פונקצייה קווית

טכניקות שצריך לדעת על מנת לפתור שאלות על פונקציה קווית

  1. מציאת נקודות חיתוך בין שני ישרים.
  2. מציאה נקודת חיתוך של קו ישר עם ציר ה – X וציר ה – Y.
  3. לעיתים נדרש גם לדעת איך לגזור.

נוסחאות ומשפטים שצריך להכיר על מנת לפתור שאלות:

1) קווים מקבילים הם בעלי שיפוע זהה.

תרגיל לדוגמה

(הישר y=-0.4x נבחר כדוגמה להמחשה בשרטוט למטה).

לקווים מקבילים שיפוע זהה

לקווים מקבילים שיפוע זהה

 

 

2) מכפלת השיפועים של קווים ניצבים שווה ל 1-.

תרגיל לדוגמה
מצא את שיפוע הישר הניצב לישר 5y+2x=8

כפי שכבר מצאנו המשוואה המפורשת היא y=-0.4x+1.6
נניח ששיפוע הישר הניצב הוא m אזי מתקיים

-2/5 × m שווה ל -1 לכן m=5/2

תשובה : שיפוע הניצב לישר y=-0.4x+1.6 הוא 2.5.

(הפונקציה הקווית y=2.5x נלקחה כדוגמה בשרטוט למטה)

דוגמה לישרים ניצבים

דוגמה לישרים ניצבים

3) הקשר בין זווית (a) הנוצרת בין כיוון החיובי של ציר ה – X לבין הישר נתונה על ידי tg a = m. כאשר m הוא שיפוע הישר.

תרגיל לדוגמה

מצא את שיפוע הישר שיוצר זווית של 40 מעלות עם ציר ה – x.

פתרון
אם נגדיר את שיפוע הישר כ – m אז מתקיים

m=tg40=0.84

תשובה : שיפוע הישר הוא 0.84.

המחשה: על איזו זווית מדברים כאשר אומרים "שהזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה- X"....

המחשה: על איזו זווית מדברים כאשר אומרים "שהזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה- X"….

 

4) משוואת קו ישר מפורשת y= mx + n.

המקדם m מבטא את שיפוע הישר ואילו n מבטא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – y.
למשל המשוואה y=5x+8 היא משוואה מפורשת של ישר. השיפוע של ישר זה הוא 5 ואילו נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y היא (0,8).

לעמת זאת המשוואה y-5x-8=0 אינה משוואה מפורשת ולא נהוג ללמוד ממנה באופן ישיר על השיפוע או נקודת החיתוך.

5) משוואת ישר העובר בנקודה (X1,Y1) היא (y-y1=m(x-x1.

 

6) מציאת שיפוע ישר ומשוואת ישר העובר דרך שתי נקודות:

 

סוגי בעיות בפונקציה קווית:

א) נותנים לכם נקודה ושיפוע – אתם צריכים למצוא את הפונקציה הקווית

בסוג זה של בעיות תקבלו מידע על נקודה ושיפוע.
המידע על השיפוע יכול להופיע במספר דרכים:

  1. בצורה מפורשת "מצא משוואת ישר ששיפועו…".
  2. על ידי מידע על שיפוע של קו מקביל – ואז השיפוע הוא אותו שיפוע.
  3. על ידי מידע על שיפוע של קו מאונך – ואז מכפלת השיפועים שווה ל 1-.
  4. על ידי נגזרת של פונקציה אחרת "מצא משוואת ישר המשיק לפונקציה ב – X=5". המשפט הזה בעצם אומר שלישר שאנחנו מחפשים ולפונקציה יש אותו שיפוע כאשר X=5.  לכן צריך לגזור את הפונקציה ולמצוא את ערך השיפוע שלה בנקודה X=5.

שלב שני בפתרון הבעיה, לאחר מציאת השיפוע, הוא להציב את ערך השיפוע וערך הנקודה שדרכה עובר הישר במשוואה (y-y1=m(x-x1. לאחר ההצבה מפתחים קצת ומתקבלת משוואת הישר המבוקשת.

