סדרה חשבונית היכרות

בדף זה נעשה היכרות עם סדרה חשבונית עבור שאלון 182.

נלמד להכיר את רכיבי הסדרה החשבונית a1, d, n, an, Sn
ונלמד לעשות שימוש בנוסחת האיבר הכללי an = a1 + (n-1)d.

חלק 1: הגדרה וזיהוי המרכיבים של סדרה חשבונית

(בסרטון הסבר מה היא סדרה חשבונית וכיצד מזהים את הרכיבים שלה, פתרון תרגילים לדוגמה)

הגדרת סדרה חשבונית

סדרה חשבונית היא סדרה שההפרש בין האברים שלה הוא קבוע. למשל 2,5,8,11.
בסדרה זו ההפרש בין האיברים הוא קבוע (3) ולכן זו סדרה חשבונית.

20,18,16,14,12.
גם זו סדרה חשבונית כי ההפרש בין האברים שלה קבוע (2-) רק שהפעם ערכי הסדרה יורדים ולכן היא נקראת סדרה חשבונית יורדת.

זיהוי a1, d, n, an, Sn

בסדרה חשבונית יש איברים של הנקראים a1, d, n, an, Sn  שאתם תצטרכו לזהות על מנת להציב בנוסחאות.

נתונה לנו הסדרה החשבונית     5,9,13,17,21,25

a1 – האיבר הראשון של הסדרה. (a1 = 5 בסדרה שלמעלה).
d – ההפרש בין שני איברים סמוכים בסדרה. (d = 4 בסדרה שלמעלה).
n – מספר איברי הסדרה. (n = 6 בסדרה שלמעלה).
a1,2,3…n – המיקום של של האיבר הספציפי בסדרה. למשל a5 הוא האיבר החמישי בסדרה.( a5 = 21 בסדרה שלמעלה).
an – האיבר הכללי של הסדרה.
sn – סכום איברי הסדרה.

תרגיל
נתונה  הסדרה 30,24,18,12,6.
מצאו את:

  1. a1
  2. d
  3. n
  4. a3

פתרון

  1. a1 = 30 (האיבר הראשון)
  2. d = – 6   (הפרש הסדרה)
  3. n = 5   (מספר האיברים בסדרה)
  4. a3 = 18   (האיבר במקום השלישי בסדרה)

דוגמה נוספת.
סולם שבו 7 שלבים בנוי כך שכל שלב בו קצר ב 4 ס"מ מהשלב הנמצא מתחתיו.
אורך השלב הראשון הוא 80 ס"מ.
אורך השלב הרביעי הוא 68 ס"מ.

מצאו את:

  1. a1
  2. d
  3. n
  4. a4
סולם שהשלבים שלו קטנים

סולם שהשלבים שלו קטנים

פתרון

  1. a1 = 80 (השלב הראשון בסולם)
  2. d = – 4   (ההפרש בין אורכי שלבי סולם סמוכים)
  3. n = 7   (מספר שלבי הסולם)
  4. a4 = 68   (אורך השלב הרביעי בסולם)

חלק 2: נוסחאות סדרה חשבונית

לסדרה חשבונית יש 4 נוסחאות. 2 מתוכם חשובות ושימושיות מאוד וב 2 האחרות משתמשים הרבה פחות.
כל 4 הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות של בחינת הבגרות.

  • טיפ בנושא נוסחאות: אל תפחדו להציב מספרים בתוך הנוסחאות. נוסחאות הסדרה החשבונית כוללות 3 או 4 איברים . כך שמספיקים 2 או 3 נתונים על מנת לפתור אותם. כאשר יש לכם איברים הציבו אותם בנוסחאות וראו אם הבעיה נפתרת.

נוסחת האיבר הכללי

(בסרטון הסבר לנוסחת האיבר הכללי ופתרון תרגילים לדוגמה).

האיבר הנמצא במקום ה n נקרא an והוא יכול להיות כל אחד מאיברי הסדרה החשבונית בהתאם לערך ה n שנציב בו. למשל, a4  הוא האיבר הרביעי.  a12 הוא האיבר במקום ה 12.
an הוא האיבר הכללי של סדרה חשבונית.

נניח ונתונה לנו סדרה חשבונית שבה a1 = 4 ו d = 3.
מבקשים מאיתנו למצוא את a4.
כיצד נעשה זאת?

