חזקות

בדף זה אעבור על חוקי החזקות.
לאחר מיכן יוסבר כיצד גודל וסימן בסיס החזקה משפיע על גודל הביטוי.
בסוף הדף יש תרגילים.

מה היא חזקה?

חזקה היא כתיב מקוצר של פעולת כפל, למשל:

4*4*4*4*4 = 45.

  1. מעריך החזקה – כך נקרא המספר שנמצא למעלה (במקרה זה 5).
  2. בסיס החזקה – כך נקרא המספר שנמצא למטה (במקרה זה 4).

כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1

50=1000=1

חוקי חזקות

חזקות זו שפה. לפני שפותרים תרגילים צריך להכיר את חוקי השפה – חוקי החזקות הם מפורטים כאן :

חוקי חזקות

 

כיצד בסיס החזקה משפיע על גודל התוצאה

אנו רגילים שככול שמעריך החזקה גדול יותר כך ערך הביטוי יגדל אבל זה לא תמיד כך. בהמשך אזכיר מקרים שבהם החזקות מתנהגות בצורה לא צפויה – לפחות עד שמבינים אותן.

מה ההבדל בין חזקה שהמינוס שלה הוא בתוך הסוגריים לחזקה עם מינוס ללא סוגריים?

כלומר מה ההבדל בין  ²(-4) לעומת -4².

במקרה שהמינוס לא נמצא בסוגריים החזקה היא על המספר בלבד והתוצאה של הביטוי תהיה שלילית בכול מקרה: -16.

במקרה שהמינוס נמצא בתוך הסוגריים זה שקול לתרגיל (-4) * (-4) = 16.
כלומר, במקרה והחזקה היא זוגית המינוס יתבטל והתוצאה תהיה חיובית.
במקרה והחזקה אי זוגית התוצאה תהיה שלילית.

כאשר בסיס החזקה הוא שבר חיובי

כאשר מכפילים שבר בשבר ערך הביטוי קטן, למשל:

½ * ½   < ½.

מסיבה זו  2(½)  < ¹(½)  וגם 100(½)   <   8(½).

כאשר בסיס החזקה הוא שבר שלילי

כלומר בסיס החזקה הוא מספר בין 0 ל- 1.

במקרה זה יש שתי אפשרויות:

  1. מעריך החזקה זוגי – ואז התוצאה הסופית חיובית וערך הביטוי קטן יותר ככול  שמעריך החזקה גדול יותר.
    60(¼-)   >   80(¼-).
  2. מעריך החזקה אי זוגי – ואז התוצאה הסופית שלילית וערך הביטוי גדול יותר ככול  שמעריך החזקה גדול יותר.    81(¼-)   > 61(¼-).

 

 

סוגי תרגילי חזקות

א) פישוט איבר מורכב – נותנים ביטוי שצריך לצמצם אותו.

דוגמאות לפתרון :

חזקות

ב) למצוא מה גדול יותר – נותנים שני ביטויים שצריך למצוא את גודלם אחד ביחס לשני. פותרים את התרגילים הללו כך :

צריך לשנות את מעריך החזקה או את בסיס החזקה כך שאחד מהאיברים הללו יהיה שווה בשני הביטויים.

דוגמאות לפתרון :

חזקות

חזקות

ג) תרגילים בהם נתון גודלו של איבר מסויים הכולל חזקה ויש למצוא את ערכו של איבר אחר. פותרים את התרגילים הללו כך :

מפתחים את האיבר שצריך למצוא את ערכו עד שהוא כולל את האיבר הנתון יחד עם מספרים בילבד (ללא משתנים נוספים).
ד) משוואות מערכיות – אלו הם משוואות הכולללות ביטוי אשר החזקה שלו היא משתנה. פותרים את התרגילים הללו :

מפתחים את המשוואה כך שהיא תכלול מצד אחד את הביטוי עם חזקת המשתנה ומצד שני מספר (שניתן להגיע אליו מבסיס החזקה של המשתנה).

דוגמאות לפתרון :

חזקות

חזקות

שגיאות שכיחות בחזקות

שגיאות שכיחות בחזקות מבוססות על שימוש בחוקי חזקות כאשר אסור להשתמש בהם, שני המקרים השכיחים :

א) לא ניתן להשתמש בחוקי החזקות עבור פעולות חיבור או חיסור (כל כללי החזקות נוגעים בכפל או חילוק).

למשל התרגיל :
X^5 + X^3
נשאר כמו שהוא (שגיאה שכיחה =X^8)

ב)אין חוקים היוצרים "איחוד" של ביטויים בעלי בסיס חזקה שונה.

למשל על התרגיל :
2^3 * 4^2
לא ניתן ליישם אף אחד מחוקי החזקות ויש לפתור כל ביטוי בנפרד
חזקות תרגילים פתורים

 

 

תרגילים בחזקות 3 יחידות

תרגיל
א) נתון 6x=10 חשב את 6-2x
ב) פתור את המשוואה 2x*5x+1+10x=600
פתרון
א)
6-2x=6-2*6x=6x/36=10/36
ב)
2x*5x+1+10x=600
נהפוך את 5x+1 ל 5x*5
2x*5x*5+10x=600
נאחד את הגורם 2x*5x = 10x
10x*5+10x = 600
נחבר את הביטויים הכוללים את 10x
10x*6=600
נחלק את שני אגפי המשוואה ב- 6
10x=100
תשובה : x=2

תרגילים בחזקות 4 יחידות

א) פתור את המשוואה 8x-1/3+ 81-x = -5
ב) פתור את האי שוויון 0.25x + 5 <2-4 +2x

פתרון

א)

8x-1/3 + 81-x = -5
8x*8-1/3+818-x=-5
ידוע כי 8-1/3=2
לכן
8x :2 + 8 :8x = -5
נגדיר 8x=t לכן המשוואה הנוכחית היא
t :2 + 8:t = -5
על מנת לבטל את המכנים נכפיל את המשוואה ב – 2t. נקבל :
t2+16 = -10t
t2+16 = -10t
t2+10t + 16=0
נפתור על ידי פירוק הטרינום – אבל ניתן לפתור גם על ידי הנוסחה הרגילה.
(t-8)*(t-2) = 0
הפתרונות הם t=8 או t=2
כלומר
8x=8
ואז x=1
או
8x=2
ואז
x =1/3

ב)

פתרון אי שוויון מעריכי
0.25x+5<2-4+2x
נשתמש בזהות
0.25=2-2
2-2x-10<2-4+2x
מכוון שבסיס האי שוויון גדול מאחד אז צריך להתקיים

-2x-10 < -4+2x
6>-4x
נחלק את האי שוויון ב – -4. כאשר מחלקים במספר שלילי יש להפוך את סימן האי שוויון. נקבל
x>-1.5

תרגיל בחזקות 5 יחידות

חזקות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *