פרבולה שאלון 381 /802

דף זה כולל את החומר שאתם צריכים לדעת בנושא גרפים ופרבולות עבור שאלון 802 / 381.

הדף מתחיל בסיכום קצר של החומר הנלמד.
אם הנושא לא ברור יש קישור שבו יש הסברים ותרגילים נוספים וברוב הנושאים יש גם וידאו.

בחלק השני של הדף יש שאלות ברמה של שאלות המאגר.

על מנת הרבה מהשאלות בדף עליכם לדעת לפתור משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים או בעזרת טרינום.

בהצלחה.

חלק 1: סיכום הדברים שצריך לדעת על פרבולה

במהלך ההסברים נתייחס אל המשוואה הכללת של הפרבולה y =ax² + bx + c.
וגם אל המשוואה y = 2x² + 10x + 12

1.מציאת נקודות חיתוך עם הצירים.
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y מציבים x = 0. למשל:
y = 2x² + 10x + 12
y = 2*0² + 10*0 + 12 = 12
(12, 0).
ועל מנת למצוא חיתוך עם ציר ה x מציבים y = 0.
2x² + 10x +12 = 0.
ועכשיו צריך לפתור משוואה ריבועית.

2. האם הפרבולה היא מינימום (מחייכת) או מקסימום (בוכה).
הפרבולה y =ax² + bx + c היא מינימום (מחייכת) כאשר a>0 ומקסימום בוכה כאשר a<0.
בפרבולה  y = 2x² + 10x + 12 יש a=2>0 ולכן זו פרבולת מינימום.

3. מציאת נקודת הקודקוד של הפרבולה.
עבור הפרבולה y =ax² + bx + c ערך ה x של נקודת הקודקוד מתקבל על ידי הצבה בנוסחה
נוסחה לקודקוד הפרבולה
לאחר מיכן יש למצוא את ערך ה y על ידי הצבת ערך ה x במשוואת הפרבולה.
עבור הפרבולה y = 2x² + 10x + 12 ערך ה x של הקודקוד הוא:
x = -10 / (2*2) = -10 / 4
x = – 2.5
נציב את x = -2.5 במשוואת הפרבולה ונמצא את ערך ה y של הקודקוד.
y = 2*(-2.5)² + 10 * (-2.5) + 12 = – 0.5
(0.5 –  ,  2.5 – )  זו נקודת הקודקוד.

אם מצאנו את נקודות החיתוך עם ציר ה x יש דרך נוספת למציאת קודקוד הפרבולה:
ערך ה x של נקודת הקודקוד הוא ממוצע ערכי ה x של נקודות החיתוך עם ציר ה x.
למשל אם נקודות החיתוך עם ציר ה x הם (0, 2-) ו (0, 3-) אז ערך ה x של קודוקד הפרבולה הוא:
2.5 – = 2 : 5 –  = 2 : (3 – + 2-)
שימוש בדרך הזו נקרא "מציאת ציר הסימטריה".

4. פרבולה עולה או יורדת
כאשר מתבוננים בגרף של פרבולה משמאל לימין.
כאשר הגרף עולה הפונקציה עולה, כאשר הגרף יורד הפונקציה יורדת.
ערך ה x של קודקוד הפרבולה הוא הנקודה שבה הפרבולה משנה את הכיוון מעליה לירידה או להפך.

תחומי עליה וירידה של פרבולה

תחומי עליה וירידה של פרבולה

5. חיוביות ושליליות של פרבולה
פרבולה חיובית כאשר היא נמצאת מעל ציר ה x ושלילית כאשר היא נמצאת מתחת לציר ה x.
"מתי הפרבולה חיובית?" זה כמו לשאול "מתי ערך ה y של הפונקציה חיובי?".
"מתי הפרבולה שלילית?" זה כמו לשאול "מתי ערך ה y של הפונקציה שלילי?".
אין קשר בין תחומי עליה וירידה להאם הפונקציה חיובית או שלילית.
פרבולה יכולה למשל להיות עולה ושלילית בו זמנית.
אם נסתכל על הגרף שנמצא למעלה נראה שהוא נמצא מעל ציר ה x כאשר x< -2 או כאשר x>4.
הגרף נמצא מתחת לציר ה x כאשר x> -2 וגם x<4.

לפעמים ישאלו "רשמו שני ערכי x בהם הפרבולה שלילית".
במקרה זה נוכל לרשום כל ערך של x הנמצא בתחום של  x> -2 וגם x<4.
למשל: x = 0, x = 1,  x = -1

ואם ישאלו "רשמו שני ערכי x בהם הפרבולה חיובית".
נוכל לרשום כל ערך בתחום x< -2 או כאשר x>4.
למשל x = -4  או   x = 6.

