הסתברות שאלון 381 / 802

בדף זה שני חלקים:

  1. חזרה על התאוריה, בעזרת 3 סרטוני וידאו.
  2. פתרון תרגילים ברמת בגרות.
  3. דפים נוספים באתר: שאלון 381 / 802, סטטיסטיקה 381 / 802בגרות במתמטיקה 3 יחידות,  הסתברות (הדף המרכזי באתר בנושא).
    חזרה על החומר של שנה שעברה הסתברות 181 / 801.

1.חזרה על התאוריה

סרטון הראשון חישוב הסתברות של מאורע יחיד, אלו יסודות ההסתברות.

בסרטון השני חישוב הסתברות של שני מאורעות.
השאלות בסרטון דומות לשאלות מאגר.

בסרטון השלישי הסבר כיצד משרטטים ועושים חישובים על דיאגרמת עץ.

אם אתם רוצים חזרה כתובה ולא רק בוידאו תוכלו למצוא אותה בדפים:
הסתברות כיתה ט וגם הסתברות כיתה ח.

2. פתרון תרגילים ברמת בגרות

לחלק מהתרגילים יש גם פתרון וידאו, הוידאו יופיע לפני השאלה.

תרגיל 1

שחקן כדורסל זורק לסל 3 פעמים.
ההסתברות לקליעה בזריקה בודדת היא 0.3

  1. מה ההסתברות שיקלע פעמיים ויפספס פעם אחת?

פתרון
ההסתברות שיקלע בשתי הפעמים הראשונות ויפספס בשלישית היא:
0.063 = 0.7 * 0.3 * 0.3
ההסתברות שיקלע בפעם הראשונה, יפספס בשנייה ויקלע בשלישית היא:
0.063 = 0.3 * 0.7 * 0.3
ההסתברות שיפספס בפעם הראשונה ויקלע בשתי הפעמים שלאחר מיכן היא:
0.063 = 0.3 * 0.3 * 0.7
סכום ההסתברויות הוא:
0.189 = 0.063 + 0.063 + 0.063
תשובה: ההסתברות לקלוע פעמיים ולפספס פעם אחת היא 0.189.

תרגיל 2

בשק יש 3 כדורים אדומים. 4 צהובים ו 8 ירוקים.
מוצאים כדור אחד, אם יוצא ירוק מפסיקים להוציא. אם יוצא אדום או צהוב מוציאים כדור שני.

  1. מה ההסתברות שיוציאו שני כדורים ושהכדור השני יהיה אדום?

פתרון
סך הכל יש 15 כדורים בשק.
15 = 8 + 4 + 3
ההסתברות להוציא בשני אדום שווה להסתברות להוציא בפעם הראשונה אדום ובפעם השנייה אדום או להוציא בפעם הראשונה צהוב ובפעם השנייה אדום.
בחישוב ההסתברויות נשים לב לכך שההוצאות הן ללא החזרה.
ההסתברות להוציא בפעם הראשונה אדום ובפעם השנייה אדום היא:
210 / 6 = (14 / 2) * (15 / 3)
ההסתברות להוציא בפעם הראשונה צהוב ובפעם השנייה אדום היא:
210 / 12 = (14 / 3) * (15 / 4)

סכום ההסתברויות הוא:
35 / 3 = 210 / 18 = (210 / 6) + (210 / 12)
תשובה: ההסתברות לקבל אדום בפעם השנייה היא 35 / 3.

אם נרצה להציג את ההסתברויות בדיאגרמת עץ כך זה יראה:

דיאגרמת עץ. חלק מהענפים לא שורטטו כי הם לא חשובים לפתרון הבעיה.

דיאגרמת עץ. חלק מהענפים לא שורטטו כי הם לא חשובים לפתרון הבעיה.

תרגיל 3

שני שחקני כדורסל זורקים לסל.
ההסתברות שאחד יקלע היא 0.6 וההסתברות שהשני יקלע היא 0.7.
שני השחקנים זורקים לסל.

  1. מה ההסתברות שבדיוק אחד מיהם יקלע לסל?
  2. מה ההסתברות ששניהם יקלעו לסל?
  3. מה ההסתברות שלכל היותר אחד מיהם יקלע לסל?

