ולמשיק בנקודת ההשקה

פתרונות לשאלות מהבגרות

דף זה כולל הצעות לפתרון מלא של שאלה מהבגרות. השאלון עצמו לא נמצא כאן אך ניתן למצוא אותו בקלות ברשת האינטרנט.

גיאומטריה אנליטית קיץ 2017 שאלות 2 ו 3

א. הנקודה B היא נקודת החיתוך של הישר y= – 0.75x +3 עם ציר ה x.
בנקודה B מתקיים y=0. נציב זאת במשוואת הישר:
3-0.75x = 0 /+0.75x
3= 0.75x
x=4
תשובה: (B (4,00.

המרחק BC הוא 10 ושתי הנקודות נמצאות על ציר ה x לכן (C(14,0.

ב. על מנת למצוא את BD נמצא את D על ידי הנוסחה לאמצע קטע ואז נבנה משוואת ישר על פי שתי נקודות (נקודות B ו D).
מציאת הנקודה D, שהיא האמצע של AC.
(A( 12, -6)  C(14,0
ערך ה X של D הוא:
2 / (12+14)
13 = 2 /  266.

ערך ה Y של D הוא:
2 / (0-6)
3 – = 2 / 6.
הנקודה ((D( 13, -3

נמצא את משוואת הישר BD.
(B (4,0) , D( 13, -3
השיפוע:
(4-13) / (0+3)
0.333 – = 9- / 3

נשתמש בנקודה (B (4,0 למציאת משוואת הישר.
(y – 0 = 0.333(x-4
y= 0.333x – 1.333
תשובה משוואת BD היא y= 0.333x – 1.3333.

ג. (A( 12, -6)  C(14,0
נמצא את השיפוע של AC.
(14-12) / (0+6)
3 = 6/2

מכפלת השיפועים של AC ו BD היא
1- = 3*0.33-
אם מכפלת השיפועים היא 11- אז הישרים מאונכים.

ד. נחשב את האורכים של AC ו BD על פי הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
אורכו של AC הוא: (A( 12, -6)  C(14,0
d² = (14-12)² + (0+6)²
d² = 2² +6² = 40
d=√40

אורכו של BD הוא: (B (4,0) , D( 13, -3
p² = (4-13)² + (0+3)² = (-9)²+3² = 90
p=√90

שטח המשולש הוא:
S = (√90 * √40) /2 = 60/2= 30
תשובה: שטח המשולש הוא 300 יחידות ריבועיות.

הערה: ניתן לפתור שאלה זו בקצרה על ידי שימוש בנתון כי BC=10 וכי המרחק בין הנקודה C לציר ה X הוא 6. לכן השטח הוא:
30 = 2 / 6*10
הבעיה היא שדרך זו נשענת גם על הסברים מילוליים ולא תמיד הם מדויקים.

ה. עבור שני המשולשים הגובה לצלע הוא אותו גובה: BD.
הבסיס של משולש ABC כפול באורכו מהבסיס של משולש BCD (כי BD הוא תיכון ל AC). ומכוון ששטח משולש הואא מכפלת הגובה בבסיס חלקי 2 אז שטח משולש ABC כפול בגודלו.

שאלה 3: גיאומטריה אנליטית מעגל

א. הישר MD מאונך לציר X ולכן ערכי ה X בנקודות שעליו אינם משתנים והם 4.
ערך ה Y בנקודה D שעל ציר ה X הוא 0.
(D (4,0) M( 4,5
המרחק בין הנקודות הוא על ציר ה y בלבד והוא 5-0 = 5
לכן אורכו של הרדיוס הוא 55.

משוואת המעגל היא:
x-4)² + (y-5)² = 255)

ב. בנקודות החיתוך עם ציר ה Y מתקיים x=0. נציב זאת במשוואת המעגל.
y-5)² + (0-4)² = 25)
y² -10x +25 +16=25 /-25
y²-10x +16 =0
x-2) * (x-8) =0)
x=2, x=8
((B (2,0)   A (8,0

ג. אם BC הוא קוטר אז M הוא האמצע של BC. נשתמש בנוסחה למציאת אמצע קטע לצורך מציאת הנקודה C.
(M( 4,5)  B (2,0
ערך ה X של C הוא:
4  = 2 / (x+2)
x+2 = 8 /-2
x=6
ערך ה Y של C הוא:
5 = 2 / (0+y)
10 = y
תשובה: (C (6,100.

ד. הישרים CM, DM הם רדיוסים ולכן אורך כל אחד מיהם הוא 5.
נחשב את אורכו של CD על פי הנוסח למרחק בין שתי נקודות.
(D (4,0)  C (6,10
d² = (10-0)² + (6-4)²
d² = 10² +2² =100+4=104
d= √104 = 10.12
היקף המשולש:
20.12 = 5+5+10.12
תשובה: היקף המשולש הוא 20.12 יחידות.

גיאומטריה אנליטית קיץ 2016 שאלה 2

גיאומטריה אנליטית קיץ 2016 שאלה 3  מעגל

גיאומטריה אנליטית קיץ 2016 מועד ב שאלה 2

גיאומטריה אנליטית קיץ 2016 מועד ב שאלה 2 מעגל

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.