מקבילית

מקבילית היא אחת הצורות היותר חשובות בהנדסת המישור משום שמלבן, ריבוע ומעוין הם סוגים של מקבילית וכדי להבין אותם צריך להבין מקבילית.

הגדרת מקבילית / תכונות מקבילית

נהוג להגדיר מקבילית כמרובע שבו יש שתי זוגות של צלעות מקבילות. אבל זה לא ממש חשוב. יש 5 דרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית וכל אחת מהדרכים שימושית ויכולה לשמש כהגדרת המקבילית.

איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית ?

1) מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

2) מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות שוות בגודלן הוא מקבילית (כל זוג צלעות שווה ולא ארבע צלעות שוות ).
מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות שוות בגודלן הוא מקבילית (כל זוג צלעות שווה ולא כל הארבעה).

3) מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית.
 מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית.

4) מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

5) מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

המשפטים הללו הם סופר חשובים משום שגם על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן / מעוין / ריבוע הרבה פעמים מוכיחים קודם שהמרובע הוא מקבילית ואז צריך להשתמש במשפטים הללו.

כיצד לזכור את כל המשפטים?
זה עוזר לזכור  שיש שלושה משפטים שמדברים על צלעות, אחד על זוויות ואחד על האלכסונים.
עדיף להבין לפחות את תכונת הזוויות מתוך תכונות זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים ולא לשנן על מנת לזכור.

כל אחד מהמשפטים הללו גם מייצג בצורתו ההפוכה את תכונות המקבילית.
כלומר:

אם נתון שמרובע הוא מקבילית אז :
1) שתי זוגות של הצלעות הנגדיות מקבילות.
2) שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות באורכן.
3) האלכסונים חוצים זה את זה.
4) הזוויות הנגדיות שוות.

סיכום תכונות המקבילית

 

תכונה נוספת שקיימת היא שכאשר מעבירים אלכסונים בתוך המקבילית מקבלים שתי זוגות של משולשים חופפים.
בבחינה עליכם להוכיח תכונה זו ולא ניתן להישען עליה כמשפט. ניתן להוכיח זאת בקלות על פי צ.צ.צ.

האלכסונים יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים

האלכסונים יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים

שטח והיקף מקבילית

  1. שטח מקבילית (s) נתון על ידי מכפלת צלע מקבילית (a) כפול הגובה לצלע. s=a*h
  2. היקף מקבילית שווה לסכום שתי צלעות סמוכות כפול שתיים. p=2(a+b).
  3. תרגילים בנושא שטח מקבילית יש בקישור.

שטח והיקף מקבילית

מקביליות מיוחדות

  1. מעוין – מקבילית בה שתי צלעות סמוכות שוות.ו/ או אלכסונים מאונכים.
  2. מלבן – מקבילית שבה הזוויות שוות ל- 90 ו/או אלכסונים שווים.
  3. ריבוע – מקבילית המקיימת את תכונות המעוין והמלבן.

משפטי מקבילית בהם ניתן להשתמש בגרות ללא הוכחה

משפטים שניתן להשתמש בהם אם נתונה לכם מקבילית.

  1. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  2. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  3. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
  4. במקבילית שתי זוגות זוויות נגדיות שוות.משפטי הוכחת מקבילית:
  5. מרובע שבו שתי זוגות זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  6. מרובע שבו שתי זוגות צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  7. מרובע שבו שתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות זו לזו הוא מקבילית.
  8. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  9. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

משפטים הקשורים לישרים מקבילים בהם ניתן להשתמש ללא הוכחה

  1. כיצד מוכיחים ששני קווים הם מקבילים?
    – אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי ונוצרות זוויות מתאימות ו/או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  2. המשפט ההפוך:
    אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז הזוויות המתאימות וזוויות המתחלפות שוות זו לזו.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה מקבילית ABCD. מאריכים את צלע BA כך ש BA=EA.

הוכיחו: מרובע ACDE הוא מקבילית.

מקבילית

פתרון:

  1. EA=AB=DC – נובע מהנתונים ומכך שצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. DC מקביל ל- EA – צלעות נגדיות במקבילית מקבילות. ואם ישר מקביל לצלע (AB) הוא מקביל גם להמשכה.
  3. מרובע ACDE הוא מקבילית – מרובע שיש לו זוג צלעות שהוא שווה וגם מקביל הוא מקבילית.

תרגיל 2

נתונה מקבילית ABCD .
מורידים שני גבהים AE ⊥ BC ו- CF ⊥ AD.

הוכיחו: מרובע BEDF הוא מקבילית.

הוכחת מקבילית

פתרון:

הרעיון בתרגיל זה הוא להוכיח צלעות שוות (BE=FD) בעזרת חפיפת משולשים.
כמו כן לדעת שהרבה פעמים הורדת גבהים במקבילית יוצרת משולשים חופפים או דומים.

  1. D = ∠B∠  – זוויות נגדיות במקבילית ABCD שוות.
  2. CFD = ∠AEB∠ = 90   – נתון.
  3. DCF = 180 – ∠CFD – ∠D = 180 – ∠AEB – ∠B = ∠BAE∠
  4. AB=DC  – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  5. ΔCFD ≅ ΔAEB – נובע מ- 1,3,4. על פי ז.צ.ז.
  6. BE=FD  – צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
  7. BE  ΙΙ FD – צלעות נגדיות (או חלק מצלע) במקבילית ABCD מקבילות זו לזו.
  8. BEDF מקבילית – נובע מ 6 ו- 7. מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

תרגיל 3

במקבילית ABCD נתון כי אורך הצלע הקצרה הוא חצי מאורך האלכסון BD.
נתון כי CO ⊥ DE.

מצאו פי כמה גדול אורך האלכסון CA מהקטע CE.

פתרון:

בשאלה זו מתגלה שלגובה יש תכונה נוספת בגלל שהוא במשולש שווה שוקיים.

מקבילית

  1. נגדיר BD=2X.
  2. DC=½BD = X
  3. DO = ½BD = X  –  אלכסוני מקבילית ABCD חוצים זה את זה.
  4. DO=DC  – נובע מ- 2 ו- 3.
  5. CE=½CO – במשולש שווה שוקיים DOC הגובה הוא גם תיכון.
  6. CO= ½AC – אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
  7. CE=¼AC – נובע מ- 5 ו- 6.

תשובה: האלכסון AC גדול פי 4 מהצלע CE.

תרגיל 4

נתונה מקבילית ABCD. דרך נקודת מפגש אלכסוני המקבילית מעבירים קו FH.
הוכיחו: מרובע AFCH הוא מקבילית.

הוכחה שמרובע הוא מקבילית

פתרון:

  1. FCO  = ∠HAO∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (BC ו- AD) שוות זו לזו.
  2. COF = ∠AOH∠  – זוויות קודקדיות שוות.
  3. CO= AO – אלכסוני המקבילית ABCD חוצים זה את זה.
  4. ΔHAO ≅ ΔFCO  – נובע מ 1,2,3. על פי ז.צ.ז.
  5. FO=HO  – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. מרובע AFCH הוא מקבילית – נובע מ- 3 ו-5. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

תרגיל 5

נתונה מקבילית ABCD מהקודקודים A ו- C מוציאים ישרים כך שזווית FCD שווה לזווית AEB.

הוכיחו: מרובע AECF הוא מקבילית.

הוכחת מקבילית

פתרון:

יש מספר דרכים להוכיח כאן. כאן תוסבר הדרך המשתמשת במשפט "מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות שוות הוא מקבילית"

  1. FCD = ∠EAB∠  – נתון.
  2. B=∠D∠  – זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. AB=DC – צלעות נגדיות במקבילית שוות זוז לזו.
  4. ΔFCD ≅ ΔEAB  – נובע מ 1,2,3. על פי ז.צ.ז.
  5. FC=AE – צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
  6. FD=BE  – זוויות מתאימות במשולשים חופפים.
  7. AD=BC  – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  8. AF=AD-FD=BC-BE=EC..
  9. המרובע AECF הוא מקבילית. נובע מ- 5 ו- 8. מרובע עם שתי זוגות צלעות שוות זו לזו הוא מקבילית.

 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *