משפטים בגיאומטריה

בדף זה רשימה של 106 משפטים בגיאומטריה שניתנו על ידי משרד החינוך ומותרים לשימוש בבחינת הבגרות ללא הוכחה. אתם צריכים להוכיח את המשפטים הללו רק אם יש דרישה מפורשת לכך בבחינה (לא שכיח). כל משפט אחר שאתם מעוניינים להשתמש עליכם לעשות זאת רק אחרי שהוכחתם אותו (אלא אם כן נאמר אחרת בשאלון המבחן) המשפטים מעודכנים למועד קייץ 2010, ומשרד החינוך לא נוהג לשנות את הרשימה הזו באופן תכוף.

הרשימה מחולקת לשני סוגי משפטים :
1) משפטים שמספיק לציין את שמם ולא צריך להגיד מה הם אומרים. מדובר ברשימה מצומצמת של משפטים בגיאומטריה אשר יופיעו בדף זה בהתחלה.
2) משפטים בגיאומטריה שעל מנת להשתמש בהם עליכם לצטט באופן מפורש את תוכנם, ואלו מרבית המשפטים.

משפטים בגיאומטריה שניתן להשתמש בציון שמם בלבד

משפט פיתגורס, משפט תאלס, המשפט ההפוך למשפט תאלס, משפט תאלס המורחב, משפט חוצה הזווית, ארבעה משפטי החפיפה: צ.ז.צ., ז.צ.ז., צ. צ. צ., צלע, צלע והזווית מול הצלע הגדולה (ורק משפטים אלה), משפטי הדמיון, צ.ז.צ., ז.ז., צ. צ. צ., זווית בין משיק ומיתר.

משפטים בגיאומטריה שצריך לצטט (ולא להוכיח) על מנת להשתמש בהם

משפטים בסיסיים ומשולש

זוויות
1. זוויות צמודות משלימות זו את זו ל- 180.
2. זוויות קדקודיות שוות זו לזו.

משולשים
3. במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.
4. במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.
5. סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
6. במשולש שווה שוקיים , חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
7. אם במשולש חוצה זווית הוא גובה , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
8. אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
9. אם במשולש גובה הוא תיכון , אז המשולש הוא שווה שוקיים.
10. במשולש (שאינו שווה צלעות), מול הצלע הגדולה יותר מונחת זוית גדולה יותר.
11. במשולש (שאינו שווה זוויות), מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר.
12. סכום הזוויות של משולש הוא 180.
13. זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
14. קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

15. ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה, חוצה את הצלע השלישית.
16. קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.

שרטוט המשפטים המשלימים / הפוכים לקטע אמצעים (מספר 15 - 16)

שרטוט המשפטים המשלימים / הפוכים לקטע אמצעים (מספר 15 – 16)

17. משפט חפיפה צ.ז.צ.
18. משפט חפיפה ז.צ.ז.
19. משפט חפיפה צ.צ.צ.
20. משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים.
21. האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון השני ומאונך לו.

שרטוט משפט הדלתון (מספר 21)

שרטוט משפט הדלתון (מספר 21)

קווים מקבילים

22. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות ,אז שני הישרים מקבילים.
23. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים.
24. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180 אז שני הישרים מקבילים.
25. אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז:
א. כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
ב. כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו.
ג. סכום כל זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180.

מקבילית

26. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
27. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
28. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
29. מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
30. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
31. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
32. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
32 (הגדרת המקבילית) מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

מעוין

33. במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
34. מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
35. במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
36. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
36 (נוסף) – מקבלית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעויין.

מלבן

37. אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
38. מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.

טרפז

39. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
40. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
41. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
42. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים
43. קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
44. בטרפז , ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.

קטע אמצעים בטרפז (משפט 43) + המשפט המשלים / הפוך (משפט 44)

קטע אמצעים בטרפז (משפט 43) + המשפט המשלים / הפוך (משפט 44)

תוספות
45. שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
46. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1.
(החלק הקרוב לקדקוד הוא פי 2 מהחלק האחר).
47. כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.
48. אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית , אז היא נמצאת על חוצה הזווית

כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים מקצוות שוקי הזווית

כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים מקצוות שוקי הזווית

49. שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
50. בכל משולש אפשר לחסום מעגל.
51. כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע , נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
52. כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע.

כל נקודה על אנך האמצעים נמצאת במרחקים שווים מקצוות הקטע

כל נקודה על אנך האמצעים נמצאת במרחקים שווים מקצוות הקטע

מעגל חוסם מעגל חסום

53. כל משולש ניתן לחסום במעגל.
54. במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת , שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
55. שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
56. ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180.
57. מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180

 

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

58. כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
59. בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
60. דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.

מעגל

61. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.
62. במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.
63. במעגל , מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.
64. מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
65. מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

 מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.

מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.

66. במעגל , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

מיתר ארוך נמצא במרחק קצר יותר ממרכז המעגל. מיתר קצר רחוק יותר (משפט 66)

מיתר ארוך נמצא במרחק קצר יותר ממרכז המעגל. מיתר קצר רחוק יותר (משפט 66)

67. האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
68. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

תכונות האנך ממרכז המעגל למיתר והמשפט ההפוך (משפטים 67 + 68)
תכונות האנך ממרכז המעגל למיתר
69. במעגל , זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
70. במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.
71. במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
72. במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
73. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).
74. זווית היקפית בת 90 נשענת על קוטר.
75. במעגל , זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

תכונות זווית פנימית במעגל (משפט 75)

תכונות זווית פנימית במעגל (משפט 75)

76. במעגל , זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

תכונות זווית חיצונות למעגל (משפט 76)

תכונות זווית חיצונות למעגל (משפט 76)

משיק למעגל

77. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
78. ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

משפט 77 + המשפט ההפוך 78 המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

משפט 77 + המשפט ההפוך 78
המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

79. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

זווית בין משיק למיתר. שימו לב לתוספת "מצידו השני " ! (משפט 79)

זווית בין משיק למיתר. שימו לב לתוספת "מצידו השני " ! (משפט 79)

80. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
81. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

משפטים 80 + 81 שני משיקים למעגל

משפטים 80 + 81
שני משיקים למעגל

קטע מרכזים במעגל

82. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים , חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.

קטע מרכזים במעגל מאונך וחוצה את המיתר המשותף

קטע מרכזים במעגל מאונך וחוצה את המיתר המשותף

83. נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

 הקשר בין נקודת ההשקה לקטע מרכזים במעגלים משיקים (משפט 83) נ


הקשר בין נקודת ההשקה לקטע מרכזים במעגלים משיקים (משפט 83)
נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו

כאשר המעגלים משיקים מבפנים משפט 83 מיושם כך

כאשר המעגלים משיקים מבפנים משפט 83 מיושם כך

84. משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית , סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
85. משפט פיתגורס ההפוך : משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית.

דמיון משולשים ופרופוציה

86. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
87. משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית.

התיכון לייתר במשולש ישר זווית (משפט 86) והמשפט ההפוך ( משפט 87)

התיכון לייתר במשולש ישר זווית (משפט 86) והמשפט ההפוך ( משפט 87)

88. אם במשולש ישר זוית ,זוית חדה של 30 , אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר.
89. אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר , אז מול ניצב זה זוית שגודלה
90. משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית , מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים.

משפט תאלס

משפט תאלס

91. משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים.
92. משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים.

המשפט ההפוך למשפט תאלס (92)

המשפט ההפוך למשפט תאלס (92)

93. חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה.
94. ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית,ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר .

משפט חוצה הזווית (משפט 93)

משפט חוצה הזווית (משפט 93)

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית (משפט 94)

המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית (משפט 94)

95. חוצה זווית חיצונית במשולש, שאינו מקביל לצלע המשולש, מחלק את הצלע שמול הזווית הצמודה לה חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית הפנימית הצמודה לה.

משפט חוצה הזווית החיצונית במשולש (משפט 95)

משפט חוצה הזווית החיצונית במשולש (משפט 95)

96. ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית כיחס הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה הוא עובר.
97. משפט דמיון צ.ז.צ.
98. משפט דמיון ז.ז.
99. משפט דמיון צ.צ.צ.
100. במשולשים דומים:
א. יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
ב. יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון.
ג. יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
ד. יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
ה. יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון.
ו. יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון.
ז. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.
101. אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

משפט 101 אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

משפט 101
אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

102. אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.

משפט 102 אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני

משפט 102
אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני

103. אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

משפט 103 אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק

משפט 103
אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק

104. במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר (משפט 104 )

הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר (משפט 104 )

105. הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.

הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר

הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר

106. סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור (בעל n צלעות) הוא 180* (n-2)

נוסחאות לחישוב שטחים

ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים:
א. שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו.
ב. שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו.
ג. שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
ד. שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים.
ה. שטח עיגול שרדיוסו r שווה ל- לפאי כפול הרדיוס בריבוע.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. (*) שדות חובה מסומנים

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>