הסתברות

1

יסודות הסתברות

ההסתברות שהמאורע יקרה:

הסתברות היא ערך שנע בן 0 ל -1.

ההסתברות שמאורע יקרה שווה למספר האפשרויות שהמאורע יקרה לחלק במספר האפשרויות הכללי.
תרגיל
זורקים קוביה מה ההסתברות שיצא המספר 3 ?
האפשרות שיצא המספר 3 היא אחת. מספר האפשרויות לתוצאות בקוביה הן 6 (מספר האפשרויות הכללי). לכן ההסתרות שיצא המספר 3 היא 1/6.
תרגיל
זורקים קוביה מה ההסתברות שיצא מספר זוגי ?
יש שלושה אפשרויות שיצאו מספרים זוגיים (2.4.6). ומספר האפשרויות הכללי הוא 6. לכן ההסתברות שיצא מספר זוגי היא 3/6=1/2.

מונחים יותר מקצועיים לתיאור בעיה בהסתברות

מרחב המדגם – מרחב המדגם הוא סך כל המאורעות האפשריים. בבעיות שצוינו קודם גודל מרחב המדגם היה 6.

מאורע A – מאורע הוא כל דבר שיכול לקרות ואנו מחפשים את ההסתברות שלו. "שיצא מספר 3" זה מאורע, "שיצא מספר זוגי" זה מאורע וגם "שלא יצא המספר 3" זה מאורע.
בדרך כלל נהוג להגדיר מאורעות על פי האותיות האנגליות A,B,C וכו. למשל
ניתן להגדיר מאורע כך :

A – המאורע שיצא 3 בזריקת הקוביה.

לכל מאורע A ניתן להגדיר גם מאורע -A – מאורע -A כולל בתוכו את כל המאורעות שאינם שיכים למאורע A.
למשל אם A הוגדר כ "יצא 3 בזריקת קוביה" אז -A כולל בתוכו את כל האפשרויות האחרות. כלומר -A הוא "שיצא 1,2,4,5,6 בזריקת הקוביה".

המאורעות A ו -A כוללים תמיד את את כל מרחב המדגם לכן סכום ההסתברויות של A ו -A הוא 1.

הנוסחה המבטאת את המשפט הקודם היא :

p(A)+p(-A)=1

דוגמא לבעיה בסיסית על פי העקרונות הללו

מתוארת fti ההתפלגות של מספר הצעצועים ששייכים לכל ילד בגן מסויים:

מספר הילדים 5 4 7 4
מספר הצעצועים עד 20 20-39 40-59 מעל 60
בוחרים ילד באקראי מהגן, א ) מה ההסתברות שיש לו פחות מ -40 צעצועים ?
ב) מה ההסתברות שיש לו יותר מ -40 צעצועים ?

פתרון סעיף א

נגדיר :

A – נבחר ילד שיש לו פחות מ – 40 צעצועים.
ניתן לראות שהאפשרות A כוללת 9 ילדים, כלומר 9 אפשרויות שונות.

מרחב המדגם – מרחב המדגם שלנו כולל 5+4+7+4=20 אפשרויות שונות.

לכן ההסתברות ש A יקרה היא 9/20 וכותבים את זה כך p(A)=9/20.

פתרון סעיף ב

ניתן לפתרו את השאלה בשתי דרכים.

דרך ראשונה :
דרך -A

נשים לב שהמאורע שמבוקש בסעיף ב הוא המאורע המשלים של A. לכן ניתן לכנותו -A וההסתברות שהוא יקרה נתונה על ידי p(-A)=1-p(a)=1-9/20=11/20.
בשאלה זו השימוש ב -A לא חוסך לנו הרבה חישובים אך בשאלות מורכבות השימוש בדרך זו יכול לחסוך לנו הרבה עבודה וזמן. לכן חשוב להבין היטב את הקשר בין A ל
-A.

דרך שניה :
הדרך הרגילה
נגדיר :
B – נבחר ילדל שיש לו 40 או יותר צעצועים. ניתן לראות שהאפשרות הזו כוללת 11 אפשרויות שונות.
מרחב המדגם – כולל 20 אפשרויות שונות.

p(B)=11/20

כמובן שבשני הדרכים התקבלה אותה תוצאה.

מאורעות בילתי תלויים

מאורעות בילתי תלויים הם מאורעות שהתרחשות של אחד מיהם לא משפיעה על ההסתברות של התרחשות המאורע השני.
דוגמאות למאורעות בילתי תלויים בבעיות הסתברות :

– כאשר זורקים קוביה הוגנת ההסתברות שיצא 3 בזריקה השניה לא תלויה במספר שיצא בזריקה הראשונה.
– כאשר מוצאים כדורים ומחזירים כל כדור לאחר ההוצאה ההסתברות שיצא כדור בצבע מסויים לא תלויה בצבע שיצא קודם לכן.

מאורעות תלויים

מאורעות תלויים הם מאורעות שבהינתן שאחד מיהם קרה או לא קרה זה משנה את ההסתברות שהשני יקרה.

למשל נניח שיש קשר חיובי בין חודש ינואר לגשם. אז בהינתן שעכשיו זה חודש ינואר ההסתברות שיש לנו גם גשם גבוהה יותר מההסתברות של גשם אם אנחנו לא יודעים באיזה חודש בשנה אנחנו נמצאים.

וגם להיפך, אם אנחנו יודעים שהיום אינו גשום אז ההסתברות שעכשיו ינואר נמוכה יותר מהמצב שאין לנו מידע.

בשפה "הסתברותית" מנסחים את העובדה שהמאורעות A ו B תלויים על ידי האי שוויון הבא.

p(A) שונה מ – p(A/B).

p(A/B) היא ההסתברות ש A יקרה אם כבר ידוע ש B קרה.

בעיות עם הסתברויות שונות

זה נושא שאינו קשה.
לא כל הבעיות בעולם הן עם הסתברויות שוות אלא קיימות הרבה בעיות שמחולקות למאורעות עם הסתברויות שונות.

למשל.
ידוע שילדים אוהבים טרקטורים בהסתברות 0.4 מכוניות בהסתברות 0.7 וחתולים בהסתברות 0.5. נתון שאין קשר בין אהבה לאובייקטים השונים. בוחרים ילד באקראי מה ההסתברות שהוא אוהב טרקטורים וחתולים אבל לא אוהב מכוניות ?

פתרון
נשים לב שאם אומרים שההסתברות לאהוב מכוניות היא 0.7 אז ההסתברות לא לאהוב מכוניות היא 0.3.

נכפיל את ההסתברויות המבוקשות 0.4*0.5*0.3=0.06

תשובה 0.06.

בעיות הסתברות עם נעלמים

דיאגרמת עץ

דיאגרמת עץ היא צורת הצגה שכיחה של ניסויים בהסתברות בהם יש שני שלבים או יותר. היתרון של דיאגרמת העץ הוא שהיא מראה לנו את הנתונים וההסתברות שמבקשים מאיתנו לחשב בצורה ברורה.

מה זה שלב בהסתברות ? כל פעם שנעשית פעולה על מרחב המדגם זה שלב.

למשל :
כאשר מוצאים כדור (שלב) ועוד כדור (עוד שלב).
כאשר בודקים עם זורחת השמש (שלב) ומה מהירות הרוח (עוד שלב).
כאשר מטילים מטבע (שלב) ומסובבים סביבון (עוד שלב).
כאשר הולכים (שלב) ולאחר מיכן רצים (עוד שלב).

כל פעולה בעלת הסתברות מסויימת היא שלב ותיוצג בדיאגרמת עץ על ידי פיצול של הענפים.

קיימים סוגים שונים של בעיות בהסתברות ולכן גם דיאגרמות עץ שונות.

