סדרות שאלון 381 / 802 3 יחידות

התוכן של הדף:

  1. הקדמה ומה ההבדל בין שאלונים 381 / 802 למה שנלמד שנה שעברה בשאלונים 801 / 182.
  2. סדרה חשבונית, הכרת כלל הנסיגה (כולל וידאו).
  3. סדרה חשבונית – 3 סוגים של שאלות נפוצות וכיצד לפתור אותם (כולל וידאו).
  4. סדרה הנדסית – היכרות עם הסדרה ונוסחאות הסדרה (כולל וידאו).
  5. סדרה הנדסית – 3 סוגים של תרגילים וכיצד לפתור אותם (כולל וידאו).
  6. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.

1.הקדמה

בשאלונים 802 / 381 נשאלת באופן די קבוע שאלה על סדרות.
השאלה יכולה להיות על סדרה חשבונית או הנדסית אך לרוב השאלה היא על סדרה חשבונית.
ויש שאלה נוספת בנושא גידול ודעיכה, שאלה המאוד דומה לסדרה הנדסית.

סדרה חשבונית הופיעה כבר בשאלון 801 / 182.
בשאלון 801 הדגש היה על הנוסחה S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n.
בשאלון 802 הדגש הוא על הנוסחה an = a1 + (n-1)d וכמובן שגם בנוסחת הסכום נעשה שימוש, אבל שימוש קל יותר יחסית לשאלון הקודם.
בנוסף עליכם להבין את ההגדרה על פי כלל הנסיגה an + 1 = an + d.
סך הכל יש 3 סוגים עיקריים של שאלות בנושא סדרה חשבונית בשאלון 381/ 802:

  1. שאלות המבוססות על כלל הנסיגה.
  2. שאלות התחלקות – שאלות בהם צריך כמה איברים מתחלקים במספר מסוים.
  3. שאלות מציאותיות – שאלות שכאילו לקוחות מהחיים.

סדרה הנדסית היא נושא חדש.
במאגר יש 3 סוגים מרכזיים של שאלות.
הנושא של סדרה הנדסית מופיע לאחר סדרה חשבונית.

2. סדרה חשבונית, הסבר לכלל הנסיגה

הסבר לכלל הנסיגה בסדרה חשבונית

an  הוא האיבר הנמצא במקום ה n.
an + 1   הוא האיבר הנמצא במקום ה n + 1, מקום אחד אחרי המקום ה n.

כלל הנסיגה מתאר את הקשר בין שני האיברים הללו.
בסדרה חשבונית

כאשר כותבים לנו:
an + 1 = an + 2
הכוונה היא שהאיבר הנמצא במקום ה n + 1 גדול ב 2 מהאיבר הנמצא במקום ה n.
d = 2
כלומר יש הפרש קבוע של 2 בין כל שני איברים סמוכים ולכן זו סדרה חשבונית.
אם האיבר החמישי הוא 10 אז האיבר השישי הוא 12.

כאשר כותבים לנו:
an + 1 = an – 8
זה אומר שכל איבר קטן מהקודם לו ב 8.
d = – 8

כאשר כותבים לנו:
an + 1 = an +3n
זו לא סדרה חשבונית.
כי ההפרש תלוי במיקום של האיבר בסדרה, ההפרש הוא 3n.
עבור n = 5 ההפרש הוא 15 = 5 * 3.
עבור n = 2 ההפרש הוא 6 = 2 * 3.
מכוון שההפרש בין איברים סמוכים לא קבוע זו לא סדרה חשבונית.

כיצד מוצאים איברים סמוכים בעזרת כלל הנסיגה?
נתון:
a1 = 7
an+1 = an + 4
מצאו את 4 האיברים הראשונים בסדרה?

פתרון
ההסבר הקצר:
על פי הנוסחה an+1 = an + 4 כל איבר גדול מהקודם לו ב 4.
d = 4
לכן:
a2 = a1 + 4 = 7 + 4 = 11
a3 = a2 + 4 = 11 + 4 = 15
a4 = a3 + 4 = 15 + 4 = 19
ארבעת האיברים הם:
7,11,15,19

ההסבר המפורט יותר אומר שכאשר n= 1.
an = a1 = 7
an + 1 = a1 + 1 = a2
נציב בנוסחה  an+1 = an + 4
a2 = a1 + 4 = 7 + 4 = 11

כאשר n = 2.
an = a2 = 11
an + 1 = a2 + 1 = a3
נציב בנוסחה  an+1 = an + 4
a3 = a2 + 4 = 11 + 4 = 15

וכך ניתן למצוא את כל ארבעת האיברים.

3. 3 סוגים של שאלות בסדרה חשבונית

3 סוגי התרגילים הנפוצים בסדרה חשבונית

סוג 1: שאלת כלל נסיגה ברמת בגרות

נתון :

a1 = 25
an + 1 = an – 3

  1. מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה.
  2. מדוע סדרה זו היא סדרה חשבונית?
  3. חשבו את סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון

סעיף 1: 3 האיברים הראשונים בסדרה
על פי כלל הנסיגה an + 1 = an – 3 כל איבר בסדרה קטן ב 3 מהאיבר הקודם לו. לכן:
a2 = a1 – 3 = 25 – 3 = 22
a3 = a2 – 3 = 22 – 3 = 19
תשובה: שלושת האיברים הראשונים בסדרה הם
25,22,19.

סעיף 2: מדוע הסדרה היא סדרה חשבונית.
זו סדרה חשבונית כי ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. כל איבר קטן מהאיבר הקודם לו ב 3.

סעיף 3: מציאת סכום 7 האיברים הראשונים
הנתונים שלנו הם:
a1 = 25
d = 3
n = 7
נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n
S7 = (2*25 + (7-1) * 3 ) * 7*0.5
S7 = (50 + 6*3) * 3.5 = 68 * 3.5
S7 = 238
תשובה: סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה הוא 238.

סוג 2: שאלת חלוקה בסדרה חשבונית ברמת בגרות

נתונה הסדרה החשבונית 249…50,51,52,53

  1. כמה איברים בסדרה החשבונית?
  2. כמה מספרים בסדרה מתחלקים ב 10.
  3. כמה מספרים בסדרה אינם מתחלקים ב 10.

פתרון
סעיף 1: מספר האיברים בסדרה.
הנתונים שלנו הם:
a1 = 50
d = 1
an = 249

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית
n -1)d + a1 = an)
n – 1)1 + 50 = 249)
n – 1 + 50 = 249
n + 49 = 249  / -49
n = 200
תשובה: מספר האיברים בסדרה הוא 200.

סעיף 2: מספר המספרים המתחלקים ב 10
סדרת המספרים המתחלקים ב 10 היא:
50,60,70,80,90 וכן הלאה…
כלומר המספרים המתחלקים ב 10 הם סדרה חשבונית שבה:
a1 = 50
d = 10

הנתונים הללו לא מספיקים על מנת פתור את השאלה, ננסה למצוא את האיבר האחרון בסדרה שמתחלק ב 10.
האיבר האחרון בסדרה הוא 249, אבל הוא לא מתחלק ב 10.
האיבר הסמוך לו בסדרה שמתחלק ב 10 הוא 240.
לכן
an = 240
נציב את הנתונים הללו בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את n.
n -1)d + a1 = an)
n – 1)* 10 + 50 = 240)
10n – 10 + 50 = 240
10n +40 = 240   / -40
10n = 200  / :10
n = 20
תשובה: מספר איברי הסדרה המתחלקים ב 10 הוא 20.

סעיף 3: מספר איברי הסדרה שאינם מתחלקים ב 10
בסדרה יש 200 איברים. 20 מתוכם מתחלקים ב 10.
לכן מספר האיברים שאינם מתחלקים ב 10 הוא:
180 = 20 – 200
תשובה: 180 מאיברי הסדרה אינם מתחלקים ב 10.

דוגמה לבעיית חלוקה נוספת בסדרה חשבונית

בסדרה חשבונית האיבר הראשון המתחלק ב 4 הוא 36 והאיבר האחרון המתחלק ב 4 הוא 252.
מצאו את מספר איברי הסדרה.

פתרון
נרשום את הנתונים:
a1 = 36
d = 4
an = 252
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
n -1)d + a1 = an)
n -1) * 4 + 36 = 252)
4n – 4 + 36 = 252
4n + 32 = 252  / -32
4n = 220   / :4
n = 55
תשובה: מספר האיברים בסדרה המתחלקים ב 4 הוא 55.

סוג 3: דוגמה לשאלה "מציאותית" בסדרה חשבונית

רץ המתכונן למירוץ בנה תוכנית אימונים.
ביום הראשון ירוץ 2,000 מטרים ולאחר מיכן ירוץ 50 מטרים פחות בכול יום.

  1. כמה מטרים ירוץ ביום השביעי לאימונים.
  2. כמה מטרים רץ בסך הכל ב 12 ימי האימונים הראשונים.

פתרון
סעיף 1: אורך הריצה ביום השביעי
נרשום את הנתונים.
a1 = 2000 (אורך הריצה ביום הראשון).
d = -50 (כל יום הוא רץ 50 מטרים פחות).
n = 7  (מחשבים את היום השביעי)

נציב את הנתונים בנוסחה:
an = a1 + (n-1)d
(a7 = 2000 + (7 – 1) * (-50
a7 = 2000 + 6 * -50 = 2000 – 300
a7 = 1700
תשובה: ביום השביעי הוא רץ 1700 מטרים.

סעיף 2: סכום המרחקים ב 12 ימים
הנתונים הם:
a1 = 2000
d = -50
n = 12
S12 = ?

נציב את הנתונים בנוסחה S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n
S12 = (2*2000 + (12 -1) * -50) * 12*0.5
S12 = (4000 + 11 * -50) * 6
S12 = (4000 – 550) * 6 = 3450 * 6
S12 = 20,700
תשובה: ב 12 יום הוא רץ 20,700 מטרים.

4. סדרה הנדסית, הגדרה ונוסחאות

היכרות עם הסדרה ההנדסית והכרת הנוסחאות שלה

הגדרה
סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל איבר הוא כפולה במספר קבוע של האיבר שקדם לו. למשל:
4,12,36,108
בסדרה זו כל איבר הוא האיבר שקדם לו כפול 3.

סוגים של סדרה הנדסית
כאשר כל איבר גדול יותר מהאיבר שקדם לו זו סדרה הנדסית עולה.
למשל: 4,12,36,108

סדרה הנדסית יורדת היא סדרה שבה כל איבר קטן מהאיבר שקדם לו.
למשל: 1000,100,10,1
בסדרה זו כל איבר קטן פי 10 מהאיבר שקדם לו.

סדרה הנדסית שהיא לא עולה ולא יורדת.
סדרה הנדסית שלא עולה ולא יורדת
בסדרה זו כל איבר הוא האיבר הקודם כפול 2-.

כיצד מנמקים שסדרה היא הנדסית?

יש רק נימוק אחד: כי כל איבר הוא הכפולה במספר קבוע של המספר הקודם לו.
למשל בסדרה 4,12,36,108.
כל איבר הוא כפולה של המספר הקודם פי 3.
בסדרה 1000,100,10,1
כל איבר הוא הכפולה של המספר הקודם לו פי 0.1.

נוסחאות סדרה הנדסית

נוסחת האיבר הכללי, נוסחה לחישוב האיבר במקום ה- n בסדרה:

an=a1qn-1

q – מנת הסדרה, המספר שבו מכפילים כל פעם.
בסדרה 4,12,36,108 נציב q=3.
בסדרה 1000,100,10,1 נציב q = 0.1.

כאשר יתנו לכם איבר במקום מסוים (למשל 5) עליכם להציב את המקום במקום n.

a5=a1q5-1

סכום n אברים בסדרה הנדסית:

הנוסחה לחישוב n איברים בסדרה הנדסית sn = a1(qn-1) / q-1

הגדרה על פי כלל הנסיגה, כיצד להגדיר איבר בסדרה הנדסית על פי האיבר הקודם לו:

an+1=anq

5. 3 סוגי השאלות הבולטות המופיעות במאגר בנושא סדרה הנדסית

2 סוגים של בעיות בסדרה הנדסית

סוג 1: שאלות בהן a1 לא נתון 
בשאלות הללו נתון לנו an שהוא לא a1. למשל יגידו a4 = 54.
מה עושים?
מציבים את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית
an = a1qn-1
ומוצאים את אחד הדברים שחסרים לנו:
a1 או q.
שימו לב שאם נתנו לנו את a4 אז אנחנו צריכים להציב n =4, לכן n אינו נעלם.

 

תרגיל לדוגמה מסוג 1

האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא 54.
האיבר הראשון הוא 2.
מצאו את מנת הסדרה (q).

פתרון
נרשום את הנתונים:
a1 = 2.
a4 = 54
n = 4.

נציב את הנתונים במשוואה:
an = a1qn-1
2q³ = 54   / :2
q³ = 27
q = 3
תשובה: מנת הסדרה היא 3.

סוג 2: שאלה שבה נתון האיבר הראשון והאיבר האחרון ואנו צריכים להכניס איברים ביניהם.

שאלה לדוגמה.
בסדרה הנדסית של 5 איברים.
האיבר הראשון בסדרה הוא 3 והאיבר החמישי בסדרה הוא 768.
השלימו את האיברים השני, שלישי ורביעי בסדרה.