אם מבקשים מאיתנו בנוסף "לחשב את ערך הפונקציה". אז עלינו להציב את הערך שבחרנו במשוואת הפרבולה ולחשב את הערך שמתקבל.

6. מציאת נקודות חיתוך של ישר ופרבולה
אם יש לנו פרבולה  f(x) = 2x² + 10x + 12
וישר g(x) = x + 2.
נקודות החיתוך מתקבלות על ידי פתרון המשוואה
(f(x) = g (x

2x² + 10x + 12  = x + 2
אם נקבל שתי פתרונות – אז יש שתי נקודות חיתוך.
אם נקבל פתרון יחיד – אז יש נקודת חיתוך אחת (הישר משיק לפרבולה).
אם נקבל 0 נקודות חיתוך – אז הפרבולה והישר לא נחתכים.

שימו לב שלביטוי "מציאת נקודות חיתוך" יש ביטוי עם משמעות זהה והוא "מציאת נקודות משותפות".

מספר נקודות החיתוך של ישר ופרבולה

מספר נקודות החיתוך של ישר ופרבולה

7. מציאת נקודות חיתוך של שתי פרבולות
אם יש פרבולה f (x) = 2x² + 10x + 12
ופרבולה g(x) = -x² + 3x
אז נקודות החיתוך שלהם נתון על ידי פתרון המשוואה:
(f (x) = g(x
2x² + 10x + 12 = -x² + 3x
כמו בנקודות חיתוך של ישר ופרבולה גם כאן יכולות להיות 0 או 1 או 2 נקודות חיתוך על פי מספר פתרונות המשוואה.

מספר נקודות החיתוך של 2 פרבולות

מספר נקודות החיתוך של 2 פרבולות

8. מתי ערכים של ישר גדולים או קטנים מערכי פרבולה
כאשר נתון לנו הגרף של הישר והפרבולה נסתכל עבור אלו ערכי x גרף הישר נמצא מעל גרף הפרבולה.

בגרף הזה ניתן לראות שגרף הישר גדול מגרף הפרבולה כאשר x>0 וגם x<3

בגרף הזה ניתן לראות שגרף הישר גדול מגרף הפרבולה כאשר x>0 וגם x<3

בגרף הזה ניתן לראות שגרף הישר גדול מגרף הפרבולה כאשר x< -2 או כאשר x>1

בגרף הזה ניתן לראות שגרף הישר גדול מגרף הפרבולה כאשר x< -2 או כאשר x>1

9. האם נקודה נמצאת על פרבולה?  וגם ידוע ערך x מצאו את ערך y של הנקודה
על מנת לדעת אם נקודה נמצאת על פרבולה מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה ובודקים האם המשוואה המתקבלת נכונה.
אם כן הנקודה על הפרבולה, אם המשוואה אינה נכונה אז הנקודה לא על הפרבולה.
משוואה נכונה נראית למשל כך, 2 = 2. משוואה שאינה נכונה נראית למשל כך, 2 = 7.

למשל: האם הנקודה (1,3) נמצאת על גרף הפרבולה y=2x²+x+4.
נציב x= 1, y=3 במשוואת הפרבולה:
2*1² +1+4 = 3
2+4+1 =3
7=3.
קיבלנו משוואה לא נכונה – לכן הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.
אם הנקודה הייתה על הפרבולה היינו מקבלים משוואה מהסוג:
3=3

בשאלות אחרות יתנו לנו משוואת פרבולה ואת ערך ה x או ערך ה y של נקודה ויבקשו מאיתנו למצוא את הערך הנוסף.
למשל, ידוע כי הנקודה A נמצאת על הפרבולה y = x² + 2x. ערך ה x בנקודה A הוא 3. מצאו את ערך ה y של הנקודה A.
פתרון
נציב x=3 במשוואת הפרבולה y = x² + 2x
y = 3² + 2*3 = 9 + 6 = 15
(A (3,15

10. חישוב שטחים

הנוסחאות של חישוב שטחים נמצאות בדף הנוסחאות.
בחישוב השטחים נעשה שימוש בתכונה שכאשר יש שתי נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים אחד הערכים שלהם זהה.
אורך גובה העובר תחום שלילי וחיובי.

בנוסף עליכם לדעת:

11. מציאת משוואת משיק לפרבולה

יש מספר סוגי שאלות בנושא משיק לפרבולה.
אציג כאן את דרך הפתרון לשאלה הנפוצה ביותר.
על מנת למצוא משוואת משיק לפרבולה. עליכם:

  1. להציב את ערך ה x הידוע במשוואת הפרבולה ולמצוא את ערך ה y בנקודת ההשקה.
  2. לגזור את הפרבולה ולהציב בנגזרת את ערך ה x של נקודת ההשקה. כך נמצא את שיפוע הפרבולה בנקודת ההשקה והוא שווה לשיפוע המשיק.
  3. עכשיו אנו יודעים את הנקודה שבה עובר המשיק (נקודת ההשקה) ואת שיפוע המשיק. נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

תרגיל 1

מצאו את משוואת המשיק לפרבולה y = 2x² – 4x – 6 כאשר x= 2.