פתרון
בדיוק אחד מיהם יקלע זה אומר שאחד קולע והשני מפספס.
ההסתברות שהראשון יקלע והשני יפספס היא:
0.18 = 0.3 * 0.6
ההסתברות שהשני יקלע והראשון יפספס היא:
0.28 = 0.4 * 0.7
נחשב את סכום ההסתברויות:
0.46 = 0.18 + 0.28
תשובה: ההסתברות שבדיוק אחד מיהם יקלע היא 0.46.

סעיף 2.
ההסתברות ששניהם יקלעו:
0.42 = 0.7 * 0.6

סעיף 3
לכול היותר 1 יקלע זה אומר שיהיו 0 קליעות או 1 קליעות.
נחשב את 0 קליעות:
0.12 = 0.3 * 0.4

ההסתברות של 0 או 1 קליעות היא:
0.58 = 0.12 + 0.46

אם היינו רוצים לתאר את הבעיה בדיאגרמת עץ היינו יכולים לעשות זאת כך.

החיבור של מסלולים 1 ו 2 הוא הפתרון לסעיף א. מסלול 3 הוא הפתרון לסעיף ב. וסכום המסלולים 1,2,4 הוא הפתרון לסעיף ג

החיבור של מסלולים 1 ו 2 הוא הפתרון לסעיף א.
מסלול 3 הוא הפתרון לסעיף ב.
וסכום המסלולים 1,2,4 הוא הפתרון לסעיף ג

תרגיל 4
בגלגל מזל ההסתברות לזכות ב 100 שקלים היא 1/6, ההסתברות לזכות ב 50 שקלים היא 1/3 וההסתברות לזכות ב 0 שקלים היא 1/2.
מסובבים את הגלגל פעמיים.

  1. מה ההסתברות לזכות ב 50 שקלים?
  2. מה ההסתברות לזכות ב 100 שקלים.

פתרון
אלו אפשרויות יש לזכות ב 50 שקלים?
לזכות ב 50 בסיבוב הראשון ו 0 בשני. או 0 בסיבוב הראשון ו 50 בשני.
ההסתברות לזכות ב 50 בראשון ו 0 בשני היא:
6 / 1 = (2 / 1) * (3 / 1)
ההסתברות לזכות ב 0 בראשון ו 50 בשני.
6 / 1 = (3 / 1) * (2 / 1)
סכום ההסתברויות הוא:
3 / 1 = 6 / 2 = (6 / 1) + (6 / 1)
תשובה: ההסתברות לזכות ב 50 שקלים היא 1/3.

סעיף ב
אלו אפשרויות יש לזכות ב 100 שקלים?
לזכות ב 50 בראשון וב 50 בשני.
9 / 1 = (3 / 1) * (3 / 1)
לזכות ב 100 בראשון ו 0 בשני.
12 / 1 = (2 / 1) * (6 / 1)
12 / 1 = (6 / 1) * (2 / 1)
סכום ההסתברויות הוא:
18 / 5 = 36 / 10 = (12 / 1) + (12 / 1) + (9 / 1)
תשובה: ההסתברות לזכות ב 100 שקלים היא 5/18.

תרגיל 5

ההסתברות שמחר הוא יום שלישי היא 1/7.
ההסתברות לגשם בכול אחד מימות השנה היא 1/10.
ההסתברות לאכול ארטיק בכול אחד מימות השנה היא 1/5.

  1. מה ההסתברות ששלושת הדברים יתרחשו? (מחר שלישי, ירד גשם ונאכל ארטיק).
  2. מה ההסתברות שלכל היותר 2 מתוך ה 3 יקרו?
  3. מה ההסתברות שבדיוק שני דברים יקרו?

פתרון

סעיף 1.
ההסתברות ששלושת הדברים יתרחשו היא מכפלת ההסתברויות
350 / 1 = (5 / 1) * (10 / 1) * (7 / 1)
תשובה: ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא 350  / 1.

סעיף 2.
ההסתברות שלכל היותר 2 דברים יתרחשו היא ההסתברות ש 0 או 1 או 2 דברים יתרחשו.
כלומר כל האפשרויות חוץ מהאפשרות ששלושתם יתרחשו.
לכן ניתן לבצע חישוב של הסתברות משלימה.

350 / 349 = (350 / 1) – 1
תשובה: ההסתברות שלכל היותר 2 דברים יקרו היא 350 / 349.

סעיף 3.
הנתונים הם שההסתברות ליום שלישי (1/7) לגשם (1/10) לארטיק (1/5).

