פונקציות

1

תחום הגדרה

תחום הגדרה הוא הדבר הראשון והבסיסי ביותר שיש לחקור בפונקציה, הוא גם הדבר היחידי שיש לבדוק גם אם לא מבקשים זאת בשאלה – משום שיש לו השפעה על שאר התשובות.

תחום הגדרה עונה על השאלה אילו ערכי משתנה ניתן להציב בפונקציה.

הפונקציה אינה מוגדרת בתחום מסויים כאשר :

1) תחום הגדרה פונקציה רציונלית – כאשר יש משתנה במכנה של הפונקציה צריך לבדוק האם קיימים ערכים שעבורם המשתנה מתאפס. עבור הערכים הללו הפונקציה אינה מוגדרת.

תרגיל
תחום הגדרה פונקציה רציונלית
(y=(3x+x^2+5) : (-2x+4

הפונקציה אינה מוגדרת כאשר

2x + 4= 0-
x=2

תשובה הפונקציה מוגדרת לכל X מלבד x=2
2) תחום הגדרה פונקציית שורש – כאשר יש פונקציה הכוללת שורש זוגי (שורש שני, רבעי וכו) הפונקציה אינה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש הוא שלילי.

דוגמא בהמשך.

3) תחום הגדרה פונקציה מעריכית – בסעיף זה אתייחס לפונקציה מעריכית אשר מעריך החזקה הוא שבר (ללא משתנה) ובסיס החזקה כולל משתנה.

תרגילים
תחום הגדרה פונקציה מעריכית
(y=x^(1/3

תשובה הפונקציה מוגדרת עבור x=>0
תרגיל נוסף
(y=x^(-1/3

תשובה הפונקציה מוגדרת עבור x>0
תרגיל נוסף
(y=(-x)^(1/3

תשובה הפונקציה מוגדרת עבור x=<0
תחום הגדרה פונקציה לוגרתמית מסוג ln x – הפונקציות הללו מוגדרות עבור x>0.
כאשר מופיע בתוך הערך של ה – ln ביטוי מורכב יותר הביטוי כולו צריך להיות חיובי.

תרגיל
תחום הגדרה פונקציה לוגרתמית
(y=ln (3×-9

תשובה הפונקציה מוגדרת עבור x>3
תחום הגדרה של פונקציה לוגרתמית עם בסיס כלשהוא
הפונקציה הלוגריתמית מוגדרת כאשר בסיס הלוגריתם גדול מ 0 ושונה מ 1.
כלומר הפונקציה logax מוגדרת כאשר a>0 וגם a שונה מ- 1.
מדוע חשוב לבדוק את תחום ההגדרה גם אם לא שואלים אותנו

חשוב לעשות זאת משום שאנו עלולים לקבל תשובה שאינה מוגדרת עבור סעיפים אחרים של חקירת פונקציה.

למשל שואלים אותנו על נקודות קיצון וקיבלנו שהקיצון מתקבל ב – x=5. קיימת האפשרות שהפונקציה אינה מוגדרת עבור x=5 ולכן גם אם הנגזרת הראשונה התאפסה בנקודה זו עדיין איננה נקודת קיצון משום שלא ניתן להציבה במשוואת הפונקציה.

תחומי עליה וירידה של פונקציות

כיצד יודעים אם הפונקציה עולה או יורדת ?

א) כאשר מסתכלים על הגרף משמאל לימין אם הפונקציה במגמת עליה אז היא עולה, אם היא יורדת אז היא יורדת. זה לא משנה אם הערך של הפונקציה (Y) הוא חיובי או שלילי.

ב) כאשר אין לנו את הגרף של הפונקציה (ובדרך כלל זה המצב) מוצאים תחומי עליה וירידה על פי הנגזרת הראשונה. כאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

נקודות קיצון / מקסימום מינימום

נקודות קיצון הן נקודות בהן הפונקציה מקבלת ערך מקסימלי או מינימלי. המקסימום / מינימום יכל להיות ביחס לסביבה הקרובה בלבד – ואז נקרא לנקודה קיצון מקומי או שזה הערך המקסימלי / מינימלי שהפונקציה יכולה לקבל בכל תחום ההגדרה שלה – ואז זה מקסימום / מינימום מוחלט. הדרך שבה מוצאים כל אחת מנקודות הקיצון הללו שונה.

נקודות קיצון מקומיות
על מנת למצוא נקודת קיצון פנימית :
1) גוזרים את הפונקציה ומוצאים מתי הנגזרת שווה ל 0.

את השלב השני ניתן לעשות בשני אופנים

2) גוזרים את הפונקציה פעם שניה. אם הנגזרת השניה חיובית אז זו נקודת מינימום אם הנגזרת השניה שלילית אז זו נקודת מקסימום (אם הנגזרת השניה שווה ל 0 אז זו יכולה להיות נקודת פיתול או נקודת קיצון).

מציאת נקודת קיצון מקומי בעזרת הנגזרת השניה
y=x^2

נגזור

y'=2x
y' מתאפס כאשר x=0

נגזור פעם שניה

y"=2

הנגזרת השניה חיובית לכל X כולל x=0 לכן זו נקודת מינמום

אפשרות שניה במקום שלב 2
2) מציבים ערכים הנמצאים בסביבה הקרובה לערכי ה – X שחשודים כנקודת קיצון ובודקים את הערכים הללו ביחס לערך שהנקודה החשודה מקבלת. אם שני הערכים גדולים מהערך שקיבלה הנקודה החשודה אז זו נקודת מינימום, אם שני הערכים קטנים אז זו נקודת מקסימום.

למה הכוונה "ערכים מהסביבה הקרובה של הנקודה" ? הכוונה היא להציב ערכים משני צדדי הנקודה, כלומר ערך אחד של x הקטן מהערך של x בנקודה וערך אחד של x שגדול מהערך של x בנקודה. הכרחי שבין הערכים הפונקציה תהיה רציפה ולא יהיו נקודות קיצון נוספות בינהם, כלומר אם הנקודה החשודה היא x=2 והפונקציה אינה מוגדרת או שיש נקודת קיצון ב x=2.5 לא ניתן להציב כנקודת בדיקה x=3.

תרגיל
מציאת נקודת קיצון בעזרת סביבת הנקודה
y=x^2

נגזור

y'=2x
y' מתאפס כאשר x=0

נציב x=0 בפונקציה ונקבל את ערך ה – y

y(0)=0^2=0

נציב ערכים בסביבת הנקודה – למשל 1 ו -1

y(1)=1^2=1
y(-1)=(-1)^2=1

שני הערכים שמתקבלים בסביבת הנקודה גדולים מהערך של הפונקציה y עבור x=0 ולכן זו נקודת מינימום
סיכום נקודות קיצון מקומי

אם הערך של y' שווה ל 0 וערך הנגזרת השניה שונה מ 0 אז בנקודה קיימת נקודת קיצון מקומי.

אם הערך של y' שווה ל 0 וגם הנגזרת השניה שווה ל 0 אז זו צריך לבדוק בסביבת הנקודה אם זו נקודת פיתול או קיצון.

נקודות קיצון מוחלטות
נקודות קיצון מוחלטות הן הנקודות בהן הפונקציה מקבלת את הערך המינימלי או המקסימלי שלה.
כלומר לפונקציה (f(x נקודת קיצון בנקודה a אם :

מקסימום מוחלט ( f(a)>=f(x עבור כל x
מינימום מוחלט ( f(a)=<f(x עבור כל x

נקודות קיצון מוחלטות מתקבלות בנקודות הקיצון המקומיות או בנקודות הקצה של הפונקציה.

הסיבה שנקודת קיצון מוחלטת יכולה להתקבל גם בנקודת הקצה של הפונקציה היא שהנקודות הפנימיות הן ביחס לסביבת הנקודה ואילו בנקודות הקצה אין "סביבה" בצד אחד של הנקודה.

כיצד מוצאים נקודות קיצון מוחלטות ?

– עושים את כל השלבים למציאת נקודת קיצון מקומי.
– מציבים את ערכי הקצה של הפונקציה (ערכים של ה – x) במשוואת הפונקציה.
– משווים את הערכים שקיבלנו עם ערכי המינימום מקסימום מקומיים. אם אחד הערכים שקיבלנו גדול יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מקסימום מוחלט. אם אחד הערכים שקיבלנו קטן יותר מכל הערכים של נקודות הקיצון הפנימיות אז הנקודה הזו היא מינימום מוחלט.

תרגיל

מציאת נקודות קיצון מוחלטת
מצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של הפונקציה y(x)=5x^2+8x
בטווח x=<8 וגם x>=0

אם תעשו את השלבים למציאת מינימום מקסימום מקומי תמצאו x=-0.8 היא נקודת מינימום. ערך הפונקציה המתאים לנקודה זו

y(-0.8)=5*(-0.8)^2 +8*-0.8=-3.2

נמצא את הערכים שהפונקציה מקבלת בקצוות 0 ו – 8.

y(0)=5*0^2+8*0=0
y(8)=5*8^2+8*8=384

בנקודה x=0 לא מתקבל ערך מקסימלי או מינימלי לכן זו אינה נקודת קיצון.

תשובה : הנקודה (-3.2,-0.8) היא נקודת מינימום מוחלט והנקודה (8,324) היא נקודת מקסימום מוחלט.

אסימפטוות

אסימפטוטת הן מהן קו שתוכם את הפונקציה, שואף לאן שהפונקציה שואפת, בנקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת או כאשר היא שואפת ל אינסוף / מינוס אינסוף.

מציאת האסימפטוטה לא מגיעה לאחר פתירת משוואה רגילה ומעורבים בה מושגים מופשטים כמו "התנהגות הפונקציה", אינסוף וכו, לכן הקושי בסעיף זה טבעי.

לא לכל הפונקציות יש אסימפטוטת.

קיימים שני סוגים של אסימפטוטות. אסימפטוטות מאונכות לציר ה- x ואסימפטוטות מקבילות לציר ה – x.

אסימפטוטות מאונכות לציר ה – x

– אסימפטוטות מאונכות לציר ה – x תמיד נמצאות בנקודות בהן הפונקציה אינה מוגדרת.
– מציבים את הערכים בהן הפונקציה אינה מוגדרת במונה הפונקציה. אם מונה הפונקציה לא מתאפס אז בנקודה עוברת אסימפטוטה מאונכת לציר ה – x. (תוצאה זו היא ביטוי לכך שהפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף בנקודה. משום שהמכנה שואף ל -0 והמונה לא)

תרגיל
אסימפטוטה מאונכת לציר ה – x
מצא את האסימפטוטה של הפונקציה

y(x)=(5-x):(x-2(

ניתן לראות שהפונקציה אינה מוגדרת כאשר x=2. נבדוק את ערך המונה בנקודה
המונה 5-2=3.

המונה לא מתאפס בנקודה לכן הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר x שואף ל – 2 והישר x=2 הוא אסימפטוטה מאונכת לציר ה – x של הפונקציה.
אסימפטוטות מקבילות לציר ה – x

קצת יותר מסובך.

– אסימפטוטת מקבילות לציר ה – x מתקבלות אם כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף ערך הפונקציה y שואף למספר.

– כדי למצוא "מציבים" בפונקציה אינסוף / מינוס אינסוף ואם מקבלים ערך מספרי עבור y אז הערך הזה הוא אסימפטוטה מקבילה לציר ה – x ונכתב כך :

הערך המספרי שהתקבל = y

– כלל – כאשר x שואף לאינסוף :
1) כל החזקות בהם הוא מועלה זניחות ביחס לחזקה הגבוהה ביותר בהן מועלה, לכן ניתן להזניח אותם.
2) אם בבמכנה x מועלה בחזקה גבוהה יותר מבמונה אז ערך הפונקציה באינסוף הוא 0. ו 0=y הוא אסימפטוטה לפונקציה.
אם החזקה המקסימלית של x במונה ובמכנה זהה אז מתקבל מספר שהוא האסימפטוטטה של הפונקציה.
אם החזקה המקסימלית של x במונה גדולה מהחזקה המקסימלית במכנה אז אין לפונקציה אסימפטוטה מקבילה לציר ה – x.

תרגיל
אסימפטוטה מקבילה לציר ה – x
מצא האם קיימת לפונקציה הבאה אסימפטוטה מקבילה לציר ה- x

:(5x^4 + 100x^2 +10×-1000)
(2x^4+100)

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף הביטוי המשמעותי במונה הוא 5x^4 הביטוי המשמעותי במכנה הוא 2x^4 כאשר נחלק אותם זה בזה נקבל 2.5.

לכן

y=2.5 הוא האסימפטוטה במקבילה לציר ה – x.

תכונות פונקציות

הגדרת פונקציה

פונקציה היא התאמה המתאימה לכל איבר בתחום איבר אחד ויחיד בטווח.

ואם להעביר את זה למילים שלנו פונקציה נותנת עבור איבר x איבר אחד ויחיד של y. לא יכול להיות שעבור x=2 נקבל y=4 וגם y=2. אבל כן יתכן שאיבר ששני איברים של x יתנו את אותו איבר של y.

פונקציה חד חד ערכית – פונקציה שלכל y יש x אחד בלבד שיוצר אותו (הגדרה לא פורמלית).

פונקציה זוגית

פונקציה היא פונקציה זוגית אם היא מקיימת לכל x :
f(x)=f(-x)
כלומר כל מספר והמספר הנגדי שלו נותנים ערך מספרי זהה. x^2 היא פונקציה כזו. עבור x=2 וגם עבור x=-2 נקבל 4 וכך עבור כל מספר אחר.

פונקציות זוגיות סימטריות ביחס לציר ה – y.

פונקציה אי זוגית

פונקציה היא פונקציה אי זוגית אם היא מקיימת לכל x :

f(x)=-f(-x)
כלומר האיבר x נותן ערך נגדי לאיבר -x.
5x היא פונקציה כזו, למשל עבור הערך x=2 נקבל 10 ואילו עבור הערך x=-2 נקבל -10.
פתרונות לשאלות מהבגרות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. (*) שדות חובה מסומנים

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>