פתרון

שלב 1: מציאת נקודת ההשקה.
נציב x = 2 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y בנקודת ההשקה.
y = 2 *2² – 4 *2 – 6
y = 8 – 8 – 6 = -6
נקודת ההשקה היא (6- , 2).

שלב 2: נמצא את שיפוע הפרבולה (והמשיק) בנקודת ההשקה.
נגזור את משוואת הפרבולה.
y = 2x² – 4x – 6
y ' = 4x – 4

נציב x = 2 בנגזרת ונמצא את השיפוע בנקודת ההשקה.
y ' (2) = 4 * 2 – 4 = 8 – 4 = 4

שיפוע המשיק הוא 4.

שלב 3: מציאת משוואת המשיק.
שיפוע המשיק 4, נקודה שדרכה עובר המשיק היא (6-, 2).
נציב את הנתונים הללו במשוואת הישר ונמצא את משוואת הישר.
(y-y1=m(x-x1
(y + 6 = 4 (x – 2
y + 6 = 4x – 8  / -6
y = 4x – 14

שרטוט של המשיק והפרבולה

שרטוט של המשיק והפרבולה

עוד באתר:

חלק 2: תרגילים ברמת בגרות

תרגיל 1

נתון גרף הפרבולה f(x) = x² + 2x – 8

  1. מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x וציר ה y.
  2. מצאו את נקודת קודקוד הפרבולה.
  3. האם הישר y = -10 חותך את הפרבולה ואם כן בכמה נקודות.
  4. באיזה תחום הפרבולה עולה ובאיזה תחום יורדת.
  5. עבור אלו ערכים הפרבולה שלילית ועבור אלו חיובית.
  6. בנקודה D מתקיים x = -2. מצאו את נקודה D.
  7. חשבו את שטח משולש ABD.

שרטוט התרגיל

פתרון

סעיף 1: מציאת נקודת חיתוך עם הצירים
נציב x= 0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
f(x) = x² + 2x – 8
f (x) = 0² + 2*0 – 8 = -8
(8-, 0 ) זו נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה y.

נציב f(x) =0 על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
x² + 2x – 8 = 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים:
a = 1,  b = 2,  c = -8.

נוסחת השורשים

בסופו של פתרון נקבל x = -4, x =2.
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:
(0, 2)  (0, 4-)

סעיף 2: מציאת נקודת קודקוד הפרבולה
דרך ראשונה: נמצא את ציר הסימטריה וכך את ערך ה x של הקודקוד.
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:
(0, 2)  (0, 4-)
1- = 2 : (4 – 2)
x = -1 זה ציר הסימטריה וזה גם ערך ה x של הקודקוד.

נציב במשוואת הפרבולה על מנת למצוא את ערך ה y בקודקוד.
f(x) = x² + 2x – 8
f (x) = (-1)² + 2*-1 – 8 = -9
(9-, 1-) זו נקודת הקודקוד.

דרך שנייה: נשתמש בנוסחה למציאת ערך הקודקוד.
נוסחה לקודקוד הפרבולה
x = -2 : 2 = -1
ואז נציב במשוואת הפרבולה ונקבל y = -9 כפי שעשינו בדרך הראשונה.

סעיף 3: האם y =-10 חותך את הפרבולה
אנו רואים כי זו פרבולת מינימום שערך ה y של נקודת המינימום שלה הוא 9-.
במילים אחרות אין לפרבולה ערך נמוך יותר מ 9-, ולכן הישר  y = -10 אינו חותך את הפרבולה.

סעיף 4: תחומי עלייה וירידה
x = -1 שזו נקודת הקודקוד הוא הערך שבו הפונקציה עוברת מירידה לעלייה.
x < -1 הפונקציה יורדת.
x > -1 הפונקציה עולה.

סעיף 5: תחומי חיוביות שליליות
גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x כאשר x > -4 וגם x < 2. וזה תחום השליליות.
גרף הפונקציה נמצא מעל ציר ה x כאשר x< -4 או x> 2 וזה תחום החיוביות.

סעיף 6: מציאת הנקודה D
בנקודה D מתקיים x= – 2.
נציב ערך זה במשוואה בפרבולה:
f(x) = x² + 2x – 8
f(x) = (-2)² + 2 * -2 – 8
f (x) = 4 – 4 – 8 = – 8
הנקודה (D (-2,-8

סעיף 7: חישוב שטח משולש ABD
(A (-4, 0
(B (2, 0
(D (-2,-8
המרחק בין A ל B הוא:
6 = (4 -) – 2

נחשב את אורך הגובה מנקודה D
אל הישר AB.
הישר AB נמצא על ציר ה x.
האנך מהנקודה D אל AB הוא ישר המקביל
לציר ה y ולכן ערך ה x שלו קבוע והוא 2-.
ערך ה y של הנקודה שאליה מגיע האנך על ציר ה x הוא 0.
כי הנקודה נמצאת על ציר ה x.
לכן האורך של האנך הוא:
8 – = 0 – 8-
המרחק הוא גודל חיובי לכן אורך הגובה הוא 8.