דרך אחת היא להשתמש בתכונת הסדרה החשבונית ולהגיד:
a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7
a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10
a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13
הנוסחה בה השתמשנו על מנת לבצע את החישוב היא:
an + 1 = an + d

דרך נוספת היא להשתמש בנוסחה
an = a1 + (n-1)d
המאפשרת למצוא כל איבר בסדרה חשבונית אם אנחנו יודעים את a1, d וכמובן את מיקום האיבר n.
נציב a1 = 4 ו d = 3,  n = 4 ונמצא את a4.

a4 = 4 + (4-1) * 3
a4 = 4 + 3 *3
a4 = 4 + 9 = 13

כאשר אנו צריכים למצוא איבר שאנו לא יודעים שום איבר הסמוך אליו, למשל אם צריך למצוא את a12 ואנו יודעים את a1 השימוש בנוסחה an = a1 + (n-1)d  הוא האפשרית הטובה היחידה.

תרגילים

תרגיל 1 (חישוב an)
עבור הסדרה שבה a1 = -7 ו d = 2.
מצאו את האיבר הנמצא במקום ה 15 (a15)

פתרון
בשאלה שלנו n = 15.
נציב a1 = -7 , d = 2, n =15   בנוסחה
an = a1 + (n-1)d
ונקבל:
a15 = -7 + (15-1)*2
a15 = -7 +14*2 = -7 + 28
a15 = 21
תשובה: האיבר הנמצא במקום ה 15 הוא 21.

תרגיל 2 (חישוב a1)
בסדרה ידוע כי a6 = 17 וכי d = -3.
מצאו את a1, a2

פתרון
עבור a6 נציב n =6.
נציב את n = 6, d = -3,  a6 = 17 בנוסחה:
a1 + (n-1)d  = an
ונקבל:
a1 + (6 -1) *-3 = 17
a1 + 5 * -3 = 17
a1 – 15 = 17  / +15
a1 = 32

מצאנו את האיבר הראשון בסדרה (a1). עכשיו נמצא את האיבר השני (a2).
a2 = a1 + d
a2 = 32 – 3 = 29
תשובה: a1 = 32,   a2 =  29.

תרגיל 3 (חישוב d)
האיבר הראשון בסדרה חשבונית הוא a1 = -6 והאיבר השביעי הוא a7 = -30.
מצאו את d.
מצאו את a6

פתרון
נציב a1 = -6, a7 = -30, n = 7 בנוסחה
a1 + (n-1)d  = an
d(7-1)  – 6 = -30
6d – 6 = -30   / +6
6d = – 24   / :6
d = – 4

חישוב a6
נציב a1 = -6, d = -4, n = 6 בנוסחה:
an = a1 + (n-1)d
a6 = -6 + (6 – 1) * -4
a6 = -6 + 5 * -4 = – 6 – 20
a6 = -26

דרך נוספת לחשב את a6
a7 = -30,  d =-4
אנו יודעים כי:
a7 = a6 + d
a6 – 4 = -30   / + 4
a6 = -26

an+1 = an + d

תרגיל 4 (חישוב a1, d בעזרת שתי משוואות)
בסדרה חשבונית הסכום של האיבר השני והחמישי הוא 4-.
האיבר הרביעי הוא 3-.
חשבו את a1, d.

פתרון
שלב א: בניית משוואה על סמך המשפט "הסכום של האיבר השני והחמישי הוא 4-".
נגדיר את a2, a5 בעזרת a1, d.
a2 = a1 + d
a5 = a1 + 4d

המשוואה היא:
a2 + a5 = -4
a1 + d + a1 + 4d = -4
2a1 + 5d = -4
(זו המשוואה הראשונה).

שלב ב: בניית משוואה על סמך המשפט "האיבר הרביעי הוא 3-"
a4 = a1 + 3d = -3
a1 = -3 – 3d
(זו המשוואה השנייה)

שלב ג: פתרון שתי המשוואות
נציב את המשוואה השנייה בראשונה ונקבל:
5d + 2(-3 – 3d)  =-4
5d -6 – 6d = -4
d = 2-
d = -2

נציב d = -2 במשוואה השנייה ונקבל:
a1 = -3 – 3*-2
a1 = -3 + 6 = 3
תשובה: d = -2,  a1 =3

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.