ב) נותנים לכם שתי נקודות  – אתם צריכים למצוא את הפונקציה הקווית

פתרון תרגילים מסוג זה זהה לפתרון בעיות מסוג א רק שהפעם כדי למצוא את ערך השיפוע מציבים את ערכי שתי הנקודות דרכן עובר הישר במשוואה
השיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות (x1, y1) ו- (x2,y2) הוא: m=(x1-x2)/(y1-y2)

דוגמה למציאת שיפוע ישר בדרך זו :

פונקציה קווית

 

ג) מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים

מצאו את נקודת החתוך של הישרים:
y=5x-2 ו  y=-3x+1.

פתרון
בנקודות החיתוך ערכי ה – X וה Y של שני הישרים שווים. על מנת למצוא אותם פותרים את שתי המשוואות עם שני הנעלמים בצורה הזאת :
5x-2=-3x+1
8x=3
x=3/8

נציב את ערך ה – X שמצאנו באחת המשוואות. לא משנה איזו.
y=5*(3/8)-2=15/8-2=-1/8
תשובה: נקודת המפגש של הישרים היא
(3/8,(-1)/8)

 

 

ד) מציאת נקודת חיתוך של של פונקציה קווית עם ציר X או Y.

בנקודת החיתוך של הפונקציה הקווית עם ציר ה – X ערך ה – Y של הישר שווה ל – 0. לכן נציב במשוואת הישר Y=0 ונמצא את ערך ה -X.

בנקודת החיתוך של הפונקציה הקווית עם ציר ה – Y ערך ה – X של הישר שווה ל – 0. לכן נציב במשוואת הישר X=0 ונמצא את ערך ה -Y.

תרגיל לדוגמה

מצאו את נקודות החיתוך של y=3x+12 עם הצירים.

נציב  X=0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- Y.
y=3*0+12=12
נקודת החיתוך היא (0,12).

נציב Y=0 ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- X.
0=3x+12
3x=-12
x=-4
נקודת החיתוך היא (0, -4).

ה) בעיות מילוליות הקשורות לפונקציה קווית

בגינה יש ערוגה עם צמחי סתיו וערוגה עם צמחי אביב (שהתחילה כערוגה ריקה). עם בו הסתיו עוקרים את צמחי הסתיו ושותלים את צמחי האביב. קצב השתילה והעקירה הוא קבוע (אך לא זהה).
העובדים התחילו לעקור ולשתול באותו זמן.
לאחר 4 שעות עבודה נמצאו בערוגת האביב 30 צמחים.
בערוגת הסתיו לאחר 4 שעות היו 150 צמחים ולאחר 10 שעות 78 צמחים.

  1. רשמו את הפונקציה הקווית המייצגת את תהליך השתילה.
  2. רשמו את הפונקציה הקווית המייצגת את תהליך העקירה.
  3. כמה שתילים היו בערוגת הסתיו לפני תחילת העקירה?
  4. תוך כמה זמן ימלאו את ערוגת האביב באותו מספר פרחים כמו שהיה בערוגת הסתיו לפני העקירה.
  5. מתי היו בערוגת הסתיו וערוגת האביב אותו מספר פרחים.
  6. במידה ונשרטט גרף של כמות השתילים כפונקציה של הזמן.. איך נזהה את הנקודה שמצאנו בסעיף 5. איך נזהה את הנקודה שמצאנו סעיף 3.