שטח המשולש הוא:
= 2 : (6 * 8)
24 = 2 : 48
תשובה: שטח המשולש 24 יחידות ריבועיות.

חישוב אורכו של הגובה

חישוב אורכו של הגובה

תרגיל 2

נתונה הפרבולה f (x) = – x² + x + 12
והישר g(x) = -2x + 12

שרטוט התרגיל

  1. מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה והישר.
  2. מצאו את התחומים בהם מתקיים (g (x) > f(x.

פתרון
סעיף 1: מציאת נקודות חיתוך
נקודות החיתוך יתקבלו על ידי פתרון המשוואה:
(f (x) = g (x
x² + x + 12  = -2x + 12   / +2x -12-
x² + 3x = 0-
x (x + 3) = 0-
x = 0-
x = 0
או
x – 3 = 0  / +3
x = 3

מצאנו את ערכי ה x בנקודות החיתוך.
נציב את הערכים הללו במשוואת הישר ונמצא את ערכי ה y בנקודות החיתוך.
g (0) = – 2 * 0 + 12 = 12
g (3) = -2 * 3 + 12 = 6
נקודות החיתוך של הפרבולה והישר הן:
(12, 0)   (6, 3)

סעיף 2: מתי  (g (x) > f(x
נזהה קודם כל את נקודות החיתוך.
(12, 0) זו הנקודה השמאלית הגבוהה יותר.
(6, 3) זו הנקודה הימנית הנמוכה יותר.

בהתבוננות בגרף ניתן לראות שגרף הישר נמצא מעל גרף הפרבולה כאשר ערכי ה x קטנים מערכי נקודת החיתוך הראשונה, כלומר כאשר:
x < 0.
גרף הישר גבוה יותר גם כאשר ערך ה x גדול יותר יותר מערך נקודת המפגש השנייה, כלומר כאשר:
x > 3
לסיכום: כאשר x < 0 או x > 3 מתקיים  (g (x) > f(x.

מתי ערך הישר גדול יותר מערך הפרבולה

מתי ערך הישר גדול יותר מערך הפרבולה

פתרונות מלאים לשאלות מהבגרות בשאלון 381 / 802

קיץ 2017 מועד א

א. y=x²+2x-3
נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים:
בנקודה B מתקיים x=0.
y = 0² +2*0-3= -3
בנקודות A, C מתקיים y=0
0 =x²+2x-3
x+3)(x-1)=0)
x= -3, x=1
תשובה: הנקודות הן (A(-3,0)  , B(0,-3)  C(1,00.

ב) y= -x-3. נציב את הנקודות A,B במשוואת הישר ונראה אם הן מקיימות אותו.
עבור (A(-3,0
0= 3-3
0=0   – הנקודה A נמצאת על הישר.
עבור  (B(0,-3
0-3=3-
3- = 3-    – הנקודה B נמצאת על הישר.
מצאנו כי שתי הנקודות מקיימות את משוואת הישר ולכן נמצאות עליו.

ג. נמצא את ערך הפרבולה וערך הישר כאשר x = -2.
y= -x-3
y = 2-3 =-1
y=x²+2x-3
y = (-2)² -4-3 = 4-4-3=-3
תשובה: מכוון שערך הישר גבוה יותר כאשר x=-2 אז הוא נמצא מעל הפרבולה.

קיץ 2016 מועד א

קיץ 2016 מועד ב

חורף 2016

שאלה שאלות

2 תגובות בנושא “פרבולה שאלון 381 /802

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום איתן.
      הוספתי את סעיף 11 ויש בו הסבר ופתרון תרגיל של כיצד מוצאים משוואת משיק לפרבולה.
      עבור לשם לקבלת ההסבר המלא.
      ההסבר המקוצר הוא שעליך לפעול על פי שלושה שלבים:
      1)להציב את ערך ה x הידוע במשוואת הפרבולה ולמצוא את ערך ה y בנקודת ההשקה.
      2)לגזור את הפרבולה ולהציב בנגזרת את ערך ה x של נקודת ההשקה. כך נמצא את שיפוע הפרבולה בנקודת ההשקה והוא שווה לשיפוע המשיק.
      3)עכשיו אנו יודעים את הנקודה שבה עובר המשיק (נקודת ההשקה) ואת שיפוע המשיק. נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.