טריגונומטריה

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות

הפונקציות הטריגונומטריות מקשרות בין גדלים של זוויות במשולש לגדלים של צלעות הבמשולש. כלומר מאפשרות לנו למצוא גודל של זווית על פי גודל הצלעות וגודל של צלעות על פי גודל הזווית ומידע נוסף.

בשלב ראשון ההתייחסות היא למשולש ישר זווית בלבד.

פונקציית הסינוס – sin a

סינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית לייתר.

כלומר : sin a = a / c.

דוגמאות לחישוב בעזרת פונקציית הסינוס :

חסר הנתון של הזווית חסר הנתון של הניצב חסר הנתון של הייתר
שימוש בפונקציית הסינוס למציאת הזווית שימוש בפונקציית הסינוס למציאת הניצב שימוש בפונקציית הסינוס למציאת הייתר

פונקציית קוסינוס – cos a

קוסינוס של זווית מבטא את היחס שבין הניצב שלייד הזווית לייתר.

כלומר sin a =b / c :

דוגמאות לחישוב פונקציות הקוסינוס :
חסר הנתון של הזווית חסר הנתון של הניצב חסר הנתון של הייתר
שימוש בפונקציית הקוסינוס למציאת הזווית שימוש בפונקציית הקוסינוס למציאת הניצב שימוש בפונקציית הקוסינוס למציאת הייתר

פונקציית הטנגס – tg a

טנגס של זווית מבטא את היחס שבין הנצב שמול הזווית לניצב שליי הזווית.

כלומר : tg a = a / b

דוגמאות לחישוב פונקציית הטנגס :

חסר הנתון של הזווית חסר הנתון של הניצב חסר הנתון של הניצב
שימוש בפונקציית הטנגס למציאת הזווית שימוש בפונקציית הטנגס למציאת הניצב שימוש בפונקציית הטנגס למציאת הניצב

שימוש בפונקציות טריגונומטריות במשולשים שאינם ישרי זווית

ההגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות תקפות עבור משולשים ישרי זווית. כאשר נתון לנו משולש שאינו ישר זווית עלינו ליצור משולש ישר זווית בתוכו על מנת שנוכל להשתמש בפונקציות הטריגונומטריות.

הדרך הפשוטה ביותר ליצור משולש ישר זווית היא להעביר גובה במשולש.

תרגילים :
מציאת אורכו של גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה

 

מציאת אורכה של צלע במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת אורכה של צלע במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת אורכה של צלע במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת אורכו של גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת אורכו של גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה

מציאת אורכו של גובה במשולש בעזרת טריגונומטריה

משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות

משולש שווה שוקיים הוא מקרה פרטי של משולש שבו עלינו לבצע פעולה על מנת ליצור משולש ישר זווית ולהשתמש בפונקציות הטריגונומטריות. מה שמייחד אותו הוא המשפט הבא :

  • במשולש שווה שוקיים הגובה מזווית הראש הוא גם תיכון וחוצה זווית.

משתמשים בתכונה זו על מנת למצוא יותר נתונים ולפתור שאלות.

במשולש שווה צלעות שלושת התיכונים הם גם חוצאי זווית וגבהים

תרגילים

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה צלעות

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה צלעות

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה צלעות

 

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה שוקיים

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה שוקיים

שימוש בטרונומטריה במשלש שווה שוקיים

מלבן

על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה הכוללות מלבן אנו משתמשים בתכונות המלבן שהעיקריות שבהם הן :

  • כל אחת מזוויות המלבן שווה ל 90 מעלות.
  • אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
  • אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
  • אלכסוני המלבן יוצרים שני זוגות של משולשים שווה שוקיים.

הרחבה בנושא תכונות המלבן תמצאו בדף מלבן שבאתר.
תרגילים :

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במלבן בעזרת טריגונומטריה

מעוין

על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה הכוללות מעוין אנו משתמשים בתכונות המעויין שהעיקריות שבהן הן :

  1. צלעות המעוין שוות.
  2. אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין, מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה.
  3. אלכוסוני המעוין יוצרים ארבעה משולשים חופפים.

- שימו לב : אלכסוני המעוין אינם שווים זה לזה.
הרחבה בנושא תכונות המעוין תמצאו בדף מעוין שבאתר.

תרגילים :

מציאת צלע במעוין בעזרת טריגונומטריה

מציאת צלע במעויין בעזרת טריגונומטריה

מציאת צלע במעויין בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במעוין בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במעוין בעזרת טריגונומטריה

מציאת זווית במעוין בעזרת טריגונומטריה

טרפז

על מנת לפתור שאלות בטריגונומטריה הכוללות טרפז נשתמש בתכונות הטרפז שהעיקריות שבהן הן :

  1. טרפז כולל שתי צלעות מקבילות (בסיסים) ושתי צלעות שאינן מקבילות (שוקיים).
  2. הגבהים בטרפז שווים זה לזה (שימושי מאוד וחשוב להבנה).
  3. בטרפז ישר זווית שתיים מהזוויות שוות ל 90.
  4. בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות, הזוויות ליד כל בסיס שוות זו לזו, אלכסוני הטרפז שווים.

שימוש בטריגונומטריה בטרפז ישר זווית

שימוש בטריגונומטריה בטרפז ישר זווית

שימוש בטריגונומטריה בטרפז ישר זווית

שימוש בטריגונומטריה בטרפז שווה שוקיים

שימוש בטריגונומטריה בטרפז שווה שוקיים

שימוש בטריגונומטריה בטרפז שווה שוקיים

בעיות עם יחסים

בבעיות עם יחסים בטריגונומטריה לא נותנים את הגודל המדוייק של הצלעות / זוויות אלא נותנים לנו פרפורציה שלו בעזרת משתנה. פתרון התרגילים נעשה בצורה דומה.

תרגילים

בעיית יחסים במשולש שווה שוקיים

בעיית יחסים במשולש שווה שוקיים

בעיית יחסים במשולש שווה שוקיים

בעיית יחסים בטרפז שווה שוקיים

בעיית יחסים בטרפז שווה שוקיים

בעיית יחסים בטרפז שווה שוקיים

מעגל

תרגילים בטריגונומטריה במעגל יתייחסו בדרך כלל לכך שהגובה שמחבר את מרכז המעגל עם מיתר כלשהוא הוא אנך לאמצע המיתר.
תרגיל עם טריגונומטריה במעגל

תרגיל עם טריגונומטריה במעגל

תרגיל עם טריגונומטריה במעגל

תרגיל עם טריגונומטריה במעגל

תרגיל עם טריגונומטריה במעגל

תרגיל עם טריגונומטריה במעגל

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. (*) שדות חובה מסומנים

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>