טריגונומטריה שאלון 801 / 182 3 יחידות

בדף זה סיכום החומר התאורטי + שאלות עם פתרונות מלאים מהבגרות בשאלון 182 לשעבר 801 בנושא טריגונומטריה:

מה הדברים העיקריים שאתם צריכים לדעת על מנת לענות על שאלות:

  1. לדעת לעשות שימוש בפונקציות סינוס קוסינוס טנגס במשולש ישר זווית.
  2. לדעת לחשב בעזרת משפט פיתגורס גודל של צלע במשולש.
  3. בחלק מהשאלות יש משולש גדול ומשולש קטן. עליכם לדעת לזהות זוויות וצלעות משותפות לשני המשולשים.
  4. לדעת לחשב שטח משולש.
  5. דברים נוספים: לפעמים שואלים על תכונות אלכסונים במעוין, אלכסונים במלבן או אלכסונים בריבוע. או שימוש ב"סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות".

חלק 1: שימוש בפונקציות הסינוס קוסינוס טנגס

הסרטון שלמעלה מסביר את שלושת הפונקציות ופותר מספר תרגילים.

שתי נקודות חשובות:

  1. שימו לב שאנו לומדים על תכונות הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית בלבד. אם אתם מקבלים משולש שאינו ישר זווית אתם לא יכולים להשתמש בפונקציות הללו.
  2. שלושת הפונקציות הללו מדברות על קשר בין 3 גדלים: 2 צלעות וזווית 1.עליכם לזכור שאם נותנים לכם שני גדלים במשולש ישר זוויות אתם יכולים להשלים את השלישי, תמיד.

פונקציית הסינוס

פונקציית הסינוס – במשולש ישר זוויות sin של זווית שווה לצלע שמול הזוויות לחלק בייתר.
(שתי הצלעות הצבועות בירוק בשרטוט).

פונקציית הסינוס - סינוס של זווית שווה לצלע שמול לחלק בייתר

פונקציית הסינוס

  • עוד תרגילים על פונקציית סינוס.

פונקציית הקוסינוס

פונקציית הקוסינוס – במשולש ישר זווית ה- cos של זווית שווה לצלע שליד הזוויות לחלק בייתר.
(שתי הצלעות הצבועות בירוק בשרטוט).

פונקציית הקוסינוס – במשולש ישר זווית ה- cos של זווית שווה לצלע שליד הזוויות לחלק בייתר.

פונקציית הקוסינוס

פונקציית הטנגס

פונקציית הטנגס – במשולש ישר זווית ה- tag של זווית שווה לצלע שמול לחלק לצלע שליד.
(שתי הצלעות הצבועות בירוק בשרטוט).

הערה: הטנגס הוא תוצאת החילוק של הסינוס בקוסינוס sin a /cos a) = tag a)

הערה: הטנגס הוא תוצאת החילוק של הסינוס בקוסינוס (sin a)/(cos a)=tag a

פונקציית הטנגס – במשולש ישר זווית ה- tag של זווית שווה לצלע שמול לחלק לצלע שליד.

פונקציית הטנגס

  • עוד תרגילים על פונקציית טנגנס.

דוגמאות לשימוש בסיסי בפונקציות הטריגונומטריות

תרגיל 1

במשולש ישר זווית אחת הזוויות היא של 40 מעלות והצלע מולה באורך 5 ס"מ.
מצאו את אורך היתר.

שרטוט התרגיל, טריגונומטריה

פונקציית הסינוס היא הניצב שמול הזווית לחלק ביתר.
לכן:

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב x ונקבל:
x * sin 40 = 5
x = 5 / sin 40 = 7.78
תשובה: אורך היתר הוא 7.78 סנטימטר.

תרגיל 2

במשולש ישר זווית ABC נתון כי אורך היתר הוא 5 ס"מ (AC=5) ואורך אחד הניצבים הוא 3 ס"מ ( BC=3).
מצאו את גודל הזווית שבין הניצב ליתר.

שרטוט התרגיל, טריגונומטריה

פתרון

במקרה זה עלינו להשתמש בפונקציית הקוסינוס.
cos a = 3/5 = 0.6
a=53.13

חלק 2: שימוש במשפט פיתגורס

משפט פיתגורס אומר כי במשולש ישר זווית:

משפט פיתגורס

כלומר אם במשולש ישר זווית אנו יודעים את האורכים של 2 צלעות מתוך 3 אנו יכולים לחשב את את אורך הצלע השלישית.

תרגיל: חשבו את אורך הצלע המסומנת ב x בשני המשולשים הבאים:

תרגילים לפתרון בעזרת משפט פיתגורס

תרגילים לפתרון בעזרת משפט פיתגורס

פתרון
במשולש מספר 1 המספר x מייצג את היתר ולכן המשוואה על פי משפט פיתגורס היא:
x² = 4² + 3²
x² = 16 + 9 = 25
x = 5 או x = -5
מכוון שצלע היא גודל חיובי בלבד x = 5.