פתרון

מה חסר לנו על מנת למצוא את a2, a3, a4?
חסר לנו q. אם נדע את q נוכל להכפיל בו את a1 = 3  ולמצוא את איברי הסדרה.
וכבר למדנו בסוג הראשון של הבעיות שכאשר נתון איבר שהוא לא האיבר הראשון אנו מציבים את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי an = a1qn-1 ונמצא את q.
a1 = 3
a5 = 768
n = 5
3q5-1 = 768  / :3
q4 = 256
q = 4

a2 = a1* 4 = 3 * 4 = 12
a3 = a2 * 4 = 12 * 4 = 48
a4 = a3 * 4 = 48 * 4 = 192
על מנת לבדוק שהגענו אל התשובה הנכונה ניתן למצוא גם את a5 באותה דרך ולראות אם הגענו אל התשובה הנכונה.
a5 = a4 * 4 = 192 * 4 = 768
a5 יצא בדרך חישובית כמו בנתונים ולכן סביר שזו התשובה הנכונה.

סוג 3 של שאלות: הגדרה לפי כלל נסיגה

תרגיל
בסדרה ידוע כי
an + 1 = 0.6 an
a1 = 10

  1. האם זו סדרה הנדסית?
  2. רשמו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה.
  3. אם זו סדרה הנדסית, איזה סוג של סדרה זו? (עולה, יורדת, לא עולה ולא יורדת).
  4. חשבו את סכום 8 האיברים הראשונים בסדרה.
  5. חשבו את ממוצע 8 האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון

סעיף 1: האם זו סדרה הנדסית
כן, כי איבר מתקבל מהקודם לו על ידי הכפלה במספר קבוע (0.6) ולכן זו סדרה הנדסית.

סעיף 2
a2 = 0.6a1 = 0.6 * 10 = 6
a3 = 0.6a2 = 3.6
תשובה: שלושת האיברים הראשונים בסדרה 3.6,   6,    10.

סעיף 3
זו סדרה הנדסית יורדת, כי כל איבר קטן מהקודם לו.

סעיף 4
הנתונים הם:
a1 = 10
q = 0.6
n = 8
נציב את הנתונים בנוסחה:
סכום סדרה חשבונית. הנוסחה לחישוב n איברים בסדרה הנדסית

פתרון התרגיל

תשובה: סכום שמונת האיברים בסדרה הוא 24.58.

סעיף 5: חישוב ממוצע
ממוצע שמונת האיברים הוא:
סכום 8 האיברים 24.58.
לחלק במספר האיברים 8.
x = 24.58 :8 = 3.07
תשובה: ממוצע 8 האיברים הוא 3.07

שאלה מסוג נוסף המופיעה רק פעם אחת במאגר
יש שאלה אחת במאגר (שאלה 13) שבה נתונים שני מספרים שאינם a1.
השאלה אומרת כי בסדרה הנדסית עולה a5 = 48, a7 =192 ומבקשים מאיתנו למצוא את האיבר הראשון בסדרה.
במקרה זה נוח לפתור בדרך אחרת ולהגיד כי:
a5*q² = a7
48q² = 192   / :48
q² = 4
q = 2 או q = -2.
מכוון שאמרו שזו סדרה עולה q =2.

על מנת למצוא את a1 נציב את הנתונים :
a4 = 48
q = 2
n = 4
בנוסחת האיבר הכללי:
a1qn-1 = an
a1 * 2³ = 48   / :8
a1 = 6
תשובה: האיבר הראשון בסדרה הוא 6.

6. פתרונות מלאים לשאלות בנושא סדרות שאלון 381 / 802

קיץ 2017 מועד א

א. 26 = 780:30
תשובה: אלון ילמד 266 ימים.

ב. למספר המילים שנדב לומד בכול יום יש הפרש קבוע (2) ולכן זו סדרה חשבונית.
ידוע לנו כי:
a1 = 20
d=2
sn = 780
nn = ?

נציב את הנתונים בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
sn = (2a1 + (n-1)d) * n/2 – הנוסחה לסכום סדרה חשבונית.
0.5n ((2*20 + (n-1)2) = 780
0.5n (40 +2n -2) =780
0.5n (38+2n)=780
19n +n² =780
n² +19n -780 =0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים (במבחן יש לפרט) ונקבל n=20, n=ה-39
מכוון שמספר ימי הלימוד הוא מספר חיובי התשובה הנכונה היא n=20.

ג. נדב יסיים מוקדם יותר משום שהוא ילמד 20 ימים לעומת 30 ימים של אלון.

קיץ 2016 מועד א

קיץ 2016 מועד ב

לא נשאלה שאלה.

חורף 2016

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.