חזקות

נושאי הדף
1 חוקי חזקות

2 סוגי תרגלי חזקות
  2.1 פישוט איבר מורכב
  2.2 למצוא מה גדול יותר
  2.3 להגדיר איבר באמצאות אחר
  2.4 משוואה מעריכית

3 שגיאות שכיחות בחזקות

4 חזקות תרגילים פתורים
  4.1 תרגילים ל 3 יחידות
  4.2 תרגילים ל 4 יחידות
  4.3 תרגילים ל 5 יחידות

דפים בנושאים משלימים באתר
פירוק לגורמים
אי שוויונים
משוואה ריבועית

חוקי חזקות
חזקות זו שפה. לפני שפותרים תרגילים צריך להכיר את חוקי השפה - חוקי החזקות הם מפורטים כאן :




א) פישוט איבר מורכב - נותנים ביטוי שצריך לצמצם אותו.

דוגמאות לפתרון :



ב) למצוא מה גדול יותר - נותנים שני ביטויים שצריך למצוא את גודלם אחד ביחס לשני. פותרים את התרגילים הללו כך :

צריך לשנות את מעריך החזקה או את בסיס החזקה כך שאחד מהאיברים הללו יהיה שווה בשני הביטויים.

דוגמאות לפתרון :




ג) תרגילים בהם נתון גודלו של איבר מסויים הכולל חזקה ויש למצוא את ערכו של איבר אחר. פותרים את התרגילים הללו כך :

מפתחים את האיבר שצריך למצוא את ערכו עד שהוא כולל את האיבר הנתון יחד עם מספרים בילבד (ללא משתנים נוספים).


ד) משוואות מערכיות - אלו הם משוואות הכולללות ביטוי אשר החזקה שלו היא משתנה. פותרים את התרגילים הללו :

מפתחים את המשוואה כך שהיא תכלול מצד אחד את הביטוי עם חזקת המשתנה ומצד שני מספר (שניתן להגיע אליו מבסיס החזקה של המשתנה).

דוגמאות לפתרון :



שגיאות שכיחות בחזקות
שגיאות שכיחות בחזקות מבוססות על שימוש בחוקי חזקות כאשר אסור להשתמש בהם, שני המקרים השכיחים :

א) לא ניתן להשתמש בחוקי החזקות עבור פעולות חיבור או חיסור (כל כללי החזקות נוגעים בכפל או חילוק).

למשל התרגיל :
X^5 + X^3
נשאר כמו שהוא (שגיאה שכיחה =X^8)

ב)אין חוקים היוצרים "איחוד" של ביטויים בעלי בסיס חזקה שונה.

למשל על התרגיל :
2^3 * 4^2
לא ניתן ליישם אף אחד מחוקי החזקות ויש לפתור כל ביטוי בנפרד

תרגילים פתורים 3 יחידות

תרגיל
א) נתון 6^x=10 חשב את 6^-2x
ב) פתור את המשוואה  2^x*5^x+1+10^x=600


פתרון
א)

6-2x=6-2*6x=6x/36=10/36

ב)

2x*5x+1+10x=600

נהפוך את 5x+1 ל 5x*5 2x*5x*5+10x=600

נאחד את הגורם 2x*5x = 10x 10x*5+10x = 600

נחבר את הביטויים הכוללים את 10x 10x*6=600

נחלק את שני אגפי המשוואה ב- 6 10x=100

תשובה : x=2

תרגילים פתורים 4 יחידות

א) פתור את המשוואה 8^x-1/3+ 8^1-x = -5
ב) פתור את האי שוויון 0.25^{x + 5} <2^{-4 +2x}

פתרון

א)

8x-1/3 + 81-x = -5

8x*8-1/3+818-x=-5

ידוע כי 8-1/3=2 לכן 8x :2 + 8 :8x = -5

נגדיר 8x=t לכן המשוואה הנוכחית היא t :2 + 8:t = -5

על מנת לבטל את המכנים נכפיל את המשוואה ב - 2t. נקבל : t2+16 = -10t

t2+16 = -10t t2+10t + 16=0 נפתור על ידי פירוק הטרינום - אבל ניתן לפתור גם על ידי הנוסחה הרגילה. (t-8)*(t-2) = 0

הפתרונות הם t=8 או t=2 כלומר 8x=8 ואז x=1 או 8x=2 ואז x =1/3

ב)

פתרון אי שוויון מעריכי

0.25x+5<2-4+2x

נשתמש בזהות 0.25=2-2

2-2x-10<2-4+2x

מכוון שבסיס האי שוויון גדול מאחד אז צריך להתקיים -2x-10 < -4+2x

6>-4x

נחלק את האי שוויון ב - -4. כאשר מחלקים במספר שלילי יש להפוך את סימן האי שוויון. נקבל x>-1.5

תרגילים פתורים 5 יחידות

התרגיל לקוח מתוך ספרו של בני גורן מתמטיקה שאלון 007 עמוד 638 תרגיל 6.