ממוצע וסטטיסטיקה שאלון 801 / 182

על מנת להצליח בנושא סטטיסטיקה בשאלונים 182 / 801 עליכם לדעת את הנושאים הבאים:

  1. להכיר את המושגים: שכיחות שכיחות יחסית, שכיח.
  2. לדעת לחשב ממוצע וממוצע של קבוצות. לדעת לעשות זאת כאשר הנתונים הם בטבלה או בדיאגרמה (לרוב דיאגרמת מקלות).
  3. לדעת לחשב חציון.

בדף זה 4 חלקים:

  1. לימוד המושגים שכיחות ושכיח.
  2. חישוב ממוצע וממוצע של קבוצות.
  3. חישוב חציון.
  4. פתרון תרגילים ברמה של בגרות.

נושא הסתברות 182 / 801 נמצא בקישור.

1. שכיחות, שכיח

שכיחות – שכיחות של פריט היא מספר הפעמים בהן מופיע הפריט בקבוצה מסויימת.
שכיח – הערך שמופיע יותר פעמים מכל ערך אחר.

בטבלה המצורפת ציונים של תלמידי כיתה ומספר התלמידים שקיבל כל ציון.

הציון 9 8 7 6
מספר התלמידים 1 12 10 3
  1. מה היא השכיחות של התלמידים שקיבלו ציון 6?
  2. איזה ציון הוא הציון השכיח?

פתרון

את הציון 6 קיבלו 3 תלמידים לכן השכיחות של הציון 6 היא 3.

12 תלמידים קיבלו ציון 8, יותר מכל ציון אחר. לכן הציון השכיח הוא 8.

2. ממוצע וממוצע של קבוצות

ממוצע הוא הדבר העיקרי שאתם צריכים לדעת ובעיקר ממוצע של קבוצות המופיע בהמשך.
סרטון הוידאו נותן הסבר כיצד מחשבים ממוצע וממוצע של קבוצות.

איך מחשבים ממוצע

ממוצע שווה לסכום הערכים לחלק במספר הערכים

תרגיל
בחנות 20 מוצרים שווים ביחד 8,000 שקלים. מה המחיר הממוצע של מוצר בחנות?

פתרון
40 = 20 : 8000
תשובה: המחיר הממוצע של מוצר בחנות הוא 40 שקלים.

תרגיל
מהו הממוצע של 5,8,2?

פתרון
סכום הערכים הוא:
15 = 5+8+2
נחלק במספר האיברים:
5 = 15:3
תשובה: הממוצע הוא 5.

תרגיל
מהו הממוצע של 10,20,6,0?

פתרון
36 = 10+20+6+0
9 = 36:4
הממוצע הוא 9.

ממוצע של קבוצות

לפעמים יש לחשב ממוצע של הרבה דברים. אם היו נותנים לנו מידע בצורה נפרדת עבור כל פריט זה היה נראה רע. למשל: 7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9.
לכן הרבה פעמים מציגים את נתונים בקבוצות ואומרים:
7 תלמידים קיבלו ציון 7.
10 תלמידים קיבלו ציון 8.
8 תלמידים קיבלו ציון 9 .
מה הממוצע של תלמידי הכיתה?

פתרון
נחשב את סכום הציונים של תלמידי הכיתה:
201 = 72 + 80 + 49 = 8*9 + 10 * 8 + 7*7

סך הכל יש 25 תלמידים.
לכן הממוצע הוא:
8.04 = 25 : 201

תרגיל 1

בכיתה עם 40 תלמידים יש 30 תלמידים שקיבלו 8 בתעודה ו- 10 תלמידים שקיבלו 9.
מה ממוצע הציונים של הכיתה?

פתרון
נחשב את סך כל הציונים שתלמידי הכיתה קיבלו:
330 = 10*9 + 30*8
נחלק במספר התלמידים:
8.25 = 330/40.

תרגיל 2

בטבלה מוצגת התפלגות ציונים של תלמידים בכיתה:

הציון 6 7 8 9 10
מספר התלמידים 3 7 2 X 4
  1. 1/10 מתלמידי הכיתה קיבלו את הציון 6. כמה תלמידים קיבלו את הציון 9?
  2. חשבו את הממוצע הכיתתי.
  3. איזה ציון הוא השכיח?

פתרון

  1. אם 1/10 מתלמידי הכיתה קיבלו 6 אז מספר התלמידים בכיתה הוא:
    30 = 3*10.
    סך התלמידים בכיתה (חוץ מהתלמידים שקיבלו 9) הוא:
    16 = 3+7+2+4.
    לכן מספר התלמידים שקיבלו 9 הוא:
    14 = 30-16
    תשובה: 14 תלמידים קיבלו 9.
  2. נחשב את סך הציונים של תלמידי הכיתה:
    247 = 4*10 + 14*9 + 2*8 + 7*7 + 3*6
    8.233 = 247/30
    תשובה: הממוצע הוא 8.233.
  3. הציון השכיח הוא זה שמופיע הכי הרבה.
    9 מופיע 14 פעמים ולכן הוא הציון השכיח.

הערות על ממוצע

  1. אם מוסיפים לקבוצה פריט שערכו כערך הממוצע אז הממוצע לא משתנה. אם הפריט אינו שווה לממוצע אז הממוצע משתנה.
  2. אם מוספים לכל הנתונים מספר קבוע הממוצע משתנה באותו מספר.
    למשל אם איברי הקבוצה הם 2,3,7 אז הממוצע הוא 4 = 3 : 12.
    אם נוסיף לכל אחד מאיברי הקבוצה 2 והקבצה תהפוך להיות  4,5,9 אז הממוצע יהיה 6.

3. חציון

הגדרת החציון

כאשר נתונים מסודרים בסדר עולה החציון הוא האיבר שיש מספר שווה של איברים מעליו ומתחתיו.

למשל: עם הקבוצה היא 1,1,6,55,100. אז החציון הוא המספר 6 משום שיש 2 איברים מעליו ומתחתיו.

כאשר יש N איברים בקבוצה ומספר איברי הקבוצה הוא אי זוגי אז החציון נמצא במקום:

(N+1)/2

כלומר אם יש 51 איברים בקבוצה אז החציון נמצא במקום 2/(51+1)  = 26

אם מספר האיברים הוא זוגי אין איבר שיש מעליו ומתחתיו את אותו מספר איברים. במקרה זה החציון הוא הממצע של האיברים הנמצאים במקומות 2/N ו- 2/ (2+N).

כלומר אם בקבוצה 10 איברים והאיבר במקום החמישי הוא 20 ובמקום השישי הוא

4. תרגילים ברמה של בגרות

(בסרטון פתרון תרגיל מספר 1).

תרגיל 1

(סעיפי השאלה הזו ברמה של בגרות אך השאלה ארוכה משאלה בגרות טיפוסית).
בטבלה מיוצגים הציונים של תלמידי כיתה.

הציון 9 8 7 6
מספר התלמידים 4 7 6 6
  1. מה הוא השכיח.
  2. חשבו את הממוצע.
  3. חשבו את החציון.
  4. בוחרים באופן מקרי תלמיד מהכיתה.
    מה ההסתברות לבחור תלמיד שקבל ציון 9?
  5. שרטטו דיאגרמת מקלות המתאימה לטבלה.

פתרון

השכיח
הציון השכיח הוא הציון שקיבל אותו המספר הגדול ביותר של תלמידים.
השכיח הוא הציון 8 ש 7 תלמידים קיבלו אותו, יותר מכל ציון אחר.

הממוצע
נחשב את סכום הציונים של תלמידי הכיתה.
= 4*9 + 7*8 + 6*7 + 6*6
170 = 36 + 56 + 42 + 36

נחשב את מספר תלמידי הכיתה.
23 = 4 + 7 + 6 + 6

הממוצע הוא:
7.39  = 23 : 170
תשובה: ממוצע ציוני הכיתה הוא 7.39.