במשולש מספר 2 המספר x מייצג את אחד הניצבים ולכן המשוואה היא:
x² + 8² = 10²
x² + 64 = 100  / -64
x² = 36
x = 6 או x = -6.
מכוון שצלע היא גודל חיובי בלבד x = 6.

חלק 3: תכונות האלכסונים של ריבוע, מעוין ומלבן

האלכסונים של מעוין וריבוע מאונכים זה לזה ולכן יוצרים משולשים ישרי זווית.

בנוסף האלכסונים במעוין בריבוע הם:

  1. חוצי זווית.
  2. חוצים זה את זה כלומר מחלקים אחד את השני ל 2.

בנוסף בריבוע האלכסונים שווים זה לזה באורכם.

תכונות אלכסוני המעוין והריבוע

במלבן האלכסונים לא מאונכים זה לזה אבל הם יוצרים משולש ישר זווית יחד עם הצלעות.

האלכסונים במלבן יוצרים עם צלעות המלבן משולשים ישרי זווית

האלכסונים במלבן יוצרים עם צלעות המלבן משולשים ישרי זווית

חלק 4: תרגילים ברמה של בגרות

בסרטון פתרון של תרגיל 1.

תרגיל 1

במשולש ישר זווית ABC (זווית B = 90∠) נתון כי
צלע BC = 7 ס"מ.
ACD = 25∠.
על המשך הישר AB נמצאת הנקודה D כך ש CD = 10 ס"מ.
חשבו את:

  1. הצלע AC
  2. הצלע AB.
  3. זווית DAC∠
  4. הצלע BD.
  5. שטח משולש DAC.

שרטוט התרגיל

פתרון

סעיף א: חישוב הצלע AC.
במשולש ABC
BC = 7,  ∠ACB = 25
BC היא הצלע שליד הזווית לכן נשתמש בפונקציית הקוסינוס.
מציאת AC
AC * COS 25 = 7
AC = 7 / COS 25
AC = 7.723
תשובה: AC = 7.723

סעיף ב: חישוב הצלע AB.
במשולש ABC
ניתן לחשב את AB בעזרת משפט פיתגורס או בעזרת פונקציות הטנגס או הסינוס.

AB = sin 25 * 7.723
AB = 0.422 * 7.723 = 3.2638
תשובה: AB  = 3.2638 ס"מ.

סעיף ג: מציאת DAC∠
במשולש ABC סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות ולכן:
BAC = 180 – 90 – 25 = 65∠

זוויות BAC, ∠DAC∠ הן זוויות צמודות. ולכן משלימות ל 180 מעלות.
DAC + BAC = 180
DAC + 65 = 180   / -65
DAC = 115∠

סעיף ד: מציאת BD.
במשולש DBC אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים בעזרת סינוס / קוסינוס / טנגס.
ניתן לבצע את החישוב בעזרת משפט פיתגורס.
CD² = BC² + BD²
BD² = CD² – BC² = 10² – 7²
BD² = 51
BD = √51

סעיף ה: חישוב שטח משולש DAC.
נחשב את אורכו של DA.
DA = BD – AB = √51 – 3.268 = 3.873

הצלע BC = 7  היא גובה לצלע DA. משום שהיא גובה ל DB.
לכן שטח המשולש הוא:

תשובה: שטח המשולש הוא 13.557 סמ"ר.

תרגיל 2

במעוין ABCD הזווית B = 80∠.
אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה O.
אורך צלע המעוין 5 ס"מ.
חשבו את:

  1. CO
  2. AC
  3. BD

שרטוט התרגיל

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל עלינו לדעת שאלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
כלומר AC ⊥ BD.
כמו כן עלינו לזכור שאלכסוני המעוין הם חוצי זווית.
כלומר OBC = 80 : 2 = 40∠

עכשיו נסתכל על משולש ישר זווית OBC ונפתור את השאלה.
חישוב CO.
sin 40 = CO / BC
CO = Sin 40 * BC = 0.642 * 5
CO = 3.214 ס"מ.

חישוב AC.
אלכסוני המעוין (כמו כל סוגי המקביליות) חוצים זה את זה.
לכן CO = AO
AC = 2CO = 2 * 3.214 = 6.428 ס"מ.

חישוב BD.
נחשב את BO ואז נשתמש בכך שאלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
BO = DO.
נשתמש במשפט הפיתגורס:
BC² = CO² + BO²
BO² = BC² – CO² = 5² – 3.214²
BO² = 25 – 10.33 = 14.67
BO = 3.83

BD = 2BO = 2 * 3.83 = 7.66 ס"מ.

 

עוד באתר:

חלק 5: פתרונות מלאים לשאלות מבגרויות

קיץ 2018 מועד א

סעיף א
במשולש ישר זווית BDC.
C = 70
BC = 8
BC הוא היתר במשולש כי הוא נמצא מול הזווית שגודלה 90 מעלות.
sin 70 = BD / BC
BC * sin 70 = BD
BD = 8 * 0.939 = 7.517

סעיף ב
השוק AB שייכת למשולש ישר זווית ABD.
AB היא היתר.
מכוון ששתי זוויות הבסיס במשולש ABC גודלן 70, אנו יודעים כי גודל זווית הראש הוא:
A = 180 – 140 = 40

במשולש ABD
sin 40 = BD / AB
AB = BD / sin 40
AB = 7.517 / 0.642 = 11.7

סעיף ג
נשים לב שיש לנו גובה במשולש (BD) וגם את הצלע אליה מגיע הגובה
AC = AB = 11.7
לכן שטח המשולש הוא:
S = 0.5 * 11.7 *  8 = 46.8
תשובה: שטח המשולש הוא 46.8 סמ"ר.

קיץ 2017 מועד א

א) במשולש ACB.
sin ACB = 6/16= 0.375
ACB = 22.022∠

ב) במשולש ADB.
tan 75  = 6/DB
DB = 6 / tan 75 =1.607
תשובה:  DB =1.6077 ס"מ.

במשולש ACB נחשב את BC על פי משפט פיתגורס.
BC² = AC² – AB² = 16² – 6²
BC² = 256 – 36 = 220
BC = √220

CD = BC + BD = √220 + 1.607 = 16.44
תשובה: CD =  16.44 ס"מ.

קיץ 2016 מועד א

עלינו לזכור שאם במשולש ישר זווית יש לנו שני נתונים אנחנו יכולים להשלים את גדלי הזוויות והצלעות.
במקרה זה נתונה הצלע שליד הזווית ולכן נשתמש בפונקציית הקוסינוס.

AC*0.438=12 / :0.438
AC=27.397 ס"מ.

סעיף ב
הצלע BF שייכת למשולש ABF ולכן עלינו להסתכל על משולש זה.
זווית FAB=32 מעלות – בגלל ש AF חוצה זווית של 64 מעלות.
כמו כן ידוע AB=12.

נשתמש בפונקציית הטנגס על מנת למצוא את BF.

סעיף ג
הקטע FC לא שייך לשום משולש ישר זווית וזה רמז לכך שאנחנו לא יכולים לחשב אותו באופן ישיר.

אנו רואים ש: FC=CB-BF .
את הקטע BF כבר מצאנו. והקטע CB שייך למשולש ישר זווית ABC כך שניתן למצוא אותו.

נמצא את CB בעזרת פונקציית הטנגס במשולש ABC.

FC=CB-BF
FC=24.603-7.498=17.105
תשובה: FC=17.105 ס"מ.

קיץ 2016 מועד ב

זווית ABK צמודה ומשלימה ל- 180 מעלות את זווית ABC.
ABK=180-130=50
תשובה: זווית ABK שווה 50 מעלות.
ניתן לחשב את גודלו של ניצב AK בעזרת פונקציית הסינוס.

סעיף ב
את KB ניתן לחשב באמצעות טנגס או קוסינוס.

1.191KB=4.596 /:1.191
KB=3.859 ס"מ.

סעיף ג
AK=6.894  והוא גובה במשולש AKC.
KC=BC+BK=9+3.859 =12.859
שטח המשולש הוא:

סעיף ד
את שטח משולש ABC ניתן לחשב על ידי חיסור שטחי משולשים.

Sabc = SAKC – SAKB

על מנת לפתור משוואה זו נחשב את S akb.
AK=4.596
KB=3,859

Sabc = SAKC – SAKB

Sabc =29.5499 -8.867=20.682

תשובה: שטח משולש ACB הוא 20.682 סמ"ר.

חורף 2016

סעיף א
במשולש DFG ניתן למצוא את GF על ידי פונקציית הטנגס.

סעיף ב
EF=ED+DF=2+8=10
נסתכל על משולש ישר זווית EFG, אנו יודעים בו את גודל שני הניצבים. לכן אנו יכולים למצוא את גודל הזווית GEF.

זווית GEF שווה ל- 33.869 מעלות.

סעיף ג
שטח המשולש הוא:

תשובה: שטח המשולש GFE הוא 33.56 סמ"ר.

סעיף ד
במשולש GDE הגובה לצלע ED הוא חיצוני למשולש והוא אורך הישר GF.
שטח המשולש הוא:

תשובה: שטח משולש GDE הוא 6.712 סמ"ר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.