דיאגרמת עץ עבור מאורעות בילתי תלויים

דיאגרמת עץ עבור ניסויים בילתי תלוייים מאופיינות בכך שההסתברות לאחר פיצול הענף שוות להסתברויות לפני פיצול הענף וזה בגלל שהמאורעות הם בילתי תלויים = לא משפיעים זה על ההסתברות של זה.

תרגיל לדוגמא
בכד 11 כדורים. 4 אדומים ו 7 כחולים. מוצאים מהכד כדור ומחזירים אותו, ולאחר מיכן מוצאים כדור נוסף.

מה הסתברות שהראשון הוא כחול והשני אדום ?

מה ההסתברות שנוציא כדור אחד כחול ואחד אדום ?

דיאגרמת עץ למאורעות בילתי תלויים

דיאגרמת עץ למאורעות בילתי תלויים

ההסתברות הראשונה היא ההסתברות שמסומנת על ידי העט הירווק ובשביל לקיים אותה עלינו לעבור דרך "נוציא כחול" ואז "נוציא אדום לאחר שהוצאנו כחול". ההסתברות הזאת שווה ל 4/11 * 7/11 = 28/121

ההסתברות השניה שמבקשים כוללת את האפשרויות שמסומנות על ידי העט הכחול והירוק. הסכום שלהם הוא 7/11 *4/11 + 4/11 * 7/11 = 56/121.

דיאגרמת עץ עבור מאורעות תלויים

דיאגרמת עץ עבור מאורעות תלויים מאופיינת בכך שההסברויות לאחר פיצול הענף שונות מאלו שהיו לפני פיצול הענף משום שההתברות השניה תלויה=משתנה בעקבות הראשונה.

תרגיל לדוגמא
בחממה 40 פרחים. 12 ורודים, 10 לבנים והשאר צהובים. בכל יום הגנן קוטף באופן מקרי 2 פרחים באותו צבע. מה ההסתברות שבשני ימי קטיף הוא יקטוף 4 פרחים לבנים ?

דיאגרמת עץ למאורעות תלויים

דיאגרמת עץ למאורעות תלויים

כפי שניתן לראות בדיאגרמת עץ שמתארת את הבעיה על מנת להגיע לפרחים לבנים בשני הימים עלינו לעבור במסלול שמסומן בירוק וההסתברות שמבטאת אותו היא 10/40 * 8/38 = 80/1520=1/19

טבלה דו מימדית

בטבלה דו מימדית אנו משתמשים כאשר אנחנו צריכים לחשב את ההסתברות שמאורע A יקרה וגם מאורע B.
חשוב לזכור כי טבלה דו מימדית היא כלי ולא מטרה , היא אמורה לעזור לנו לפתור שאלות ולא להקשות עלינו. אם אתם שואלים את עצמכם האם שבשאלה זו אתם צריכים להשתמש בטבלה דו מימדית אז יותר טוב שתשאלו את עצמכם האם נוח לי לפתור את התרגיל בלי טבלה ? אם כן פתרו אם לא הכניסו את הנתונים לטבלה.
דוגמא לשאלה עם טבלה דו מימדית
ילד זורק מטבע שהאפשרויות שלו הן עץ או פלי וגם מסובב סביבון שעליו כתובות האותיות נ.נ.ה.פ. (האות נ מופיעה פעמיים)
כתוב טבלה דו מימדית המציגה את את ההסתברויות השונות.
מה ההסתברות שבסיבוב סביבון אחד ובזריקת קוביה אחת לא יתקבל פלי או האות פ ?

פתרון

לפני שבונים את הטבלה צריך לחשב את ההסתברויות שנמצאות בתוך הטבלה.

p(ההסתברות שיצא פלי וגם האות נ) = 0.5*0.5=0.25
p(ההסתברות שיצא פלי וגם האות ה)=0.25*0.5=0.125
p(ההסתברות שיצא פלי וגם האות פ)=0.25*0.5=0.125
p(ההסתברות שיצא עץ וגם האות נ)= 0.5*0.5=0.25
p(ההסתברות שיצא עץ וגם האות ה)=0.25*0.5=0.125
p(ההסתברות שיצא עץ וגם האות פ)=0.25*0.5=0.125

תוצאת המטבע פלי עץ סך הכל
תוצאת הסביבון
נ ההסתברות שיצא פלי וגם האות נ
0.25 ההסתברות שיצא עץ וגם האות נ
0.25 0.5
ה ההסתברות שיצא פלי וגם האות ה
0.125 ההסתברות שיצא עץ וגם האות ה
0.125 0.25
פ ההסתברות שיצא פלי וגם האות פ
0.125 ההסתברות שיצא עץ וגם האות פ
0.125 0.25
סך הכל 0.5 0.5 1
תשובה : ההסתברות שלא יצא פלי ולא האות פ מורכבת מהסכום של שתי ההיסתברויות :

p(ההסתברות שיצא עץ וגם האות נ)= 0.5*0.5=0.25
p(ההסתברות שיצא עץ וגם האות ה)=0.25*0.5=0.125

לכן ההסתברות המבוקשת שווה ל – 0.375.
הערה
– קושי מרכזי אצל תלמידים הוא לדעת מתי להשתמש בדיאגרמת עץ ומתי בטבלה דו מימדית. התשובה היא שדיאגרמת עץ מתארת תהליך / מספר פעולות שמתבצעות על אותו אובייקט (מוציאים כדור מהשק ושוב פעם מוציאים כדור מהשק). לעומת זאת טבלה דו מימדית מדברת על קבוצות והקשר בינהן.

נוסחת ברנולי

עד עכשיו למדנו כיצד מתמודדים עם בעיות הסתברותיות שמספר המאורעות במרחב המדגם שלהם מוגבל יחסית, למשל לא למדנו על דיאגרמת עץ שיש בה 10 ענפים.

נוסחת ברנולי נועדה לענות בצורה פשוטה על מרחב מדגם מרובה אפשרויות.

והיא מתאימה למאורע הבא :

– מבצעים נסיונות בילתי תלויים (מספר הנסיונות מסומן ב – n).

– לכל ניסיון יש שתי אפשרויות בילבד (הצלחה או כישלון. הסיכוי להצליח מסומן כ – p).

– אין חשיבות לסדר של ההצלחות / כישלונות.
כאשר רוצים לחשב את הההסתברות ל k הצלחות מתוך ה – n ניסיונות במקרה זה משתמשים בנוסחת ברנולי.
הסבר לנוסחת ברנולי (לא חובה)

האיבר הראשון – האפשרות לסדר n איברים כאשר יש חשיבות לסדר היא n ! . כאשר אין חשיבות לסדר יש לחלק את הביטוי הזה במה שמופיע במכנה בנוסחת ברנולי.

האיבר השני – ההסתברות להצליח k פעמים במאורע שההסתברות להתצליח בו בנסיון בודד היא p היא pk.

האיבר השלישי – הצלחנו כבר k פעמים אבל נשארו לנו n-k נסיונות שבהם אנחנו רוצים להיכשל (אנחנו לא רוצים שמספר ההצלחות יעבור את k). ההסתברות להכשל בניסיונות הנוספים היא האיבר השלישי בנוסחה.

טיפ

לפעמים שואלים שאלה כמו "בוחרים 5 אנשים, מה ההסתברות לבחור שלושה נשים ושני גברים ללא חשובות לסדר הבחירה ?" . כאשר מציגים שאלה בצורה כזו לא ברור מה זו הצלחה ומה הכישלון והאם השאלה בכלל מתאימה לנוסחת ברנולי. התשובה היא שהשאלה מתאימה לנוסחת ברנולי ועלינו להתייחס אל מין אחד כהצלחה ואחר ככישלון.

 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. (*) שדות חובה מסומנים

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>