גידול ודעיכה

כאשר משהו גדל או קטן באופן קבוע ולאורך זמן זו שאלה שניתן לפתור בעזרת הנוסחה של גידול ודעיכה.

למשל:

  1. מחיר של בית העולה כל שנה ב- 10%.
  2. מחיר של מכונית היורד כל שנה ב- 10%.
  3. כמות אוכלוסיה העולה כל שנה ב- 3%.
  4. אדם המשמין כל שנה ב- 2%.

החלקים של דף זה הם:

  1. הנוסחה של גידול ודעיכה.
  2. כיצד למצוא את q.
  3. 2 מכשולים בולטים בשאלות בגרות.
  4. 4 שאלות הגנה ברמת בגרות.
  5. פתרונות לשאלות מהבגרות.

1.הנוסחה של גידול ודעיכה

הנוסחה שתשמש אותכם לפתרון השאלות היא:

Mt = M0qt

M0 – הכמות בהתחלה, בזמן אפס.
Mt – הכמות המתקבלת לאחר t זמן.
t – הזמן שעבר.
q – קצב הגדילה או הדעיכה.
למשל אם שיעור אוכלוסיה גדל ב 5% בשנה.
אז q=1.05.

  1. q הוא תמיד מספר חיובי.
  2. כאשר q > 1 הכמות גדלה.
  3. כאשר q מספר בין 0 ל- 1 הכמות קטנה.

הערה
שימו לב לסדר פעולות חשבון!
בנוסחה
Mt=M0qt
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
mt = 5*23
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
mt = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
mt = 5*8 = 40

2.כיצד מחשבים את q 

בשאלות שתפתרו תקבלו את המשתנים Mt, M0, t מוכנים להצבה בנוסחה Mt=M0qt.
אבל את q אתם תצטרכו למצוא.
ברוב השאלות אתם תקבלו מספר אחוזים ואתם תצטרכו להפוך את זה לערך q.
למשל יכתבו קצב גדילה של 12% ואתם תצטרכו להפוך את זה ל q = 1.12
או קטן בקצב של 20% ואתם תהפכו את זה ל q = 0.8

כאשר הכמות גדלה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
כמות הקונים בחנות גדלה ב 7% בשנה. מה הוא q?
נציב בנוסחה שלמעלה ונקבל:

כאשר הכמות קטנה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
ערך רכב קטן בכול שנה ב 15%. מה הוא q?
נציב בנוסחה ונקבל:

דוגמאות מהירות נוספות.
דוגמאות של גידול
8%  ⇐   q = 1.08
15%  ⇐   q = 1.15
50%  ⇐   q = 1.5
3%  ⇐   q = 1.03

דוגמאות של ירידה
8%  ⇐   q = 0.92
14%  ⇐   q = 0.86
50%  ⇐   q = 0.5
10%  ⇐   q = 0.9

3. 3 מכשולים בולטים בתרגילים

ברוב השאלות אתם צריכים לזהות את m0, mt, q, n בשאלה ולהציב אותם בנוסחה:
Mt=M0qt
זה הכל.

אבל בחלק מהשאלות יש דברים שיכולים להכשיל אותכם, והם כתובים כאן:

1.מה עושים כאשר מבקשים ממכם ללכת שנים לאחור?

כלומר נותנים לכם את הכמות הנוכחית, קצב הגידול ושואלים מה היה לפני 5 שנים?

במקרה זה עליכם להציב 5- בחזקה של q.
q-5 במשוואה, חזקה שלילית תיקח אותכם לאחור.

בנוסף m כלומר הכמות ההתחלתית שמציבים בנוסחה היא הכמות שידועה היום.

דוגמה לשאלה
בקופת חסכון כמות הכסף גדלה בקצב של 10% בשנה.
היום יש בקופת החיסכון 1331 שקלים.
כמה שקלים היו בקופת החיסכון לפני 3 שנים?

פתרון
m0 = 1331
זו כמות הכסף שיש עכשיו.

t = -3
מבקשים שנלך 3 שנים אחורה, לכן סימן המינוס.

q = 1.1
זה המספר המבטא גדילה של 10%

m-3 = ?
רוצים לדעת את הסכום לפני 3 שנים.

נציב את הנתונים הללו במשוואה:
Mt=M0qt
m-3 = 1331*1.1-3
m-3 = 1331 * 0.7513
m-3 = 1000

תשובה: הסכום בקופה לפני 3 שנים היה 1000 שקלים.

  • גם תרגיל 3 שבהמשך מתרגל את המכשול הזה.

2.מה עושים כאשר הנעלם הוא t המופיע בחזקה?

כאשר הנעלם הוא הזמן אתם תגיעו למשוואה הדומה למשוואה הזו.
0.6t = 0.216
כיצד פותרים את משוואה כזו?

צריך להוציא לוגריתם לשני צדדי המשוואה ולאחר מיכן יש כלל לוגריתמי המאפשר להוריד את המשתנה מהחזקה. הכלל הוא:
ln xt = t * ln x

דוגמאות לשימוש בכלל:

  1.    ln 54 = 4 ln 5
  2.    ln 92 = 2ln 9
  3.    ln 78 = 8 ln 7

הפתרון של התרגיל יראה כך:
0.6t = 0.216
ln 0.6t =ln  0.216
t * ln 0.6 = ln 0.216
0.51t = – 1.53   / : -0.51-
t = 3

במקרים קלים יותר ניתן למצוא את t בעזרת ההיכרות שלנו עם חזקות.
אם נקבל:
2t = 8
אז נוכל לכתוב:
2t = 2³
t = 3

אל תיבהלו, זה הדבר הקשה ביותר שאתם צריכים לדעת בנושא גידול ודעיכה!

תרגיל 4 שבהמשך הוא דוגמה למכשול מסוג זה.

  • אם זה לא מובן ממליץ לבקר בדף זה לקבלת ההסבר המלא.

3.שימו לב לסדר פעולות חשבון

בנוסחה
Mt=M0qt
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
mt = 5*23
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
mt = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
mt = 5*8 = 40

4.תרגילי הכנה לבגרות

ארבעה תרגילים, בכול תרגיל תמצאו רכיב אחר חסר במשוואה Mt=M0qt

 תרגיל 1
במפעל לשבבי עץ כמות השבבים עולה בכול שעה ב 50%.
ידוע כי 5 שעות לאחר תחילה העבודה במפעל כמות השבבים הייתה 303.75.
כמה שבבים היו במפעל בתחילת היום?

פתרון
q=1.5
נובע מ "עולה בכול שעה ב 50%"

t=5
נובע מ "5 שעות"

M5= 303.75
נובע מ "לאחר 5 שעות …. הייתה 303.75"

M0= ?
השאלה היא כמה שבבים היו בהתחלה.

נציב את הנתונים בנוסחה:
M0qt = Mt
303.75 = m0 *1.55

נפתור את המשוואה:
303.75 = m0 *1.55
7.593: / 303.75 = 7.593m0
m0 = 40
תשובה: כמות השבבים בתחילת העבודה הייתה 40.

תרגיל 2
מחיר יצירת אומנות הוא 500 שקלים.
מחירה עולה באחוז קבוע בכול שנה.
כעבור 4 שנים מחיר היצירה יהיה 1036.8 שקלים.
באיזה אחוז מחיר יצירת האומנות עולה בכל שנה?

פתרון
m0 = 500
זה המחיר ההתחלתי של היצירה.

m4 = 1036.8
זה המחיר כעבור 4 שנים.

t = 4
זה הזמן

q = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
M0qt = Mt
500q4 = 1036.8

נפתור את המשוואה
500q4 = 1036.8
500q4 = 1036.8   / :500
q4 = 2.0736
q = 4√2.0736 =1.2

אם q הוא 1.2 אז אחוז הגידול השנתי הוא 20%.
תשובה: 20%.