החציון
בכיתה 23 תלמידים.
לכן החציון נמצא במקום:
2 : 24 = 2 : (1 + 23)
12 = 2 : 24

אם נעבור על הטבלה משמאל לימין נראה שהציון 6 תופס את 6 המקומות הראשונים והציון 7 תופס את המקומות 7-12.
לכן המקום ה 12 נמצא נמצא בציון 7 והציון 7 הוא החציון.

הסתברות לבחור תלמיד שקיבל 9.
יש 23 תלמידים.
4 תלמידים קיבלו 9.
0.1739 = 23 : 4
תשובה: ההסתברות לבחור תלמיד שקיבל 9 היא 0.1739.

שרטוט דיאגרמת מקלות

שרטוט דיאגרמת מקלות

כאשר משרטטים דיאגרמת מקלות לוקחים כל ציון ומשרטטים אותו בגובה של מספר התלמידים

חישוב מספר התלמידים שקיבלו 10
x מספר התלמידים שקיבלו 10.
מכוון ש 1/3 קיבלו 10 מספר תלמידי הכיתה הוא 3x.
מספר תלמידי הכיתה הוא גם x + 23.
לכן המשוואה היא:
3x = x + 23    / -x
2

תרגיל 2

נתונה דיאגרמת מקלות המציגה את הציונים של תלמידי כיתה.

דיאגרמה המציגה התפלגות ציונים בכיתה

דיאגרמה המציגה התפלגות ציונים בכיתה

  1. כמה תלמידים יש בכיתה?
  2. כתבו טבלה המציגה את הנתונים שיש בדיאגרמה.
  3. חשבו את הממוצע.
  4. חשבו את החציון.
דיאגרמה המציגה התפלגות ציונים בכיתה

דיאגרמה המציגה התפלגות ציונים בכיתה

פתרון

מספר תלמידי הכיתה
6 תלמידים קיבלו 9.
2 תלמידים קיבלו 8.
4 תלמידים קיבלו 7.
4 תלמידים קיבלו 6.
16 = 4 + 4 + 2 + 6
מספר תלמידי הכיתה הוא 16.

בניית טבלה

ציון 9 8 7 6
מספר תלמידים 6 2 4 4

חישוב ממוצע
סכום הציונים של תלמידי הכיתה הוא:
= 6*9 + 2*8 + 7*4 + 6*4
122 = 54 + 16 + 28 + 24

הממוצע הוא:
7.625 = 16 : 122

חישוב חציון
מספר תלמידי הכיתה הוא 16.
בגלל שמספר התלמידים הוא זוגי החציון הוא הממוצע של הציונים הנמצאים במקומות
8 = 2 : 16
9 = 2 : (2 + 16)

המקום השמיני הוא הציון 7.
המקום התשיעי הוא הציון 8.
החציון הוא הממוצע של שני הציונים הללו:
7.5 = 2 : 15 = 2 : 7 + 8
תשובה: החציון הוא 7.5.

תרגיל 3

נתונה טבלה המציגה את ציונים בכיתה.

ציון 9 8 7 6
מספר תלמידים 5 x 4 3

אם ידוע כי שליש (1/3) מתלמידי הכיתה קיבלו את הציון 8.
חשבו:

  1. כמה תלמידים קיבלו 8?
  2. כמה תלמידים בכיתה?

פתרון
x מספר התלמידים שקיבלו 8.
מכוון ששליש מתלמידי הכיתה קיבלו 8 אז מספר תלמידי הכיתה הוא 3x.
מספר תלמידי הכיתה הוא גם:
x + 5 + 4+ 3 = x + 12

נבנה משוואה:
3x = x + 12    / -x
2x = 12   / :2
x = 6

תשובה: מספר התלמידים שקיבלו 8 הוא 6.
מספר תלמידי הכיתה הוא 18 כי:
18 = 6 + 5 + 4 +3

עוד באתר:

5. שאלות מהבגרות בנושא סטטיסטיקה וממוצע

קיץ 2016 מועד א

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.