לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

פירוק לגורמים

בדף זה נלמד טכניקות של פירוק לגורמים:

  1. הוצאת גורם משותף.
  2. נוסחאות הכפל המקוצר.
  3. פירוק לגורמים על פי קבוצות.
  4. טרינום.
  5. פירוק לגורמים של סוגריים ואיבר נוסף.

לאחר מיכן בדף זה:

  1. נלמד על שגיאות נפוצות בפירוק לגורמים.
  2. נפתור תרגילים מכל הסוגים.

מבוא

מה זה פירוק לגורמים?

פירוק לגורמים זו טכניקה אלגברית שבאמצעותה הופכים מספר גורמים הקשורים בניהם על ידי פעולות חיבור ו/או חיסור לגורמים הקשורים בניהם על ידי פעולות כפל ו/או חילוק.

למה מבצעים פירוק לגורמים?

כדי לפתור תרגילים … זה מסייע בשני מקרים :

1) כאשר נתון סכום / הפרש של איברים השווה ל 0. אם נהפוך את הסכום למכפלה של איברים נוכל להסיק מכך שלפחות אחד האיברים המוכפלים שווה ל 0.
תרגיל לדוגמה:
x² -10x +16 = 0
ניתן להפוך אותו בטכניקות שתכף נלמד ל –
x – 8)*(x – 2) = 0)
ואז אנו יודעים ש :
x-8=0 או x – 2=0.
הפתרונות הם x=2,  x=8

2) סיבה שנייה היא כדי לצמצם איברים במונה ובמכנה. למשל :

זה תרגיל שבעזרת פירוק לגורמים נוכל להפוך אותו לפשוט יותר.

1.פירוק לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף

כאשר נתונה לנו משוואה עם מספר איברים, ויש חלק שהוא משותף לאיברים, מוציאים את החלק המשתף מחוץ לסוגריים ומשאירים בתוך הסוגריים את האיברים לאחר שחילקנו (הוצאנו) אותם בחלק.
החלק המשותף יכול להיות מספר, משתנה או מספר ומשתנה.

תרגיל 1
הוציאו גורם משותף לביטוי הבא:
5X² + 10

פתרון התרגיל

ניתן לראות שהמספר 5 משותף לאיברים 5X² ו 10 לכן נוציא אותו מחוץ לסוגריים ונקבל :

5 * ( x² + 2)

דוגמה 2

2x4 – 7x²

פתרון התרגיל

למספרים אין גורם משותף שלם.

החזקה הקטנה של המשתנים היא x² לכן היא הגורם המשותף.

(2x4 – 7x² = x²(2x² – 7

לצורך ההסבר, אם נרצה לראות בצורה מפורטת יותר ש x² הוא גורם משותף נראה זאת כך:

2x4 – 7x² = 2x² * x² – 7* x²

(x²(2x² – 7 =

דוגמה 3

הוציאו גורם משותף לשלושת האיברים בתרגיל הבא:

x3 + x2 + 7

פתרון התרגיל

בתרגיל זה לא ניתן להוציא גורם משותף לשלושת האיברים.

כי באיבר האחרון אין x, ועל מנת להוציא גורם משותף האיבר צריך להיות משותף לכל האיברים.

מכשול בהוצאת גורם משותף: כאשר בתוך הסוגריים נשאר המספר 1

דוגמה 1
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:

x3 + 2x5

פתרון התרגיל

x³ היא החזקה המשותפת.

לכן אנו יכולים לכתוב את התרגיל גם כך:

x3 * 1 + x3 * 2x2

אנו רואים ה x3 משותף לשני האיברים לכן ניתן להוציא אותו כגורם משותף.

(x3 + 2x= x3 (1 + 2x2

כיצד נדע שהגענו לתשובה הנכונה?

אם נפתח סוגריים נגיע אל הביטוי המקורי:

x3 (1 + 2x2 ) = x3 + 2x5

*הערה
יש תלמידים שלא ברור להם למה אנו צריכים את המספר 1 בביטוי כאן:

(x3 (1 + 2x2

והתשובה היא שאם נשמיט את ה 1 כאשר נפתח סוגריים לא נחזור לביטוי המקורי.

x3 * ( 2x2 ) =  x5

זו תשובה שגויה.

ה 1 קיים כי:

x3 * 1 = x3

דוגמאות לתרגילים קשים יותר

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

יש מספר דרכים שבהן ניתן לכתוב תרגילים קשים יותר.

יש פירוט בקישור שלמעלה וכאן אכתוב שתי דוגמאות.

דוגמה 1 (הגורם המשותף הוא סוגריים)

הוציאו גורם משותף:

4(x – 2) + 2x(x – 2) =

פתרון התרגיל

אנו רואים ש x – 2 נמצא בשני האיברים ולכן הוא גורם משותף.

נקבל:

4(x – 2) + 2x(x – 2) = (x – 2) (4 + 2x)

סרטון הסבר

דוגמה 2 (מבלבלת את חלק מהתלמידים)

(x + 2)2 + (x + 2)3

פתרון התרגיל

ניתן לזהות ש:

(x + 2)²

הוא גורם משותף.

ואם לא מזהים ניתן לכתוב את התרגיל כך:

(x + 2)2 + (x + 2)= (x + 2)2 * 1 + (x + 2)2 (x + 2)

ואז הוצאת הגורם המשותף תראה כך:

(x + 2)2 + (x + 2)= (x + 2)(1 + x + 2)

סרטון הסבר

2.פירוק לגורמים על פי נוסחאות הכפל המקוצר

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

על נוסחאות הכפל המקוצר ניתן להסתכל בשני כיוונים.

1.כיוון שפותח סוגריים:

(a + b) (a – b) = a² – b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

2.כיוון שסוגר סוגריים / פירוק לגורמים:

(a² – b²= (a-b)*(a+b

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

כאשר נרצה לפרק לגורמים נסכל על המצב השני של הנוסחאות.

תרגיל 1: נוסחת הכפל המקוצר
פרקו לגורמים את הביטוי
x² – 9

פתרון התרגיל

נשתמש בנוסחה הראשונה ונקבל:

(x – 3)(x+3)

תרגיל 2: הוצאת גורם משותף ונוסחת הכפל המקוצר
פרקו לגורמים את הביטוי:
6x² – 24

פתרון התרגיל

המספר 6 הוא גורם משותף ונוציא אותו החוצה

6x² – 24 = 6*(x² – 4)

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר על מנת לפרק את מה שבתוך הסוגריים

6(x – 2)*(x + 2)

תרגיל 3: כאשר סימן המינוס מימין

– x² + 100 =

פתרון התרגיל

כאשר הסימן השלילי יופיע משמאל נשנה את הסדר ונפתור

– x² + 100 = 100 – x²
(10 – x) (10 + x)

דוגמה 4
x² + 6x + 9 =

פתרון התרגיל

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

דוגמה 5

x² – 10x + 25 =

פתרון התרגיל

x² – 10x + 25 = (x – 5)²

*דוגמה 6 (עם שבר)

x² + x + 0.25 =

פתרון התרגיל

x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.פירוק הטרינום

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

3.פירוק לגורמים לפי קבוצות

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

פירוק לגורמים לפי קבוצות הוא משהו שפוגשים מעט יחסית.

2x² +10x + 6x + 30 = 0

האם יש דרך לפתור את התרגיל הזה מבלי להגיע למשוואה ריבועית ונוסחת השורשים?

התשובה היא כן.

ניתן להוציא גורם משותף לכל זוג איברים.

2x(x + 5) + 6(x + 5) = 0

(x + 5)*(2x + 6) = 0

x = -5 ,  x = -3

נשים לב שמה שביצענו דומה מאוד ל"טרינום ארוך".

הבעיה היא שבטרינום ארוך אנו יודעים שניתן להגיע לפירוק לגורמים.

ואילו בתרגיל כמו שקיבלנו קשה לזהות במצב הראשוני שניתן להגיע לפירוק לגורמים מסוג זה.

6.פירוק לגורמים של איברים המשלבים סוגריים ואיבר נוסף

במקרים הללו:

  1. פותחים סוגריים.
  2. מכנסים איברים.
  3. מבצעים פירוק לגורמים.

דוגמה 1

פרקו לגורמים את הביטוי הבא:

x + 4)² – 4)

פתרון התרגיל

נפתח סוגריים:
x² + 8x + 16 – 4
x² + 8x + 12

עכשיו נפרק לגורמים על פי טרינום
x² + 8x +12
x² + 2x + 6x + 12
(x (x + 2) +6 (x + 2
(x + 2) (x + 6)

דוגמה 2

פרקו לגורמים את הביטוי הבא:

x (x + 6) + 9

פתרון התרגיל

x (x + 6) + 9
x² + 6x + 9
x + 3)²)

איך יודעים באיזו טכניקה של פירוק לגורמים צריך להשתמש?

למדנו עכשיו מספר שיטות של פירוק לגורמים, ואתם ניגשים לפתור תרגיל.

איך תדעו באיזו שיטה להשתמש?

התשובה היא שלא ניתן לדעת מראש.

רואים תרגיל, מנסים עליו שיטה אחת (לא מצליחים), מנסים שיטה שנייה ועד שהתרגיל נפתר.

אבל למרות שלא שאין כללים שעובדים בכול המקרים כן יש מספר כללים ורמזים באיזו טכניקה של פירוק לגורמים צריך להשתמש:

1.קודם כל הוצאת גורם משותף
הוצאת גורם משותף היא הפעולה הראשונה שאתם צריכים לחשוב עליה, תמיד.

זה כך משום שבתרגילים מסוימים אם לא תוציאו גורם משותף לא תוכלו להתקדם לטכניקות פירוק לגורמים אחרות.

אתם במיוחד צריכים לחשוב על גורם משותף בשני המקרים הבאים:

א) כאשר המקדם של x² שונה מ 1. למשל:
4x² - 12x + 8 = 0

ב) כאשר אתם רואים ביטוי שבו יש חזקה ממעלה שלישית ומעלה. למשל:
x³ + 5x² - 6x = 0

לא בכול המקרים הללו יש גורם משותף, אבל כאשר אתם נתקלים בהם זה אור מהבהב לבדוק האם יש גורם משותף.

2. כאשר יש 4 איברים זה פירוק לגורמים לפי קבוצות

זו הטכניקה היחידה העובדת על 4 איברים.

כמובן שלפני כן עליכם לבדוק האם ניתן לכנס איברים.

3. כאשר יש 2 איברים זה נוסחת הכפל המקוצר
הנוסחה:

(a² - b²= (a-b)*(a+b

היא הנוסחה היחידה המתאימה לפירוק לגורמים של שני איברים.

4. כאשר יש 3 איברים: איך יודעים אם זה טרינום או דו איבר בריבוע?

נוסחאות הדו איבר בריבוע הן:
a+b)²= a²+2ab+b²)
a-b)²= a²-2ab+b²)

איך יודעים מתי להשתמש בהם ומתי בטרינום?

קודם כל אתם צריכים לדעת שאם תנסו לפרק טרינום אתם תגיעו לתשובה הנכונה, גם אם הביטוי הוא דו איבר בריבוע.

כמו כן, על מנת שביטוי יתאים לדו איבר בריבוע הוא צריך לכלול שורשים עגולים עבור הביטוי הכולל את x² ועבור המספר החופשי.
4x² + 12x + 9

הוא ביטוי היכול להתאים לדו איבר בריבוע כי גם ל 4x² יש שורש עגול (2x), וגם ל 9 יש שורש עגול (3).

לעומת זאת הביטוי
2x² + 10x + 9 = 0

לא מתאים לדו איבר בריבוע משום של 2x² אין שורש עגול.

זכרו שיש הרבה משוואות ריבועיות שלא נפתרות לא בעזרת טרינום ולא בעזרת דו איבר בריבוע.

במקרים הללו פותרים בעזרת נוסחת השורשים (או מחשבון בבגרות 4-5 יחידות).

אני לא חושב שצריך ללמוד בעל פה או לשנן את מה שכתוב כאן, צריך לקרוא ולנסות להבין את כיוון המחשבה.

כי בסופו של דבר פירוק לגורמים מבוסס על ניסיון בפתרון תרגילים וניסוי וטעיה.

3 שגיאות נפוצות בפירוק לגורמים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

תרגילי פירוק לגורמים

תרגילים 1-3 הם בנושא הוצאת גורם משותף.
תרגילים 4-5 הם בנושא פירוק לגורמים על פי קבוצות.
תרגילים 6-8 הם בנושא פירוק הטרינום או נוסחאות הכפל המקוצר.
תרגילים 9-10 ילמדו אותכם טריק כיצד במקרים מסוימים שנראה שאין גורם משותף דווקא יש.

תרגיל 1
פרקו לגורמים את הביטוי הבא:
2x + 3x² + x³

פתרון התרגיל

למספרים 2,3,1 אין גורם משתף.

החזקה הקטנה ביותר היא x1.

לכן נוציא את x כגורם משותף ונקבל:

(2x + 3x² + 4x³ = x (2 + 3x + x²

מי שיודע גם פירוק על פי טרינום יכול להמשיך ולפרק את מה שיש בסוגריים. כך נגיע לפירוק הבא:

(x (x + 2) (x + 1

סרטון הסבר

תרגיל 2
6x³ + 3x² + 12x4

פתרון התרגיל
הגורם המשותף של המספרים 6,3,12 הוא 3.
החזקה הקטנה ביותר היא x².
לכן הגורם המשותף הוא 3x²
(3x² (2x + 1 + 4x²

 

סרטון הסבר

תרגיל 3

2x²y³z + 6x5y +10x³y²z³

פתרון התרגיל

המכנה המשותף של המספרים הוא 2.

x  החזקה הקטנה ביותר היא x².
y   החזקה הקטנה ביותר היא y¹.
z  לא מופיע בכול האיברים ולכן הוא לא חלק מהמכנה המשותף.

(2x²y³z + 6x5y +10x³y²z³ = 2x²y (y²z +3x³ – 5xyz³

סרטון הסבר

תרגיל 4
x (x +2) + 5(x + 2) = 0

פתרון התרגיל

x + 2  הוא גורם משותף לשני האיברים.

x (x +2) + 5(x + 2) = (x + 5) (x + 2) = 0

תרגיל 5

2x (3 - 4x) - 4 (3 - 4x) = 0

פתרון התרגיל

2x (3 – 4x) – 4 (3 – 4x) = (3 – 4x) (2x – 4) = 0

שימו לב שבתוך הסוגריים השניים יש את המספרים 2,4 וניתן להוציא להם גורם משותף 2 בצורה הזו:

סרטון הסבר

תרגיל 6

x² +5x+ 6=0

פתרון התרגיל

שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומה 5 הם 3,2
6 = 2 * 3
5 = 2 + 3
לכן נפרק את 5x ל – 2x + 3x

x² +5x+ 6=0
x +2x + 3x + 6 = 0

נוציא גורם משותף לכל שני איברים סמוכים:
x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

נפרק לגורמים על פי קבוצות:

x+3) (x+2) = 0)

x + 2 = 0  או  x + 3 = 0.

x =-2  או x =-3.

סרטון הסבר

תרגיל 7

x² + 9x-10=0

פתרון התרגיל

שני מספרים שמכפלתם 10- וסכומם 9 הם 10, 1-.

לכן נפרק את 9x ל   x,  10x-.

x² – x + 10x – 10 =0

נוציא גורם משותף לכל שני איברים סמוכים:

x (x – 1) + 10 (x – 1) = 0

נפרק לגורמים על פי קבוצות
x – 1 )* (x + 10) = 0)
x = -10,  x = 1

סרטון הסבר

תרגיל 8

x² - 10x + 25 = 0

פתרון התרגיל

חלק מאיתנו יזהו שהביטוי מתאים לנוסחת הכפל המקוצר
a² – 2ab + b² = (a – b)²
x² – 10x + 25 =  (x – 5)²

ואם לא נזהה נבצע פירוק רגיל של טרינום:
שני מספרים שמכפלתם 25 וסכומם 10- הם 5-, 5-.
לכן נפרק את  10x-  ל 5x, -5x-

x² – 10x + 25 = 0
x² – 5x – 5x + 25 = 0
נוציא גורם משותף לכל שני איברים סמוכים:
x (x – 5) -5 (x – 5) = 0
נפרק לגורמים על פי קבוצות:
x -5 ) (x – 5) = 0)
x – 5)² = 0)

תרגיל 9

2x (3x - 1) + x (1 - 3x) = 0

פתרון התרגיל

במבט שטחי אין לנו כאן מכנה משותף.
אבל מהביטוי בנמצא בצד ימין ניתן להוציא מינוס מחוץ לסוגריים ואז נקבל:
(x (1 – 3x) = -x (-1 + 3x

ועכשיו יש לנו מכנה משותף:
2x (3x – 1)  – x (3x – 1) = 0
2x – x) (3x -1) = 0)
x (3x -1) = 0

סרטון הסבר

תרגיל 10

3x (2x - 1) - (1 - 2x) = 0

פתרון התרגיל

נשים לב שניתן להוסיף 1 לפני המינוס ולכתוב את התרגיל כך:
3x (2x – 1) -1 * (1-2x) = 0
ועכשיו נוציא מהסוגריים הימניים מינוס ונקבל:
3x (2x – 1) +1 * (2x -1) = 0
3x + 1) (2x – 1) = 0)

סרטון הסבר

78 מחשבות על “פירוק לגורמים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לתרגיל זה אין פירוק לגורמים שהוא עגול וקל.
      יתכן שיש כאן טעות במספרים או שצריך לפתור זאת בעזרת משוואה ריבועית.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעזרת פירוק הטרינום.
      חפשי שני מספרים שמכפלתם 110 – ואין הרבה כאלו.
      מבניהם בחרי את אלו שההפרש בניהם 1.-

  1. איך מפרקים גורמים שהגורמים של החזקה הם שונים למשל:
    4x^2 -9y^2
    x וy הם שונים ולכן הם לא גורמים משותפים. אז מה עושים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הוצאת גורם משותף היא רק אחת הטכניקות לפירוק לגורמים.
      במקרה זה ניתן לפרק על ידי שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר
      (a + b) (a – b) = a² – b²

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    בתרגיל X2-7X+12(בXבחזקת 2) פירוק לגורמים טרינום
    לא אמורים לפרק את 7 ל 3- ו- 4+ כדאי ש -*+ יצא 7-?

  3. שלום רב,

    בתרגיל 7 Aבחזקת 2 וה Bבחזקת שתיים הם בימנים שונים. הכוונה ה A חיובי והB שלילי. וזה היה אחד מהתנאים שבהם אפשר לפרק גורמים ע"י כפל מקוצר, לי מה שנאמר בסרטון שלכם.

  4. הודיה אבידן

    כשצריך להוציא -1 מחוץ לסוגריים על מנת לאפשר פירוק לגורמים, זה משנה לאיזה איבר אני מוציאה את המינוס?

  5. שלום האם כאשר לx צמוד מספר ועלינו לפרק לגורמים.ניתן לחלק במספר שצמוד לx ומכאן להמשיך כרגיל?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם זו משוואה או אי שוויון ניתן לחלק את המשוואה כולה.
      אם זו לא משוואה לא ניתן לחלק.

  6. תודה רבה רבה!!
    הסברת לי ביומיים של תרגול מה שלא הבנתי כל כך טוב בחודשיים שלמים :)
    אתה אלוף ! תמשיך עם זה זה ממש יעיל
    שוב, תודה רבה רבה זוהי יוזמה מבורכת

  7. תלמיד למופת

    תודה רבה ממש על הסרטונים והתרגילים שאתה כותב. זה מאוד ברור להבנה וזה פשוט מסכם לי בדפדפן אחד באינטרנט את כל השנה כולה במתמטיקה אז תודה על הכל!!!

  8. שלום,
    אתה הסברתה שפותרים את התרגיל x² – 9 על פי הנוסחה הזאת a + b) (a – b) = a² – b²)
    עכשיו לי יש תרגיל דומה x² + 9 אז על פי איזו נוסחה אני המורה לפתור את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את התרגיל הזה לא ניתן לפרק, יש תרגילים שלא ניתן לפרק.
      על מנת להשתמש בנוסחה אחד האיברים חייב להיות מינוס.

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        מה שכתבת לא נכון. השורש של x בריבוע ועד 9 הוא לא
        x + 3
        כאשר שני איברים נמצאים תחת שורש לא ניתן לחשב שורש לכל אחד מיהם בנפרד.
        למשל:
        שורש 4 שווה לשורש 3+1 שווה ל 2.
        אבל אם נוציא בנפרד שורש ל 3 ושורש ל 1 ונחבר לא נקבל 2.

  9. שלום,
    ציטוט –
    2) סיבה שנייה היא כדי לצמצם איברים במונה ובמכנה. למשל :

    תרגיל שבו צריך לבצע פירוק לגורמים
    זה תרגיל מסובך ללא פירוק לגורמים.
    אבל לאחר שנבצע פירוק לגורמים נקבל:
    שאלתי –
    האם סימן האי שוויון > < צריך להתהפך כפי שמופיע , או שזו טעות דפוס ?
    תודה

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        תודה
        שאפו ענק על האתר שלך !!!
        אני סבא (הזדמן לי גם ללמד בעצמי מה שאז קראנו לו "חשבון" בבי-ס יסודי לפני כך וכך שנים….) שעכשו חוזר על החומר עם נכדתי , והאתר שלך מרענן לי מאוד את החומר, וגם מלמד אותי הרבה מאוד דברים חדשים שאז לא עסקתי בהם .
        יישר כח גדול , ולפי מה שאני רואה אתה עוזר לאלפים רבים .
        תבורך

  10. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שמתי לב שהשאלה "איך זה יעזור לי בחיים?" עולה כל כמה זמן כשאני עושה שיעורים. חשבתי שאתה, בתור אדם שכותב הרבה על מתמטיקה, תוכל להוסיף פסקה קצרה בעמודים כלשהם (למשל בפירוק לגורמים) על איך זה יכול להועיל בחיים. זה ייתן עוד מוטיבציה לאלו שמתוסכלים מהמתמטיקה..

  11. האתר מדהים! מסביר בצורה נהדרת ומאפשר לנו, התלמידים, להבין ולחזור על החומר בקלות. השירות מעולה, יש אפשרות לצ׳אט אליו המפעילים מחוברים כמעט תמיד ועוזרים בכל הזדמנות! שכן יירבו אתרים כאלו. תודה רבה לצוות המדהים(:

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נפתלי
      אם המטרה היא לבצע פירוק לגורמים אז אין דרך לבצע את זה.
      כאשר אתה נתקע ולא יודע אם ניתן לפרק לגורמים את הביטוי אז מנסים לפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים.
      במקרה הזה זה יוצא x = 2.18, x = -0.18 אלו מספרים לא עגולים ולכן לא ניתן לבצע (בקלות) פירוק לגורמים של משוואה כזו. אבל ניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים.
      בהצלחה

  12. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אתר מדהים.
    כיף שיש כאלה שיודעים להסביר לאנשים רגילים(כמוני) ולא למתמטיקאים:)
    תודה !!!

    1. שאלה:
      5x^2+13x-6
      כיצד ניתן לפרק לגורמים ללא פתרון משוואה ריבועית???
      (פתרון משוואה ריבועית עדיין לא נלמד בכיתה, אלא רק פירוק לגורמים לפי קבוצות וטרינום)
      תודה מראש על הסיוע

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום כרמל
        מדובר על פירוק טרינום.
        זה טרינום שבו a שונה מ 1.
        מידע מפורט כיצד פותרים בדף הזה:
        http://www.m-math.co.il/algebra/trinum-a/

        הפתרון של התרגיל שלך הולך כך:
        5x^2+13x-6
        5x^2+15x-2x-6
        (5x(x +3) -2(x +3
        (5x -2) (x+3)
        בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רעות
      פותחים את הסוגריים, מעבירים את ה 56 אגף.
      מתקבלת משוואה ריבועית רגילה. פותרים אותה
      מקווה שעזרתי

  13. יש לי מחר מבחן על פירוק לגורמים ןפרבולות והאמת שהנושא של פירוק לגורמים קצת קשה הסרטונים עזרו לי ואני מקווה שאני אצליח במבחן

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שיראל.
      גם אני מקווה שתצליחי.
      ובכול מקרה אני ממליץ להתחיל ללמוד למבחן הבא כבר מחר.
      מתמטיקה זה לא מקצוע שנשען על זיכרון שצריך לשנן לפני מבחן.
      מתמטיקה לומדים באופן עקבי ורצוף.
      ואם יהיו שאלות פני אלי ואשמח לעזור.

  14. שלום
    האם כמורה אני יכולה להשתמש בדוגמאות בכיתה ואף להראות את הוידיאו?
    שואלת מבחינת אישור של זכויות שמורות

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליטל
      מה שאני כותב כאן נכון בהנחה ואת מלמדת בבית ספר של משרד החינוך ולא בית ספר פרטי.
      את יכולה להראות את הוידאו בכיתה אבל את צריכה להראות את הוידאו כשהוא באתר. לא ניתן להקליט את הוידאו ולהראות אותו כשהוא מאוחסן במקום אחר.
      את יכולה להשתמש בדוגמאות בכיתה אבל היכן שאת כותבת את הדוגמאות צריך להיכתב בראש הדף שהן נלקחו מהאתר "לומדים מתמטיקה".

      בנוגע לסרטוני וידאו אחרים שבאתר, את יכולה להראות אותם כל עוד את מראה אותן מהאתר ולא מורידה אותם או מקליטה אותם ומראה אותן כשהם מאוחסנים לא באתר.

      בנוגע לדוגמאות כתובות אחרות, אם תרצי דברי איתי, אם אדע קצת יותר מי את ובאיזו צורה את משתמשת בהן זה יקל עלי.
      האישור שניתן הוא לך בלבד.
      תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליאן
      הגורם המשותף הוא החזקה הנמוכה ביותר הקיימת בין האיברים.
      איזו חזקה היא הקטנה ביותר כאן?
      x^2
      מבחינת מכנה משותף של מספרים יש את המקדמים 6, 2, 16.
      המכנה המשותף שלהם הוא 2.

      לסיכום: אתה מוציא 2x^2 מכנה משותף.

      אתה יודע מה נשאר בתוך הסוגריים לאחר הוצאת המכנה המשותף?
      אם אתה לא בטוח רשום את זה כאן ואבדוק.
      בהצלחה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מירי
      יש באתר שלושה דפים היכולים לעניין אותך בנושא זה:
      פתרון משוואות עם נעלם במכנה – זה בעצם חיבור וחיסור שברים אלגבריים אבל כחלק ממשוואה.
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/equation-with-variable-in-denominator/

      דף שני הוא "צמצום שברים אלגבריים" את הדף הזה את צריכה לדעת עוד לפני שאת ניגשת לדף הראשון
      http://www.m-math.co.il/algebra/equations/algebraic-diameter-reduction/

      דף שלישי הוא "אי שוויונות עם שברים" ואותו את צריכה ללמוד לאחר שאת יודעת לפתור משוואות
      http://www.m-math.co.il/algebra/inequalities-with-fractions/

      בדף הראשון של משוואות אני מוסיף כרגע תרגילים יותר קשים. כך שאם תיכנסי אליו ביום ראשון בצהריים תראי שם כמה דברים שאין שם היום.
      בכול שאלה את מוזמנת לפנות אלי.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האם למדת פירוק הטרינום? אני יוצא מנקודת הנחה שכן.
      אתה צריך לחפש שני מספרים שמכפלתם 9*16 = 144 וסכומם 24-.
      הרמז במה שכתבתי כאן הוא המספר 144, אין הרבה מספרים שמכפלתם 144.
      אם לא מצאת את המספרים תחזור אלי.
      על פירוק הטרינום אתה יכול ללמוד כאן
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/trinum/
      http://www.m-math.co.il/algebra/trinum-a/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום זיו.
      n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) * ….1

      n-2) ! = (n-2) * (n-3) * (n-4) * ….1)

      כאשר תשים את n! במונה ו (n-2) ! במכנה רוב האיברים יצמצמו ותישאר עם
      1 לחלק ל- (n(n-1
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אליאור.
      מפרקים לגורמים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר.
      (a²-b²)= (a+b)*(a-b)
      במקרה של הנתונים שכתבת
      a = x
      b = 1
      והפירוק יהיה:
      (x² – 1 = (x+1) (x-1

      התרגיל שכתבת קשה יותר מתרגילים אחרים כי רבים לא שמים לב ש:
      1 = 1²
      ולכן
      x² – 1 = x² – 1²
      דף מפורט בנושא נוסחאות הכפל המקוצר עם הרבה דוגמאות נוספות תמצא כאן:
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/short-multiple-equation/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום לך.
      לא ניתן לצמצם את הביטוי הזה למספרים שלמים.
      אם הביטוי שבמכנה היה כולל שני מינוסים 3 – 2x – אז היה ניתן להוציא מינוס ולצמצם.
      ערך הביטוי המצומצם במקרה זה הוא 1 – .

  15. אתר שימושי מאוד, ובו אפשר למצוא מידע אמין, נכון ורלוונטי לנושא שאתה צריך, ואפשר למצוא כאן אפילו יותר ממה שהיית צריך – מה שיכול לעזור לך עוד יותר במטרתך

    1. לומדים מתמטיקה

      בעיקרון 2x-1 לא מפרקים אלא אם יש סיבה מיוחדת.
      מה הכוונה ב"סיבה מיוחדת"?
      אם למשל יש במונה יש את x-0.5. והביטוי 2x-1 נמצא במכנה אז כדאי לפרק בצורה הבאה:
      (2x-1=2(x-0.5
      ואז לצמצם מונה ומכנה (ובתנאי שכל התנאים האחרים מאפשרים צמצום).
      דף שיכול להסביר עוד על צמצום הוא צמצום שברים אלגבריים.