שיטות למציאת אינטגרלים

שיטות אינטגרציה מיוחדות

חישוב אינטגרל ויצירת נגזרת הם שתי פעולות הפוכות. אבל כאשר אנו גוזרים יש סדר פעולות קבוע לעומת אינטגרל שבו אין.
לכל פונקציה יש רק נגזרת אחת בילבד ואילו באינטגרציה אנו יכולים להגיע לפונקציות שונות. אלו הם הסיבות המרכזיות שבגללם אינטגרציה היא פעולה מסובכת יותר מגזירה.

יש פונקציות שאנו יודעים לגזור אבל לא יודעים לעשות להם אינטגרל בשיטות הרגילות. לעיתים תלמידים מנסים לעשות להם אינטגרציה מתוך מחשבה שזה משהוא שהם יודעים להתמודד איתו – וזה גורם לטעות.

הפונקציות המרכזיות שניתן לגזור אבל למרביתן לא ניתן לבצע אינטגרל מיידי הן :

1) אינטגרל של פונקציה מורכבת.
2) אינטגרל של מכפלה של פונקציות.
3) אינטגרל של מנה של פונקציות.

לשם כך אנו משתמשים בשיטות אינגרציה מיוחדות שמפורטות בדף, השיטות נדרשות בבחינה ל 5 יחידות.

שיטות מיוחדות לאינטגרציה

על מנת להתמודד עם האינטגרלים הללו יש שתי שיטות מיוחדות של אינטגרציה – חילוק פולינום ושיטת ההצבה.

א) אינטגרל על ידי חילוק פולינום

כאשר אנו צריכים לבצע אינטגרל לביטוי הכולל מונה ומכנה שיש בהם משתנה אנו לא יכולים לבצע אינטגרל מיידי. לעיתים אנו יכולים לבצע מספר טריקים על מנת להתמודד עם הבעיה אבל במקרים יותר בעתיים הטריקים לא עוזרים ואנו צריכים להיפתר מהמכנה על ידי חילוק פולינום.

חילוק פולינום דומה מאוד לחילוק ארוך של בית הספר היסודי רק שבמקום מספרים אנו נאלצים להישתמש במשתנים.

הדרך שבו חילוק הפולינום מתבצע :
* חילוק המספר הראשון במונה במספר הראשון במכנה,
* רישום התוצאה.
* הכפלת התוצאה בכל הביטוי הנמצא במכנה
*רישום התוצאה מתחת למקום בו רשום המונה
*חיסור המונה מהתוצאה.
*חילוק ההפרש שהתקבל במספר הראשון של המכנה. וחזרה לשלב 2….

דוגמא :

אינטגרלים שיטות

חלק את הפולינום :
* חילוק המספר הראשון במונה במספר הראשון במכנה ורישום התוצאה.

אינטגרלים שיטות
* הכפלת התוצאה בכל הביטוי הנמצא במכנה

אינטגרלים שיטות
*רישום התוצאה מתחת למקום בו רשום המונה

אינטגרלים שיטות
*חיסור המונה מהתוצאה

אינטגרלים שיטות
*חילוק ההפרש שהתקבל במספר הראשון של המכנה. וחזרה לשלב 2….

אינטגרלים שיטות

ב) אינטגרל בשיטת ההצבה

בשיטת ההצבה משתמשים כאשר צריכים לבצע אינטגרל המורכב משני ביטויים או יותר השרים בינהם בקשר של פעולת חילוק / כפל ואחד הביטויים הוא הנגזרת של ביטויי אחר (או שהוא הנגזרת כפול מספר).

למשל : sin x : (cos x +1)^2

ניתן לראות שהמונה sin x שווה למינוס הנגזרת של cos x +1.

חלק שני וחשוב בהסבר :

המטרה שלנו באינטגרל על פי שיטת ההצבה היא להחליף משתנים – להציב משתנה אחר במקום המשתנה הנוכחי בצורה כזו שתהפוך את האינטגרל לאפשרי.

אבל חשוב לזכור שאנו לא רק מחליפים משתנים אלא גם מחליפים את המשתנה שעל פיו אנחנו גוזרים. כלומר האינטגרל לפי dx יהפוך להיות לאינטגרל על פי dt. ו dx שונה בערכו מ dt לכן עלינו למצוא את הערך של dt.

כיצד עושים את כל זה ?

דוגמא :

חשב את האינטגרל של sin x : (cos x +1)^2 dx

נגדיר cos x +1 = t

2) dt היא הנגזרת של t לכן dt= – sin x.

3) לכן כאשר נציב את cos x +1 = t במכנה ואת dt במשוואת האינטגרל נוכל להשמיט את sin x ממונה האינטגרל משום שהוא כלול בביטוי dt. אם זאת נצטרך לכתוב במונה מינוס משום ש – dt הוא מינוס המונה ויש לבטל את המינוס על ידי מינוס נוסף.

4) כך זה נראה :

sin x : (cos x +1)^2 dx = -1 : t^2 dt

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. (*) שדות חובה מסומנים

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>