תרגיל 3
מחיר מכונית לאחר שהיא 5 שנים על הכביש הוא 40,000 שקלים.
בכול שנה מחירה יורד ב 15%.

  1. מה מחיר המכונית כאשר קנו אותה.
  2. מה מחיר המכונית יהיה בעוד שנתיים.

פתרון
m0 = 40,000
זה המחיר בנקודת ההתחלה.

t = -5
מכוון שמבקשים שנלך לאחור הזמן הוא שלילי.

q = 0.85
מבטא ירידה של 15%.

m-5 = ?
זה הזמן לפני 5 שנים.

נציב את הנתונים בנוסחה:
Mt=M0qt
m-5 = 40000*0.85-5
m-5 = 40000* 2.25
m-5 = 90,000

תשובה: לפני 5 שנים המחיר היה 90,000.

סעיף ב: מה מחיר המכונית בעוד שנתיים
m0 = 40,000
זה המחיר עכשיו

q = 0.85
זה קצב של ירידה ב 15%.

t = 2
הזמן הנדרש הוא שנתיים קדימה.

m2 = ?
המחיר בעוד שנתיים לא ידוע.

נציב בנוסחה:
Mt=M0qt
m2 = 40000 * 0.85² = 28900

תשובה: מחיר המכונית בעת הקנייה היה 90,000 שקלים. מחיר המכונית בעוד שנתיים יהיה 28,900 שקלים.

תרגיל 4
מחיר מכונית הוא 50,000 שקלים והוא יורד בכול שנה ב 10%.
כעבור כמה שנים מחיר המכונית יהיה 32,805 שקלים?

פתרון
M0= 50,000
זה המחיר בזמן ההתחלתי.

Mt= 32,805
זה המחיר לאחר t שנים.

q=0.9
המחיר יורד ב 10% כל שנה.

t=?
מספר השנים חסר.

נציב את הנתונים בנוסחה:
Mt=M0qt

נציב את הנתונים בנוסחה:
M0qt = Mt
32805 = 50000 * 0.9t
0.9= 32805 : 50000
0.9t = 0.6561
t lan 0.9 = lan 0.651
t = lan 0.651  :  lan 0.9 = 4.07

תשובה: כעבור 4.07 שנים מחיר המכונית יהיה 32.805 שקלים.

תרגיל 5
משקלו של חומר הוא 2 קילוגרם.
כל 10 שנים משקל החומר יורד ב 20%.
כעבור כמה עשרות שנים משקל החומר יהיה מחצית ממשקלו המקורי?

פתרון
m0 = 2
זה המשקל בנקודת ההתחלה.

mt = 1
זה המשקל בסוף התהליך (מחצית מ 2).

q = 0.8
קצב ירידה של 20%.

t = מספר עשרות השנים שיעברו עד שמשקל החומר יהיה 1 ק"ג
הערה: מכוון שבשאלה קצב הירידה נתון ב 10 שנים. אז גם יחידת הזמן שלנו היא "מספר עשרות שנים".

נציב את הנתונים בנוסחה.
M0qt = Mt
1=0.8t*2
0.8t= 0.5
ln0.8t = ln 0.5
t*ln0.8 = ln0.5
0.22t = -0.69   / : – 0.22-
t = 3.13
תשובה: כעבר 3.13 עשרות שנים משקל החומר יהיה מחצית ממשקלו המקורי.

עוד באתר:

5.פתרונות לתרגילים מהבגרות

בחלק זה מופיעים הפתרונות בלבד.
את השאלונים והשאלות עצמן ניתן למצוא באינטרנט.

בגרות קיץ 2018 שאלה 3

סעיף א
m0 = 20,000
q = 1.03
t=1
m1 = ?

המשוואה שלנו היא:
Mt=M0qt
Mt = 20,000*1.03 = 20,600

סעיף ב
עבור t = 8  המשוואה תהיה:
M8 = 20,000*1.038 = 25335.4
תשובה: לאחר 8 שני החוב הוא 25335.4

סעיף ג
4666.6  = 25335.4 – 30,000

סעיף ד
הנתונים הם:
m0 = 4666.6
t = 2
m2 = 4758.36
q = ?

4666.6q² = 4758.36  / : 4666.6
q² = 1.09
q = 1.01

תשובה: 1%.

בגרות קיץ 2017 מועד א שאלה 3

א. מחיר הקנייה 120,000 שקלים.
כעבור 4 שנים המחיר 78,7322 שקלים.

ב. נחשב את q על פי הנוסחה
Mt=M0qt
הנתונים שלנו הם:
m0 = 120,000
mt = 78,732
t=4
q= ?
78,732 = 120,000q4
q4 = 0.651
q=0.9
תשובה: לכן מחיר המכונית יורד ב 10%% כל שנה.

ג. כעבור 6 שנים הנתונים הם:
m0 = 120,000
mt = ?
t=6
q= 0.9
mt = 120000 * 0.9= 120000* 0.531 = 63,773
תשובה: מחיר המכונית כעבור 6 שנים הוא 63,773 שקלים.

בגרות קיץ 2016 מועד א שאלה 3

Mt=M0qt
Mt – 50,000
M0 – 40,000
t – 20.
q – ?

המשוואה שלנו היא:
40,000q20 = 50,000  / : 40,000
q20 = 1.25
q=1.0112

עכשיו עלינו להפוך את המספר שקיבלנו לאחוזים.
x  הוא מספר האחוזים שבהם העץ גודל בכול שנה.

תשובה: כמות העץ גדלה בכול שנה ב- 1.12%.

סעיף ב
M20 =50000*1.011220=50000*1.25=62,500
תשובה: 62,500 עצים.

סעיף ג
על מנת לדעת מה היה לפני 5 שנים נציב במשוואה q-5.
M-5 =50000*1.0112-5 = 47,291
תשובה: לפני 5 שנים היו 47,291 עצים ביער.

בגרות קיץ 2016 מועד ב שאלה 2

סעיף א
לאחר 4 שנים

לאחר 5 שנים

סעיף ב

טעות שחלק עושים היא לחלק את אחוז העלייה (נניח 50%) במספר השנים (נניח 5). זו טעות משום שהכסף לא גדל כל שנה ב- 10% מהסכום המקורי אלא בכול שנה הוא גדל באחוז מסוים ממה שיש בקופה, שזה יותר מהסכום המקורי.

פתרון.
נפתור זאת בעזרת משוואת גידול.
Mt=M0qt
m0  – 2000
Mt – 2800.
t – 4 שנים.
q – ?

המשוואה היא:
2000q4 = 2800
q4 = 1.4
q = 1.0877

עבור התוכנית השנייה:
M0   – 2000 שקלים.
Mt   – 3000.
t –5 שנים.
q  – ?

המשוואה היא:
2000q5 = 3000
q5 = 1.5
q = 1.0844

תשובה: אנו רואים שה – q בתוכנית הראשונה גדול יותר ולכן גם אחוז הגדילה גדול יותר בתוכנית הראשונה.

בגרות חורף 2016 – שאלה 3

סעיף א
כעבור 2 שנים: 640 גרם.
כעבור 5 שנים: 327.68 גרם.

 סעיף ב
מכוון שקצב הירידה הוא מעריכי קבוע אנו יכולים להתייחס אל "כעבור שנתיים" כאל נקודת ה- 0. ואז:
Mt=640
M0=327.68
t=3
q=?

נציב במשוואה:
Mt=M0qn
640q³ = 327.68
q³ = 0.512
q = 0.8

על מנת לתרגם את q לאחוזים עלינו להכפיל ב- 100.
0.8*100=80%
תשובה: קצב הירידה הוא 100-80=20%.

סעיף ג
נציב את הנתונים שקיבלנו כעבור שנתיים על מנת למצוא את M0.

תשובה: הכמות ההתחלתית הייתה 1000 גרם.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.