ההסתברות ליום שלישי ולגשם אבל לא לארטיק היא:
350 / 4 = (5 / 4) * (10 / 1) * (7 / 1)
ההסתברות ליום שלישי ולארטיק אבל לא לגשם היא:
350 / 9 = (10 / 9) * (5 / 1) * (7 / 1)
ההסתברות לגשם ולארטיק אבל לא ליום שלישי היא:
350 / 6 = (7 / 6) * (10 / 1) * (5 / 1)

סכום ההסתברויות הוא:
350 / 19 = (350 / 6)  + (350 / 9) + (350 / 4)

תרגיל 6
(שאלת מאגר)

נתונים שני כדים. בכד אחד יש 10 כדורים לבנים ו 5 שחורים.
בכד השני יש 8 כדורים לבנים ו 12 שחורים.
זורקים קובייה.
אם המספר הוא 1 או 2 בוחרים באקראי כדור מהכד הראשון.
אם מתקבל מספר אחר בוחרים באקראי כדור מהכד השני.

  1. מה ההסתברות שנבחר כדור לבן מהכד הראשון?
  2. מה ההסתברות שנבחר כדור לבן?

פתרון
בהתחלה יהיה פתרון ללא עץ ולאחר מיכן עץ.
ההסתברות ל 1 או 2 היא:
3 / 1 = 6 / 2
כאשר מוציאים כדור מהכד הראשון, ההסתברות לכדור לבן היא:
3 / 2 = 15 / 10
ההסתברות לשני הדברים ביחד:
9 / 2 = (3 / 2) * (3 / 1)

סעיף 2
נחשב את ההסתברות ללבן מהכד השני.
ההסתברות שהקובייה תראה את אחד מהמספרים 3,4,5,6 היא:
3 / 2 = 6 / 4
אם מוצאים כדור מהכד השני ההסתברות שהוא יהיה לבן היא:
5 / 2 = 20 / 8
ההסתברות של לבן מהכד השני היא:
15 / 4 = (5 / 2) * (3 / 2)

נחשב את ההסתברות של לבן מהכד הראשון או לבן מהכד השני:
45 / 22 = (15 / 4) + (9 / 2)
תשובה: ההסתברות להוציא כדור לבן היא 22/45.

פתרון התרגיל בעזרת דיאגרמת עץ:

הפתרון לסעיף א הוא מסלול 1. הפתרון לסעיף ב הוא מסלול 1 + 2.

הפתרון לסעיף א הוא מסלול 1. הפתרון לסעיף ב הוא מסלול 1 + 2.

תרגיל 7
(שאלת מאגר)
זורקים קובייה הוגנת שרשומים עליה המספרים 1,2,3,4,5,6.
ומסובבים סביבון עם 4 פאות שרשומים עליו המספרים 1,2,3,4.

  1. מה ההסתברות שהקובייה והסביבון יראו את אותו מספר?
  2. מה ההסתברות שהסביבות יראה מספר גדול יותר מהקובייה?

פתרון
נבנה טבלה הכוללת את כל התוצאות האפשריות (כל מרחב המדגם).

קובייה ⇐
סביבון ⇓
1 2 3 4 5 6
1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

סך הכל יש לנו 24 תוצאות אפשריות.
יש 4 אפשרויות שהסביבון והקובייה יראו את אותו מספר
1,1   2,2   3,3   4,4
לכן ההסתברות היא:
6 / 1 = 24 / 4
תשובה: ההסתברות שהסביבון והקובייה יראו את אותו מספר היא 1/6.

סעיף 2.
האפשרויות שהסביבון יראה תוצאה גדולה יותר הן:
כאשר הקובייה מראה 1 אז:
1,2   1,3   1,4
כאשר הקובייה מראה 2 אז:
2,3   2,4
כאשר הקובייה מראה 3 אז:
3,4
סך בכל יש 6 אפשרויות מתוך 24 ולכן ההסתברות היא:
4 / 1 = 24 / 6
תשובה: ההסתברות שהסביבון יראה מספר גדול יותר מהקובייה היא 1/4.

הערה: יש עוד דרך להסתכל על סעיף א ולפתור אותו ללא טבלה.
מה ההסתברות שהקובייה והסביבון יראו את אותו מספר?
נניח שהסביבון מראה מספר כלשהו בין 1-4. מה ההסתברות שהקובייה תראה את אותו מספר? 1/6.
לכן ההסתברות שהקובייה והסביבון יראו את אותו מספר היא 1/6.

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.