פתרון

  1. ידוע כי ערוגת האביב התחילה עם 0 צמחים. (מספר זה מייצג את ה- n במשוואת הישר).
    לאחר 4 שעות היו בגינה 30 צמחים. כלומר קצב השתילה הוא 30:4=7.5 שתילים בשעה.
    לכן הפונקציה הקווית היא y=7.5x.
  2. ידוע כי בערוגת הסתיו לאחר 4 שעות היו 150 צמחים ולאחר 10 שעות 78 צמחים. כלומר תוך 6 שעות נעקרו 72 צמחים.
    קצב העקירה הוא 72:6=12. (מספר זה מייצג את ה m במשוואת הישר. במשוואה עצמה נציב -12 משום שמדובר בעקירת צמחים).
    "לאחר 4 שעות היו 150 צמחים". במהלך 4 השעות הראשונות נעקרו 4*12=48 צמחים. לכן בתחילת העקירה היו 150+48=198 צמחים בערוגת הסתיו.
    משוואת הישר המתארת את תהליך העקירה היא y=-12x+198.
  3. כפי שמצאנו בסעיף 2 – 198 צמחים.
  4. על ערוגת האביב להגיע למספר 198. ונשתלים בערוגה 7.5 שתילים בשעה.
    אם X הוא מספר השעות עד שהדבר קורה אז:
    7.5X=198
    x=26.4 שעות.
  5. "אותו מספר פרחים" זה אומר המשוואות הישר שוות.
    7.5x=12x+198
    19.5x=198
    x=10.15  שעות.
  6. הנקודה שמצאנו בסעיף מספר 5 היא נקודת המפגש של  שני משוואות הישר.
    הנקודה שמצאנו בסעיף מספר 3 הוא נקודת המפגש עם ציר ה- Y של פונקציית העקירה.

בעיה מילולית נוספת

יום אחד כאשר פטר הלך ביער הוא פגש 2 אנשים קוטפים פטריות. מנקודת זמן זו פטר עקב אחרי כמות הפטריות שיש להם בסלסלה ורשם אותה בגרף. פטר המשיך לרשום עד שהסלסלה התמלאה.
ידוע כי הקוטפים קוטפים פטריות בקצב קבוע.

אלו הפונקציות הקוויות ששרטט פטר:

linear-function-16

 

 

  1. האם לשני הקוטפים היו סלסלות ריקות כאשר פגש אותם פטר?
  2. מי מהקוטפים קוטף מהר יותר.
  3. מתי לשני הקוטפים הייתה אותה כמות של פטריות בסלסלה?
  4. נסו לחשב בעזרת הגרף כמה פטריות בשעה קוטף כל אחד מהקוטפים?
  5. כתבו פונקציות קוויות מתאימות לכל אחד מהקוטפים.
  6. כעבור כמה זמן מילאו הקוטפים את הסלסלות?

פתרון

  1. לא. לקוטף א היו 6 פטריות בסלסלה כאשר פטר פגש אותו.
  2. רואים שהגרף של קוטף ב עולה מהר יותר ולכן הוא קוטף מהר יותר.
  3. על פי הגרף זה נראה כעבור 1.5 שעות.
  4. ניתן לראות כי קוטף ב התחיל עם 0 פטריות וכעבור שעה היו לו 6 פטריות.
    לכן קוטף נ קוטף 6 פטריות בשעה.
    קוטף א התחיל עם 6 פטריות וכעבור שעה הגיע ל- 8 פטריות.
    לכן קוטף ב קוטף 2 פטריות בשעה.
  5. מצאנו עבור קוטף א כי n=6 ו m=2 לכן המשוואה היא y=2x+6.
    מצאנו עבור קוטף ב כי n=0 ו m=6 לכן המשוואה היא y=6x.
  6. קוטף ב מילא את הסלסלה כעבור 3 שעוץ
    קוטף  מילא את הסלסלה כעבור קצת יותר מ- 6 שעות.

7 תגובות בנושא “פונקצייה קווית

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      יש דף נוסף באתר על פונקציה קווית שכולל נושאים שצריך לדעת אותם לפני שמגיעים לדף זה:

      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-8th-grade/

      אם אחרי שתקרא אותו עדיין יהיו שאלות אתה מוזמן להסביר כאן בדיוק איזו סוג שאלות אינן ברורות לך ואנסה לענות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *